数学建模第二章初等方法建模
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Mathematical Modeling
第二章 初等方法建模
2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
Department of Mathematics
d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
模型求解 由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即 y1 0
由（5）式可得
y2 y3 yn g1 x1
x(t ) Gx(t ) y Ry
l/b 27.0 27.4 21.0 30.0
准 调查赛艇的尺寸和重量 备
Department of Mathematics HUST
l /b, w0/n 基本不变
2.1.2 划艇比赛成绩
Mathematical Modeling
问题分析 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系
赛艇速度由前进动力和前进阻力决定
Department of Mathematics
y ( y1, y2 , , yn )T
0 0 0 0 1
0 0 0
1 g n 1 g n 1
1 1 1 0 0 0 R 0 0 0
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
建立模型 有砍伐时，树木第t+1年的数量是
Mathematical Modeling
x1 (t 1) (1 g1 ) x1 (t ) y1 yk xk (t 1) g k 1 xk 1 (t ) (1 g k ) xk (t ) yk k 2,3,, n 1 xn (t 1) g n1 xn1 (t ) xn (t ) yn
模型假设森林管理问题mathematicalmodelingdepartmentofmathematicshust设为第t年森林中第k类树木的数量每年砍伐第类树木的数量每年砍伐第k类树木数为建立模型kxtky12nxtxtxts?s为森林树木总数没有砍伐时树木第t1年的数量是111111111111kkkkknnnnxtgxtxtgxtgxtxtgxtxt??????231kn??2森林管理问题mathematicalmodelingdepartmentofmathematicshust有砍伐时树木第t1年的数量是11111111111111nkkkkkkkknnnnnxtgxtyyxtgxtgxtyxtgxtxty??????????231kn??3建立模型森林管理问题mathematicalmodelingdepartmentofmathematicshust引入树木状态向量xt收获向量y生长矩阵g和种植矩阵r如下t12nxtxtxtxt?t12nyyyy?1122311000010000100000100nggggggg???????????1001ng??????????????????????111000000r?????????????????建立模型森林管理问题mathematicalmodelingdepartmentofmathematicshust2式和3式分别写为1xtgxt1xtgxtyry?考虑到假设4又有xtgxtyry?5本问题即是求满足1式条件下的5式的解
成本 成本 |W 1 | W W W2
述解释也是很容易的
值，其中 W
2
2W1
应用
此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、 销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式 HW M ，因此上述 结论也适用于零售价格。
Department of Mathematics HUST
Mathematical Modeling
5）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类, 即第k类的树木可能进入第k+1类，也可能停留 在第k类，进入第k+1类的比例为 gk ;
6）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况.
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
建立模型
Mathematical Modeling
设 xk (t ) 为第t年森林中第k类树木的数量， 每年砍伐第k类树木数为 yk
进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降速度
d(成本 / W ) p q r 2 4/3 dW 3W W
这是W的减函数。 因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较 慢。总节省率为 1 rW pW 1/ 3 qW 1 3 这也是W 的减函数。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
建立模型 树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G、种植矩阵R
（2）式和（3）式分别写为
x(t 1) Gx(t )
考虑到假设4），又有
x(t 1) Gx(t ) y Ry
x(t ) Gx(t ) y Ry
HUST
Mathematical Modeling
2.1.1 包装成本问题
问题
研究产品成本如何随包装大小而变化的规律 考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产 品，它们常常是包装后出售的。注意到包装 比较大的按每克计算的价格较低。人们通常 认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘 故。 或许有人会问，这是主要原因吗?是否 还有其他重要因素？能否构造一个简单模型 来分析？
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
直观解释
购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格 (体积)增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的 这里说“倾向于”是因为模 型是粗糙的。然而在定性预 包装规格增大一倍所节省的钱多。 测中往往很可靠。而验证上
只须计算的
2）幼苗的经济价值为p1=0，第k类的经济价值为 pk , k=2, 3,…,n ；
3）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分 树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题 模型假设
Mathematical Modeling
4）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长 期后，与砍伐前树木的高度状态相同；
模型 np fv f 建立 S1/2 A1/3 A W(=w0+nw) n Sv2
pw
v (n/S)1/3 S n2/3
v n1/9
Department of Mathematics HUST
比赛成绩 t n – 1/9
2.1.2 划艇比赛成绩
Mathematical Modeling
k 1
n
(3)
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
建立模型 引入树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G 和种植矩阵R如下
x(t ) ( x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ))T
0 1 g1 0 g 1 g 0 2 1 0 g 2 1 g3 G 0 0 0 0 0 0
成本 a b c d q 1/ 3 n pW (其中n、p、q为正数) W W W
由此看出，当包装增大时，即每包内产重量 w 增大时， 每克的成本下降.
