广东省高考数学(理科)二轮专题突破训练：专题三+三角

第1讲 三角函数的图象与性质
考情解读 1.以图象为载体，考查三角函数的最值、单调性、对称性、周期性.2.考查三角函数式的化简、三角函数的图象和性质、角的求值，重点考查分析、处理问题的能力，是高考的必考点．
1．三角函数定义、同角关系与诱导公式
(1)定义：设α是一个任意角，它的终边与单位圆交于点P (x ，y )，则sin α＝y ，cos α＝x ， tan α＝y
x .各象限角的三角函数值的符号：一全正，二正弦，三正切，四余弦．
(2)同角关系：sin 2α＋cos 2α＝1，sin α
cos α
＝tan α.
(3)诱导公式：在k π
2＋α，k ∈Z 的诱导公式中“奇变偶不变，符号看象限”．
2．三角函数的图象及常用性质
3.三角函数的两种常见变换 (1)y ＝sin x ―————————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移|φ|个单位
y ＝sin(x ＋φ)
y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．
(2)y ＝sin x
y ＝sin ωx ―———————―→向左(φ>0)或向右(φ<0)
平移|φω
|个单位
y ＝sin(ωx ＋φ)―———————―→纵坐标变为原来的A 倍
横坐标不变 y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)．
热点一 三角函数的概念、诱导公式及同角三角函数的基本关系
例1 (1)点P 从(1,0)出发，沿单位圆x 2＋y 2＝1逆时针方向运动2π
3弧长到达Q 点，则Q 点的
坐标为( ) A ．(－12，3
2)
B ．(－32，－1
2) C ．(－12，－32
)
D ．(－
32，12
) (2)已知角α的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边上一点P (－4,3)，则cos (π
2
＋α)sin (－π－α)
cos (11π2－α)sin (9π2
＋α)
的值为________．
思维启迪 (1)准确把握三角函数的定义．(2)利用三角函数定义和诱导公式． 答案 (1)A (2)－34
解析 (1)设Q 点的坐标为(x ，y )，
则x ＝cos 2π3＝－12，y ＝sin 2π3＝3
2.
∴Q 点的坐标为(－12，3
2)．
(2)原式＝－sin α·sin α
－sin α·cos α＝tan α.
根据三角函数的定义， 得tan α＝y x ＝－3
4，
∴原式＝－3
4
.
思维升华 (1)涉及与圆及角有关的函数建模问题(如钟表、摩天轮、水车等)，常常借助三角函数的定义求解．应用定义时，注意三角函数值仅与终边位置有关，与终边上点的位置无关． (2)应用诱导公式时要弄清三角函数在各个象限内的符号；利用同角三角函数的关系化简过程要遵循一定的原则，如切化弦、化异为同、化高为低、化繁为简等．
(1)如图，以Ox 为始边作角α(0<α<π)，终边与单位圆相交于点P ，已知点P 的坐标为
⎝⎛⎭⎫－35，45，则sin 2α＋cos 2α＋11＋tan α
＝________. (2)已知点P ⎝⎛⎭⎫sin 3π4，cos 3π
4落在角θ的终边上，且θ∈[0,2π)，则θ的值为( ) A.π4 B.3π4 C.5π4 D.7π
4 答案 (1)18
25
(2)D
解析 (1)由三角函数定义， 得cos α＝－35，sin α＝4
5
，
∴原式＝2sin αcos α＋2cos 2α1＋
sin αcos α
＝2cos α(sin α＋cos α)
sin α＋cos αcos α
＝2cos 2α＝2×⎝⎛⎭⎫－352＝1825. (2)tan θ＝cos 34πsin 34π＝－cos
π4
sin
π4
＝－1，
又sin
3π4>0，cos 3π
4
<0， 所以θ为第四象限角且θ∈[0,2π)，所以θ＝7π
4.
