2019版高考数学一轮复习第7章立体几何7.5直线平面垂直的判定与性质课件理

解析 如果 AB 与 CD 在一个平面内，可以推出 EF 垂 直于该平面，又 BD 在该平面内，所以 BD⊥EF.故要得到 BD⊥EF，只需 AB，CD 在一个平面内即可，只有①③能保 证这一条件．
经典题型冲关
题型 1 直线与平面垂直的判定与性质 角度 1 直线与平面垂直的判定定理
典例 (2016·全国卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥 P－ABC 的侧面是直角三角形，PA＝6.顶点 P 在平面 ABC 内的正投 影为点 D，D 在平面 PAB 内的正投影为点 E，连接 PE 并延 长交 AB 于点 G.
(3)因为 PA∥平面 BDE，平面 PAC∩平面 BDE＝DE， 所以 PA∥DE.
因为 D 为 AC 的中点， 所以 DE＝12PA＝1，BD＝DC＝ 2. 由(1)知，PA⊥平面 ABC， 所以 DE⊥平面 ABC. 所以三棱锥 E－BCD 的体积 V＝16BD·DC·DE＝13.
[结论探究] 在典例条件下，证明：平面 PBC⊥平面 PAB.
连接 CG，因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所以 D 是正三角形 ABC 的中心，由(1)知，G 是 AB 的中点，所 以 D 在 CG 上，故 CD＝23CG.
由题设可得 PC⊥平面 PAB，DE⊥平面 PAB，所以 DE ∥PC，因此 PE＝23PG，DE＝13PC.
由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且 PA＝6，可得 DE＝2，PE＝2 2.
(2)(2018·辽宁五校联考)假设平面 α∩平面 β＝EF，AB ⊥α，CD⊥β，垂足分别为 B，D，如果增加一个条件，就能 推出 BD⊥EF，现有下面四个条件：
①AC⊥α；②AC∥α；③AC 与 BD 在 β 内的射影在同一 条直线上；④AC∥EF.
其中能成为增加条件的是__①__③____．(把你认为正确的 条件序号都填上)
(4)过空间任一点有且只有一个平面与已知直线垂直． (5)两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂 直． (6)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线 也垂直于第三个平面．
1．概念思辨 (1)直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直，则 l⊥ α.( × ) (2)垂直于同一个平面的两平面平行．( × ) (3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线 垂直于另一个平面．( × ) (4)若平面 α 内的一条直线垂直于平面 β 内的无数条直 线，则 α⊥β.( × )
BD. 因为 BE⊥平面 ABCD，
所以 AC⊥BE，又 BE∩BD＝D，故 AC⊥平面 BED. 又 AC⊂平面 AEC，所以平面 AEC⊥平面 BED.
(2)设 AB＝x，在菱形 ABCD 中，由∠ABC＝120°，可
得 AG＝GC＝ 23x，GB＝GD＝2x.
因为
AE⊥EC，所以在
Rt△AEC
冲关针对训练 (2015·全国卷Ⅰ)如图，四边形 ABCD 为菱形，G 为 AC 与 BD 的交点，BE⊥平面 ABCD.
(1)证明：平面 AEC⊥平面 BED； (2)若∠ABC＝120°，AE⊥EC，三棱锥 E－ACD 的体积 为 36，求该三棱锥的侧面积．
解 (1)证明：因为四边形 ABCD 为菱形，所以 AC⊥
题型 2 面面垂直的判定与性质 典例 (2017·北京高考)如图，在三棱锥 P－ABC 中， PA⊥AB，PA⊥BC，AB⊥BC，PA＝AB＝BC＝2，D 为线段 AC 的中点，E 为线段 PC 上一点．
(1)求证：PA⊥BD； (2)求证：平面 BDE⊥平面 PAC； (3)当 PA∥平面 BDE 时，求三棱锥 E－BCD 的体积．
证明 由(1)知 PA⊥BC，又 BC⊥AB 且 PA∩AB＝A， ∴BC⊥平面 PAB，又∵BC⊂平面 PBC，∴平面 PBC⊥平面 PAB.
