长春市东北师范大学附属中学届高三高考总复习阶段测试卷数学试题及答案1(文)

吉林省长春市东北师范大学附属中学2015届高三
高考总复习阶段测试卷1（文）
第I 卷（选择题，共60分）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1．已知全集U R =,集合{}|2A x x =≥，{|05}B x x =≤<，则集合)U C A B ⋂=（ （ ）
A ．{|02}x x <<
B ．{|02}x x <≤
C ．{|02}x x ≤<
D ．{|02}x x ≤≤
2．命题“若1,x >则0x >”的否命题是 （ ）
A ．若1x >，则0x ≤
B ．若1x ≤，则0x >
C ．若1x ≤，则0x ≤
D ．若1x <，则0x < 3．在复平面内复数-3
1+z i
=的对应点在（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
4．函数1()(0,1)x f x a a a -=>≠的图象恒过点A ，下列函数中图象不经过点A 的是（ ）
A 、y
B 、y ＝｜x －2｜
C 、y ＝2x －1
D 、y ＝2log (2)x
5．与椭圆:C 2211612
y x +=共焦点且过点的双曲线的标准方程为（ ）
A ．22
13y x -= B ．22
21y x -= C ．22122y x -= D ．2213
y x -=
6．已知向量a b 、
是夹角为60°的两个单位向量，向量λa b ＋（λ∈R ）与向量2-a b 垂直，则实数λ的值为（ ）
A 、1
B 、－1
C 、2
D 、0
7按如图所示的程序框图运行后，若输出的结果是63，则判断框的整数M 的值是
（ ）
A ．5
B ．6
C ．7
D ．8
8、已知函数sin()y x ωϕ=+的最小正周期为2
π
，直线3
x π
=
是其图像的一条对称轴，则下
面各式中符合条件的解析式为（ ） A ．sin(4)6
y x π
=+
B ．sin(2)3
y x π
=+
C ．sin(4-
)3
y x π
=
D ．15sin()4
12
y x π=+
9．点A B C D 、、、在同一个球的球面上，AB BC ==2AC =，若四面体ABCD 体
积的最大值为2
3
，则这个球的表面积为 （ ） A ．
1256π
3 B ．8π
C ．254
π
D ．
2516π
10、已知函数()1,()ln f x g x a x =+=，若在1
4
x =处函数f （x ）与g （x ）的图象的切
线平行，则实数a 的值为( ) A 、
1
4
B 、
1
2
C 、1
D 、4
11若点P 在抛物线2
4y x =上，则点P 到点(2,3)A 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之差 （ ）
A ．有最小值，但无最大值
B 有最大值但无最小值
C ．既无最小值，又无最大值
D ．既有最小值，又有最大值
12．已知函数1
3
2,0()log ,0x a x f x x x ⎧⨯≤⎪
=⎨>⎪⎩，若关于x 的方程f （f （x ））＝0有且仅有一个实数解，
则实数a 的取值范围是（ ） A 、（－∞，0） B 、（－∞，0）∪（0,1） C 、（0,1）
D 、（0,1）∪（1，＋∞）
第II 卷（非选择题，共90分）
本卷包括必考题和选考题两部分，第13题 ~ 第21题为必考题，每个试题要求考生必须作答，第22题 ~ 第24题为选考题，考生根据要求作答。

二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．设x ，y 满足约束条件360
2000
x y x y x y --≤⎧⎪-+≥⎪
⎨≥⎪⎪≥⎩，则目标函数2z x y =+的最大值为__________。

14．已知某几何体的三视图如图，其中正视图中半圆直径为2，则该几何体的体积____
15、已知函数()ln 1x
f x x
=-，若()()f a f b +＝0，且0＜a ＜b ＜1，则ab 的取值范围是＿＿＿
16．在ΔABC
中，2
2sin 2A A =，sin()2cos sin B C B C -=，则
AC
AB
__________。