热点二 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的图象及解析式
例2 (1)函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2)的部分图象如图所示，则将y ＝f (x )的图象
向右平移π
6
个单位后，得到的图象解析式为( )
A ．y ＝sin 2x
B ．y ＝cos 2x
C ．y ＝sin(2x ＋2π
3
)
D ．y ＝sin(2x －π
6
)
(2)若函数y ＝cos 2x ＋3sin 2x ＋a 在[0，π
2]上有两个不同的零点，则实数a 的取值范围为
________．
思维启迪 (1)先根据图象确定函数f (x )的解析式，再将得到的f (x )中的“x ”换成“x －π
6”即
可．
(2)将零点个数转换成函数图象的交点个数． 答案 (1)D (2)(－2，－1]
解析 (1)由图知，A ＝1，3T 4＝11π12－π6，故T ＝π＝2π
ω，
所以ω＝2，又函数图象过点(π
6，1)，代入解析式中，
得sin(π3＋φ)＝1，又|φ|<π2，故φ＝π6.
则f (x )＝sin(2x ＋π6)向右平移π
6
后，
得到y ＝sin[2(x －π6)＋π6)＝sin(2x －π
6)，选D.
(2)由题意可知y ＝2sin(2x ＋π
6
)＋a ，
该函数在[0，π2]上有两个不同的零点，即y ＝－a ，y ＝2sin(2x ＋π6)在[0，π
2]上有两个不同的交
点．
结合函数的图象可知1≤－a <2，所以－2<a ≤－1.
思维升华 (1)已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图中的最高点、最低点或特殊点求A ；由函数的周期确定ω；确定φ常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置．
(2)在图象变换过程中务必分清是先相位变换，还是先周期变换．变换只是相对于其中的自变量x 而言的，如果x 的系数不是1，就要把这个系数提取后再确定变换的单位长度和方向． (1)如图，函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(其中A >0，ω>0，|φ|≤π
2)与坐标轴的三个交点P 、Q 、R 满
足P (2,0)，∠PQR ＝π
4
，M 为QR 的中点，PM ＝25，则A 的值为( )
A.8
3 3 B.163 3 C ．8
D ．16
(2)若将函数y ＝tan(ωx ＋π4)(ω>0)的图象向右平移π6个单位长度后，与函数y ＝tan(ωx ＋π
6)的图
象重合，则ω的最小正值为( ) A.1
6 B.14 C.13
D.12
答案 (1)B (2)D
解析 (1)由题意设Q (a,0)，R (0，－a )(a >0)．
则M (a 2，－a
2)，由两点间距离公式得，
PM ＝
(2－a 2)2＋(a 2)2＝25，解得a ＝8，由此得，T 2＝8－2＝6，即T ＝12，故ω＝π
6
，
由P (2,0)得φ＝－π
3，代入f (x )＝A sin(ωx ＋φ)得，
f (x )＝A sin(π6x －π
3)，
从而f (0)＝A sin(－π
3)＝－8，
得A ＝163
3.
(2)y ＝tan(ωx ＋π4)的图象向右平移π6，得到y ＝tan(ωx ＋π4－ωπ6)的图象，与y ＝tan(ωx ＋π
6)重合，
得π4－ωπ6＝k π＋π6，故ω＝－6k ＋1
2，k ∈Z ， ∴ω的最小正值为12.
热点三 三角函数的性质
例3 设函数f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a (a ∈R )． (1)求函数f (x )的最小正周期和单调递增区间；
(2)当x ∈[0，π
6]时，f (x )的最大值为2，求a 的值，并求出y ＝f (x )(x ∈R )的对称轴方程．
思维启迪 先化简函数解析式，然后研究函数性质(可结合函数简图)． 解 (1)f (x )＝2cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝1＋cos 2x ＋sin 2x ＋a ＝2sin(2x ＋π
4)＋1＋a ，
则f (x )的最小正周期T ＝2π
2
＝π，
且当2k π－π2≤2x ＋π4≤2k π＋π2(k ∈Z )时f (x )单调递增，即k π－38π≤x ≤k π＋π
8(k ∈Z )．
所以[k π－3π8，k π＋π
8](k ∈Z )为f (x )的单调递增区间．
(2)当x ∈[0，π6]时⇒π4≤2x ＋π4≤7π
12，
当2x ＋π4＝π2，即x ＝π8时sin(2x ＋π
4)＝1.
