专题07 角的平分线性质(专题测试)(解析版)

专题07 角的平分线性质
专题测试
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（共12小题，每题4分，共计48分）
1．（2018春 榆林市期末）如图，AD 是ABC V 的角平分线，DF AB ⊥，垂足为F ，DE DG =，ADG V 和AED V 的面积分别为60和35，则EDF V 的面积为( )
A.25
B.5.5
C.7.5
D.12.5
【答案】D
【详解】
如图，过点D 作DH AC ⊥于H ，
AD Q 是ABC V
的角平分线，DF AB ⊥， DF DH ∴=，
在Rt ADF V 和Rt ADH V 中，AD AD DF DH
=⎧⎨=⎩， Rt ADF V ∴≌()Rt ADH HL V ，
Rt ADF Rt ADH S S ∴=V V ，
在Rt DEF V 和Rt DGH V 中，DE DG DF DH =⎧⎨=⎩
Rt DEF ∴V ≌()Rt DGH HL V ，
Rt DEF Rt DGH S S ∴=V V ，
ADG QV 和AED V 的面积分别为60和35，
Rt DEF Rt DGH 35S 60S ∴+=-V V ，
Rt DEF S ∴V =12.5，
故选D ．
【名师点睛】
本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，全等三角形的判定与性质，熟记掌握相关性质、正确添加辅助线构造出全等三角形是解题的关键．
2．（2018春 天津市期中）如图，△ABC 的三边AB ，BC ，CA 长分别是20，30，40，其三条角平分线将△ABC 分为三个三角形，则S △ABO ：S △BCO ：S △CAO 等于（ ）
A ．1：1：1
B ．1：2：3
C ．2：3：4
D ．3：4：5
【答案】C
【详解】 本题主要考查三角形的角平分线。

三角形三条角平分线的交点为三角形的内心，即本题中O 点为△ABC 的内心，则O 点到△ABC 三边的距离相等，设距离为r ，有S △ABO = 12×AB×r，S △BCO = 12×BC×r，S △CAO = 12
×CA×r，所以S △ABO :S △BCO :S △CAO =AB:BC:CA=20:30:40=2:3:4.
故答案选C.
【名师点睛】
本题考查的知识点是三角形的角平分线中线和高，解题的关键是熟练的掌握三角形的角平分线中线和高.
3．（2017春 商丘市期中）如图，△ABC 中，AD 为△ABC 的角平分线，BE 为△ABC 的高，∠C=70°，∠ABC=48°，那么∠3是（ ）
A ．59°
B ．60°
C ．56°
D ．22°
【答案】A
【详解】 在△ABC 中，∠C =70°,∠ABC =48°，则∠CAB =62°，
又AD 为△ABC 的角平分线，
∠1=∠2=62°÷2=31°
又在△AEF 中，BE 为△ABC 的高
∴∠EFA =90°−∠1=59°∴∠3=∠EFA =59°
4．（2018出 南阳市期末）如图，∠AOB 是平角，∠AOC=50°，∠BOD =60°，OM 平分∠BOD ，ON 平分∠AOC ，则∠MON 的度数是（ ）
A.135°
B.155°
C.125°
D.145°
【答案】C
【详解】 解：∵∠AOC+∠COD+∠BOD=180°，
∴∠COD=180°-∠AOC-∠COD=70°，
∵OM 、ON 分别是∠AOC 、∠BOD 的平分线，
∴∠MOC=12∠AOC=25°，∠DON=12∠BOD=30°，
∴∠MON=∠MOC+∠COD+∠DON=125°，
故选：C ．
【名师点睛】
本题考查角度计算，解题的关键是熟练利用角分线的性质，本题属于基础题型．
5．（2018春 徐州市期末）如图,在Rt △ABC 中,∠C=90°,∠A=30°,BD 是∠ABC 的平分线,AD=20,则BC 的长是 ( )
A.20 C.30 D.10 【答案】D
【详解】
在Rt △ABC 中 由于∠A=30°,因此∠ABC=60°；
因为BD 是∠ABC 的角平分中线,所以∠ABD=∠DBC=30°,
因此三角形ADB 为等腰三角形,BD=AD=20
在直角三角形DCB 中,DC=
12
BD 根据勾股定理,BD²=DC²+BC²=(12BD)²+BC²,
所以BC=10
故选：D
【名师点睛】
本题考核知识点：角平分线、等腰三角形、直角三角形.解题关键点：熟记直角三角形性质、等腰三角形性质.
