四川省成都市实验高级中学2023届高一上数学期末综合测试试题含解析
合集下载
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
则 ， ，即 .
【点睛】本题主要考查函数性质——奇偶性和周期性的应用，以及已知解析式，求函数值，同时，考查了转化思想的应用
14、
【解析】由不等式 ，即 ，所以不等式的解集为 .
15、
【解析】根据两直线平行得出实数 满足的等式与不等式，解出即可.
【详解】由于直线 与 平行，则 ，
解得 .
故答案为： .
∴ ，即 ，
令 ，则 ，又 单调递增，
∴ ， ， ，即 .
∴ 在 上单调递增，得证.
小问2详解】
由 ，则 ，
∴ .
（1）由 ，可得 ，
因为函数 在 上的值域为 ，
根据由正弦函数图像，可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
（2）由 ， ，可得 ， ，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
所以函数 在 上的单调递增区间为 ， ， .
方案二：选条件②：
由
，
因为函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，可得 ，所以 ，
可得 ，
又由函数 的图象向右平移 个单位长度得到 ，
又函数 图象关于 对称，可得 ， ，
因为 ，所以 ，所以 .
（1）由 ，可得 ，
因为函数 在 上的值域为 ，
根据由正弦函数图像，可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
（2）由 ， ，可得 ， ，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
所以函数 在 上的单调递增区间为 ， ， .
16．已知幂函数 在 上单调递增，函数 .
（1）求 的值；
（2）当 时，记 的值域分别为集合 ，设 ，若 是 成立的必要条件，求实数 的取值范围.
17．已知全集 ，集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）命题p： ，命题q： ，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
18．在①函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图像， 图像关于 对称；②函数 这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.
12．已知偶函数 在 单调递减， .若 ，则 的取值范围是__________.
13．设定义在 上的函数 同时满足以下条件：① ；② ；③当 时， ，则 ＝________.
14．不等式 的解集为__________.
15．直线 与 平行，则 的值为_________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（1）由 ，得到 ，根据由正弦函数图像，即可求解；
（2）根据函数正弦函数的形式，求得 ， ，进而得出函数的单调递增区间.
【详解】方案一：选条件①
由函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
又由函数 的图象向右平移 个单位长度得到 ，
又函数 图象关于 对称，可得 ， ，
因为 ，所以 ，所以 .
又由 ， 在区间 ， 上为增函数，
则 ，
当 时， ，开口向上，
当 时， ，必有 恒成立，
综合可得：当 是， 恒成立，即 恒成立
21、（1） ，证明见解析；
（2） .
【解析】（1）由 列方程求参数a，令 判断 的大小关系即可证结论；
（2）根据指数复合函数值域的求法，求 的值域.
【小问1详解】
由题设， ，则 ，
（2）由 ，可得 ，分离出 ，换元后利用二次函数的性质求解即可；
（3）结合已知条件，代入可求 ，然后结合 在 有零点，利用换元法，结二次函数的性质求解.
【详解】解：（1）因为 是偶函数，所以 ，
即 ，
，解得 ；
（2）由 ，可得 ，
则 ，
即存在 ，使 成立，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则对称轴为直线 ，
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（）
A.向左平移 B.向右平移
C.向右平移 D.向左平移
2．表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是
A. B.
C. D.
3．角度 化成弧度为（）
又 ， 是锐角三角形的两个内角，
所以 ，即 ，因此 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查由函数的基本性质比较大小，涉及正弦函数的单调性，属于中档题.
9、B
【解析】因为 ，所以① 为增函数，故 =1，故错误
②函数 为减函数，故 ，所以正确
③函数 为增函数，故 ，故 ，故正确
④函数 为增函数， ，故 ，故错误
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）
（2）
【解析】（1）根据幂函数的定义求解；
（2）由条件可知 ，再根据集合之间的关系建立不等式求解即可.
【小问1详解】
由幂函数的定义得： ，解得 或 ，
8、A
【解析】根据题意，先得到 是周期为 的函数，再由函数单调性和奇偶性，得出 在区间 上是增函数；根据三角形是锐角三角，得到 ，得出 ，从而可得出结果.