三、解答题（本大题共70分。

解答应写出文字说明） 17．（本小题满分12分）
已知等比数列{}n a 的所有项均为正数，首项1a ＝1，且435,3,a a a 成等差数列。

（1）求数列{}n a 的通项公式；
（2）数列{1n n a a λ+-}的前n 项和为n S ，若n S ＝21(*)n
n N -∈，求实数λ的值。

18．（本小题满分12分）
PM2.5是指悬浮在空气中的空气动力学当量直径小于或等于2.5微米的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，根据现行国家标准GB3095 – 2012，PM2.5日均值在35微克/立方米以下空气质量为一级；在35微克/立方米 ~ 75毫克/立方米之间空气质量为二级；在75微克/立方米以上空气质量为超标。

从某自然保护区2012年全年每天的PM2.5监测值数据中随机地抽取12天的数据作为样本，监测值如茎叶图所示（十位为茎，个位为叶）： （I ）求空气质量为超标的数据的平均数与方差；
（II ）从空气质量为二级的数据中任取2个，求这2个数据的和小于100的概率； （III ）以这12天的PM2.5日均值来估计2012年的空气质量情况，估计2012年（按366天算）中大约有多少天的空气质量达到一级或二级。

19．（本小题满分12分）
如图，三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱AA 2⊥底面ABC ，∠ACB = 90°，E 是棱CC 1的中点，F 是AB 中点，AC ＝BC =1，AA 1 = 1。

（1）求证：CF ∥平面AEB 1；
（2）求三棱蕉C －AB 1E 在底面AB 1E 上的高。

20．（本小题满分12分）已知点E (m ,0)为抛物线24y x 内的一个定点，过E 作斜率分别为k 1、k 2的两条直线交抛物线于点A 、B 、C 、D ，且M 、N 分别是AB 、CD 的中点
（1）若m = 1，k 1k 2 = －1，求三角形EMN 面积的最小值；
（2）若k 1 + k 2 = 1，求证：直线MN 过定点。

第18题图
PM2.5日均值（微克/立方米）
2 6
3 0 2
4 7
5 0 3 7
6 8
7 7 9
8 4 8
21．（本小题满分12分）
已知函数23
11()(0)23
f x x ax a =
->，函数()()(1)x g x f x e x =+-，函数的导函数为'()g x 。

（1）求函数()f x 的极值 （2）若a e =，
（i ）求函数()g x 的单调区间
（ii ）求证：0x >时，不等式'()1ln g x x ≥+恒成立
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

做题时请写清题号。

23．（本小题满分10分）
选修4 - 4：坐标系与参数方程
在直角坐标系xOy 中，圆C 1和C 2的参数方程分别是22cos 2sin x y ϕ
ϕ=+⎧⎨=⎩（φ为参数）和
cos 1sin x y ϕ
ϕ
=⎧⎨
=+⎩（φ为参数），以O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系。

（1）求圆C 1和C 2的极坐标方程；
（2）射线OM :θ = α与圆C 1的交点为O 、P ，与圆C 2的交点为O 、Q ，求| OP | · | OQ |的最大值
24．（本小题满分10分）
选修4 - 5：不等式选讲
设函数()||2f x x a x =-+，其中a > 0。

