2.5 简单复合函数的求导法则 导学案(高中数学选修2-2 北师大版)

2.5简单复合函数的求导法则
1.理解复合函数的概念,了解简单复合函数的求导法则.
2.能够利用复合函数的求导法则,并结合已经学过的公式、法则进行一些复合函数(仅限于形如f(ax+b)的函数)的求导.
如果物体运动的路程为s=ln(2t+1),那么t=2 s时的瞬时速度是多少?
问题1:中学数学中常用的基本初等函数有哪些?
中学数学中常用的基本初等函数有:
y=xα,y=a x,y=log a x,y=sin x,y=cos x,y=tan x,y=cot x等.
问题2:复合函数如何拆分?
讨论复合函数的构成时,“内层”“外层”函数一般应是基本初等函数,如一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、三角函数等.
有时复合函数可以由几个基本初等函数组成,所以在求复合函数的导数时,先要弄清复合函数是由哪些基本初等函数复合而成的,特别要注意将哪一部分看作一个整体,然后按照复合次序从外向内逐层求导.
问题3:利用复合函数的求导法则如何求抽象函数y=f(ax+b)的导数呢?
令ax+b=u,则y'=f'(u)u'(x)= =f'(ax+b)·a=af'(ax+b).
问题4:复合函数的求导步骤有哪些?
如果函数f(u)、u(x)有导数,那么[f(u(x))]'= .
第一步:(从外向内分解成基本函数直到中间变量);
第二步:层层(将分解所得的基本函数进行求导);
第三步:还原(将各层基本函数的导数相乘,并将中间变量还原为原来的自变量).
1.函数y=(3x-2)2的导数为().
A.y'=2(3x-2)
B.y'=6x
C.y'=6x(3x-2)
D.y'=6(3x-2)
2.函数y=x2cos 2x的导数为().
A.y'=2x cos 2x-x2sin 2x
B.y'=2x cos 2x-2x2sin 2x
C.y'=x2cos 2x-2x sin 2x
D.y'=2x cos 2x+2x2sin 2x
3.f(x)=(3x-a)2,且f'(1)=6,则a= .
4.求下列函数的导数.
(1)y=(x+1)2-lg x;(2)y=.
复合函数的定义
指出下列函数是怎样复合而成的.
(1)y=(3+5x)2;(2)y=log3(x2-2x+5);(3)y=cos 3x.
简单复合函数的导数
求下列函数的导数:
(1)y=(2x-1)4;(2)y=;
(3)y=sin(-2x+);(4)y=102x+3.
简单复合函数导数的应用
求曲线f(x)=e2x+1在点(-,1)处的切线方程.
指出下列函数由哪些函数复合而成:
(1)y=ln;(2)y=;(3)y=cos(x+1).
求下列函数的导数.
(1)y=e3x;(2)y=5log2(2x+1).
曲线f(x)=e2x cos 3x在(0,1)处的切线与直线l平行,且与l的距离为,求直线l的方程.
1.下列函数不是复合函数的是().
A.y=-x3-+1
B.y=cos(x+)
C.y=
D.y=(2x+3)4
2.函数y=的导数是().
A.y'=
B.y'=
C.y'=-
D.y'=-
3.设曲线f(x)=e ax在点(0,1)处的切线与直线x+2y+1=0垂直,则a= .
4.已知a>0,f(x)=ax2-2x+1+ln(x+1),l是曲线y=f(x)在点P(0,f(0))处的切线.求切线l的方程.
(2014年·江西卷)若曲线y=e-x上点P处的切线平行于直线2x+y+1=0,则点P的坐标是.
考题变式(我来改编):。