江阴市长泾中学必修一第二单元《函数》测试(包含答案解析)

一、选择题
1．我们把定义域为[)0,+∞且同时满足以下两个条件的函数()f x 称为“Ω函数”：①对任意的[)0,x ∈+∞，总有()0f x ≥；②若0x ≥，0y ≥，则有()()()f x y f x f y +≥+成立，给出下列四个结论：（1）若()f x 为“Ω函数”，则()00f =；（2）若()f x 为“Ω函数”，则()f x 在[)0,+∞上为增函数；（3）函数()0,1,x Q
g x x Q
∈⎧=⎨
∉⎩在[)0,+∞上是
“Ω函数”（Q 为有理数集）；（4）函数()2
g x x x =+在[)0,+∞上是“Ω函数”；其中正确结论的个数是（ ） A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
2．若函数()22(3)8,1
,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩
在R 上是增函数，则实数a 的取值范围是
（ ）
A ．4,⎡-⎣
B ．4⎤⎦
C ．[]3,4-
D ．⎡⎣
3．若()f x 是偶函数，其定义域为(,)-∞+∞，且在[0,)+∞上是减函数，则(1)f -与
2(22)f a a ++的大小关系是（ ）
A ． 2(1)(22)f f a a ->++
B ．2(1)(22)f f a a -<++
C ．2(1)(22)f f a a -≥++
D ． 2(1)(22)f f a a -≤++
4．定义,min(,),a a b
a b b a b ≤⎧=⎨
>⎩
，例如：min(1,2)2--=-，min(2,2)2=，若
2()f x x =，2()46g x x x =--+，则()min((),())F x f x g x =的最大值为（ ）
A ．1
B ．8
C ．9
D ．10
5．若函数y =f (x )的定义域为[]1,2，则y =f (12
log x )的定义域为（ ）
A ．[]1,4
B ．[]4,16
C ．[]1,2
D ．11,42
⎡⎤⎢⎥⎣⎦
6．已知2()2
a
f x x ax =-+在区间[0，1]上的最大值为
g (a )，则g (a )的最小值为（ ） A ．0
B ．
12
C ．1
D ．2
7．若函数
()f x =0,
，则实数m 的取值范围是
（ ） A ．()1,4
B ．()(),14,-∞⋃+∞
C ．(][)0,14,+∞
D ．[][)0,14,+∞
8．已知函数22
|1|,7,()ln ,.
x x e f x x e x e --⎧+-≤<=⎨≤≤⎩若存在实数m ，使得2
()24f m a a =-成立，则实数a 的取值范围是（ ） A ．[-1，+∞) B ．(-∞，-1]∪[3，+∞) C ．[-1，3] D ．(-∞，3] 9．设f (x )､g (x )､h (x )是定义域为R 的三个函数，对于以下两个结论:
①若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均为增函数，则f (x )､g (x )､h (x )中至少有一个增函数; ②若f (x )+g (x )､f (x )+h (x )､g (x )+h (x )均是奇函数，则f (x )､g (x )､h (x )均是奇函数， 下列判断正确的是（ ）
A ．①正确②正确
B ．①错误②错误
C ．①正确②错误
D ．①错误②正确
10．已知函数的定义域为R ，且对任意的12,x x ，且12x x ≠都有
()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣
⎦成立，若()()22
11f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，则实数m 的取值范围是（ ） A ．(1,2)- B ．[1,2]-
C ．(,1)
(2,)
-∞-+∞ D ．(,1][2,)-∞-+∞
11．已知偶函数()f x 在 [0,)+∞上是增函数，且(2)0f =，则不等式 (1)0f x +<的解集
是（ ） A ．[0,2)
B ．[]
3,1- C ．(1,3)- D ．(2,2)-
12．若函数32()21f x ax x x =+++在(1,2)上有最大值无最小值，则实数a 的取值范围为（ ） A ．3
4
a >-
B ．53
a <-
C ．5334
a -
<<- D ．53
34
a -
≤≤- 二、填空题
13．已知1()1x f x x +=
-，则135
199
(
)()()()100100100100f f f f ++++=______________
14．已知函数()f x 对于任意实数x 满足条件()()12f x f x +=-
，若()1
13
f =- ，则()2019f = _________.
15．已知实数0a ≠，函数()2,1
2,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，若()()11f a f a -=+，则a 的取值
范围是___________.
16．设奇函数()f x 的定义域为[]5,5-，若当[]0,5x ∈时，()f x 的图象如图，则不等式
()0xf x <的解集是___________.
17．如果定义在区间[3＋a ，5]上的函数f(x)为奇函数，那么a 的值为________.