Department of Mathematics HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
x1 (t ) x2 (t ) xn (t ) S
没有砍伐时，树木第t+1年的数量是
S为森林树木总数
x1 (t 1) (1 g1 ) x1 (t ) xk (t 1) gk 1 xk 1 (t ) (1 g k ) xk (t ) k 2,3,, n 1 xn (t 1) gn1 xn1 ( x2 y3 g 2 x2 g 3 x3 yn 1 g n 2 xn 2 g n 1 xn 1 yn g n 1 xn 1
模型检验
n 1 2 4 8 t 7.21 6.88 6.32 5.84
利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验
t
7.21 6.88 6.32 5.84
• • •
•
8 n
t an
b
1
2
4
logt a b logn
最小二乘法
Department of Mathematics
Department of Mathematics HUST
森林管理问题 模型假设
Mathematical Modeling
1）把树木按高度分为n类，第1类树木的高度为 [0, h1]，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为 （hk -1, hk]，k=2, 3,…,n-1，第n类树木的高度为 （hn-1,∞）；
b fW g ( f 0, g 0)
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型假设
因此每件包装所消耗材料量(因而也是每件包装的重量) 与所覆盖的表面积成正比。 每件包装品的体积与包装品的表面积或体积成正比，它 取决于摊平后运输(像纸板之类)还是成型后运输(像玻璃 器皿之类), 所以打包者的成本
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
模型假设
2.1.1 包装成本问题
1）计入批发价格的主要成本是: 生产该产品的成本 a 包装该产品的成本 b 运输该产品的成本 c 包装材料的成本 d 2）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变 化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的 费用上.设该产品成本a与所生产的货物重量成正比, 记为
a W
其中为产品重量W
Department of Mathematics HUST
Mathematical Modeling
2.1.1 包装成本问题
模型分析与建立
3)包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间. 装包时间大致与体积（因而与重量）成比例,而对于体 积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。 于是有
t 7.21n
HUST
0.11
与模型巧合！
Mathematical Modeling
2.2 代数模型
森林管理问题
森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。 为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获， 每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼 苗，使森林树木的总数保持不变。被出售 的树木，其价值取决于树木的高度，开始 时森林中的树木有着不同的高度。我们希 望能找到一个方案，在维持收获的前提下， 如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得 最大的经济价值？
2.1.2 划艇比赛成绩
Mathematical Modeling
模型假设
符号：艇速 v, 浸没面积 S, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 2）v是常数，阻力 f与 Sv2成正比 3）w相同，p不变，p与w成正比 艇的静态特性 艇的动态特性 浆手的特征
2.1.2 划艇比赛成绩
问 题
赛艇 种类 单人 双人 四人 八人
对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试 建立数学模型揭示这种关系。 2000米成绩 t (分) 艇长l 1 2 3 4 平均 (米) 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 艇宽b (米) 0.293 0.356 0.574 0.610 空艇重w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7
• 前进动力 ~ 浆手的划浆功率
• 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 前进 划浆 动力 浆手 功率 数量 艇 浸没 前进 重 面积 阻力 赛艇 速度 赛艇 速度
• 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定
• 运用合适的物理定律建立模型
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2.1 比例分析模型
2.2
2.3
代数模型
简单优化模型
节水洗衣机
2.4
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2.1
比例分析模型
2.1.1
包装成本问题
2.1.2
划艇比赛成绩
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d hW kS m
其中 S 是表面积， h 0, k 0, m 0 均为常数，
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HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型分析与建立
6）假设各种包装品在几何形状上是大致相似的,体积几乎
与线性尺度的立方成正比,表面积几乎与线性尺度的平 方成正比，
即v l , s l
3
2
所以S l 2/3. 由于v W , 有S W 2/3
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2.1.1 包装成本问题
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模型分析与建立
现在将比例法中涉及的自变量化为一个自变量——重量。
a W , b fW g ( f 0, g 0) c W , d hW kS m 于是每克的批发成本是
（5）
本问题即是求满足（1）式条件下的（5）式的解。