【详解】因为偶函数 满足 ，所以函数 是周期为 的函数，
又 在区间 上是减函数，所以 在区间 上是减函数，
因为偶函数关于 轴对称，所以 在区间 上是增函数；
【详解】根据三视图，作出几何体的直观图，如图所示:
由题意得矩形 的面积 ，矩形 的面积 ，
矩形 的面积 ，正方形 、 的面积 ，
五边形 的面积 ，
所以该几何体的表面积为 ，
故选：C
6、A
【解析】 ，故选A
7、D
【解析】根据交集和补集的定义即可得出答案.
【详解】解：因为 , 或 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
A. B.
C. D.
9．设 ，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中所有的正确结论的序号是
A.①②B.②③
C.①②③D.②③④
10．若角 的终边过点 ，则 等于
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．若函数 （ ，且 ）在 上是减函数，则实数 的取值范围是__________.
当 时， 在 上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当 时， 上单调递增，符合题意；
综上可知： .
【小问2详解】
由（1）得： ，
当 时， ，即 .
当 时， ，即 ，
由 是 成立的必要条件，则 ，显然 ，则 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
17、（1）
（2）
【解析】（1）先解分式不等式和二次不等式得集合 ,再求补集和交集即可；
（2）先判断 得 ，再根据必要条件得到集合的包含关系，列不等式求解即可.
【小问1详解】
∵ 时， ，
，
全集 ，∴ 或 ．∴
【小问2详解】
∵命题 ： ，命题 ： ， 是 必要条件，∴
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 或 ，故实数 的取值范围
18、（1） ；（2） ， ， .
【解析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数 ，
已知______，函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 .
（1）若 在 上的值域为 ，求a的取值范围；
（2）求函数 在 上的单调递增区间.
19．设函数
（1）若 是偶函数，求k的值
（2）若存在 ，使得 成立，求实数m的取值范围；
（3）设函数 若 在 有零点，求实数 的取值范围
20．已知函数 ， ， .
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
所以球的表面积为
所以选A
【点睛】本题考查了立体几何中空间结构体的外接球表面积求法，属于基础题
3、A
【解析】根据题意，结合 ，即可求解.
【详解】根据题意， .
故选：A.
4、A
【解析】先计算 的坐标，再利用 可得 ，即可求解.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，
解得： ，
故选：A
5、C
【解析】根据三视图，作出几何体的直观图，根据题中条件，逐一求解各个面的表面积，综合即可得答案.
20、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据题意，分析可得 ，变形解可得答案；
（2）根据题意，设 ，结合二次函数的性质分析可得，当 时， 恒成立，即可得结论
【小问1详解】
根据题意，若函数 与 的图象的一个交点的横坐标为2，
则 ，变形可得 或 ，
解 可得 ； 无解；
故 ；
【小问2详解】
证明：设 ，
当 时， ，其对称轴为 ，又由 ，则其对称轴 ，
故答案为：
12、
【解析】因为 是偶函数，所以不等式 ，又因为 在 上单调递减，所以 ，解得 .
考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.
13、
【解析】利用周期性和奇偶性，直接将 的值转化到 上的函数值，再利用解析式计算，即可求出结果
【详解】依题意知：函数 为奇函数且周期为2，
【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为 或 的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.
19、（1） ，（2） ，（3）
【解析】（1）由偶函数的定义可得， ，列方程可求出 的值；
【详解】解：要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位即可.
故选：B.
2、A
【解析】根据正方体的表面积，可求得正方体的棱长，进而求得体对角线的长度；由体对角线为外接球的直径，即可求得外接球的表面积
【详解】设正方体的棱长为a
因为表面积为24，即
得a = 2
正方体的体对角线长度为
所以正方体的外接球半径为
点睛：结合指数函数、对数函数、幂函数 单调性可以逐一分析得出四个结论的真假性.
10、C
【解析】角 终边过点 ，则 ，所以 .
故选C.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】根据分段函数的单调性，列出式子 ，进行求解即可.