18．当12x x ≠时，有1212()()
(
)22
x x f x f x f ++<，则称函数()f x 是“严格下凸函数”，下列函数是严格下凸函数的是__________． ①y x =②||y x =③2y x ④2log y x =
19．已知二次函数f （x ）＝ax 2﹣2x +1在区间[1，3]上是单调函数，那么实数a 的取值范围是_____．
20．定义：如果函数()y f x =在定义域内给定区间[],a b 上存在()00x a x b <<，满足()()0)(f b f a f x b a
-=
-，则称函数()y f x =是[],a b 上的“平均值函数”．0x 是它的一个均值
点，若函数()2
f x x mx =+是[]1,1-上的平均值函数，则实数m 的取值范围是___________．
三、解答题
21．已知二次函数()2
f x ax bx c =++.
（1）若集合(){}
{}|1
2A x f x x ===，，且()02f =. ①求函数()f x 的解析式； ②画出函数()y f x =的图象，并讨论函数y a =和函数()y f x =的图象的公共点个
数；
（2）若a =1，c =0，求函数()f x 在区间[]
22-，
上的最小值. 22．已知函数()f x 对一切x ，y 都有()()()212f x y f y x x y +-=+++成立，且()10f =．
（1）求函数()f x 的解析式；
（2）若[]1,0x ∈-，函数()()11
242
f x x
x m g x m -⎛⎫
=+
- ⎪
⎝⎭
，是否存在实数m 使得函数()g x 的最小值为
1
4
，若存在，求m 的值；若不存在的，请说明理由． 23．已知奇函数()()2?
2,1,1x
x
f x a x -=+∈-． （1）求实数a 的值；
（2）判断()f x 在()1,1-上的单调性并进行证明；
（3）若函数()f x 满足()()1120,f m f m -+-<求实数m 的取值范围． 24．已知11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤
⎪ ⎪-⎝⎭⎝
⎭.
（1）求()f x 的表达式；
（2）判断()f x 在其定义域内的单调性，并证明. 25．已知函数()()9
0f x x x x
=+
≠. （1）当()3,x ∈+∞时，判断并证明()f x 的单调性； （2）求不等式()()2
330f x
f x +≤的解集.
26．已知二次函数2()1(0)f x ax x a =++>． （1）求函数()f x 在区间[4,2]--的最大值()M a ； （2）若关于x 的方程()0f x =有两个实根1x 、2x ，且121,1010x x ⎡⎤
∈⎢⎥⎣⎦
，求实数a 的最大值．
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
利用“Ω函数”的定义依次判断即可，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”. 【详解】
解：对（1），由①得()00f ≥， 在②中令0x y ==， 即()()020f f =， 解得：()00f ≤，
()00f ∴=，故（1）正确；
对（2），当()0f x =时，满足①②，但在[)0,+∞不是增函数，故（2）错误； 对（3），当x ，y 都为正无理数时，不满足②，故（3）错误； 对（4），
()2g x x x =+，
当[)0,x ∈+∞时，min ()(0)00g x g ==≥，
即满足条件①，
222()()()()20g x y g x g y x y x y x x y y xy +--=+++----=≥，
即满足条件②，
∴函数2()g x x x =+在[0,)+∞上是“Ω函数”，故（4）正确.
故选：B. 【点睛】
关键点点睛：本题解题的关键是理解“Ω函数”的定义，必须同时满足“Ω函数”的两个条件，才是“Ω函数”.
2．B
解析：B 【分析】
函数()f x 在R 上是增函数，则在两段上分别要单调递增，且在分界点处要满足
2138a a -+--≤，从而得到答案.
【详解】
函数()22(3)8,1
,1x a x x f x ax x ⎧-+--≤=⎨>⎩
在R 上是增函数，则满足下列条件：
（1）(
)
2
2
38y x a x =-+--在(],1-∞递增，23
12
a -≥，即a ≥a ≤（2）y ax =在()1,+∞递增，则0a >
（3）当1x =时满足2138a a -+--≤，解得34a -≤≤
综上可得函数()f x 在R 上是增函数，实数a 4a ≤≤ 故选：B. 【点睛】
关键点睛：本题考查根据分段函数的单调性求参数的范围，解答本题的关键是分段函数要在定义域内单调递增，则在两段上要分别单调递增，且在分界点出满足
2138a a -+--≤，这也时容易出错的地方，属于中档题.
3．C
解析：C 【分析】
由()f x 是偶函数，可知(1)(1)f f -=，故只需比较(1)f 与2
(22)f a a ++的大小即可，而22
22(1)11a a a ++=++≥，再结合函数()f x 的单调性，即可得(1)f 与
2(22)f a a ++大小关系.