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HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
模型求解 由于幼苗无经济价值，故不对其砍伐，即 y1 0
由（5）式可得
y2 y3 yn g1 x1
x(t ) Gx(t ) y Ry
l/b 27.0 27.4 21.0 30.0
准 调查赛艇的尺寸和重量 备
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l /b, w0/n 基本不变
2.1.2 划艇比赛成绩
Mathematical Modeling
问题分析 分析赛艇速度与浆手数量之间的关系
赛艇速度由前进动力和前进阻力决定
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y ( y1, y2 , , yn )T
0 0 0 0 1
0 0 0
1 g n 1 g n 1
1 1 1 0 0 0 R 0 0 0
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森林管理问题
建立模型 有砍伐时，树木第t+1年的数量是
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x1 (t 1) (1 g1 ) x1 (t ) y1 yk xk (t 1) g k 1 xk 1 (t ) (1 g k ) xk (t ) yk k 2,3,, n 1 xn (t 1) g n1 xn1 (t ) xn (t ) yn
模型假设森林管理问题mathematicalmodelingdepartmentofmathematicshust设为第t年森林中第k类树木的数量每年砍伐第类树木的数量每年砍伐第k类树木数为建立模型kxtky12nxtxtxts?s为森林树木总数没有砍伐时树木第t1年的数量是111111111111kkkkknnnnxtgxtxtgxtgxtxtgxtxt??????231kn??2森林管理问题mathematicalmodelingdepartmentofmathematicshust有砍伐时树木第t1年的数量是11111111111111nkkkkkkkknnnnnxtgxtyyxtgxtgxtyxtgxtxty??????????231kn??3建立模型森林管理问题mathematicalmodelingdepartmentofmathematicshust引入树木状态向量xt收获向量y生长矩阵g和种植矩阵r如下t12nxtxtxtxt?t12nyyyy?1122311000010000100000100nggggggg???????????1001ng??????????????????????111000000r?????????????????建立模型森林管理问题mathematicalmodelingdepartmentofmathematicshust2式和3式分别写为1xtgxt1xtgxtyry?考虑到假设4又有xtgxtyry?5本问题即是求满足1式条件下的5式的解
成本 成本 |W 1 | W W W2
述解释也是很容易的
值，其中 W
2
2W1
应用
此模型可推广于零售价格，零售成本取决于批发价、 销售成本和仓库成本，后两种成本具有的形式 HW M ，因此上述 结论也适用于零售价格。
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Mathematical Modeling
5）在一年的生长期内，树木最多生长一个高度类, 即第k类的树木可能进入第k+1类，也可能停留 在第k类，进入第k+1类的比例为 gk ;
6）忽略两次砍伐期间树木的死亡情况.
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
建立模型
Mathematical Modeling
设 xk (t ) 为第t年森林中第k类树木的数量， 每年砍伐第k类树木数为 yk
进一步的分析可以看到，每克产品的成本下降速度
d(成本 / W ) p q r 2 4/3 dW 3W W
这是W的减函数。 因此当包装比较大时，每克的节省率增加得比较 慢。总节省率为 1 rW pW 1/ 3 qW 1 3 这也是W 的减函数。
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
建立模型 树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G、种植矩阵R
（2）式和（3）式分别写为
x(t 1) Gx(t )
考虑到假设4），又有
x(t 1) Gx(t ) y Ry
x(t ) Gx(t ) y Ry
HUST
Mathematical Modeling
2.1.1 包装成本问题
问题
研究产品成本如何随包装大小而变化的规律 考虑像面粉、洗涤剂或果酱之类的产 品，它们常常是包装后出售的。注意到包装 比较大的按每克计算的价格较低。人们通常 认为这是由于节省了包装和经营的成本的缘 故。 或许有人会问，这是主要原因吗?是否 还有其他重要因素？能否构造一个简单模型 来分析？
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
直观解释
购买预先包装好看产品时，把小型包装的包装规格 (体积)增大一倍，每克所节省的钱，倾向于比大型的 这里说“倾向于”是因为模 型是粗糙的。然而在定性预 包装规格增大一倍所节省的钱多。 测中往往很可靠。而验证上
只须计算的
2）幼苗的经济价值为p1=0，第k类的经济价值为 pk , k=2, 3,…,n ；
3）每年对森林中的树木砍伐一次，且只砍伐部分 树木，每砍伐一棵树木就补种一棵幼苗.
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森林管理问题 模型假设
Mathematical Modeling
4）补种的幼苗和未被砍伐的树木经过一年的生长 期后，与砍伐前树木的高度状态相同；
模型 np fv f 建立 S1/2 A1/3 A W(=w0+nw) n Sv2
pw
v (n/S)1/3 S n2/3
v n1/9
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比赛成绩 t n – 1/9
2.1.2 划艇比赛成绩
Mathematical Modeling
k 1
n
(3)
Department of Mathematics
HUST
森林管理问题
Mathematical Modeling
建立模型 引入树木状态向量x(t)、收获向量y、生长矩阵G 和种植矩阵R如下
x(t ) ( x1 (t ), x2 (t ), , xn (t ))T
0 1 g1 0 g 1 g 0 2 1 0 g 2 1 g3 G 0 0 0 0 0 0
成本 a b c d q 1/ 3 n pW (其中n、p、q为正数) W W W
由此看出，当包装增大时，即每包内产重量 w 增大时， 每克的成本下降.
