高三一轮数学理复习三角函数的模型及应用ppt文档
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高三一轮数学理复习三角函数的模型及应用
第25讲 三角函数的模型及应用
1．(2012·粤西北九校联考)如图，设 A、B 两点在 河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选 定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠
CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为( A )
4．有一长为 100 米的斜坡，它的倾斜角为 45°，现要把
倾斜角改为 30°，则坡底需伸长
米．
解析：坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不 变，即仍为 50 2，当坡的倾斜角变为 30°时，坡底的长度为 50 6，所以坡度改后，坡底伸长了 50( 6－ 2)米．
一 解三角形的实际应用题
最长．
亦即将∠PMN 设计为 30°时，折线段赛道 MNP 最长．
200 3 C. 3 m
200 D. 3 m
解析：画出示意图(如图)，由题意可知，∠DAC＝60°， ∠OAC＝∠DAB＝30°，
在△AOC 中，AO＝200，
所以 OC＝2003 3， 而 AD＝OC＝2003 3， 在△ABD 中，
BD＝2003 3× 33＝2300， 因此塔高为 200－2300＝4030(m)， 故选 A.
解析：①需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角分 别为 α1，β1；B 点到 M，N 点的俯角分别为 α2，β2；A，B 的 距离 d.
②第一步：计算 AM.由正弦定理得 AM＝sindsαi1n＋α2α2； 第二步：计算 AN.由正弦定理得 AN＝sindsβi2n－β2β1； 第三步：计算 MN.由余弦定理得 MN＝ AM2＋AN2－2AM·ANcosα1－β1.
【例 1】(2012·山东滨州高三期中联考)如图，正在海上 A 处执行任务的渔政船甲和在 B 处执行任务的渔政船乙， 同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船 丙在渔政船甲的南偏东 40°方向距渔政船甲 70 km 的 C 处， 渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20°方向的 B 处，两艘渔政船 协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在 B 处执行任务，渔政船 甲航行 30 km 到达 D 处时，收到新的指令另有重要任务必
在△BDC 中，由余弦定理得： BC2＝DC2＋BD2－2DC·BDcos ∠BDC ＝402＋422－80×42cos(60°＋α) ＝3844， 所以 BC＝62(km)． 答：渔政船乙要航行 62 km 才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救．
【拓展演练 1】 如图，为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向 在 A，B 两点进行测量．A，B，M，N 在同一个铅垂平面内(如 图所示)，飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离．请设 计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在 图中标出)；②用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤．
二 三角函数的实际应用题
【例 2】如图，某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修 建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段 为函数 y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最 高点为 S(3,2 3)；赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛 运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
由正弦定理得sinM1P20°＝sNinPθ＝sin6M0N°－θ.
所以
NP＝103
3 sin
θ，MN＝103
3sin(60°－θ)，
故
NP＋MN＝103
3 sin
θ＋103
3sin(60°－θ)
＝103 3(12sin θ＋ 23cos θ)
＝103 3sin(θ＋60°)．
因为 0°<θ<60°，所以，当 θ＝30°时，折线段赛道 MNP
须执行，于是立即通知在 B 处执行任务的渔政船乙前 去救援渔船丙(渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙)， 此时 B、D 两处相距 42 km，问渔政船乙要航行多少距离才 能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救．
解析：设∠ABD＝α. 在△ABD 中，AD＝30，BD＝42，∠BAD＝60°， 由正弦定理得：sAinDα＝sin B∠DBAD， 则 sin α＝ABDDsin ∠BAD＝3402sin 60°＝5143， 又因为 AD＜BD， 所以 0°<α<60°，cos α＝ 1－sin2α＝1114. cos ∠BDC＝cos(60°＋α)＝－17，
3．(2013·临沂二模)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km，B 船在灯塔 C 北偏西 40°处， A、B 两船间的距离为 3 km，则 B 船到灯塔 C 的距离为 km.
解析：由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2， AB＝3.
设 B 船到灯塔 C 的距离为 x，即 BC＝x， 由余弦定理可知 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°， 即 9＝4＋x2－2×2x×(－12)， 整理得 x2＋2x－5＝0， 解得 x＝－1－ 6(舍去)或 x＝－1＋ 6.
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
解析：在△ABC 中，由正弦定理得sinAC30°＝sinAB45°， 所以 AB＝50 2(m)．
2．在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的
俯角分别是 30°、60°，则塔高为( A )
400 A. 3 m
400 3 B. 3 m
(段赛道 MNP 最长？
解析：(1)依题意，有 A＝2 3，T4＝3.又 T＝2ωπ，所以 ω＝π6.所以 y＝2 3sinπ6x.当 x＝4 时，y＝2 3sin23π＝3， 所以 M(4,3)． 又 P(8,0)，所以 MP＝ 42＋32＝5. (2)在△MNP 中，∠MNP＝120°，MP＝5.连接 MP， 设∠PMN＝θ，则 0°<θ<60°.
第25讲 三角函数的模型及应用
1．(2012·粤西北九校联考)如图，设 A、B 两点在 河的两岸，一测量者在 A 的同侧，在所在的河岸边选 定一点 C，测出 AC 的距离为 50 m，∠ACB＝45°，∠
CAB＝105°后，就可以计算出 A、B 两点的距离为( A )
4．有一长为 100 米的斜坡，它的倾斜角为 45°，现要把
倾斜角改为 30°，则坡底需伸长
米．
解析：坡的倾斜角即为坡度，依题意知，该坡的高度不 变，即仍为 50 2，当坡的倾斜角变为 30°时，坡底的长度为 50 6，所以坡度改后，坡底伸长了 50( 6－ 2)米．
一 解三角形的实际应用题
最长．
亦即将∠PMN 设计为 30°时，折线段赛道 MNP 最长．
200 3 C. 3 m
200 D. 3 m
解析：画出示意图(如图)，由题意可知，∠DAC＝60°， ∠OAC＝∠DAB＝30°，
在△AOC 中，AO＝200，
所以 OC＝2003 3， 而 AD＝OC＝2003 3， 在△ABD 中，
BD＝2003 3× 33＝2300， 因此塔高为 200－2300＝4030(m)， 故选 A.