【详解】
因为()f x 是偶函数，所以(1)(1)f f -=，
又22
22(1)11a a a ++=++≥，()f x 在[0,)+∞上是减函数，
所以2(22)(1)f a a f ++≤，即2(22)(1)f a a f ++≤-. 故选：C 【点睛】
关键点点睛：本题主要考查利用函数的单调性比较大小，关键是借助函数的奇偶性，将要比较的函数值对应的自变量转化到同单调区间上，并且比较它们的大小，再利用单调性作出判断．
4．C
解析：C 【分析】
根据定义确定()F x 的解析式及单调性后可得最大值． 【详解】
由2246x x x <--+得2230x x +-<，31x -<<，
所以()22,31
46,31
x x F x x x x x ⎧-<<=⎨--+≤-≥⎩或，
所以()F x 在(,3)-∞-和(0,1)上都是增函数，在(3,0)-和(1,)+∞上都是减函数，
(3)9F -=，(1)1F =，
所以max ()9F x =． 故选：C ． 【点睛】
关键点点睛：本题考查求函数的最大值．解题关键是根据新函数定义确定新函数的解析式，单调性．结合单调性易得最值．
5．D
解析：D 【分析】
根据复合含定义域的求法，令12
1log 2x ≤≤，求函数的定义域.
【详解】
函数()y f x =的定义域为[]1,2，
1
2
log y f x ⎛
⎫
∴= ⎪⎝⎭
的定义域，令12
1log 2x ≤≤，
解得：
11
42x ≤≤ ，即函数的定义域为11,42⎡⎤⎢⎥⎣⎦
. 故选：D 【点睛】
方法点睛：一般复合函数的定义域包含以下几点：
已知函数()y f x =的定义域为D ，求()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域，即令()g x D ∈，求x 的
取值范围，就是函数()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域；
已知()y f g x ⎡⎤=⎣⎦的定义域为D ，求函数()y f x =的定义域，即求函数()g x ，x D ∈ 的值域.
6．B
解析：B 【分析】
由已知结合对称轴与区间端点的远近可判断二次函数取得最值的位置，从而可求． 【详解】
解：因为2
()2a
f x x ax =-+
的开口向上，对称轴2
a x =， ①
122
a
即1a 时，此时函数取得最大值()()112a g a f ==-，
②当
122
a >即1a >时，此时函数取得最大值()()02a
g a f ==，
故()1,12
,12
a
a g a a a ⎧-⎪⎪=⎨⎪>⎪⎩，
故当1a =时，()g a 取得最小值1
2
． 故选：B ． 【点睛】
本题主要考查了二次函数闭区间上最值的求解，体现了分类讨论思想的应用，属于中档题．
7．D
解析：D 【分析】
令t =
()0,t ∈+∞
()0,+∞，记
函数()2
2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，进而分0m =和0m ≠两种情况，分别讨论，可求出m 的取值范围. 【详解】
令t =
1
y t
=的值域为0,
，
根据反比例函数的性质，可知()0,t ∈+∞
()0,+∞， 记函数()2
2(2)1g x mx m x =+-+的值域为A ，则()0,A +∞⊆，
若0m =，则()41g x x =-+，其值域为R ，满足()0,A +∞⊆；
若0m ≠，则00m >⎧⎨∆≥⎩，即(
)2
4240m m m >⎧⎪⎨--≥⎪⎩，解得4m ≥或01m <≤. 综上所述，实数m 的取值范围是[][)0,14,+∞.
故选：D.
8．C
解析：C 【分析】
根据函数()f x 的图象，得出值域为[2-，6]，利用存在实数m ，使2
()24f m a a =-成
立，可得22246a a --，求解得答案． 【详解】
作出函数2
2
|1|,7()ln ,x x e f x x e x e
--⎧+-<=⎨⎩的图象如图： (7)6f -=，2()2f e -=-，∴值域为[2-，6]，
若存在实数m ，使得2
()24f m a a =-成立，
22246a a ∴--，解得13a -，
∴实数a 的取值范围是[1-，3]．
故选：C
【点睛】
本题考查分段函数的性质，考查函数值域的求解方法，同时考查了数形结合思想的应用，属于中档题．函数图象是函数的一种表达形式，它形象地揭示了函数的性质，为研究函数的数量关系提供了“形”的直观性．归纳起来，图象的应用常见的命题探究角度有：1、确定方程根的个数；2、求参数的取值范围；3、求不等式的解集；4、研究函数性质．
9．D
解析：D 【分析】
可举出反例判断①错误；根据奇偶性的性质可判断②正确，结合选项可得答案．
①错误，可举反例：21()31
x
x f x x x ⎧=⎨
-+>⎩，
230
()30121x x g x x x x x +⎧⎪
=-+<⎨⎪>⎩
，0()20x x h x x x -⎧=⎨>⎩，均不是增函数；
但()()f x g x +、()()f x h x +、()()g x h x +均为增函数； 故①错误； ②
()()f x g x +，()()f x h x +，()()g x h x +均是奇函数；
()()()()[()()]2()f x g x f x h x g x h x f x ∴+++-+=为奇函数；
()f x ∴为奇函数；
同理，()g x ，()h x 均是奇函数； 故②正确． 故选：D ． 【点睛】
本题考查增函数的定义，一次函数和分段函数的单调性，举反例说明命题错误的方法，以及奇函数的定义与性质，知道()f x 和()g x 均是奇函数时，()()f x g x ±也是奇函数．
10．A
解析：A 【分析】
由函数的单调性列x 的不等式求解即可. 【详解】
由()()()12120f x f x x x -->⎡⎤⎣⎦，则函数()f x 在R 上为增函数， 由(
)(
)
2
2
11f x f m m +>--对x ∈R 恒成立，
故22
min 1(1)m m x --<+，即211m m --<解得12m -<<.
