数学苏教必修单元检测：第章三角恒等变换附答案 含解析

数学苏教必修4第3章 三角恒等变换单元检测
(满分：100分 时间：60分钟)
一、填空题(本大题共10小题，每小题5分，共50分)
1．若α
的值为__________．
2．设a ＝sin 14°＋cos 14°，b ＝sin 16°＋cos 16°，2c ，则a ，b ，c 的大小关系是__________．
3．已知2
sin 3
α＝，则cos(π－2α)＝__________. 4．(1＋tan 21°)(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)(1＋tan 24°)的值是__________．
5
__________．
6．已知α∈(π，2π)＝__________. 7．若π1sin =63α⎛⎫- ⎪⎝⎭，则2πcos 23α⎛⎫+ ⎪⎝⎭
＝__________. 8．若θ是第三象限角，且sin 4θ＋cos 4θ＝59
，则sin 2θ的值为__________． 9．(2012江苏高考，11)设α为锐角，若π4cos =65α⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 212α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值为__________．
10．已知a ，b ，c 为△ABC 的三个内角A ，B ，C 的对边，向量m ＝，－1)，n ＝(cos A ，sin A )．若m ⊥n ，且a cos B ＋b cos A ＝c sin C ，则角B ＝__________.
二、解答题(本大题共4小题，共50分)
11．(12分)已知12cos 13α＝，4sin 5
β-＝，α，β均是第四象限角，求sin(α－β)的值． 12．(12分)已知函数()π4cos sin 16f x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭＝－． (1)求f (x )的最小正周期；
(2)求f (x )在区间ππ,64⎡⎤-⎢⎥⎣⎦
上的最大值和最小值． 13．(12分)化简下列各式：
； (2)sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°. 14．(14分)已知函数()πtan 24f x x ⎛
⎫+
⎪⎝⎭＝. (1)求f (x )的定义域与最小正周期；
(2)设α∈π0,4⎛
⎫ ⎪⎝⎭，若2cos 22f αα⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝，求α的大小．
参考答案
1. 答案：－3
解析：原式＝cos 2sin |cos ||sin |αααθ+＝cos 2sin cos sin αααα
+--＝－1－2＝－3. 2. 答案：a ＜c ＜b
解析：a sin 59°，b sin 61°，c sin 60°，
所以a ＜c ＜b .
3. 答案：19
- 解析：cos(π－2α)＝－cos 2α＝－(1－2sin 2α)＝19-
. 4. 答案：4
解析：(1＋tan 21°)(1＋tan 24°)＝1＋tan 21°＋tan 24°＋tan 21°tan 24°＝1＋[tan(21°＋24°)(1－tan 21°tan 24°)]＋tan 21°tan 24°＝2，
同理，(1＋tan 22°)(1＋tan 23°)＝2，
所以原式＝4.
5.
解析：
＝cos20cos35(cos10sin10)︒︒⋅︒-︒
＝sin70︒︒. 6. 答案：cos 2
α
-
∵α∈(π，2π)，∴2α∈ππ2⎛⎫ ⎪⎝⎭
，.
∴cos <02α.cos 2
α-. 7. 答案：79
- 解析：∵πsin 6α⎛⎫- ⎪⎝⎭＝ππcos 26
α⎡⎤⎛⎫-- ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝π1cos =33α⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴2πcos 23α⎛⎫+
⎪⎝⎭＝πcos 23
α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝⎭⎣⎦ ＝2π2cos 13α⎛⎫+- ⎪⎝⎭＝2×19－1＝79-.
8. 答案：3
解析：(sin 2θ＋cos 2θ)2＝sin 4θ＋2sin 2θcos 2θ＋cos 4θ ＝
5192+sin 22θ＝1，故28sin 29
θ＝. 又因为2k π＋π＜θ＜2k π＋3π2(k ∈Z )， 所以4k π＋2π＜2θ＜4k π＋3π(k ∈Z )．
所以sin 2θ＞0，即sin 23θ＝
.