【详解】由题可知：函数 在 上是减函数
所以 ，即
所以 在 单调递增，
所以 时， 取得最大值，即 ，
所以 ，即实数m的取值范围为 ；
（3） ，则 ，
所以 ，
设 ，当 时，函数 为增函数，则 ，
若 在 上有零点，
即 在 上有解，
即 ， ，
因为函数 在 为增函数，
所以 ，
所以 取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查二次函数性质的应用，解题的关键是将 转化为 ，然后利用换元法结合二次函数的性质求解即可，考查数学转化思想，属于中档题
（1）若函数 与 的图象的一个交点的横坐标为2，求a；
（2）若 ，求证： .
21．已知函数 是奇函数
（1）求a的值，并根据定义证明函数 在 上单调递增；
（2）求 的值域
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】根据左右平移的平移特征（左加右减）即可得解.
A. B.
C. D.
4．已知向量 ， ，若 ，则 （）
A. B.
C.2D.3
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. Байду номын сангаас.
C. D.
6．在 中， ， ．若点 满足 ，则 （）
A. B.
C. D.
7．已知全集 ，集合 ， 或 ，则 （）
A. B. 或
C. D.
8．定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 ， 是锐角三角形 的两个内角，则下列各式一定成立的是（）
【点睛】本题主要考查函数性质——奇偶性和周期性的应用，以及已知解析式，求函数值，同时，考查了转化思想的应用
14、
【解析】由不等式 ，即 ，所以不等式的解集为 .
15、
【解析】根据两直线平行得出实数 满足的等式与不等式，解出即可.
【详解】由于直线 与 平行，则 ，
解得 .
故答案为： .
∴ ，即 ，
令 ，则 ，又 单调递增，
∴ ， ， ，即 .
∴ 在 上单调递增，得证.
小问2详解】
由 ，则 ，
∴ .
（1）由 ，可得 ，
因为函数 在 上的值域为 ，
根据由正弦函数图像，可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
（2）由 ， ，可得 ， ，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
所以函数 在 上的单调递增区间为 ， ， .
方案二：选条件②：
由
，
因为函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，可得 ，所以 ，
可得 ，
又由函数 的图象向右平移 个单位长度得到 ，
又函数 图象关于 对称，可得 ， ，
因为 ，所以 ，所以 .
（1）由 ，可得 ，
因为函数 在 上的值域为 ，
根据由正弦函数图像，可得 ，解得 ，
所以 的取值范围为 .
（2）由 ， ，可得 ， ，
当 时，可得 ；
当 时，可得 ；
当 时，可得 ，
所以函数 在 上的单调递增区间为 ， ， .
16．已知幂函数 在 上单调递增，函数 .
（1）求 的值；
（2）当 时，记 的值域分别为集合 ，设 ，若 是 成立的必要条件，求实数 的取值范围.
17．已知全集 ，集合 ， .
（1）当 时，求 ；
（2）命题p： ，命题q： ，若q是p的必要条件，求实数a的取值范围.
18．在①函数 的图象向右平移 个单位长度得到 的图像， 图像关于 对称；②函数 这两个条件中任选一个，补充在下而问题中，并解答.
12．已知偶函数 在 单调递减， .若 ，则 的取值范围是__________.
13．设定义在 上的函数 同时满足以下条件：① ；② ；③当 时， ，则 ＝________.
14．不等式 的解集为__________.
15．直线 与 平行，则 的值为_________.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
（1）由 ，得到 ，根据由正弦函数图像，即可求解；
（2）根据函数正弦函数的形式，求得 ， ，进而得出函数的单调递增区间.
【详解】方案一：选条件①
由函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 ，可得 ，解得 ，
所以 ，
又由函数 的图象向右平移 个单位长度得到 ，
又函数 图象关于 对称，可得 ， ，
因为 ，所以 ，所以 .
又由 ， 在区间 ， 上为增函数，
则 ，
当 时， ，开口向上，
当 时， ，必有 恒成立，
综合可得：当 是， 恒成立，即 恒成立
21、（1） ，证明见解析；
（2） .
【解析】（1）由 列方程求参数a，令 判断 的大小关系即可证结论；
（2）根据指数复合函数值域的求法，求 的值域.
【小问1详解】
由题设， ，则 ，
（2）由 ，可得 ，分离出 ，换元后利用二次函数的性质求解即可；
（3）结合已知条件，代入可求 ，然后结合 在 有零点，利用换元法，结二次函数的性质求解.