方法技巧 面面垂直的应用策略
1．证明平面和平面垂直的方法：①面面垂直的定义； ②面面垂直的判定定理．
2．已知两平面垂直时，一般要用性质定理进行转化， 在一个平面内作交线的垂线，转化为线面垂直，然后进一步 转化为线线垂直．
(2)(必修 A2P67T2)在三棱锥 P－ABC 中，点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O，
①若 PA＝PB＝PC，则点 O 是△ABC 的___外_____心； ②若 PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点 O 是△ABC 的 ___垂 _____心．
解析 ①如图 1，连接 OA，OB，OC，OP， 在 Rt△POA、Rt△POB 和 Rt△POC 中，PA＝PC＝PB， 所以 OA＝OB＝OC，即 O 为△ABC 的外心．
又由已知可得，PA＝PB，从而 G 是 AB 的中点．
(2)在平面 PAB 内，过点 E 作 PB 的平行线交 PA 于点 F， F 即为 E 在平面 PAC 内的正投影．
理由如下：由已知可得 PB⊥PA，PB⊥PC，又 EF∥PB， 所以 EF⊥PA，EF⊥PC，又 PA∩PC＝P，因此 EF⊥平面 PAC，即点 F 为 E 在平面 PAC 内的正投影．
(2)因为平面 ABCD⊥平面 ACEF，平面 ABCD∩平面 ACEF＝AC，FA⊥AC，FA⊂平面 ACEF，故 FA⊥平面 ABCD.
连接 EO，易知四边形 AOEF 为边长为 1 的正方形， 所以 EO⊥平面 ABCD，则 EO⊥BD. 所以△BDE 为等腰三角形，BD＝2BO＝2OC＝2， BE＝DE＝ BO2＋EO2＝ 2. 因为 BD2＝BE2＋DE2， 所以 BE⊥DE.同理在△BEF 中，BE⊥EF， 因为 DE∩EF＝E，所以 BE⊥平面 DEF.
在等腰直角三角形 EFP 中，可得 EF＝PF＝2， 所以四面体 PDEF 的体积 V＝13×12×2×2×2＝43.
角度 2 垂直关系中的探索性问题 典例 如图所示，平面 ABCD⊥平面 BCE，四边形 ABCD 为矩形，BC＝CE，点 F 为 CE 的中点．
(1)证明：AE∥平面 BDF； (2)点 M 为 CD 上任意一点，在线段 AE 上是否存在点 P， 使得 PM⊥BE？若存在，确定点 P 的位置，并加以证明；若 不存在，请说明理由．
(1)证明：G 是 AB 的中点； (2)在图中作出点 E 在平面 PAC 内的正投影 F(说明作法 及理由)，并求四面体 PDEF 的体积．
利用线面垂直判定定理进行证明．
解 (1)证明：因为 P 在平面 ABC 内的正投影为 D，所 以 AB⊥PD.
因为 D 在平面 PAB 内的正投影为 E，所以 AB⊥DE.又 PD∩DE＝D，所以 AB⊥平面 PED，故 AB⊥PG.
(1)求证：CE∥平面 BDF； (2)求证：BE⊥平面 DEF.
证明 (1)设正方形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 交于点 O，连接 FO.由题知 EF＝OC＝1，因为 EF∥AC，
所以四边形 CEFO 为平行四边形，所以 CE∥OF. 又 CE⊄平面 BDF，OF⊂平面 BDF， 所以 CE∥平面 BDF.
(2)当 P 为 AE 中点时，有 PM⊥BE. 证明如下：取 BE 中点 H，连接 DP，PH，CH. ∵P 为 AE 的中点，H 为 BE 的中点， ∴PH∥AB，又 AB∥CD， ∴PH∥CD， ∴P，H，C，D 四点共面．
∵平面 ABCD⊥平面 BCE，平面 ABCD∩平面 BCE＝ BC，CD⊂平面 ABCD，CD⊥BC.
第7章 立体几何
7．5 直线、平面垂直的判定与性质
基础知识过关
[知识梳理] 1．直线与平面垂直 判定定理与性质定理
2．平面与平面垂直 判定定理与性质定理
3．直线和平面所成的角
范围： 0，π2
.
4．二面角 范围 [0，π]．
5．必记结论 (1)若两条平行线中一条垂直于一个平面，则另一条也 垂直于这个平面． (2)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这 个平面内任何一条直线． (3)过空间任一点有且只有一条直线与已知平面垂直．
∵A1E 在平面 BCC1B1 上的投影为 B1C，且 B1C⊥BC1， ∴A1E⊥BC1，故 C 正确；
(证明：由条件易知，BC1⊥B1C，BC1⊥CE，又 CE∩B1C ＝C，∴BC1⊥平面 CEA1B1.又 A1E⊂平面 CEA1B1，
2．线面垂直中的探索性问题 探索结论是否存在，常先假设结论存在，再在这个假设 下进行推理论证，寻找与条件相符或矛盾的结论，相符则存 在，矛盾则不存在．
冲关针对训练 (2018·济南模拟)如图，正方形 ABCD 和直角梯形 ACEF 所在的平面互相垂直，FA⊥AC，EF∥AC，AB＝ 2，EF＝ FA＝1.