故选：A. 【点睛】
本题考查函数的单调性，考查恒成立问题，是基础题
11．B
解析：B 【详解】
由()f x 在[0,)+∞上是增函数，且(2)0f = 当0x >时，()0f x <的解集[0,2]； 当
时()f x 为减函数，(2)0f -=，()0f x <的解集[2,0]-．
综上()0f x <的解集[2,2]-，
所以(1)0f x +<满足212,31x x -≤+≤∴-≤≤．
12．C
解析：C 【详解】
分析：函数()3
2
21f x ax x x =+++在()1,2上有最大值无最小值，则极大值在()1,2之
间，一阶导函数有根在()1,2，且左侧函数值小于0，右侧函数值大于0，列不等式求解 详解：f ′（x ）＝3ax 2+4x +1，x ∈（1，2）．
a ＝0时，f ′（x ）＝4x +1＞0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去． a ≠0时，△＝16﹣12a ． 由△≤0，解得4
3
a ≥，此时f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
由△＞0，解得a 43＜
（a ≠0），由f ′（x ）＝0，解得x 1=，
x 223a
-+=
．
当403
a ＜＜时，x 1＜0，x 2＜0，因此f ′（x ）≥0，函数f （x ）在x ∈（1，2）内单调递增，无极值，舍去．
当a ＜0时，x 1＞0，x 2＜0，∵函数f （x ）＝ax 3+2x 2+x +1在（1，2）上有最大值无最小值，
∴必然有f ′（x 1）＝0，∴12，a ＜0．
解得：53-＜a 34
-
＜． 综上可得：53
-＜a 34
-＜． 故选：C ．
点睛：极值转化为最值的性质：
若()[]
f x x a,b ∈在上有唯一的极小值，且无极大值，那么极小值为()f x 的最小值；
若()[]f x x a,b ∈在上有唯一的极大值，且无极小值，那么极大值为()f x 的最大值；
二、填空题
13．100【分析】分析得出得解【详解】∴故答案为：100【点睛】由函数解析式得到是定值是解题关键
解析：100 【分析】
分析得出(2)()2f x f x -+=得解.
【详解】
1()1x f x x +=
- 211
211
(2)()2f x f x x x x x -+∴-+=
++=--- ∴135199(
)()()()100100100100f f f f ++++ 1199319799101[()()][()()][()()]100100100100100100
f f f f f f =+++++
250100=⨯=
故答案为：100． 【点睛】
由函数解析式得到(2)()2f x f x -+=是定值是解题关键.
14．3【分析】根据题意求得函数的周期性得出函数的周期然后利用函数的周期和的值即可求解得到答案【详解】由题意函数对任意实数满足条件则即函数是以4为周期的周期函数又由令则即所以【点睛】本题主要考查了抽象函数
解析：3 【分析】
根据题意，求得函数的周期性，得出函数的周期，然后利用函数的周期和()1f 的值，即可求解，得到答案． 【详解】
由题意，函数()f x 对任意实数x 满足条件1
(2)()
f x f x +=-， 则()1
(4)[(2)2](2)
f x f x f x f x +=++=-
=+，
即函数()f x 是以4为周期的周期函数， 又由()1
13
f =-
，令1x =-，则1(12)(1)f f -+=--，即1(1)3(1)f f -=
=， 所以()2019(14505)(1)3f f f =-+⨯=-=． 【点睛】
本题主要考查了抽象函数的应用，以及函数的周期性的判定和函数值的求解，其中解答中根据题设条件求得函数的周期是解答本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题．
15．【分析】本题首先可讨论的情况此时然后根据函数的解析式求出和通过即可求出的值最后讨论的情况此时通过得出此时无解即可得出结果【详解】若则因为函数所以因为所以解得若则因为函数所以因为所以无解综上所述的取值
解析：32⎧⎫
⎨⎬⎩⎭
【分析】
本题首先可讨论0a >的情况，此时11a -<、11a +>，然后根据函数()f x 的解析式求出()1f a -和()1f a +，通过()()11f a f a -=+即可求出a 的值，最后讨论0a <的情况，此时11a ->、11a +<，通过()()11f a f a -=+得出此时a 无解，即可得出结果. 【详解】
若0a >，则11a -<，11a +>， 因为函数()2,1
2,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，
所以1212f a
a a a ，1121f a a a
a ，
因为()()11f a f a -=+，所以21a a ，解得32
a =
， 若0a <，则11a ->，11a +<， 因为函数()2,1
2,1
x a x f x x a x +<⎧=⎨-+≥⎩，
所以11213f a
a a a ，12123f a a a a ，
因为()()11f a f a -=+，所以1323a a ，无解，
综上所述，32a =
，a 的取值范围是32⎧⎫⎨⎬⎩⎭
, 故答案为：32⎧⎫⎨⎬⎩⎭
. 【点睛】
本题考查分段函数的相关问题的求解，在分段函数求函数值的时候，要把自变量代入到所对应的解析式中是解本题的关键，考查分类讨论思想，考查计算能力，是中档题.