6．（2018春 信阳市期末）如图，在▱ABCD 中，已知AD 15cm =，AB 10cm =，AE 平分BAD ∠交BC 于点E ，则CE 长是( )
A.8cm
B.5cm
C.9cm
D.4cm
【答案】B
【详解】
解：Q四边形ABCD是平行四边形，
AD BC，
∴==，//
AD BC cm
15
∠交BC于点E，
AE
Q平分BAD
∴∠=∠，
DAE EAB
Q，
//
AD BC
∴∠=∠，
DAE AEB
∴∠=∠，
EAB AEB
∴==，
10
AB BE cm
()
∴=-=-=．
EC BC BE cm
15105
故选：B．
【名师点睛】
=是解题关键．
此题主要考查了平行四边形的性质以及角平分线的定义，正确得出AB BE
7．（2018春商丘市期末）如图，已知点O在直线AB上，∠COE=90°，OD平分∠AOE，∠COD=25°，则∠BOD的度数为（）
A．100° B．115° C．65° D．130°
【答案】B
【解析】
∵∠COE=90°，∠COD=25°，
∴∠DOE=90°﹣25°=65°，
∵OD平分∠AOE，
∴∠AOD=∠DOE=65°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=115°，
故选：B．
8．（2018春芜湖市期末）如图，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，过F作DE∥BC，交AB 于点D，交AC于点E．若BD=4，DE=7，则线段EC的长为（）
A.3
B.4
C.3.5
D.2
【答案】A
【详解】
∵∠ABC和∠ACB的平分线相交于点F，
∴∠DBF=∠FBC，∠ECF=∠BCF，
∵DF∥BC，交AB于点D，交AC于点E．
∴∠DFB=∠DBF，∠CFE=∠BCF，
∴BD=DF=4，FE=CE，
∴CE=DE-DF=7-4=3．
故选A．
【名师点睛】
此题主要考查学生对等腰三角形的判定与性质平行线段性质的理解和掌握，关键利用两直线平行内错角相等．
9．（2018春石家庄市期末）如图，直线AB、CD相交于点O，OE平分∠AOD，若∠BOC＝70°，则∠COE的度数是（）
A．110°B．120°C．135°D．145°
【答案】D
【详解】
∵∠BOC＝70°，
∴∠AOD＝∠BOC＝70°．
∴∠AOC＝180°﹣70°＝110°，
∵OE平分∠AOD，
∴∠AOE＝1
2
∠AOD＝
1
2
×70°＝35°．
∴∠COE＝∠AOC+∠AOE＝110°+35°＝145°，
故选：D．
【名师点睛】
此题考查角的计算，角的平分线是中考命题的热点，常与其他几何知识综合考查．
10．（2018春西安市期末）如图，AB∥CD，BC平分∠ABD，∠1=50°，则∠2的度数是（）
A．50o B．60o C．70o D．80o
【答案】D
【详解】
∵AB∥CD
∴∠ABC=∠1=50°，∠ABD+∠BDC=180°，
∵BC平分∠ABD，
∴∠ABD=2∠ABC=100°，
∴∠BDC=180°-∠ABD=80°，
∴∠2=∠BDC=80°．
故选：D．
【名师点睛】
本题考查的是平行，熟练掌握平行的性质和角平分线的性质是解题的关键.