9. 解析：∵α为锐角，π4cos =65α⎛
⎫+
⎪⎝⎭， ∴π3sin =65
α⎛⎫+ ⎪⎝⎭， ∴πsin 26α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦＝ππ2sin cos 66αα⎛⎫⎛⎫++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭ ＝34242=5525
⨯⨯， 且0＜α＋π6＜π4，故0＜α＜π12
， ∴π26α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭＝2α＋π3∈ππ,32⎛⎫ ⎪⎝⎭， ∴π7cos 2=625α⎡⎤⎛⎫+ ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦， ∴πsin 212α⎛
⎫+ ⎪⎝⎭ππsin 234α⎡⎤⎛⎫+- ⎪⎢⎥⎝
⎭⎣⎦＝ ＝ππsin 2cos 34α⎛⎫+
⎪⎝⎭ππcos 2sin 34α⎛⎫+ ⎪⎝⎭
－ ＝ππππsin 2cos cos 2sin 6464αα⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫+-+ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝
⎭⎣⎦⎣⎦
＝2472525-. 10. 答案：π6
解析：m ⊥n ⇒3cos A －sin A ＝0⇒A ＝π3
，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin C sin C ，sin A cos B ＋sin B cos A ＝sin(A ＋B )＝sin C ＝sin 2C ⇒C ＝π2，∴B ＝π6. 11. 解：∵α，β均是第四象限角，
∴5
sin=
13
α-，
3
cos
5
β.
∴sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β
＝5312433
=
13513565
⎛⎫
-⨯-⨯-
⎪
⎝⎭
.
12.解：(1)因为()
π
4cos sin1
6
f x x x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
＝－
＝1
4cos cos1
22
x x x
⎛⎫
+
⎪
⎪
⎝⎭
－
sin 2x＋2cos2x－1
sin 2x＋cos 2x＝
π
2sin2
6
x
⎛⎫
+
⎪
⎝⎭
，
所以f(x)的最小正周期为π.
(2)因为
π
6
－≤x≤
π
4
，
所以
π
6
－≤2x＋
π
6
≤
2π
3
.
于是，当2x＋
π
6
＝
π
2
，
即当
π
6
x＝时，f(x)取得最大值2；
当2x＋
π
6
＝
π
6
－，即
π
6
x＝－时，f(x)取得最小值－1．
13.解：(1)
2sin801
2sin50cos10
cos1022
⎛⎫
︒
︒+︒+︒
⎪
︒
()
2sin80
2sin50cos6010
︒
︒+︒-︒
＝
2
cos5
⎫
︒︒⎪
⎝⎭
︒
＝2cos(5045)
cos5
︒-︒
︒
＝2.
(2)解法一：sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°
＝1
2
cos 20°cos 40°cos 80°
＝2sin20cos20cos40cos80
4sin20
︒︒︒︒
︒
＝
2sin 40cos 40cos802sin80cos808sin 2016sin 20︒︒︒︒︒=︒︒
＝sin160116sin 2016︒==︒. 解法二：令M ＝sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°，
N ＝cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°，
则MN ＝(sin 10°cos 10°)(sin 30°cos 30°)(sin 50°cos 50°)(sin 70°cos 70°) ＝
412
sin 20°sin 60°sin 100°sin 140° ＝412cos 10°cos 30°cos 50°cos 70°＝412
N ， ∴116M ＝，即sin 10°sin 30°sin 50°sin 70°＝116
. 14. 解：(1)由ππ242
x k π+≠+，k ∈Z ， 得ππ82
k x ≠+，k ∈Z ， 所以f (x )的定义域为ππ|,82k x x k ⎧⎫∈≠+∈⎨⎬⎩⎭
R Z . f (x )的最小正周期为π2
. (2)由2f α⎛⎫ ⎪⎝⎭
＝2cos 2α， 得πtan 4α⎛⎫+ ⎪⎝
⎭＝2cos 2α， 即πsin 4πcos 4αα⎛⎫+ ⎪⎝⎭⎛⎫+ ⎪⎝
⎭＝2(cos 2 α－sin 2 α)， 整理得sin cos cos sin αααα
+-＝2(cos α＋sin α)(cos α－sin α)． 因为α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭
，所以sin α＋cos α≠0. 因此(cos α－sin α)2＝12，即1sin 22
α＝. 由α∈π0,4⎛⎫ ⎪⎝⎭，得2α∈π0,2⎛⎫ ⎪⎝⎭
. 所以π2=6α，即π=12α.。