【详解】解：（1）因为 是偶函数，所以 ，
即 ，
，解得 ；
（2）由 ，可得 ，
则 ，
即存在 ，使 成立，
令 ，则 ，
因为 ，所以 ，
令 ，则对称轴为直线 ，
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1．要得到函数 的图象，只需将函数 的图象（）
A.向左平移 B.向右平移
C.向右平移 D.向左平移
2．表面积为24的正方体的顶点都在同一个球面上，则该球的表面积是
A. B.
C. D.
3．角度 化成弧度为（）
又 ， 是锐角三角形的两个内角，
所以 ，即 ，因此 ，即 ，
所以 .
故选：A.
【点睛】本题主要考查由函数的基本性质比较大小，涉及正弦函数的单调性，属于中档题.
9、B
【解析】因为 ，所以① 为增函数，故 =1，故错误
②函数 为减函数，故 ，所以正确
③函数 为增函数，故 ，故 ，故正确
④函数 为增函数， ，故 ，故错误
【点睛】本题考查利用两直线平行求参数，考查运算求解能力，属于基础题.
三、解答题（本大题共6小题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
16、（1）
（2）
【解析】（1）根据幂函数的定义求解；
（2）由条件可知 ，再根据集合之间的关系建立不等式求解即可.
【小问1详解】
由幂函数的定义得： ，解得 或 ，
8、A
【解析】根据题意，先得到 是周期为 的函数，再由函数单调性和奇偶性，得出 在区间 上是增函数；根据三角形是锐角三角，得到 ，得出 ，从而可得出结果.
【详解】因为偶函数 满足 ，所以函数 是周期为 的函数，
又 在区间 上是减函数，所以 在区间 上是减函数，
因为偶函数关于 轴对称，所以 在区间 上是增函数；
【详解】根据三视图，作出几何体的直观图，如图所示:
由题意得矩形 的面积 ，矩形 的面积 ，
矩形 的面积 ，正方形 、 的面积 ，
五边形 的面积 ，
所以该几何体的表面积为 ，
故选：C
6、A
【解析】 ，故选A
7、D
【解析】根据交集和补集的定义即可得出答案.
【详解】解：因为 , 或 ，
所以 ，
所以 .
故选：D
A. B.
C. D.
9．设 ，给出下列四个结论：
① ；② ；③ ；④ .
其中所有的正确结论的序号是
A.①②B.②③
C.①②③D.②③④
10．若角 的终边过点 ，则 等于
A. B.
C. D.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11．若函数 （ ，且 ）在 上是减函数，则实数 的取值范围是__________.
当 时， 在 上单调递减，与题设矛盾，舍去；
当 时， 上单调递增，符合题意；
综上可知： .
【小问2详解】
由（1）得： ，
当 时， ，即 .
当 时， ，即 ，
由 是 成立的必要条件，则 ，显然 ，则 ，即 ，
所以实数 的取值范围为 .
17、（1）
（2）
【解析】（1）先解分式不等式和二次不等式得集合 ,再求补集和交集即可；
（2）先判断 得 ，再根据必要条件得到集合的包含关系，列不等式求解即可.
【小问1详解】
∵ 时， ，
，
全集 ，∴ 或 ．∴
【小问2详解】
∵命题 ： ，命题 ： ， 是 必要条件，∴
∵ ，∴ ，
∵ ， ，
∴ ，解得 或 ，故实数 的取值范围
18、（1） ；（2） ， ， .
【解析】先选条件①或条件②，结合函数的性质及图像变换，求得函数 ，
已知______，函数 的图象相邻两条对称轴之间的距离为 .
（1）若 在 上的值域为 ，求a的取值范围；
（2）求函数 在 上的单调递增区间.
19．设函数
（1）若 是偶函数，求k的值
（2）若存在 ，使得 成立，求实数m的取值范围；
（3）设函数 若 在 有零点，求实数 的取值范围
20．已知函数 ， ， .
2022-2023学年高一上数学期末模拟试卷
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
所以球的表面积为
所以选A
【点睛】本题考查了立体几何中空间结构体的外接球表面积求法，属于基础题
3、A
【解析】根据题意，结合 ，即可求解.
