(2016-2018)数学(理科)真题分类解析：专题10-三角函数图象与性质(含答案)

专题10三角函数图象与性质
考纲解读明方向
考点内容解读要求高考示例常考题型预测热
度
1.三角函数的图象及其变换①能画出y=sin x,y=cos x,y=tan x的图象,了解
三角函数的周期性;
②了解函数y=Asin(ωx+
φ)的物理意义;能画出
y=Asin(ωx+φ)的图象,了解参数A,ω,φ对函
数图象变化的影响
掌握
2017课标全国
Ⅰ,9;
2016北京,7;
2016课标全国
Ⅲ,14;
2015湖南,9
选择题
填空题
解答题
★★★
2.三角函数
的性质及其应用理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最
大值和最小值以及与x轴交点等).理解正切函数
的单调性
理解
2017课标全国
Ⅲ,6;
2016课标全国
Ⅱ,7;
2015课标Ⅰ,8
选择题
填空题
解答题
★★★
分析解读三角函数的图象和性质一直是高考中的热点,往往结合三角公式进行化简和变形来研究函数的单调性、奇偶性、对称性及最值问题,且常以解答题的形式考查,其考查内容及形式仍是近几年高考对该部分内容考查的重点.分值为10~12分,属于中低档题.
2018年高考全景展示
1．【2018年理天津卷】将函数的图象向右平移个单位长度，所得图象对应的函数
A. 在区间上单调递增
B. 在区间上单调递减
C. 在区间上单调递增
D. 在区间上单调递减
【答案】A
【解析】分析：由题意首先求得平移之后的函数解析式，然后确定函数的单调区间即可.
详解：由函数图象平移变换的性质可知：将的图象向右平移个单位长度之后的解
析式为：.则函数的单调递增区间满足：
，即，令可得一个单调递增区间为：
.函数的单调递减区间满足：，即，
令可得一个单调递减区间为：.本题选择A选项.
点睛：本题主要考查三角函数的平移变换，三角函数的单调区间的判断等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.
2．【2018年理北京卷】设函数f（x）=，若对任意的实数x都成立，则ω的最小值为__________．
【答案】
点睛：函数的性质
(1).(2)周期(3)由求对称轴，最大值对应自变量满足，最小值对应自变量满足，
(4)由求增区间; 由求减区间.
3．【2018年江苏卷】已知函数的图象关于直线对称，则的值是________．
【答案】
【解析】分析：由对称轴得，再根据限制范围求结果.
详解：由题意可得，所以，因为，
所以
点睛：函数（A>0,ω>0）的性质：(1)；
(2)最小正周期；(3)由求对称轴；(4)由
求增区间; 由求减区间.
4．【2018年全国卷Ⅲ理】函数在的零点个数为________．
【答案】
点睛：本题主要考查三角函数的性质和函数的零点，属于基础题。

2017年高考全景展示
1.【2017课标1，理9】已知曲线C1：y=cos x，C2：y=sin (2x+)，则下面结论正确的是
A．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
B．把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
C．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2
D．把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2
【答案】D
【解析】
试题分析：因为函数名不同，所以先将利用诱导公式转化成与相同的函数名，则
，则由上各点的横坐标缩短到原来的
倍变为，再将曲线向左平移个单位得到，故选D.
【考点】三角函数图像变换.
【名师点睛】对于三角函数图像变换问题，首先要将不同名函数转换成同名函数，利用诱导公式，
需要重点记住；另外，在进行图像变换时，提倡先平移后伸缩，而先伸缩后平移在考试中经常出现，无论哪种变换，记住每一个变换总是对变量而言.
2.【2017课标3，理6】设函数f(x)=cos(x+)，则下列结论错误的是
A．f(x)的一个周期为−2πB．y=f(x)的图像关于直线x=对称
C．f(x+π)的一个零点为x=D．f(x)在(,π)单调递减
【答案】D
【解析】
试题分析：函数的最小正周期为，则函数的周期为，取
，可得函数的一个周期为，选项A正确；
函数的对称轴为，即：，取可得y=f(x)的图像关于直线x=对称，选项B正确；
，函数的零点满足，即
，取可得f(x+π)的一个零点为x=，选项C正确；
当时，，函数在该区间内不单调，选项D错误；
故选D.
【考点】函数的性质
【名师点睛】(1)求最小正周期时可先把所给三角函数式化为y＝Asin(ωx＋φ)或y＝Acos(ωx＋φ)的
形式，则最小正周期为；奇偶性的判断关键是解析式是否为y＝Asinωx或y＝Acosωx＋b 的形式.
(2)求f(x)＝Asin(ωx＋φ)(ω≠0)的对称轴，只需令，求x；求f(x)的对称中心的横坐标，只需令ωx＋φ＝kπ(k∈Z)即可.