16．【分析】由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在-50上的图象这样根据f （x ）在上的图象便可得出xf （x ）<0的解集【详解】奇函数图象关于原点对称作出在的图象如下：由得或由图可知或的解集为【点睛 解析：[)
(]5,22,5--
【分析】
由奇函数的图象关于原点对称便可得出f （x ）在[-5，0]上的图象，这样根据f （x ）在
[]5,5-上的图象便可得出xf （x ）<0的解集．
【详解】
奇函数图象关于原点对称，作出()f x 在[]5,5-的图象如下：
由()0xf x <得()00x f x <⎧⎨>⎩或()0
0x f x >⎧⎨<⎩
，
由图可知52x -≤<-或25x <≤，
()0xf x ∴<的解集为[)
(]5,22,5--.
【点睛】
本题考查函数奇偶性、函数图象的综合，解题关键是根据函数奇偶性作出函数图象，利用数形结合思想求解，属于中等题.
17．－8【解析】∵f(x)定义域为3＋a5且为奇函数∴3＋a ＝－5∴a ＝－8点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值进而得解(2)求参数值：在定义域关于
解析：－8 【解析】
∵f(x)定义域为[3＋a ，5]，且为奇函数， ∴3＋a ＝－5，∴a ＝－8.
点睛：利用奇偶性求值的类型及方法(1)求函数值：利用奇偶性将待求值转化到已知区间上的函数值，进而得解．(2)求参数值：在定义域关于原点对称的前提下，根据奇函数满足f(－x)＝－f(x)或偶函数满足f(－x)＝f(x)列等式，根据等式两侧对应相等确定参数的值．特别要注意的是：若能够确定奇函数的定义域中包含0，可以根据f(0)＝0列式求解，若不能确定则不可用此法．
18．③【解析】按照严格下凸函数的定义检测四个函数如①不满足严格下凸函数的定义对于②当同号时相等不满足定义；对于③作差可知对于④因为所以不正确故选③点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较属于创新题有一定难度
解析：③ 【解析】
按照严格下凸函数的定义检测四个函数，如①1212
22x x x x f ++⎛⎫=
⎪⎝⎭
，()()
1212
2
2
f x f x x x ++=
，不满足严格下凸函数的定义，对于②，12
122
2x x x x
f ++⎛⎫= ⎪
⎝⎭，()()121222
x x f x f x ++=，当1x ，2x 同号时，相等，不满足
定义；对于③2
121222x x x x f ++⎛⎫⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，
()()22121222f x f x x x ++=，作差可知()()121222f x f x x x f ++⎛⎫<
⎪⎝⎭，对于④12122l 22x x
x x f og ++⎛⎫⎛⎫
= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，()()
122122212
l l 1l 2
22
f x f x o
g x og x og x x og ++=
==，因为122x x +>不正确，故选③.
点睛：本题涉及新概念及函数大小的比较，属于创新题，有一定难度.解决此类问题时，要紧扣新给出的定义、法则、运算，然后去甄别那些符合这些要求，本题在给出严格下凸函数的定以后，要去应用定义，看看那个函数符合这一要求，解题中遇到大小比较时可以作差比较.