11．（2018春恩施市期末）长方形如图折叠，D点折叠到D′的位置，已知∠D′FC＝40°，则∠EFC＝（）
A.120°
B.110°
C.105°
D.115°
【答案】B
【详解】
根据翻折不变性得出，∠DFE=∠EFD′，
∵∠D′FC=40°，∠DFE+∠EFD′+∠D′FC=180°，
∴2∠EFD′=180°-40°=140°，
∴∠EFD′=70°，
∴∠EFC=∠EFD′+∠D′FC=70°+40°=110°．
故选：B．
【名师点睛】
此题考查了角的计算和翻折变化，掌握长方形的性质和翻折不变性是解题的关键．
12．（2019春周口市期末）已知∠BOC＝60°，OF平分∠BOC.若AO⊥BO，OE平分∠AOC，则∠EOF的度数是( )
A．45°
B．15°
C．30°或60°
D．45°或15°
【答案】A
【详解】
如图1，
由AO⊥BO，得∠AOB＝90°，
由角的和差，得∠AOC＝∠AOB＋∠BOC＝150°，
∵OE平分∠AOC，OF平分∠BOC，
∴∠COE＝1
2
∠AOC＝
1
2
×150°＝75°，∠COF＝
1
2
∠BOC＝
1
2
×60°＝30°，
由角的和差，得∠EOF＝∠COE－∠COF＝75°－30°＝45°；如图2，
由AO ⊥BO ，得∠AOB ＝90°，
由角的和差，得∠AOC ＝∠AOB －∠BOC ＝30°，
∵OE 平分∠AOC ，OF 平分∠BOC ，
∴∠COE ＝12∠AOC ＝12×30°＝15°，∠COF ＝12∠BOC ＝12
×60°＝30°， 由角的和差，得∠EOF ＝∠COE ＋∠COF ＝15°＋30°＝45°，
故选A.
【名师点睛】
本题考查了垂线，利用了垂线的定义，角平分线的定义，角的和差，正确地进行分类讨论、准确画出图形是解题的关键.
二、填空题（共5小题，每小题4分，共计20分）
13．（2018春 常州市期中）如图，在△ABC 中，AF 平分∠BAC ，AC 的垂直平分线交BC 于点E ，∠B=70°，∠FAE=19°，则∠C=______度．
【答案】24
【详解】
∵DE 是AC 的垂直平分线,
∴EA=EC ，
∠EAC=∠C,
∴∠FAC=∠FAE+∠EAC=19°+∠EAC ，
∵AF 平分∠BAC ，
∴∠FAB=∠FAC.
在△ABC中,∠B+∠C+∠BAC=180°所以70°+∠C+2∠FAC=180°，
∴70°+∠EAC+2×(19°+∠EAC)=180° ，
∴∠C=∠EAC=24°，
故本题正确答案为24.
【名师点睛】
本题主要考查角平分线和垂直平分线的性质、三角形内角和等于180度的应用、角的概念及其计算. 14．（2016春西安市期末）如图，AE是△ABC的角平分线，AD⊥BC于点D，若∠BAC=130°，∠C=30°，则∠DAE的度数是__________.
【答案】5°
【详解】
∵AD⊥BC，∠C=30°，
∴∠CAD=90°-30°=60°，
∵AE是△ABC的角平分线，∠BAC=130°，
∴∠CAE=1
2
∠BAC=
1
2
×130°=65°，
∴∠DAE=∠CAE-∠CAD=65°-60°=5°．
故答案为：5°．
【名师点睛】
本题考查了三角形的内角和定理，三角形的角平分线，高线的定义，准确识图，找出各角度之间的关系并求出度数是解题的关键．
15．（2017春扬州市期末）如图，AB、CD相交于点O，OE是∠AOC的平分线，∠BOD＝70°，∠EOF＝65°，则∠AOF的度数为______°．
【答案】30°
【解析】∵∠AOC 与∠BOD 是对顶角，∠BOD=70°，
∴∠AOC=70°，
∵OE 平分∠AOC ，
∴∠AOE=12∠AOC=35°， ∴∠AOF=∠EOF-∠AOE=65°-35°=30°，
故答案为：30°.