（1）当a = 2时，求不等式()21f x x ≥+的解集；
（2）若(2,)x ∈-+∞时，恒有()0f x >，求a 的取值范围。

第9小题
D
C
B
O 1
O
A
参考答案
1、解析：
{}|2U C A x x =<){|02}U C A B x x ∴⋂=≤<（，故选C
2、解析：．命题“若1,x >则0x >”的否命题是：若1x ≤，则0x ≤，故选C
3、解析：-3-3(1-)3333+1+2222i i z i i -+=
===-，而点33
(,)22
-
在第二象限，故选B 4、解析：由题知：点(1,1)A ，经验证可得：y 的图像不经过点(1,1)A ，故选A 5
、解析：由题知：焦距为4，排除B,又焦点在y 轴上排除A ，将代入C 、D 可得C
正确，故选C 6、解析：
向量λa b ＋（λ∈R ）与向量2-a b 垂直
()(2)=0λ∴∙-a b a b ＋
又向量a b 、
是夹角为60°的两个单位向量 =0λ∴，故选D
7、解析：按框图推演可得：M 的值为：6，故选B 8、解析：由题得： 242
π
ωπ
=
=
()sin(4)f x x ϕ∴=+
又直线3
x π
=
是()f x 图像的一条对称轴
43
2
k π
π
ϕπ∴⨯
+=+
5,6
k k Z π
ϕπ∴=-
∈ 故可得：sin(4)6
y x π
=+符合条件，所以选 A
9、解析：
AB BC ==，2AC =，
ABC ∴∆是直角三角形，
ABC ∴∆的外接圆的圆心在边1AC 的中点O 如图所示，若
使四面体ABCD 体积的最大值只需使点D 平面ABC 的距
离最大，又1OO ⊥平面ABC ,所以点D 是直线1OO 与球的交点最大。