【详解】根据题意， .
故选：A.
4、A
【解析】先计算 的坐标，再利用 可得 ，即可求解.
【详解】 ，
因为 ，所以 ，
解得： ，
故选：A
5、C
【解析】根据三视图，作出几何体的直观图，根据题中条件，逐一求解各个面的表面积，综合即可得答案.
20、（1）
（2）证明见解析
【解析】（1）根据题意，分析可得 ，变形解可得答案；
（2）根据题意，设 ，结合二次函数的性质分析可得，当 时， 恒成立，即可得结论
【小问1详解】
根据题意，若函数 与 的图象的一个交点的横坐标为2，
则 ，变形可得 或 ，
解 可得 ； 无解；
故 ；
【小问2详解】
证明：设 ，
当 时， ，其对称轴为 ，又由 ，则其对称轴 ，
故答案为：
12、
【解析】因为 是偶函数，所以不等式 ，又因为 在 上单调递减，所以 ，解得 .
考点：本小题主要考查抽象函数的奇偶性与单调性，考查绝对值不等式的解法，熟练基础知识是关键.
13、
【解析】利用周期性和奇偶性，直接将 的值转化到 上的函数值，再利用解析式计算，即可求出结果
【详解】依题意知：函数 为奇函数且周期为2，
【点睛】解答三角函数图象与性质的综合问题的关键是首先将已知条件化为 或 的形式，然后再根据三角函数的基本性质，结合数形结合法的思想研究函数的性质（如：单调性、奇偶性、对称性、周期性与最值等），进而加深理解函数的极值点、最值点、零点及有界性等概念与性质.
19、（1） ，（2） ，（3）
【解析】（1）由偶函数的定义可得， ，列方程可求出 的值；
【详解】解：要得到函数 的图象，只需将函数 的图象向右平移 个单位即可.
故选：B.
2、A
【解析】根据正方体的表面积，可求得正方体的棱长，进而求得体对角线的长度；由体对角线为外接球的直径，即可求得外接球的表面积
【详解】设正方体的棱长为a
因为表面积为24，即
得a = 2
正方体的体对角线长度为
所以正方体的外接球半径为
点睛：结合指数函数、对数函数、幂函数 单调性可以逐一分析得出四个结论的真假性.
10、C
【解析】角 终边过点 ，则 ，所以 .
故选C.
二、填空题（本大题共5小题，请把答案填在答题卡中相应题中横线上）
11、
【解析】根据分段函数的单调性，列出式子 ，进行求解即可.
【详解】由题可知：函数 在 上是减函数
所以 ，即
所以 在 单调递增，
所以 时， 取得最大值，即 ，
所以 ，即实数m的取值范围为 ；
（3） ，则 ，
所以 ，
设 ，当 时，函数 为增函数，则 ，
若 在 上有零点，
即 在 上有解，
即 ， ，
因为函数 在 为增函数，
所以 ，
所以 取值范围为 .
【点睛】关键点点睛：此题考查函数奇偶性的应用，考查二次函数性质的应用，解题的关键是将 转化为 ，然后利用换元法结合二次函数的性质求解即可，考查数学转化思想，属于中档题
（1）若函数 与 的图象的一个交点的横坐标为2，求a；
（2）若 ，求证： .
21．已知函数 是奇函数
（1）求a的值，并根据定义证明函数 在 上单调递增；
（2）求 的值域
参考答案
一、选择题（本大题共10小题；在每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合题意，请将正确选项填涂在答题卡上.）
1、B
【解析】根据左右平移的平移特征（左加右减）即可得解.
A. B.
C. D.
4．已知向量 ， ，若 ，则 （）
A. B.
C.2D.3
5．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）
A. Байду номын сангаас.
C. D.
6．在 中， ， ．若点 满足 ，则 （）
A. B.
C. D.
7．已知全集 ，集合 ， 或 ，则 （）
A. B. 或
C. D.
8．定义在 上的偶函数 满足 ，且在 上是减函数，若 ， 是锐角三角形 的两个内角，则下列各式一定成立的是（）