鞍山市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

鞍山市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．已知点A（1，2），B（3，1），则线段AB的垂直平分线的方程是（）
A．4x+2y=5 B．4x﹣2y=5 C．x+2y=5 D．x﹣2y=5
2．如图所示的程序框图输出的结果是S=14，则判断框内应填的条件是（）
A．i≥7？B．i＞15？C．i≥15？D．i＞31？
3．若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）
A．＞B．＞C．|a|＞|b| D．a2＞b2
4．设F1，F2分别是椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，若∠F1PQ=60°，|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（）
A．B．C．D．
5．设函数y=的定义域为M，集合N={y|y=x2，x∈R}，则M∩N=（）
A．∅B．N C．[1，+∞）D．M
6．与函数y=x有相同的图象的函数是（）
A．B．C．D．
7．3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检，每校分配1名医生和2名护士．不同的分配方法共有（）
A．90种B．180种C．270种D．540种
8．若动点A，B分别在直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0上移动，则AB的中点M到原点的距离的最小值为（）
A．3B．2C．3D．4
9． 将n 2个正整数1、2、3、…、n 2（n ≥2）任意排成n 行n 列的数表．对于某一个数表，计算某行或某列中
的任意两个数a 、b （a ＞b ）的比值，称这些比值中的最小值为这个数表的“特征值”．当n=2时，数表的所有可能的“特征值”的最大值为（ ）
A ．
B ．
C ．2
D ．3
10．若函数y=a x ﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，则有（ ） A ．a ＞1且b ＜1 B ．a ＞1且b ＞0 C ．0＜a ＜1且b ＞0 D ．0＜a ＜1且b ＜0
1110y -+=的倾斜角为（ ）
A ．150
B ．120
C ．60
D ．30
12．设复数1i z =-（i 是虚数单位），则复数
22
z z
+=（ ） A.1i - B.1i + C. 2i + D. 2i -
【命题意图】本题考查复数的有关概念，复数的四则运算等基础知识，意在考查学生的基本运算能力．
二、填空题
13．如图，△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°，PA ⊥平面ABC ，此图形中有 个直角三角形．
14．已知过双曲线22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点2F 的直线交双曲线于,A B 两点，连结11,AF BF ，若
1||||AB BF =，且190ABF ∠=︒，则双曲线的离心率为（ ）
A ．5-
B
C ．6- D
【命题意图】本题考查双曲线定义与几何性质，意要考查逻辑思维能力、运算求解能力，以及考查数形结合思想、方程思想、转化思想．
15．等比数列{a n }的前n 项和S n ＝k 1＋k 2·2n （k 1，k 2为常数），且a 2，a 3，a 4－2成等差数列，则a n ＝________． 16．在
中，角
、
、
所对应的边分别为、、，若
，则
_________
17．【盐城中学2018届高三上第一次阶段性考试】已知函数f （x ）=()
210{ 21(0)
x
x
x e x x x +≥++<，若函数y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，则a 的取值范围是_____． 18．已知n S 是数列1{}2n n -的前n 项和，若不等式1|12
n n n S λ-+<+｜对一切n N *
∈恒成立，则λ的取值范围是___________．
【命题意图】本题考查数列求和与不等式恒成立问题，意在考查等价转化能力、逻辑推理能力、运算求解能力．
三、解答题
19．已知二次函数f （x ）=x 2+bx+c ，其中常数b ，c ∈R ．
（Ⅰ）若任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0，f （2+x ）≤0，试求实数c 的取值范围；
（Ⅱ）若对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4，试求实数b 的取值范围．
20．一块边长为10cm 的正方形铁片按如图所示的阴影部分裁下，然后用余下的四个全等的等腰三角形加工成一个正四棱锥形容器，试建立容器的容积V 与x 的函数关系式，并求出函数的定义域．
21．已知函数f （x ）=sinx ﹣2sin 2
（1）求f （x ）的最小正周期；
（2）求f （x ）在区间[0，]上的最小值．
22．（本小题满分12分）
已知平面向量(1,)a x =，(23,)b x x =+-，()x R ∈. （1）若//a b ，求||a b -；
（2）若与夹角为锐角，求的取值范围.
