基本不等式完整版(非常全面)96099.doc

实
用标准 基本不等式专题辅导
一、知识点总结
二、题型分析 1、基本不等式原始形式题型一：利用基本不等式证明不等式
2
2
（1）若 a,b R ，则a b
2ab
（2）若 a,b
R ，则
ab
2
b a
2
2
1、设a ,b 均为正数，证明不等式 : ab ≥
1 a
2 1 b
2、基本不等式一般形式（均值不等式） 若
*
a,b R ，则a b 2 ab
2 、 已 知 a,b,c 为
两 两 不 相 等 的实数 ， 求证： 3、基本不等式的两个重要变形
（1）若
*
a b a,b R ，则a b
2
（1）若
*
a b
a,b R ，则a b
2
2
a
b
（2）若
*
a,b R ，则
2
2 2 2
a
b c
ab bc
ca
1
2
2 2
a
b c
3
3、已知 a b c 1，求证：
4、已 知 a,b,c R
， 且
a b c 1 ， 求证：
ab
总结
：当两个正数的积为定植时
，它们
的和有最小值；
当两个正数的和为
定植时
，它们的积
有最小值
；
(1 a )(1 b)(1 c) 8a b c
特别
说明：以上不等式中，当且仅
当a b时
取“=”
5、已知a,b,c R ，且 a b c 1 ，求证：
4、求最值的条件：“一正，二定，三相等”
5、常用结论
（1）若x 0，则
x 1
x
2 ( 当且仅当x 1时取“=”）
1 1 1
1 1 1 8
a b c
（2）若x 0，则
x 1
x
2 ( 当且仅当x 1时取“=”）6、（201
3 年新课标Ⅱ卷数学（理）选修4—5：不等式选讲
a ( 当且仅当 a b时取“=”）
b
（3）若ab 0，则2
b a 设
a,b,c均为正数, 且a b c 1,证明:
（4）若a,b R，则
ab (
a b
2
2 2
2 a b
)
2
( Ⅰ)
1
ab bc ca ; ( Ⅱ)
3
2 2 2
a b c
b c a
1
.
（5）若*
a,b R ，则
1 1 a b
ab
1
2
2 b
2
a
2
a b
特别
说明：以上不等式中，当且仅当 a b时取“=”
7、（2013 年江苏卷（数学）选修4—5：不等式选讲
6、柯西不等式
3 3 2
2 2
已知a b 0，求证: a b ab a b
2
2 2 2 2 2
（1）若a,b,c, d R，则
(a b )(c d ) (ac b d)
（2）若a1,a2, a3,b1,b2 ,b3 R ，则有：题型二：利用不等式求函数值域
2 2 2 2 2 2 2
(a a a )( b b b ) (a b a b a b )
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3 （3）设
a1,a2, ,a n与b1,b2, ,b n 是两组实数，则有1、求下列函数的值域
（1）
1
2
y 3x （2）y x(4 x)
2
2x
2 2 2
(a a a n )
1 2 ( 2 2 2
b b b
1 2 n )
(a b a b a n b n )
1 1
2 2
2
文档大全
11
（3）(0)
y x x（4）y x(x0)
x x 2、已知
5
x，求函数421
y x
4
4x5
的最大值；
题型三：利用不等式求最值（一）（凑项）
1、已知x2，求函数
4
y2x4的最小值；
2x4
题型四：利用不等式求最值（二）（凑系数）
1、当时，求y x(82x)的最大值；
变式1：已知x2，求函数
4
y2x的最小值；
2x4
变式1：当时，求y4x(82x)的最大值；
变式2：已知x2，求函数
4
y2x的最大值；
2x4变式2：设3
0x，求函数y4x(32x)的最大值。

2
练习：1、已知
5
x，求函数421
y x
4
4x5
的最小值；2、若0x2，求y x(63x)的最大值；
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变式：若0x4，求y x(82x)的最大值；
法二：
15
3、求函数)
y的最大值；
2x152x(x
22变式1：已知a,b0,a2b2，求t
11
a b
的最小值；
（提示：平方，利用基本不等式）
变式2：已知
28
x,y0,1
x y
，求xy的最小值；
311
变式：求函数y)的最大值；
4x3114x(x
44
变式3：已知x,y0，且11
x y
9，求x y的最小值。