设球的半径为R ,则由体积公式有:12O D = 在1t R AOO ∆中，221(2)R R =+-,解得：54
R =
∴25=
4
O S π
球的表面积，故选C 10
、解析：''()()a f x g x x
==
，又在1
4x =处函数f （x ）与g （x ）的图象的切线平
行
∴''11
()()44f g =
∴1
4
a =，故选A
11、解析：做出抛物线24y x =及准线如图所示并作直线AF 交抛物线于点12P P ，,作
PB B ⊥准线于点
过点A 作直线1AA 交准线与1A 、交抛物线于点3P ,过点A 作2AA PB ⊥于2A
x =-1
第11小题图
P 1P 2
B
A 2
P 3
A 1
A (2，3)O
F
P
由题可得：||||||PA PF AF -≤其中当且仅当2P P 点与点重合时取等号，即：点P 到点
(2,3)A 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之差取得最大值
当点P 不与点3P 重合时有：2||||PA PA >
∴2||||||||
PA PF PA PB ->-
22222222||||||(||||)=2|||||||(||+||)3PA PF PA A B PA PA PA PF PA A B PA ∴->--->-=-|-|A B|>-3或
当点
P 不与点3P 重合时：有
||||=-3PA PF -
综上可知：点P 到点(2,3)A 的距离与点P 到抛物线焦点的距离之差 既有最小值，又有最大值 故选D
12、解析：结合选项特点知：0a ≠ 下面采取赋值排除法：当2a =时，关于x 的方程f （f （x ））＝0有两解1x =-或1
3
x =，从而排除D;当2a =-时，关于x 的方程f （f （x ））＝0有且仅有一个实数解;当1
2
a =时，关于x 的方程f （f （x ））＝0有且仅有一个实数解,故选B
132z x y =+经过点(46)B ，
时， 2x y +的取得最大值为14，∴目标函数2z x y =+为14
14、解析：由视图知：所求的几何体体积等于一个长方体的体积减去半个圆柱的体积即：1
(12132-2V π=++⨯⨯⨯⨯）15、解析：由题得：1a b += 从而有：1b a =-
∴2ab a a =-
又0＜a ＜b ＜1
102a ∴<<
1
04ab ∴<<
∴ab 的取值范围是： 1
(0,)4
16、解析：21
2sin 1-cos sin()262
A A A A A π=⇔=⇔+=
又0A π<<
76
6
6
A π
π
π
∴
<+
<
566
A ππ
∴+=
23
A π∴=
再由余弦定理得:2
2
2
a b c bc =++①
将sin()2cos sin B C B C -=展开得：sin cos 3cos sin B C B C =
222
22b c a ∴-=将其角化边得：②
将2
2
①代入②得：b -3c -bc=0 左右两边同除以bc 得：
310b c
c b
-⨯-=③
解③得：
b c =
b c =（舍）
∴
AC AB b c
==17、解析：（Ⅰ）设数列{}n a 的公比为q ，由条件，423,3,q q q 成等差数列，
4326q q q +=∴……2分
解得2,3=-=q q 或……4分 数列{}n a 的通项公式为……6分
（Ⅱ）记n n n a a b λ-=+1,则112)2(22---=⋅-=n n n n b λλ ……7分 若0,0,2===n n S b λ不符合条件； ……8分 若2≠λ， 则21
=+n
n b b ，数列{}n b 为等比数列，首项为λ-2，公比为2 此时)12)(2()21(2
1)
2(--=---=
n n n S λλ ……10分 *)(12N n S n n ∈-=∴1=λ ……12分
18、解析：（I ）空气质量为超标的数据有四个：77，79，84，88 平均数为824
88
847977=+++=x ……2分
方差为5.18])8288()8284()8279()8277[(4
1
22222=-+-+-+-⨯=
s ……4分 （II ）空气质量为二级的数据有五个：47，50，53，57，68 任取两个有十种可能结果：｛47，50｝，｛47，53｝，｛47，57｝，｛47，68｝，｛50，53｝，｛50，57｝，｛50，68｝，｛53，57｝，｛53，68｝，｛57，68｝， 两个数据和小于100的结果有一种：｛47，50｝
记“两个数据和小于100”为事件A ，则P(A)=
10
1
即从空气质量为二级的数据中任取2个，这2个数据和小于100的概率为
10
1
……8分 （III ）空气质量为一级或二级的数据共8个，所以空气质量为一级或二级的频率为
32
128= ……10分 2443
2
366=⨯
，所以，2012年的366天中空气质量达到一级或二级的天数估计为244天． ……12分 19、解析：（Ⅰ）证明：取AB 1的中点G ，联结EG ，FG ， F 、G 分别是AB 、AB 1中点，111
//,2
FG BB FG BB ∴=
E 为侧棱1CC 的中点，∴FG ∥EC ，FG ＝EC ，
所以四边形FGEC 是平行四边形 ……4分