3．小题热身 (1)(2017·湖南六校联考)已知 m 和 n 是两条不同的直线， α 和 β 是两个不重合的平面，下面给出的条件中一定能推出 m⊥β 的是( ) A．α⊥β 且 m⊂α B．α⊥β 且 m∥α C．m∥n 且 n⊥β D．m⊥n 且 n∥β
解析 由线线平行性质的传递性和线面垂直的判定定 理，可知 C 正确．故选 C.
手分析．
从 BC＝CE 取 BE 的中点 H，CH⊥BE 入
解 (1)证明：连接 AC 交 BD 于 O，连接 OF，如右图． ∵四边形 ABCD 是矩形，∴O 为 AC 的中点， 又 F 为 EC 的中点， ∴OF 为△ACE 的中位线， ∴OF∥AE，又 OF⊂平面 BDF，AE⊄平面 BDF.∴AE∥平面 BDF.
2．教材衍化
(1)(必修 A2P73A 组 T1)若 m，n 表示两条不同的直线，α 表示平面，则下列命题中，正确命题的个数为( )
① mn⊥⊥αα⇒m∥n；② mn∥⊥αα⇒m⊥n；③ mm∥ ⊥αn⇒n
⊥α. A．1
B．2
C．3
D．0
解析 ③不正确，直线 n 与 α 不一定垂直，可能是平 行ACD 的侧面积为 3＋2 5.
真题模拟闯关
1.(2017·全国卷Ⅲ)在正方体 ABCD －A1B1C1D1 中，E 为 棱 CD 的中点，则( )
A．A1E⊥DC1 B．A1E⊥BD C．A1E⊥BC1 D．A1E⊥AC
解析 解法一：如图，∵A1E 在平面 ABCD 上的投影 为 AE，而 AE 不与 AC，BD 垂直，∴B，D 错误；
中，可得
EG＝
3 2 x.
由 BE⊥平面 ABCD，知△EBG 为直角三角形，可得
BE＝
2 2 x.
由已知得，三棱锥 E－ACD 的体积
VE－ACD＝13×12AC·GD·BE＝246x3＝ 36，
故 x＝2，从而可得 AE＝EC＝ED＝ 6.
所以△EAC 的面积为 3，△EAD 的面积与△ECD 的面
②如图 2，∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P， ∴PC⊥平面 PAB，AB⊂平面 PAB， ∴PC⊥AB，又 AB⊥PO，PO∩PC＝P， ∴AB⊥平面 PGC，又 CG⊂平面 PGC，∴AB⊥CG， 即 CG 为△ABC 边 AB 的高， 同理可证 BD，AH 分别为△ABC 边 AC，BC 上的高， 即 O 为△ABC 的垂心．
首先分析已知中的垂直线段所在的平 面，由于 AB＝BC，取 AC 的中点是关键．
解 (1)证明：因为 PA⊥AB，PA⊥BC，所以 PA⊥平面 ABC.
又因为 BD⊂平面 ABC，所以 PA⊥BD. (2)证明：因为 AB＝BC，D 为 AC 中点， 所以 BD⊥AC.由(1)知，PA⊥BD，又 PA∩AC＝A， 所以 BD⊥平面 PAC.又 BD⊂平面 BDE， 所以平面 BDE⊥平面 PAC.
∴CD⊥平面 BCE，又 BE⊂平面 BCE， ∴CD⊥BE，∵BC＝CE，H 为 BE 的中点， ∴CH⊥BE， 又 CD∩CH＝C，∴BE⊥平面 DPHC，又 PM⊂平面 DPHC，∴BE⊥PM，即 PM⊥BE.
方法技巧 1．证明直线与平面垂直的常用方法 (1)利用线面垂直的判定定理，这是主要证明方法． (2)利用“两平行线中的一条与平面垂直，则另一条也 与这个平面垂直”． (3)利用“一条直线垂直于两个平行平面中的一个，则 与另一个也垂直”． (4)利用面面垂直的性质定理．