[微积分Ⅱ]8-3 复合函数微分法

du v f ' v 1 y yz dv x
u v
u f ' x xy xyz 1 y yz x
x y z
2
令 xy, xyz, u f x, ,
x y, y x, x yz , y xz , z
u
( f 1 ' yf 2 ' yzf 3 ' )dx ( f 2 ' x f 3 ' xz )dy ( f 3 ' xy )dz

x y z
Байду номын сангаас 二、一阶全微分形式不变性
z z z z 二元函数 : dz du dv dx dy u v x y 事实上 : 当z f u, v u x , y , v x , y




z w w u2 v 2 w 2


3
2
u v w 2s 2s 2t s s s
z z u z v z w s u s v s w s z 2 us vs wt 3 2 2 2 2 u v w
z
u
dz z du z dv dx u dx v dx
v
x
( 3)
公式（3）可推广到中间变量多于两个的情况. 如 z f u, v , w u x v x w w( x )
dz 求 : z f [( x , x , w( x )] 的导数 . dx dz z du z dv z dw ( 4) dx u dx v dx w dx
xy
u f 1 ' f 2 ' f3' f 1 ' yf 2 ' yzf 3 ' x x x u f2' f3' f 2 ' x f 3 ' xz y y y
u f3' f 3 ' xy z z u u u du dx dy dz x y z
其中 lim 1 lim 2 0
u 0 v 0 u 0 v 0
两边同除以 x得 z z u z v u v 1 2 x u x v x x x
当x 0时, 有u 0, v 0 从而有： 1 0, 2 0
微积分讲课提纲
微积分（II） 浙江大学理学院 讲课人：朱静芬 E-mail:jfzhu@
第八章 多元函数微分学
第三节 复合函数微分法
一、复合函数的偏导数 二、复合函数的全微分
一、链式法则
与一元函数情形相类似,本节和下节将讨论多元 函数微分法。 一元函数 复合函数求导法 ;隐函数求导法; 参数方程求导法。 多元函数 复合函数求导法 ; 隐函数导求法; 参数方程求导法。
例
已知 e
xy
z z 2 z e 0 ，求 和 . x y
z
解
d (e xy 2 z e z ) 0, e xy d ( xy ) 2dz e z dz 0,
(e z 2)dz e xy ( xdy ydx )
ye xe dz z dx z dy ( e 2) ( e 2) z xe xy z ye xy z , z . y e 2 x e 2
z z u z v x u x v x u v z f u f v f f1 ' f 2 ' f 3 ' y y y u y v y y
两者的区别
把z f x , y , x , y , y 中的x看作不变而对 y的 导数
x y




2uv v 2 x cos y u 2 2uv x sin y




例
设z f x , y 可微
2
x r cos , y r sin .
1 2 2 2 求证 : z r 2 z z x z y r 解 z f x x , y z f y x , y x y x x y y cos r sin sin r cos r r z z x z y cos f x sinf y r x r y r z z x z y r sin f x r cos f y x y 1 2 2 z r 2 z [ f x cos f y sin ]2 [ f y cos f x sin ]2 r 2 2 2 2 f x f y zx z y
多元函数有各种各样的 复合关系
可将上述多元函数求偏 导公式12
（二个中变, 二个自变的情形）加以 推广. 下面给出具体几种复合 函数的求偏导公式。

z f u, v u x v x
dz 求 : z f [( x , x ]的导数 . dx
1 z 2
u
x
v
称为链式法则
y
证明： z 求 , y看作常量. x 当x变到x x , u变到u u, v变到v v
z变到z z
z f u, v 在u, v 有连续的偏导数 .
z f u u, v v f u, v z z u v 1 u 2 v u v
均有连续的偏导数 .
z z z u z v z u z v dz dx dy ( )dx ( )dy x y u x v x u y v y
z u u z v v ( dx dy ) ( dx dy ) u x y v x y
z z du dv 一阶微分形式不变性 u v
全微分形式不变形的实质： 无论 z 是自变量 x、y 的函数或中间变量u、v
的函数，它的全微分形式是一样的.
多元函数全微分的四则 运算法则： （1）d ( z1 z 2 ) dz1 dz 2 ( 2)d ( z1 z 2 ) z 2 dz1 z1dz 2 z1 z 2 dz1 z1dz 2 ( 3)d ( z 2 0) 2 z2 z2
z z x y xy xF ( u) yF ' ( u) xy yF ' ( u) x y xy z
例
解
1令v x xy xyz
u 1u f x xy xyz 求 x u u u 2u f x , xy, xyz 求 , , , du x y z
设z f u, v 通过中间变量 u x , y , v x , y 形成x , y的复合函数:
z f x , y , x , y F x , y

我们的问题是: 用f u, v , u x , y , v x , y z z u u v v z z 的偏导数, , , , , , 来计算 , . u v x y x y x y
把z f u, v , y 中 的u及v看作不变, 而对y的导数
分析给出公式的规律如 下:
1偏导公式的个数与自变 量的个数相同 . 2每个偏导公式的项数是 通向自变量途径
的数目 .
注 1画变量关系图 , 分析哪些是中变 , 哪些 是自变量
因 中 3每项结构“ , ” 与一元相同 . 中 自
z z u z v z w x u x v x w x
z z u z v z w y u y v y w y
( 5)
( 6)
z
u v w
x
y
z f u, v , y , u x , y , v x , y z z 求 : z f x , y , x , y , y 的 , x y
2遵照上面的规律求偏导 数 3分清是偏导还是导数的 记号!
例 z
1 u2 v 2 w 2
2 2 2 2
z u s t ,v s t w 2 st , 求 : s z u z v 解 3 3 2 2 2 2 2 2 2 2 u v u v w u v w
z z 2 解 2uv v u 2 2uv u v u u v v sin y x cos y cos y x sin y x y x y z z u z v x u x v x 2uv v 2 sin y u 2 2uv cos y z z u z v y u y v y
z
u v w
x
dz 以上公式中的导数 dx 称为全导数.
z f ( u, v , w ) u ( x , y ), v ( x , y ), w w( x , y ), z z 求 : z f [ ( x , y ), ( x , y ), w( x , y )]的 , . x y
u v w
s
t
例
设z e
u 2v
, u sin x , v e
x
dz 求: dx
解
z e u 2v u
z 2e u 2v v
du cos x dx
dv x e dx
z
u
v
x
dz z du z dv dx u dx v dx
e
u 2v
(cos x 2e )
z z z u z v lim x 0 x x u x v x
z z u z v 同理可证 y u y v y
例 设 z u 2v uv 2 u x sin y v x cos y , 求 z , z
x
例
y z z z xy xF ( u) u 证明 : x y z xy x x y
z ( xy ) ( xF ( u)) 证明 x x x
y y F ( u) xF ' ( u)( 2 ) x
z 1 x xF ' ( u) x F ' ( u) y x
关于这个问题 , 有以下定理
定理 设u x , y , v x , y 在点 x , y 偏导数,
z f u, v 在对应点u, v 有连续的偏导数
复合函数z f x , y , x , y 在点 x , y 偏导数
z z u z v x u x v x 且 z z u z v y u y v y