解析：①需要测量的数据有：A 点到 M，N 点的俯角分 别为 α1，β1；B 点到 M，N 点的俯角分别为 α2，β2；A，B 的 距离 d.
②第一步：计算 AM.由正弦定理得 AM＝sindsαi1n＋α2α2； 第二步：计算 AN.由正弦定理得 AN＝sindsβi2n－β2β1； 第三步：计算 MN.由余弦定理得 MN＝ AM2＋AN2－2AM·ANcosα1－β1.
【例 1】(2012·山东滨州高三期中联考)如图，正在海上 A 处执行任务的渔政船甲和在 B 处执行任务的渔政船乙， 同时收到同一片海域上一艘渔船丙的求救信号，此时渔船 丙在渔政船甲的南偏东 40°方向距渔政船甲 70 km 的 C 处， 渔政船乙在渔政船甲的南偏西 20°方向的 B 处，两艘渔政船 协调后立即让渔政船甲向渔船丙所在的位置 C 处沿直线 AC 航行前去救援，渔政船乙仍留在 B 处执行任务，渔政船 甲航行 30 km 到达 D 处时，收到新的指令另有重要任务必
在△BDC 中，由余弦定理得： BC2＝DC2＋BD2－2DC·BDcos ∠BDC ＝402＋422－80×42cos(60°＋α) ＝3844， 所以 BC＝62(km)． 答：渔政船乙要航行 62 km 才能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救．
【拓展演练 1】 如图，为了测量两山顶 M，N 间的距离，飞机沿水平方向 在 A，B 两点进行测量．A，B，M，N 在同一个铅垂平面内(如 图所示)，飞机能够测量的数据有俯角和 A，B 间的距离．请设 计一个方案，包括：①指出需要测量的数据(用字母表示，并在 图中标出)；②用文字和公式写出计算 M，N 间的距离的步骤．
二 三角函数的实际应用题
【例 2】如图，某市拟在长为 8 km 的道路 OP 的一侧修 建一条运动赛道，赛道的前一部分为曲线段 OSM，该曲线段 为函数 y＝Asin ωx(A>0，ω>0)，x∈[0,4]的图象，且图象的最 高点为 S(3,2 3)；赛道的后一部分为折线段 MNP.为保证参赛 运动员的安全，限定∠MNP＝120°.
由正弦定理得sinM1P20°＝sNinPθ＝sin6M0N°－θ.
所以
NP＝103
3 sin
θ，MN＝103
3sin(60°－θ)，
故
NP＋MN＝103
3 sin
θ＋103
3sin(60°－θ)
＝103 3(12sin θ＋ 23cos θ)
＝103 3sin(θ＋60°)．
因为 0°<θ<60°，所以，当 θ＝30°时，折线段赛道 MNP
须执行，于是立即通知在 B 处执行任务的渔政船乙前 去救援渔船丙(渔政船乙沿直线 BC 航行前去救援渔船丙)， 此时 B、D 两处相距 42 km，问渔政船乙要航行多少距离才 能到达渔船丙所在的位置 C 处实施营救．
解析：设∠ABD＝α. 在△ABD 中，AD＝30，BD＝42，∠BAD＝60°， 由正弦定理得：sAinDα＝sin B∠DBAD， 则 sin α＝ABDDsin ∠BAD＝3402sin 60°＝5143， 又因为 AD＜BD， 所以 0°<α<60°，cos α＝ 1－sin2α＝1114. cos ∠BDC＝cos(60°＋α)＝－17，
3．(2013·临沂二模)已知 A 船在灯塔 C 北偏东 80°处，且 A 船到灯塔 C 的距离为 2 km，B 船在灯塔 C 北偏西 40°处， A、B 两船间的距离为 3 km，则 B 船到灯塔 C 的距离为 km.
解析：由题意知，∠ACB＝80°＋40°＝120°，AC＝2， AB＝3.
设 B 船到灯塔 C 的距离为 x，即 BC＝x， 由余弦定理可知 AB2＝AC2＋BC2－2AC·BCcos 120°， 即 9＝4＋x2－2×2x×(－12)， 整理得 x2＋2x－5＝0， 解得 x＝－1－ 6(舍去)或 x＝－1＋ 6.
A．50 2 m
B．50 3 m
C．25 2 m
25 2 D. 2 m
解析：在△ABC 中，由正弦定理得sinAC30°＝sinAB45°， 所以 AB＝50 2(m)．
2．在 200 m 高的山顶上，测得山下一塔的塔顶和塔底的
俯角分别是 30°、60°，则塔高为( A )
400 A. 3 m
400 3 B. 3 m
(段赛道 MNP 最长？
解析：(1)依题意，有 A＝2 3，T4＝3.又 T＝2ωπ，所以 ω＝π6.所以 y＝2 3sinπ6x.当 x＝4 时，y＝2 3sin23π＝3， 所以 M(4,3)． 又 P(8,0)，所以 MP＝ 42＋32＝5. (2)在△MNP 中，∠MNP＝120°，MP＝5.连接 MP， 设∠PMN＝θ，则 0°<θ<60°.