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2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
x1 (t ) x2 (t ) xn (t ) S
没有砍伐时，树木第t+1年的数量是
S为森林树木总数
x1 (t 1) (1 g1 ) x1 (t ) xk (t 1) gk 1 xk 1 (t ) (1 g k ) xk (t ) k 2,3,, n 1 xn (t 1) gn1 xn1 ( x2 y3 g 2 x2 g 3 x3 yn 1 g n 2 xn 2 g n 1 xn 1 yn g n 1 xn 1
模型检验
n 1 2 4 8 t 7.21 6.88 6.32 5.84
利用4次国际大赛冠军的平均 成绩对模型 t n – 1/ 9 进行检验
t
7.21 6.88 6.32 5.84
• • •
•
8 n
t an
b
1
2
4
logt a b logn
最小二乘法
Department of Mathematics
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森林管理问题 模型假设
Mathematical Modeling
1）把树木按高度分为n类，第1类树木的高度为 [0, h1]，它是树木的幼苗，第k类树木的高度为 （hk -1, hk]，k=2, 3,…,n-1，第n类树木的高度为 （hn-1,∞）；
b fW g ( f 0, g 0)
Department of Mathematics
HUST
2.1.1 包装成本问题
Mathematical Modeling
模型假设
因此每件包装所消耗材料量(因而也是每件包装的重量) 与所覆盖的表面积成正比。 每件包装品的体积与包装品的表面积或体积成正比，它 取决于摊平后运输(像纸板之类)还是成型后运输(像玻璃 器皿之类), 所以打包者的成本
Department of Mathematics
HUST
Mathematical Modeling
模型假设
2.1.1 包装成本问题
1）计入批发价格的主要成本是: 生产该产品的成本 a 包装该产品的成本 b 运输该产品的成本 c 包装材料的成本 d 2）产品成本显然随商业竞争和经营规模不同而变 化，忽略这些因素集中考虑在原料和买卖过程的 费用上.设该产品成本a与所生产的货物重量成正比, 记为
a W
其中为产品重量W
Department of Mathematics HUST
Mathematical Modeling
2.1.1 包装成本问题
模型分析与建立
3)包装成本取决于装包、封包以及装箱备运所需要的时间. 装包时间大致与体积（因而与重量）成比例,而对于体 积在一定范围内的包装，后两部分时间相差不大。 于是有
t 7.21n
HUST
0.11
与模型巧合！
Mathematical Modeling
2.2 代数模型
森林管理问题
森林中的树木每年都要有一批被砍伐出售。 为了使这片森林不被耗尽且每年都有收获， 每当砍伐一棵树时，应该就地补种一棵幼 苗，使森林树木的总数保持不变。被出售 的树木，其价值取决于树木的高度，开始 时森林中的树木有着不同的高度。我们希 望能找到一个方案，在维持收获的前提下， 如何砍伐树木，才能使被砍伐的树木获得 最大的经济价值？
2.1.2 划艇比赛成绩
Mathematical Modeling
模型假设
符号：艇速 v, 浸没面积 S, 浸没体积 A, 空艇重 w0, 阻力 f, 浆手数 n, 浆手功率 p, 浆手体重 w, 艇重 W 1）艇形状相同(l/b为常数), w0与n成正比 2）v是常数，阻力 f与 Sv2成正比 3）w相同，p不变，p与w成正比 艇的静态特性 艇的动态特性 浆手的特征
2.1.2 划艇比赛成绩
问 题
赛艇 种类 单人 双人 四人 八人
对四种赛艇（单人、双人、四人、八人）4次国际大赛冠 军的成绩进行比较，发现成绩与浆手数有某种关系。试 建立数学模型揭示这种关系。 2000米成绩 t (分) 艇长l 1 2 3 4 平均 (米) 7.16 7.25 7.28 7.17 7.21 7.93 6.87 6.92 6.95 6.77 6.88 9.76 6.33 6.42 6.48 6.13 6.32 11.75 5.87 5.92 5.82 5.73 5.84 18.28 艇宽b (米) 0.293 0.356 0.574 0.610 空艇重w0(kg) 浆手数n 16.3 13.6 18.1 14.7
• 前进动力 ~ 浆手的划浆功率
• 前进阻力 ~ 浸没部分与水的摩擦力 前进 划浆 动力 浆手 功率 数量 艇 浸没 前进 重 面积 阻力 赛艇 速度 赛艇 速度
• 对浆手体重、功率、阻力与艇速的关系等作出假定
• 运用合适的物理定律建立模型
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