3.【2017天津，理7】设函数，，其中，.若，
，且的最小正周期大于，则
（A），（B），（C），（D），
【答案】
【考点】求三角函数的解析式
【名师点睛】有关问题，一种为提供函数图象求解析式或某参数的范围，一般
先根据图象的最高点或最低点确定，再根据周期或周期或周期求出，最后再利用最高点或最低点坐标满足解析式，求出满足条件的值，另一种时根据题目用文字形容的函数图象特点，
如对称轴或曲线经过的点的坐标，根据题意自己画出图象，再寻求待定的参变量，题型很活，求或的值或最值或范围等.
4.【2017山东，理16】设函数，其中.已知
.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）将函数的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），再将得到的图象向左平移个单位，得到函数的图象，求在上的最小值.
【答案】（Ⅰ）.（Ⅱ）得最小值.
【解析】试题分析：（Ⅰ）利用两角和与差的三角函数化简得到
由题设知及可得.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
从而.
根据得到，进一步求最小值.
试题解析：（Ⅰ）因为，
所以
由题设知，
所以，.故，，又，所以.
（Ⅱ）由（Ⅰ）得
所以.因为，
所以，当，
即时，取得最小值.
【考点】1.两角和与差的三角函数.2.三角函数图象的变换与性质.
【名师点睛】此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题易错点在于一是图象的变换与解析式的对应，二是忽视设定角的范围.难度不大，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
2016年高考全景展示
1.【2016高考新课标2理数】若将函数的图像向左平移个单位长度，则平移后图象的对称轴为（）
（A）（B）
（C）（D）
【答案】B
【解析】
试题分析：由题意，将函数的图像向左平移个单位得
，则平移后函数的对称轴为，即
，故选B.
考点：三角函数的图象变换与对称性.
【名师点睛】平移变换和伸缩变换都是针对x而言，即x本身加减多少值，而不是依赖于ωx加减多少值．
2.【2016高考新课标1卷】已知函数为的零点,
为图像的对称轴,且在单调,则的最大值为( )
（A）11 （B）9 （C）7 （D）5
【答案】B
考点：三角函数的性质
【名师点睛】本题将三角函数单调性与对称性结合在一起进行考查,叙述方式新颖,是一道考查能力的好题.注意本题解法中用到的两个结论:①的单调区间长度
是半个周期;②若的图像关于直线对称,则
或.
3.【2016年高考四川理数】为了得到函数的图象，只需把函数的图象上所有的点( )
（A）向左平行移动个单位长度（B）向右平行移动个单位长度
（C）向左平行移动个单位长度（D）向右平行移动个单位长度
【答案】D
【解析】
试题分析：由题意，为了得到函数，只需把函数的图
像上所有点向右移个单位，故选D.
考点：三角函数图像的平移.
【名师点睛】本题考查三角函数的图象平移，在函数的图象平移变换中要注意人“”的影响，变换有两种顺序：一种的图象向左平移个单位得，再把横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，另一种是把的图象横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，得的图象，向左平移个单位得
的图象．
4.【2016高考浙江理数】设函数，则的最小正周期（）A．与b有关，且与c有关B．与b有关，但与c无关
C．与b无关，且与c无关D．与b无关，但与c有关
【答案】B
【解析】
试题分析：，其
中当时，，此时周期是；当时，周期为，而不影响周期．故选B．
考点：1、降幂公式；2、三角函数的最小正周期．
【思路点睛】先利用三角恒等变换（降幂公式）化简函数，再判断和的取值是否影响函数的最小正周期．
5.【2016年高考北京理数】将函数图象上的点向左平移（）个单位长度得到点，若位于函数的图象上，则（）
A.，的最小值为
B.，的最小值为
C.，的最小值为
D.，的最小值为
【答案】A
【解析】
试题分析：由题意得，，故此时所对应的点为，此时向左平移
个单位，故选A.
考点：三角函数图象平移
【名师点睛】三角函数的图象变换，有两种选择：一是先伸缩再平移，二是先平移再伸缩．特别注意平移变换时，当自变量x的系数不为1时，要将系数先提出．翻折变换要注意翻折的方向；三角函数名不同的图象变换问题，应先将三角函数名统一，再进行变换
6.【2016高考山东理数】函数f（x）=（sin x+cos x）（cos x –sin x）的最小正周期是（
2
2）
（A
） （B ）π （C
） （D ）2π
【答案】B
【解析】试题分析：
,故最小正周期,故
选B.
考点：1.和差倍半的三角函数；2.三角函数的图象和性质.【名师点睛】本题主要考查和差倍半的三角函数、三角函数的图象和性质.此类题目是三角函数问题中的典型题目，可谓相当经典.解答本题，关键在于能利用三角公式化简函数、进一步讨论函数的性质，本题较易，能较好的考查考生的基本运算求解能力及复杂式子的变形能力等.
7.【2016高考新课标3理数】函数的图像可由函数的图
像至少向
右平移_____________个单位长度得到．
【答案】
考点：1、三角函数图象的平移变换；2、两角和与差的正弦函数．
【误区警示】在进行三角函数图象变换时，提倡“先平移，后伸缩”，但“先伸缩，后平移”也经常出现在题目中，所以也必须熟练掌握，无论是哪种变形，切记每一个变换总是对字母而言，即图象变换要看“变量”起多大变化，而不是“角”变化多少．。