所以f (x )max ＝2＋1＋a ＝2⇒a ＝1－ 2. 由2x ＋π4＝k π＋π2得x ＝k π2＋π
8
(k ∈Z )，
故y ＝f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋π
8
，k ∈Z .
思维升华 函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的性质及应用的求解思路
第一步：先借助三角恒等变换及相应三角函数公式把待求函数化成y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式；
第二步：把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题．
已知函数f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx －3(ω>0)的最小正周期为π. (1)求函数f (x )的单调增区间；
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到函数y ＝g (x )的
图象；若y ＝g (x )在[0，b ](b >0)上至少含有10个零点，求b 的最小值． 解 (1)由题意得：f (x )＝2sin ωx cos ωx ＋23sin 2ωx － 3 ＝sin 2ωx －3cos 2ωx ＝2sin(2ωx －π
3)，
由周期为π，得ω＝1，得f (x )＝2sin(2x －π
3
)，
函数的单调增区间为2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π
2，k ∈Z ，
整理得k π－π12≤x ≤k π＋5π
12
，k ∈Z ，
所以函数f (x )的单调增区间是[k π－π12，k π＋5π
12
]，k ∈Z .
(2)将函数f (x )的图象向左平移π
6个单位长度，再向上平移1个单位长度，得到y ＝2sin 2x ＋1
的图象，
所以g (x )＝2sin 2x ＋1，
令g (x )＝0，得x ＝k π＋7π12或x ＝k π＋11π
12(k ∈Z )，
所以在[0，π]上恰好有两个零点，
若y ＝g (x )在[0，b ]上有10个零点，则b 不小于第10个零点的横坐标即可，即b 的最小值为4π＋11π12＝59π
12
.
1．求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(或y ＝A cos(ωx ＋φ)，或y ＝A tan(ωx ＋φ))的单调区间 (1)将ω化为正．
(2)将ωx ＋φ看成一个整体，由三角函数的单调性求解． 2．已知函数y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B (A >0，ω>0)的图象求解析式 (1)A ＝y max －y min
2，
B ＝y max ＋y min 2
.
(2)由函数的周期T 求ω，ω＝2π
T
.
(3)利用与“五点法”中相对应的特殊点求φ.
3．函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的对称轴一定经过图象的最高点或最低点． 4．求三角函数式最值的方法
(1)将三角函数式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的形式，进而结合三角函数的性质求解． (2)将三角函数式化为关于sin x ，cos x 的二次函数的形式，进而借助二次函数的性质求解． 5．特别提醒
进行三角函数的图象变换时，要注意无论进行什么样的变换都是变换变量本身．
真题感悟
1．(2014·辽宁)将函数y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π
2个单位长度，所得图象对应的函数
( )
A ．在区间[π12，7π
12]上单调递减
B ．在区间[π12，7π
12]上单调递增
C ．在区间[－π6，π
3]上单调递减
D ．在区间[－π6，π
3]上单调递增
答案 B
解析 y ＝3sin(2x ＋π3)的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝3sin[2(x －π2)＋π3]＝3sin(2x －2
3π)．
令2k π－π2≤2x －23π≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π＋π12≤x ≤k π＋712π，k ∈Z ，则y ＝3sin(2x －2
3π)的增
区间为[k π＋π12，k π＋7
12
π]，k ∈Z .
令k ＝0得其中一个增区间为[π12，7
12π]，故B 正确．
画出y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π
3]上的简图，如图，
可知y ＝3sin(2x －23π)在[－π6，π
3]上不具有单调性，
故C ，D 错误．
2．(2014·北京)设函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ是常数，A >0，ω>0)．若f (x )在区间⎣⎡⎦⎤
π6，π2上具有单调性，且f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3＝－f ⎝⎛⎭⎫π6，则f (x )的最小正周期为________． 答案 π
解析 ∵f (x )在⎣⎡⎦⎤π6，π2上具有单调性， ∴T 2≥π2－π6， ∴T ≥2π3.
∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝f ⎝⎛⎭⎫2π3，
∴f (x )的一条对称轴为x ＝π2＋
2π
32＝7π
12.
又∵f ⎝⎛⎭⎫π2＝－f ⎝⎛⎭
⎫π6， ∴f (x )的一个对称中心的横坐标为π2＋π
62＝π
3.