19．【分析】根据二次函数的性质列不等式解不等式求得的取值范围【详解】由于为二次函数所以其对称轴为要使在区间上是单调函数则需其对称轴在区间两侧即或解得或或所以的取值范围是故答案为：【点睛】本小题主要考查二
解析：()[)1,00,1,3⎛⎤
-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝⎦
【分析】
根据二次函数的性质列不等式，解不等式求得a 的取值范围. 【详解】
由于()f x 为二次函数，所以0a ≠，其对称轴为1x a
=
， 要使()f x 在区间[]1,3上是单调函数，则需其对称轴1
x a
=在区间[]1,3两侧， 即
11a
≤或1
3a ≥，
解得0a <，或1a ≥，或1
03a <≤
， 所以a 的取值范围是()[)1,00,1,3⎛⎤-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝
⎦
故答案为：()[)1,00,1,3
⎛⎤-∞⋃⋃+∞ ⎥⎝
⎦
.
【点睛】
本小题主要考查二次函数的单调性，属于中档题.
20．【分析】根据新定义可得在区间上有解利用分离变量法即可求出答案【详解】解：设∴在区间上有解即在区间上有解∵令单调递减时单调递增所以所以实数的取值范围是故答案为：【点睛】关键点点睛：此题考查了函数的新定 解析：[)0,+∞
【分析】
根据新定义可得2x mx m +=在区间()1,1-上有解，利用分离变量法即可求出答案． 【详解】
解：设11x -<<，()()()
()
1111f f f x m --=
=--，
∴2x mx m +=在区间()1,1-上有解，
即2
1x m x
=-在区间()1,1-上有解，
∵()()()()2
2
2
12112211121111x x x x x y x x x x x
-+----+====-+-----，
令()10,2x t -=∈，1
2y t t
∴=+-，
(]0,1t ∈单调递减，[)1,2t ∈时单调递增，
所以120y t t
=+-≥，
所以实数m 的取值范围是[)0,+∞. 故答案为：[)0,+∞. 【点睛】
关键点点睛：此题考查了函数的新定义题目，解题的关键是将问题转化为2x mx m +=在区间()1,1-上有解，分离参数求解，意在考查了分析能力、数学运算.
三、解答题
21．（1）①2()22f x x x =-+，②见解析；（2）2min
42,4(),44442,4
b b b
f x b b b -≥⎧⎪⎪=--<<⎨⎪+≤-⎪⎩. 【分析】
（1）①先求得2c =；{1A =，2}说明()0f x x -=两根为1，2．利用韦达定理求a ，
b ，从而可得解析式；②写成分段函数形式，再利用二次函数图象与性质求解．
（2）根据对称轴位置，分三种情况讨论，分别利用二次函数的性质求解即可． 【详解】
（1）①(0)2f =，2c ∴=
{1A =，2}，2(1)20ax b x ∴+-+=有两根为1，2．
由韦达定理得，
2
12
1
12 a
b
a
⎧
=⨯
⎪
⎪
⎨
-
⎪=+
⎪⎩
，∴
1
2
a
b
=
⎧
⎨
=-
⎩
2
()22
f x x x
∴=-+
②函数()
2
2
22,0
22,0
x x x
y f x
x x x
⎧-+≥
==⎨
-+<
⎩
，
函数()
y f x
=的图象如图，
同一坐标系内画出函数y a
=的图象，
由图可知，
当1
a<时，函数y a
=和函数()
y f x
=的图象的公共点个数为0；
当1
a=或2
a>时，函数y a
=和函数()
y f x
=的图象的公共点个数为2；当12
a
<<时，函数y a
=和函数()
y f x
=的图象的公共点个数为4；
当2
a=时，函数y a
=和函数()
y f x
=的图象的公共点个数为3；
（2）a=1，c=0，函数2
()
f x x bx
=+，
当2,4
2
b
b
-≤-≥时，()
min
()242
f x f b
=-=-；
当22,44
2
b
b
-<-<-<<时，
2
min
()
24
b b
f x f
⎛⎫
=-=-
⎪
⎝⎭
；
当2,4
2
b
b
-≥≤-时，()
min
()242
f x f b
==+；
综上，
2
min
42,4
(),44
4
42,4
b b
b
f x b
b b
-≥
⎧
⎪
⎪
=--<<
⎨
⎪
+≤-
⎪⎩
【点睛】
方法点睛：二次函数在闭区间上的最值主要有三种类型：轴定区间定、轴动区间定、轴定区间动，不论哪种类型，解决的关键是考查对称轴与区间的关系，当含有参数时，要依据对称轴与区间的关系进行分类讨论.
22．（1）()2
f x x x =+；（2）不存在，理由见解析．
【分析】
（1）令1y =，根据题设条件和()10f =，得到()()132f x x x +=++，再结合换元法，即可求得函数的解析式；
（2）由（1）得()1112442x x m g x m -⎛⎫+- ⎪⎝⎭=，令12x
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，设()()21
124
y h t t m t m ==+--，其中[]1,2t ∈，结合二次函数的图象与性质，分类讨
论，即可得到结论. 【详解】
（1）由题意，函数()f x 满足()()()212f x y f y x x y +-=+++成立， 令1y =，可得()()()1132f x f x x +-=⋅++， 因为()10f =，所以()()132f x x x +=++
令1t x =+，则1x t =-，可得()()()2
21312f t t t t t =-+-+=+ 所以函数()f x 的解析式为()2
f x x x =+.