23．（本小题满分12分）已知1
()2ln ()f x x a x a R x
=--∈． （Ⅰ）当3a =时，求()f x 的单调区间；
（Ⅱ）设()()2ln g x f x x a x =-+，且()g x 有两个极值点，其中1[0,1]x ∈，求12()()g x g x -的最小值． 【命题意图】本题考查导数的应用等基础知识，意在考查转化与化归思想和综合分析问题、解决问题的能力．
24．已知函数f（x）=lg（2016+x），g（x）=lg（2016﹣x）（1）判断函数f（x）﹣g（x）的奇偶性，并予以证明．（2）求使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合．
鞍山市实验中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：线段AB的中点为，k AB==﹣，
∴垂直平分线的斜率k==2，
∴线段AB的垂直平分线的方程是y﹣=2（x﹣2）⇒4x﹣2y﹣5=0，
故选B．
【点评】本题考查两直线垂直的性质，线段的中点坐标公式，以及用直线方程的点斜式求直线方程的求法．
2．【答案】C
【解析】解：模拟执行程序框图，可得
S=2，i=0
不满足条件，S=5，i=1
不满足条件，S=8，i=3
不满足条件，S=11，i=7
不满足条件，S=14，i=15
由题意，此时退出循环，输出S的值即为14，
结合选项可知判断框内应填的条件是：i≥15？
故选：C．
【点评】本题主要考查了程序框图和算法，依次写出每次循环得到的S，i的值是解题的关键，属于基本知识的考查．
3．【答案】A
【解析】解：∵a＜b＜0，
∴﹣a＞﹣b＞0，
∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，
可知：B，C，D都正确，
因此A不正确．
故选：A．
【点评】本题考查了不等式的基本性质，属于基础题．
4．【答案】D
【解析】解：设|PF1|=t，
∵|PF1|=|PQ|，∠F1PQ=60°，
∴|PQ|=t，|F1Q|=t，
由△F1PQ为等边三角形，得|F1P|=|F1Q|，
由对称性可知，PQ垂直于x轴，
F2为PQ的中点，|PF2|=，
∴|F1F2|=，即2c=，
由椭圆定义：|PF1|+|PF2|=2a，即2a=t=t，
∴椭圆的离心率为：e===．
故选D．
5．【答案】B
【解析】解：根据题意得：x+1≥0，解得x≥﹣1，∴函数的定义域M={x|x≥﹣1}；
∵集合N中的函数y=x2≥0，
∴集合N={y|y≥0}，
则M∩N={y|y≥0}=N．
故选B
6．【答案】D
【解析】解：A：y=的定义域[0，+∞），与y=x的定义域R不同，故A错误
B：与y=x的对应法则不一样，故B错误
C：=x，（x≠0）与y=x的定义域R不同，故C错误
D：，与y=x是同一个函数，则函数的图象相同，故D正确
故选D
【点评】本题主要考查了函数的三要素：函数的定义域，函数的值域及函数的对应法则的判断，属于基础试题7．【答案】D
【解析】解：三所学校依次选医生、护士，不同的分配方法共有：C31C62C21C42=540种．
故选D．
8．【答案】A
【解析】解：∵l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0是平行直线，
∴可判断：过原点且与直线垂直时，中的M到原点的距离的最小值
∵直线l1：x+y﹣7=0和l2：x+y﹣5=0，
∴两直线的距离为=，
∴AB的中点M到原点的距离的最小值为+=3，
故选：A
【点评】本题考查了两点距离公式，直线的方程，属于中档题．
9．【答案】B
【解析】解：当n=2时，这4个数分别为1、2、3、4，排成了两行两列的数表，
当1、2同行或同列时，这个数表的“特征值”为；
当1、3同行或同列时，这个数表的特征值分别为或；
当1、4同行或同列时，这个数表的“特征值”为或，
故这些可能的“特征值”的最大值为．
故选：B．
【点评】题考查类比推理和归纳推理，属基础题．
10．【答案】B
【解析】解：∵函数y=a x
﹣（b+1）（a ＞0，a ≠1）的图象在第一、三、四象限，
∴根据图象的性质可得：a ＞1，a 0
﹣b ﹣1＜0，
即a ＞1，b ＞0， 故选：B
11．【答案】C 【解析】
10y -+=，可得直线的斜率为k =tan 60αα=⇒=，故选C.1 考点：直线的斜率与倾斜角. 12．【答案】A 【