∴14T ＝7π12－π3＝π
4，∴T ＝π. 押题精练
1．函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)(ω>0)的部分图象如图，其中M (m,0)，N (n,2)，P (π，0)，且mn <0，则f (x )在下列哪个区间中是单调的(
)
A ．(0，π4)
B ．(π4，2π3)
C ．(π2，3π4)
D ．(2π
3
，π)
答案
B
解析 ∵mn <0，所以当左右移动图象，当图象过原点时，即M 点在原点时，此时T ＝π，则ω＝2，∴f (x )＝2sin(2x )，在(π4，3π4)上为减函数，(0，π
4)上为增函数；当图象的最高点在y 轴
上时，即N 点在y 轴上，34T ＝π，ω＝32，∴f (x )＝2sin(32x )，在(0，2π3)上是减函数，(2π
3，π)上
为增函数．所以f (x )在(π4，2π
3)上是单调的．
2．已知函数f (x )＝sin ωx ·cos ωx ＋3cos 2ωx －3
2
(ω>0)，直线x ＝x 1，x ＝x 2是y ＝f (x )图象的任意两条对称轴，且|x 1－x 2|的最小值为π4.
(1)求f (x )的表达式；
(2)将函数f (x )的图象向右平移π
8个单位长度后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的
2倍，纵坐标不变，得到函数y ＝g (x )的图象，若关于x 的方程g (x )＋k ＝0在区间[0，π
2]上有
且只有一个实数解，求实数k 的取值范围． 解 (1)f (x )＝12sin 2ωx ＋3×1＋cos 2ωx 2－3
2
＝12sin 2ωx ＋32cos 2ωx ＝sin(2ωx ＋π
3)， 由题意知，最小正周期T ＝2×π4＝π2
，
T ＝2π2ω＝πω＝π
2
，所以ω＝2，∴f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫4x ＋π3. (2)将f (x )的图象向右平移π8个单位长度后，得到y ＝sin(4x －π
6)的图象，
再将所得图象所有点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变， 得到y ＝sin(2x －π
6)的图象．
所以g (x )＝sin(2x －π
6
)．
令2x －π6＝t ，∵0≤x ≤π2，∴－π6≤t ≤5π
6.
g (x )＋k ＝0在区间[0，π
2
]上有且只有一个实数解，
即函数g (t )＝sin t 与y ＝－k 在区间[－π6，5π
6
]上有且只有一个交点．如图，
由正弦函数的图象可知－12≤－k <1
2或－k ＝1.
∴－12<k ≤1
2
或k ＝－1.
(推荐时间：50分钟)
一、选择题
1．如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针针尖位置P (x ，y )．若初始位置为P 0⎝⎛
⎭
⎫
32，12，当秒针从P 0(此时t ＝0)正常开始走时，那么点P 的纵坐标y
与时间t 的函数关系为( ) A ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫π30t ＋π6 B ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π60t －π6 C ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t ＋π6 D ．y ＝sin ⎝⎛⎭⎫－π30t －π3 答案 C
解析 由三角函数的定义可知，初始位置点P 0的弧度为π6，由于秒针每秒转过的弧度为－π
30，
针尖位置P 到坐标原点的距离为1，故点P 的纵坐标y 与时间t 的函数关系可能为y ＝sin ⎝⎛⎭
⎫－π30t ＋π
6. 2．将函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π
2个单位长度，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到
原来的1
2倍(纵坐标不变)，得到的函数解析式为( )
A ．y ＝cos 2x
B ．y ＝－2cos x
C ．y ＝－2sin 4x
D ．y ＝－2cos 4x
答案 D
解析 函数y ＝2cos 2x 的图象向右平移π2个单位长度得到y ＝2cos 2(x －π
2)＝2cos(2x －π)＝
2cos(π－2x )＝－2cos 2x ，再将所得图象的所有点的横坐标缩短到原来的1
2
倍(纵坐标不变)，得
到y ＝－2cos [2·(2x )]，即y ＝－2cos 4x .