（2）由（1），可得()2111
(1)()241124242
x x x
x x
x m m g x m m +⎛⎫=+-⋅- ⎪⎝⎭-⎛⎫
=+- ⎪⎝⎭
令12x
t ⎛⎫= ⎪⎝⎭
，因为[]1,0x ∈-，所以[]1,2t ∈，
设函数()()2
1124
y h t t m t m ==
+--，[]1,2t ∈， 由函数()y h t =的开口向上，且对称轴()21t m =--， ①当()211m --≤，即1
2
m ≥
时，函数()y h t =在区间[]1,2上单调递增， 当1t =时，函数取得最小值，最小值为()min 3
14
y h m ==--， 令31
44
m -
-=，解答1m =-，不符合题意（舍去）； ②当()212m --≥，即0m ≤时，函数()y h t =在(]
1,2单调递减， 当2t =时，函数取得最小值，最小值为()min 1
214
y h ==-≠
，无解；
③当()1212m <--<，即1
02
m <<
时， 当2(1)x m =--时，函数取得最小值，最小值为()2
min 221y h m m =-+=--， 令2
1
14
m --=
，此时方程无解， 综上可得，不存在实数m 使得()g x 的最小值14
． 【点睛】
研究二次函数的最值问题的求解方法和策略：
二次函数的最值问题常见类型：（1）轴定区间定的最值；（2）轴动区间定的最值；（3）轴定区间动的最值；
影响二次函数的闭区间上的最值的要素和求法：（1）最值与抛物线的开口方向、对称轴位置、闭区间三个要素有关；（2）常结合二次函数在该区间上的单调性或图象求解，在区间的端点或二次函数图象的顶点处取得最值.
当开口方向或对称轴位置或区间不确定时要分情况讨论求解. 23．（1）1-；（2）增函数，证明见解析；（3）2,13⎛⎫
⎪⎝⎭
. 【分析】
（1）根据奇函数()00f =得1a =-，再检验即可得答案； （2）根据单调性的定义证明即可；
（3）由奇函数性质得()()121f m f m -<-，再结合函数单调性即可得答案. 【详解】 解：()
1函数()f x 是定义在()11-，上的奇函数，
()0010f a ∴=+=，，
1a ∴=-，
此时().
22x x f x -=- 任取()()()
()112
222x
x x x x f x f x --∈--=-=--=-，，，所以()f x 是奇函数．
故1a =-.
()()2f x 在()11-，上是增函数；
证明：由()1可知()1
22x
x
f x =-
，， 任取1211x x -<<<，则
()()121
2
1211
2222x x x x f x f x ⎛
⎫⎛⎫-=--- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭
()
12121
1222
2x x x x ⎛⎫=--- ⎪⎝⎭
(
)
()
1212
121212
22122
22122
x x x x x x x x x x ++-⎛
⎫
=-+=-+ ⎪⎝⎭
， 因为121211,20x x
x x +-<<><
所以()()120f x f x -<，即()()12f x f x < ，
所以()f x 在()11-，上单调递增．
()()3f x 为奇函数，
()()f x f x ∴-=-．
由已知()f x 在()11-，上是奇函数， ()()1120f m f m ∴-+-<，
可化为()()()11221f m f m f m -<--=-，
又由()2知()f x 在()11-，上单调递增， 11211m m ∴-<-<-<．
解得213m <<．故实数m 的取值范围是213⎛⎫
⎪⎝⎭
，
【点睛】
本题考查根据奇函数性质求参数，函数单调性的证明，奇偶性与单调性解不等式，考查回归转化思想，与运算求解能力，是中档题.本题第三问解题的关键在于根据奇偶性将不等式转化为()()121f m f m -<-，进而根据单调性得11211m m -<-<-<求解. 24．（1）()1
(2)1
f x x x =≥-；（2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明见解析. 【分析】 （1）令1(2)t t x =
≥，则1
x t
=，求得()1(2)1f t t t =≥-，从而可得答案. （2）()f x 在[)2,+∞上递减，证任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，
2110x -≥>，可证明()()120f x f x -<，从而可得结论.