解
析
】
二、填空题
13．【答案】 4
【解析】解：由PA ⊥平面ABC ，则△PAC ，△PAB 是直角三角形，又由已知△ABC 是直角三角形，∠ACB=90°所以BC ⊥AC ，从而易得BC ⊥平面PAC ，所以BC ⊥PC ，所以△PCB 也是直角三角形，
所以图中共有四个直角三角形，即：△PAC ，△PAB ，△ABC ，△PCB ．
故答案为：4
【点评】本题考查空间几何体的结构特征，空间中点线面的位置关系，线面垂直的判定定理和性质定理的熟练应用是解答本题的关键．
14．【答案】B 【
解
析
】
15．【答案】
【解析】当n＝1时，a1＝S1＝k1＋2k2，当n≥2时，a n＝S n－S n－1＝（k1＋k2·2n）－（k1＋k2·2n－1）＝k2·2n－1，∴k1＋2k2＝k2·20，即k1＋k2＝0，①
又a2，a3，a4－2成等差数列．
∴2a3＝a2＋a4－2，
即8k2＝2k2＋8k2－2.②
由①②联立得k1＝－1，k2＝1，
∴a n＝2n－1.
答案：2n－1
16．【答案】
【解析】
因为，所以，
所以，所以
答案：
17．【答案】
11 [133
e e
⎧⎫+⋃+
⎨⎬
⎩⎭
，）
【解析】当x＜0时，由f（x）﹣1=0得x2+2x+1=1，得x=﹣2或x=0，
当x ≥0时，由f （x ）﹣1=0得
110x x
e
+-=，得x=0， 由，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1=0得f （x ）﹣a=0或f （x ）﹣a=﹣2， 即f （x ）=a ，f （x ）=a ﹣2， 作出函数f （x ）的图象如图：
y=
1x
x
e +≥1（x ≥0）， y ′=1x
x e
-，当x ∈（0，1）时，y ′＞0，函数是增函数，x ∈（1，+∞）时，y ′＜0，函数是减函数，
x=1时，函数取得最大值：1
1e
+，
当1＜a ﹣211e <+时，即a ∈（3，3+1
e ）时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有4个零点，
当a ﹣2=1+1e 时，即a=3+1
e 时则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当a ＞3+1
e 时，y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有1个零点
当a=1+1
e 时，则y=
f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点，
当11{ 21
a e a >+-≤时，即a ∈（1+1e
，3）时，y=f （f （x ）﹣a ）﹣1有三个零点．
综上a ∈1
1[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，），函数有3个零点． 故答案为：11[133e
e ⎧⎫+⋃+⎨⎬⎩⎭
，）．
点睛：已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路
（1）直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；
（3）数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解． 18．【答案】31λ-<<
【解析】由221111
1123(1)22
22n n n S n n
--=+⨯
+⨯++-⋅
+，2
111
12222n
S =⨯+⨯+…111(1)22n n n n -+-⋅+⋅，两式相减，得2111111212222222n n n n n S n -+=++++-⋅=-，所以12
42
n n n S -+=-，
于是由不等式12
|142
n λ-+<-｜对一切N n *∈恒成立，得|12λ+<｜，解得31λ-<<．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（Ⅰ）因为x ∈[﹣1，1]，则2+x ∈[1，3]， 由已知，有对任意的x ∈[﹣1，1]，f （x ）≥0恒成立， 任意的x ∈[1，3]，f （x ）≤0恒成立，
故f （1）=0，即1为函数函数f （x ）的一个零点．