题型五：巧用“1”的代换求最值问题
11
a b
1、已知a,b0,a2b1，求t
法一：的最小值；
变式4：已知x,y0，且
19
x y
4，求x y的最小值；
变式5：
（1）若x,y0且2x y1，求11
x y的最小值；
2
x8
变式：求函数(1)
y x的值域；
x1
a，求x y的最小值；
b
（2）若a,b,x,y R且1
x y
2、求函数
x2
y的最大值；（提示：换元法）2x5
变式6：已知正项等比数列a n满足：a7a62a5，若
存在两项a m,a n，使得a m a n4a1，求1
m
4
n
的最小值；
变式：求函数
x1
y的最大值；
4x9
题型六：分离换元法求最值（了解）题型七：基本不等式的综合应用
2
x7x10
1、求函数y(x1)的值域；
x11、已知log2a log2b1，求a9b
3的最小值
1的最小值；
1
2、（2009天津）已知a,b0，求ab
2
a b
变式1：已知a,b0，满足ab a b3，求a b范围；
变式1：（2010四川）如果a b0，求关于a,b的表达
变式2：（2010山东）已知x,y0，
11
2x2y
1
3
，
式
11
2
a的最小值；
ab a(a b)
求x y最大值；（提示：通分或三角换元）
变式2：（2012湖北武汉诊断）已知，当a0,a1时，
函数y log a(x1)1的图像恒过定点A，若点A在直变式3：（2011浙江）已知x,y0，x2y2xy1，
线mx y n0上，求m2
n
4的最小值；
求x y最大值；
3、已知x,y0，x2y2xy8，求x2y最小值；
4、（2013年山东（理））设正实数x,y,z满足
2xy y2z
x340,则当
x y
z
取得最大值时,
2
x
1
y
2
z
的最大值为（）
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A．0B．1C．9
4
D． 3
（提示：代入换元,利用基本不等式以及函数求最值）
11n
2、已知x y z0且
恒成立，
x y y z x z
如果n N，求n的最大值；（参考：4）
（提示：分离参数，换元法）
变式：设x,y,z是正数，满足x2y3z0，求
2
y
xz
的
最小值；
14
变式：已知a,b0满则2
a b
求c的取值范围；
，若a b c恒成立，
题型八：利用基本不等式求参数范围题型九：利用柯西不等式求最值
1a
1、（2012沈阳检测）已知x,y0，且)9
(x y)(
x y 1、二维柯西不等式
a b
(a,b,c,d R,当且仅当；即ad bc时等号成
立
c d
)
恒成立，求正实数a的最小值；若a,b,c,d R，则(a2b2)(c2d2)(ac bd)2
实用标准
2、二维形式的柯西不等式的变式
析：(x 2y2z)2 (x2 y2 z2 )[12 ( 2)2 22]
(1) 2
a
2
b
2
c
2
d ac bd
4 9 36
a b
(a ,b, c, d R,当且仅当；即ad bc时等号成立
c d )
∴x 2y 2z最小值为
6
此时
x
1
y
2
z
2 2 1 (
2) 2 2
2 3
6 2
2
2
2
2
(2)
a
b
c
d
ac
bd
a b
(a ,b, c, d R,当且仅当；即ad bc时等号成立
c d )
∴
2
x ，
3
4
y ，
3
z
4
3
2、设x, y, z R，2x y 2z 6 ，求 2 2 2
x y z 的最
(3)( a b)(c d)( ac bd 2 )
小值m ，并求此时x, y, z之值。

a b
(a ,b, c, d 0,当且仅当；即ad bc时等号成立
c d )
4 2 4
Ans：m4;( x, y, z) ( , , )
3 3 3
3、二维形式的柯西不等式的向量形式
(当且仅当0, 或存在实数k ,使 a k 时,等号成立)
4、三维柯西不等式
若a1,a2 ,a3, b1,b2,b3 R，则有：
2 2 2 2 2 2 2
(a a a )( b b b ) (a b a b a b )
1 2 3 1 1 2 3 1 1 2 2 3 3
3、设x, y,z R，2x 3y z 3，求x 2 ( y 1)2 z2
(a i ,b i R ,
当且仅当a a a
1 2 3 时等号成立
b b b
1 2 3
)
之最小值为，此时y
（析：2x 3y z 3 2x 3( y 1) z 0 ）
5、一般n维柯西不等式
设a1 ,a2 , , a n与b1,b2 , ,b n 是两组实数，则有:
2 2 2
(a a a n )
1 2 ( 2 2 2
b1 b2 b n )
2
(a b a b a n b n )
1 1
2 2
(a ,
i b
i
R , 当且仅当
a a a
1 2 n 时等号成立
b b b
1 2 n
)
题型分析
题型一：利用柯西不等式一般形式求最值
4、（2013 年湖南卷（理））已知a, b,c ,a2b 3c 6,
1、设x, y, z R ，若x2 y2 z2 4，则x 2y 2z的则 2 4 2 9 2
a b c 的最小值是( Ans:12 )
最小值为时，(x, y, z)
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实用标准
5 、（2013 年湖北卷（理））设x, y, z R , 且满足: 2 2 2 1
x y z , x 2 y 3z 14 , 求x y z
的
值；
6、求2 sin 3 cos sin cos cos 的最大值与最小值。

（A n s：最大值为 2 2 ，最小值为 2 2 ）
析：令a(2sin ， 3 cos ，cos )，b (1，sin ，cos ) 文档大全。