【详解】 （1）令1(2)t t x =≥，则1x t
= 因为11012x f x x x ⎛⎫⎛⎫=<≤
⎪ ⎪-⎝⎭⎝⎭
所以()1
11(2)11t t
f t t t =
=≥--，
所以()1
(2)1
f x x x =
≥-； （2）()f x 在[)2,+∞上递减，证明如下：
任取122x x >≥，则210x x -<，1110x ->>，2110x -≥>， 因为()()12121111
f x f x x x -=
--- ()()()()
21121111x x x x ---=-- ()()
21
12011x x x x -=
<--
所以()()12f x f x <， 则()f x 在[)2,+∞上递减. 【点睛】
方法点睛：利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取
21x x >；（2）作差()()21f x f x -；（3）判断()()21f x f x -的符号（往往先分解因
式，再判断各因式的符号），()()210f x f x -> 可得()f x 在已知区间上是增函数，
()()210f x f x -< 可得()f x 在已知区间上是减函数.
25．（1）单调递增，证明见解析；（2）{}1-. 【分析】
（1）根据函数单调性定义，判断当123x x <<时，()()120,0?f x f x -><即可； （2）法一：根据函数()()9
0f x x x x
=+≠得到()()233f x f x +解析式，解关于x 的二次型不等式即可.
法二：根据函数为奇函数，和定义域内的单调性，将()()2
330f x
f x +≤转化为解
()()2
33f x f x ≤-，分0x >，1x =-，1x <-，10x -<<讨论使得()()
2
33f x f x ≤-成立x 时的范围为其解集. 【详解】
解：（1）设123x x <<，
则()()()()121212121212
999x x x x f x f x x x x x x x --⎛⎫⎛⎫-=+-=
⎪ ⎪⎝⎝⎭+⎭ 因为12120,90x x x x -<->， 所以()()120f x f x -<， 所以()f x 在(3,)+∞上单调递增.
（2）法一：原不等式可化为2233330x x x x
+++， 即2
1120x x x x ⎛⎫⎛⎫+++- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 所以121x x
-+， 当0x >时，12x x +，不合题意，舍去； 当0x <时，只需解12x x
-+，可化为2(1)0x +，所以1x =-. 综上所述，不等式的解集为{}1-. 法二：由（1）的解答过程知()f x 在(0,3)上单调递减，在()3,+∞上单调递增， 又()f x 为奇函数，()()2330f x
f x +≤， 所以()()()2333f x f x f x ≤-=-，
当0x >时，2(3)0,(3)0f x f x >-<，与上式矛盾，故舍去；
当1x =-时，上式成立；
当1x <-时，2333x x >->，则()()233f x
f x >-，与上式矛盾，故舍去； 当10x -<<时，20333x x <<-<，则()()2
33f x f x >-，与上式矛盾，故舍去； 综上所述，不等式的解集为{}1-.
【点睛】
确定函数单调性的四种方法：
（1）定义法：利用定义判断；
（2）导数法：适用于初等函数、复合函数等可以求导的函数；
（3）图象法：由图象确定函数的单调区间需注意两点：一是单调区间必须是函数定义域的子集；二是图象不连续的单调区间要分开写，用“和”或“，”连接，不能用“∪”连接；
（4）性质法：利用函数单调性的性质，尤其是利用复合函数“同增异减”的原则时，需先确定简单函数的单调性.
26．（1）141,061
163,6a a a a ⎧-<≤⎪⎪⎨⎪->⎪⎩
；（2）14． 【分析】
（1）根据对称轴的位置讨论两种情况：113,322-
≤-->-a a
，分别根据二次函数的单调性求出最大值即可得结果；
（2）设11221,,1010⎡⎤==∈⎢⎥⎣⎦
x x t t x x ，由韦达定理可得 211(1)2=
=+++t a t t t
，利用函数的单调性可得实数a 的最大值．
【详解】
（1）对称轴12x a =-，[4,2],0∈-->x a 二次函数开口向上， ①当132-
≤-a ，即106a <≤时：()(2)41=-=-M a f a ， ②当132->-a ，即16a >时：()(4)163=-=-M a f a ， 综上所述，141,06()1163,6a a M a a a ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪->⎪⎩
． （2）由题知：方程210ax x ++=的两个根分别为1x x =、2x x =， 由韦达定理知：121x x a ⋅=
①，121x x a +=-②， 又已知121,1010⎡⎤=∈⎢⎥⎣⎦
x t x ，③ 联立1212
1x x a x tx ⎧+=-⎪⎨⎪=⎩，得121,(1)(1)--==++t x x t a t a ， 带入121x x a
⋅=知：221(1)=+⋅t t a a ， 即211(1)2==+++t a t t t ，其中1,1010⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦t ． 当1t =时，分母1
2t t
++取得最小值4，
所以a 得最大值为14
． 【点睛】 本题考查二次函数图像、对称轴、最值的基本关系，清楚一元二次方程根与系数的关系的处理，对“对勾函数”的单调性、最值的理解是解题的关键.。