3．函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0且|φ|<π2)在区间[π6，2π
3]上单调递减，且函数值从1减小到－1，那
么此函数图象与y 轴交点的纵坐标为( ) A.1
2 B.22 C.32
D.6＋2
4
答案 A
解析 依题意知T 2＝2π3－π6，∴T ＝π＝2πω，∴ω＝2，将点(π6，1)代入y ＝sin(2x ＋φ)得sin(π
3＋φ)
＝1，又|φ|<π2，φ＝π6，故y ＝sin(2x ＋π6)，与y 轴交点纵坐标为1
2
.
4．若函数y ＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π
2)在一个周期内的图象如图所示，
M ，N 分别是这段图象的最高点与最低点，且OM →·ON →
＝0，则A ·ω等于( ) A.π6 B.7π12 C.7π6 D.7π3 答案 C
解析 由题中图象知T 4＝π3－π12，
所以T ＝π，所以ω＝2. 则M ⎝⎛⎭⎫π12，A ，N ⎝⎛⎭⎫7π
12，－A 由OM →·ON →
＝0，得7π2122＝A 2，
所以A ＝
7π12，所以A ·ω＝7π6
. 5．已知函数f (x )＝sin(2x ＋φ)，其中|φ|<π，若f (x )≤|f (π6)|对x ∈R 恒成立，且f (π
2)<f (π)，则下列
结论正确的是( ) A ．f (11
12π)＝－1
B ．f (7π10)>f (π5)
C ．f (x )是奇函数
D ．f (x )的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π
6](k ∈Z )
答案 D
解析 由f (x )≤|f (π6)|恒成立知x ＝π6是函数的对称轴，即2×π6＋φ＝π2＋k π，k ∈Z ，所以φ＝π
6＋
k π，k ∈Z ，又f (π2)<f (π)，所以sin(π＋φ)<sin(2π＋φ)，即－sin φ<sin φ.所以sin φ>0，得φ＝π
6，
即f (x )＝sin(2x ＋π
6
)，
由－π2＋2k π≤2x ＋π6≤π
2＋2k π，k ∈Z ，
得－π3＋k π≤x ≤π
6
＋k π，k ∈Z ，
即函数的单调递增区间是[k π－π3，k π＋π
6
](k ∈Z )．
6．已知A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π
2)一个周期内的图象上的五个点，
如图所示，A (－π
6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称
中心，B 与D 关于点E 对称，CD →
在x 轴上的投影为π12
，则ω，φ的值为( )
A ．ω＝2，φ＝π
3
B ．ω＝2，φ＝π
6
C ．ω＝12，φ＝π
3
D ．ω＝12，φ＝π
6
答案 A
解析 因为A ，B ，C ，D ，E 是函数y ＝sin(ωx ＋φ)(ω>0,0<φ<π
2)一个周期内的图象上的五个点，
A (－π
6，0)，B 为y 轴上的点，C 为图象上的最低点，E 为该函数图象的一个对称中心，B 与
D 关于点
E 对称，CD →
在x 轴上的投影为π12，所以T ＝4×(π12＋π6)＝π，所以ω＝2，
因为A (－π6，0)，所以f (－π6)＝sin(－π3＋φ)＝0,0<φ<π2，φ＝π
3.
二、填空题
7．(2014·安徽)若将函数f (x )＝sin(2x ＋π
4)的图象向右平移φ个单位，所得图象关于y 轴对称，
则φ的最小正值是________． 答案
3π8
解析 ∵函数f (x )＝sin(2x ＋π4)的图象向右平移φ个单位得到g (x )＝sin[2(x －φ)＋π4]＝sin(2x ＋
π
4－2φ)，
又∵g (x )是偶函数，∴π4－2φ＝k π＋π
2(k ∈Z )．
∴φ＝－k π2－π
8
(k ∈Z )．
当k ＝－1时，φ取得最小正值3π
8
.
8．函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图所示，若x 1，x 2∈(－π6，π
3)，且
f (x 1)＝f (x 2)，则f (x 1＋x 2)＝________.
答案
3
2
解析 观察图象可知，A ＝1，T ＝π，∴ω＝2， f (x )＝sin(2x ＋φ)．
将(－π6，0)代入上式得sin(－π3＋φ)＝0，由已知得φ＝π3，故f (x )＝sin(2x ＋π3)．
函数图象的对称轴为x ＝－π6＋
π
32＝π
12.