16．（2018春 德州市期中）如图，AD 是△ABC 中∠BAC 的平分线，DE ⊥AB 于点E ，S △ABC =7，DE=2，AB=4，则AC 的长是______．
【答案】3．
【解析】
解：如图，过点D 作DF ⊥AC 于F ．∵AD 是△ABC 中∠BAC 的角平分线，DE ⊥AB ，∴DE=DF ．由图可知，S △ABC =S △ABD +S △ACD ，∴12×4×2+12
×AC×2=7，解得：AC=3．故答案为：3．
17．（2018春 广安市期末）如图所示，在ABC V 中，90C o ∠=，BE 平分ABC ∠，ED AB ⊥于D ，若6AC cm =，则AE DE +=________．
【答案】6cm
【详解】
∵BE 平分∠ABC ，ED ⊥AB ，∠C=90°，
∴DE=CE ，
∴AE+DE=AE+CE=AC=6cm ．
故答案为：6cm．
【名师点睛】
本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键．
三、解答题（共4小题，每小题8分，共计32分）
18．（2018春河源市期末）如图，AC、BD相交于点O，∠A=∠ABC，∠DBC=∠D，BD平分∠ABC，点E在BC 的延长线上。

（1）求证：CD∥AB;
（2）若∠D=38°，求∠ACE的度数.
【答案】（1）详见解析
（2）152°
【详解】
（1）∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∵∠DBC=∠D，
∴∠ABD=∠D，
∴CD∥AB；
(2)∵∠D=38°，
∴∠ABD=∠D=38°，
∵BD平分∠ABC
∴∠ABC=2∠ABD=76°，
∴∠ABC=∠A=76°，
∵CD∥AB
∴∠ACD=∠A=76°，∠ABC=∠DCE=76°，
∴∠ACE=∠ACD+∠DCE=76°+76°=152°.
【名师点睛】
本题考查了角平分线的定义、平行线的判定与性质等，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键.
19．（2018春 成都市期末）如图，已知A 、O 、B 三点共线，∠AOD=42°，∠COB=90°．
（1）求∠BOD 的度数；
（2）若OE 平分∠BOD ，求∠COE 的度数．
【答案】（1）∠BOD =138°；（2）∠COE=21°．
【详解】
（1）∵A 、O 、B 三点共线，∠AOD=42°，
∴∠BOD=180°﹣∠AOD=138°；
（2）∵∠COB=90°，
∴∠AOC=90°，
∵∠AOD=42°，
∴∠COD=48°，
∵OE 平分∠BOD ，
∴∠DOE=12∠BOD=69°，
∴∠COE=69°﹣48°=21°．
【名师点睛】
本题考查了余角和补角的知识，属于基础题，互余的两角之和为90°，互补的两角之和为180°是需要同学们熟练掌握的内容． 20．（2018春 南平市期中）如图，BD 是ABC ∠的平分线，DE CB P ，交AB 于点E ，45A ∠=︒，60BDC ∠=︒．
求BDE V 各内角的度数．
【答案】15EBD EDB ∠=∠=︒，150BED ∠=︒．
【详解】
解：//DE BC Q ，
EDB DBC ∴∠=∠，
BD Q 是ABC ∠的平分线，
EBD DBC ∴∠=∠，
EBD EDB ∴∠=∠，
BDC A EBD ∠=∠+∠Q ，
15EBD ∴∠=o ，
15EBD EDB ∴∠=∠=o ，
1802150BED EBD ∴∠=-∠=o o
【名师点睛】
本题综合考查了平行线的性质及三角形内角与外角的关系，三角形内角和定理.
21．（2017春 龙岩市期末）如图，点C ，E ，F ，B 在同一直线上，点A ，D 在BC 异侧，AB ∥CD ，AE=DF ，∠A=∠D ．
（1）求证：AB=CD ；
（2）若AB=CF ，∠B=30°，求∠D 的度数．
【答案】（1）证明见解析；（2）∠D=75°．
【详解】
（1）∵AB ∥CD ，
∴∠B=∠C ．
在△ABE 和△DCF 中，∠A ＝∠D ∠C ＝∠B AE ＝DF ，
∴△ABE ≌△DCF （AAS ）．
∴AB=CD ．
（2）∵△ABE≌△CDF，∴AB=CD，
∵AB=CF，
∴CD=CF．
∴△CDF是等腰三角形，∵∠C=∠B=30°,
∴∠D=1
2
×(180°−30°)＝75°．。