EG CF //∴， CF ⊄平面AB 1E ，EG ⊂平面AB 1E //CF ∴平面AB 1E . ……6分 （Ⅱ） 三棱柱ABC —A 1B 1C 1的侧棱ABC AA 底面⊥1，⊥∴1BB 面ABC . 又 AC ⊂平面ABC ， 1BB AC ⊥∴ ， ∠ACB ＝90°, BC AC ⊥∴，
.1B BC BB =⋂ ⊥∴AC 平面EB 1C , ⊥∴AC 1CB ……8分
6
1
1)1121(313111=⨯⨯⨯⨯==
∴∆-AC S V C EB C EB A ……10分 2
3
,6,2111=
∴===∆E AB S AB EB AE C EB A E AB C V V 11--= ∴三棱锥E AB C 1-的高为
3
3
311=
∆-E
AB E AB C S V ……12分 20、解析：（Ⅰ）当1m =时，E 为抛物线24y x =的焦点，
∵121k k =-，∴AB ⊥CD
设AB 方程为1(1)y k x =-，1122(,),(,)A x y B x y 由12
(1)
4y k x y x
=-⎧⎨
=⎩，得2
11440k y y k --=，12121
4
,4y y y y k +=
=- AB
中点1212(
,)22x x y y M ++，∴211
22
(1,)M k k +，同理，点211(21,2)N k k +- ……2分
∴
G
1
||||
2
EMN
S EM EN
∆
=⋅==…4分
4
≥=
当且仅当2
12
1
1
k
k
=，即
1
1
k=±时，△EMN的面积取最小值4．……6分
（Ⅱ）证明：设AB方程为
1
()
y k x m
=-，
1122
(,),(,)
A x y
B x y
由1
2
()
4
y k x m
y x
=-
⎧
⎨
=
⎩
，得2
11
440
k y y k m
--=，
1212
1
4
,4
y y y y m
k
+==-AB中点1212
(,)
22
x x y y
M
++
，∴
2
11
22
(,)
M m
k k
+，同理，点
2
22
22
(,)
N m
k k
+…8分
∴12
12
12
M N
MN
M N
y y k k
k k k
x x k k
-
===
-+
……10分
∴MN：
122
11
22
[()]
y k k x m
k k
-=-+，即
12
()2
y k k x m
=-+
∴直线MN恒过定点(,2)
m．……12分
21、解析：（Ⅰ）)1
(
)
('
,02
a
x
ax
ax
x
x
f
a-
-
=
-
=
∴
>
a
x
x
x
f
1
,0
)
('=
=
⇔
=
∴或
)0,
(-∞
∴上，0
)
('<
x
f；)
1
,0(
a
上0
)
('>
x
f；)
,
1
(+∞
a
上0
)
('<
x
f……2分
)
(x
f
∴的极小值为0
)0(=
f；函数)
(x
f的极大值为
2
6
1
)
1
(
a
a
f=……4分
（Ⅱ）e
a=
)1
(
3
1
2
1
)
(3
2-
+
-
=
∴x
e
ex
x
x
g x，)1
(
)
('+
-
=ex
e
x
x
g x
（ⅰ）记e
e
x
h
ex
e
x
h x
x-
=
+
-
=)
('
,1
)
(，
)1,
(-∞上，0
)
('<
x
h，)
(x
h是减函数；)
,1(+∞上，0
)
('>
x
h，)
(x
h是增函数，
1
)1(
)
(>
=
≥
∴h
x
h，……6分
则在)
,0(+∞上，0
)
('>
x
g；在)0,
(-∞上，0
)
('<
x
g，
故函数)
(x
g的单调递增区间是)
,0(+∞，单调递减区间是)0,
(-∞……8分
（ⅱ）0
>
x时，
x
x
ex
e
x
ex
e
x
x
g x
x
ln
1
1
ln
1
)1
(
)
('
+
≥
+
-
⇔
+
≥
+
-
=
由（ⅰ）知，1
1
)
(≥
+
-
=ex
e
x
h x
记)0(ln 1)(>-+=x x x x ϕ，则x
x
x -=
1)('ϕ， 在区间)1,0(上，0)('>x ϕ，)(x ϕ是增函数；在区间),1(+∞上，0)('<x ϕ，)(x ϕ是减函数，
0)1()(=≤∴ϕϕx ，1ln 1,0ln 1≤+∴
≤-+∴x
x
x x ……10分 x
x
ex e x ln 111+≥
≥+-∴，即x x g ln 1)('+≥成立。

……12分 22、解析：（Ⅰ）证明：连接OD ，则OD MD ⊥
90,90,O O ,o o CEO ECO MDE EDO ED EC CEO MDE MED MD ME
∠+∠=∠+∠=∠=∠∴∠=∠=∠∴=又 ……5分
（Ⅱ）解：由（Ⅰ）1)2(32=∴+⋅=∴⋅=MA MA MA MB MA MD
在Rt MDO ∆中，2,MO MD ==
60,15015MOD COD ECO ∴∠=∴∠=∴∠=
2615cos 1
cos -==∠=
o
ECO OC CE ……10分
23、解析：（Ⅰ）圆1C 和2C 的的普通方程分别是4)2(22=+-y x 和1)1(22=-+y x ，
所以圆1C 和2C 的的极坐标方程分别是θρcos 4=和θρsin 2=. ……5分 （Ⅱ）依题意得，点Q P ,的极坐标分别为(4cos ,)P αα和(2sin ,)Q αα 所以|cos 4|||α=OP ，|sin 2|||α=OQ .从而|||||4sin 2|4OP OQ α⋅=≤.
当且仅当sin 21α=±时，上式取“=”即，||||OP OQ ⋅的最大值是4. ……10分。