又x 1，x 2∈(－π6，π
3
)，且f (x 1)＝f (x 2)，
∴f (x 1＋x 2)＝f (2×π12)＝f (π6)＝sin(2×π6＋π3)＝3
2
.
9．已知函数f (x )＝3sin(ωx －π
6)(ω>0)和g (x )＝3cos(2x ＋φ)的图象的对称中心完全相同，若
x ∈[0，π
2]，则f (x )的取值范围是________．
答案 [－3
2
，3]
解析 由两三角函数图象的对称中心完全相同，可知两函数的周期相同，故ω＝2，所以f (x )＝3sin(2x －π6)，那么当x ∈[0，π2]时，－π6≤2x －π6≤5π
6，
所以－12≤sin(2x －π6)≤1，故f (x )∈[－3
2
，3]．
10．给出命题：①函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π
6＋x )(x ∈R )的最小值等于－1；②函数y ＝
sin πx cos πx 是最小正周期为2的奇函数；③函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π
2]上单调递增的；
④若sin 2α<0，cos α－sin α<0，则α一定为第二象限角．则真命题的序号是________． 答案 ①④
解析 对于①，函数y ＝2sin(π3－x )－cos(π
6＋x )
＝sin(π
3
－x )，所以其最小值为－1；
对于②，函数y ＝sin πx cos πx ＝1
2sin 2πx 是奇函数，但其最小正周期为1；
对于③，函数y ＝sin(x ＋π4)在区间[0，π4]上单调递增，在区间[π4，π
2
]上单调递减；
对于④，由⎩⎨⎧
sin 2α<0
cos α－sin α<0
⇒cos α<0，sin α>0，所以α一定为第二象限角．
三、解答题
11．已知函数f (x )＝A sin(3x ＋φ)(A >0，x ∈(－∞，＋∞)，0<φ<π)在x ＝π
12时取得最大值4.
(1)求f (x )的最小正周期； (2)求f (x )的解析式；
(3)若f (23α＋π12)＝12
5，求sin α.
解 (1)f (x )的最小正周期T ＝
2π
3
. (2)由函数的最大值为4，可得A ＝4. 所以f (x )＝4sin(3x ＋φ)．
当x ＝π12时，4sin(3×π
12＋φ)＝4，
所以sin(π
4＋φ)＝1，
所以φ＝2k π＋π
4，k ∈Z ，
因为0<φ<π，所以φ＝π
4
.
所以f (x )的解析式是f (x )＝4sin(3x ＋π
4)．
(3)因为f (23α＋π12)＝12
5
，
故sin(2α＋π4＋π4)＝3
5
.
所以cos 2α＝35，即1－2sin 2α＝3
5，
故sin 2α＝15.所以sin α＝±5
5
.
12．已知函数f (x )＝sin 2x ＋23sin x cos x ＋3cos 2x ，x ∈R .求： (1)函数f (x )的最小正周期和单调递增区间； (2)函数f (x )在区间[－π6，π
3]上的值域．
解 (1)由二倍角的正、余弦公式及其变形，得 f (x )＝1－cos 2x 2＋3sin 2x ＋3(1＋cos 2x )2
＝2＋3sin 2x ＋cos 2x ＝2＋2(
32sin 2x ＋1
2
cos 2x ) ＝2sin(2x ＋π
6
)＋2.
∴函数f (x )的最小正周期T ＝
2π
2
＝π， ∵－π2＋2k π≤2x ＋π6≤2k π＋π
2
，k ∈Z ，
即k π－π3≤x ≤k π＋π
6，k ∈Z 时f (x )为单调递增函数，
∴f (x )的单调递增区间为[k π－π3，k π＋π
6]，k ∈Z .
(2)由题意得－π6≤x ≤π
3，
∴2x ＋π6∈[－π6，5π
6]，
∴sin(2x ＋π6)∈[－1
2，1]，
即1≤2sin(2x ＋π
6
)＋2≤4，
∴f (x )区间[－π6，π
3
]上的值域为[1,4]．。