由韦达定理，可得函数f （x ）的另一个零点， 又由任意的x ∈[1，3]，f （x ）≤0恒成立，
∴[1，3]⊆[1，c]， 即c ≥3
（Ⅱ）函数f （x ）=x 2
+bx+c 对任意的x 1，x 2∈[﹣1，1]，有|f （x 1）﹣f （x 2）|≤4恒成立，
即f （x ）max ﹣f （x ）min ≤4，
记f （x ）max ﹣f （x ）min =M ，则M ≤4．
当||＞1，即|b|＞2时，M=|f （1）﹣f （﹣1）|=|2b|＞4，与M ≤4矛盾；
当||≤1，即|b|≤2时，M=max{f （1），f （﹣1）}﹣f （）=
﹣f （
）=（1+
）2
≤4，
解得：|b|≤2， 即﹣2≤b ≤2，
综上，b 的取值范围为﹣2≤b ≤2．
【点评】本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质是解答的关键．
20．【答案】
【解析】解：如图，设所截等腰三角形的底边边长为xcm，
在Rt△EOF中，，
∴，
∴
依题意函数的定义域为{x|0＜x＜10}
【点评】本题是一个函数模型的应用，这种题目解题的关键是看清题意，根据实际问题选择合适的函数模型，注意题目中写出解析式以后要标出自变量的取值范围．
21．【答案】
【解析】解：（1）∵f（x）=sinx﹣2sin2
=sinx﹣2×
=sinx+cosx﹣
=2sin（x+）﹣
∴f（x）的最小正周期T==2π；
（2）∵x∈[0，]，
∴x+∈[，π]，
∴sin（x+）∈[0，1]，即有：f（x）=2sin（x+）﹣∈[﹣，2﹣]，
∴可解得f（x）在区间[0，]上的最小值为：﹣．
【点评】本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数的周期性及其求法，三角函数的最值的应用，属于基本知识的考查．
．
22．【答案】（1）2或2）(1,0)(0,3)
【解析】
试题分析：（1）本题可由两向量平行求得参数，由坐标运算可得两向量的模，由于有两解，因此模有两个值；（2）两向量,a b 的夹角为锐角的充要条件是0a b ⋅>且,a b 不共线，由此可得范围． 试题解析：（1）由//a b ，得0x =或2x =-， 当0x =时，(2,0)a b -=-，||2a b -=， 当2x =-时，(2,4)a b -=-，||25a b -=.
（2）与夹角为锐角，0a b ∙>，2
230x x -++>，13x -<<，
又因为0x =时，//a b ， 所以的取值范围是(1,0)
(0,3)-.
考点：向量平行的坐标运算，向量的模与数量积．
【名师点睛】由向量的数量积cos a b a b θ⋅=可得向量的夹角公式，当为锐角时，cos 0θ>，但当cos 0θ>时，可能为锐角，也可能为0（此时两向量同向），因此两向量夹角为锐角的充要条件是
0a b a b
⋅>且,a b 不同
向，同样两向量夹角为钝角的充要条件是0a b a b
⋅<且,a b 不反向．
23．【答案】
【解析】（Ⅰ）)(x f 的定义域),0(+∞，
当3a =时，1()23ln f x x x x =--，2'
22
13231()2x x f x x x x -+=+-=
令'()0f x >得，102
x <<或1x >；令'
()0f x <得，112x <<，
故()f x 的递增区间是1
(0,)2和(1,)+∞；
()f x 的递减区间是1
(,1)2
．
（Ⅱ）由已知得x a x
x x g ln 1
)(+-=，定义域为),0(+∞，
2
221
11)(x
ax x x a x x g ++=++='，令0)(='x g 得012=++ax x ，其两根为21,x x ， 且21212
40010a x x a x x ⎧->⎪
+=->⎨⎪⋅=>⎩，
24．【答案】
【解析】解：（1）设h（x）=f（x）﹣g（x）=lg（2016+x）﹣lg（2016﹣x），h（x）的定义域为（﹣2016，2016）；
h（﹣x）=lg（2016﹣x）﹣lg（2016+x）=﹣h（x）；
∴f（x）﹣g（x）为奇函数；
（2）由f（x）﹣g（x）＜0得，f（x）＜g（x）；
即lg（2016+x）＜lg（2016﹣x）；
∴；
解得﹣2016＜x＜0；
∴使f（x）﹣g（x）＜0成立x的集合为（﹣2016，0）．
【点评】考查奇函数的定义及判断方法和过程，对数的真数需大于0，以及对数函数的单调性．。