湖北省黄冈市高二数学上学期期末考试试题 理

湖北省黄冈市2017-2018学年高二数学上学期期末考试试题 理
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，选出符合题目要求的一项.
1.已知命题p ：0x ∀>，总有(1)1x
x e +>，则p ⌝为（ ） A ．00x ∃≤，使得0
0(1)1x x e +≤ B ．0x ∀>，总有(1)1x x e +≤ C ．00x ∃>，使得0
0(1)1x x e
+≤ D ．0x ∀≤，总有(1)1x x e +≤
2.袋中装有红球3个、白球 2个、黑球1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（ ）
A ．至少有一个白球；至少有一个红球
B ．至少有一个白球；红、黑球各一个
C ．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D ．至少有一个白球；都是白球
3.中国诗词大会的播出引发了全民的读书热，某中学语文老师在班里开展了一次诗歌默写比赛，班里40名学生得分数据的茎叶图如图所示.若规定得分不小于85分的学生得到“诗词达人”的称号，小于85分且不小于70分的学生得到“诗词能手”的称号，其他学生得到“诗词爱好者”的称号，根据该次比赛的成绩按照称号的不同进行分层抽样抽选10名学生，则抽选的学生中获得“诗词能手”称号的人数为（ ）
A ．2
B ．4
C ．5
D ．6
4.“37m <<”是“方程
22
173
x y m m +=--的曲线是椭圆”的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
5.某同学同时抛掷两颗骰子，得到的点数分别记为a 、b ，则双曲线22
221x y a b -=的离心率
e > ）
A ．
16 B ．14 C ．13 D ．136
6.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题：松长五尺，竹长两尺，松日自半，竹日自倍，松竹何日而长等.如图是源于其思想的一个程序框图，若输入的a ，b 分别为4，2，则输出的n 等于（ ）
A ．2
B ．3
C ．4
D ．5 7.已知(1,21,0)a t t =--，(2,,)b t t =，则b a -的最小值（ ）
A C D
8.如图，已知棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -中，E 是11A B 的中点，则直线AE 与平面
11ABC D 所成角的正弦值是（ ）
A C D 9.在去年的足球甲A 联赛上，一队每场比赛平均失球数是1.5，全年比赛失球个数的标准差为1.1；二队每场比赛平均失球数是2.1，全年失球个数的标准差是0.4，你认为下列说法中正确的个数有（ ）
①平均来说一队比二队防守技术好；②二队比一队防守技术水平更稳定；③一队防守有时表现很差，有时表现又非常好；④二队很少不失球.
A ．1个
B ．2个
C ．3个
D ．4个
10.直线440kx y k --=与抛物线2
y x =交于A ，B 两点，若4AB =，则弦AB 的中点到直线1
02
x +=的距离等于（ ） A ．
74 B ．9
4
C ．4
D ．2 11.给出以下命题，其中真命题的个数是（ ）
①若“()p ⌝或q ”是假命题，则“p 且()q ⌝”是真命题； ②命题“若5a b +≠，则2a ≠或3b ≠”为真命题； ③已知空间任意一点O 和不共线的三点A ，B ，C ，若111
632
OP OA OB OC =
++，则P ，A ，B ，C 四点共面；
④直线(3)y k x =-与双曲线
22
145
x y -=交于A ，B 两点，若5AB =，则这样的直线有3条；
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
12.F 是双曲线C ：22
221(0,0)x y a b a b
-=>>的右焦点，过点F 向C 的一条渐近线引垂线，
垂足为A ，交另一条渐近线于B ，若2AF FB =，则双曲线C 的离心率为（ ）
A B ．2 C D 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡上）
13.有3个活动小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学在同一个兴趣小组的概率为 ．
14.为了解某地区某种农产品的年产量x （单位：吨）对价格y （单位：千元/吨）的影响，对近五年该农产品的年产量和价格统计如下表：
已知x 和y 具有线性相关关系，且回归方程为 1.238.69y x =-+，那么表中m 的值为 ．
15.已知a R ∈，直线1l ：22x y a +=+和直线2l ：221x y a -=-分别与圆E ：
22()(1)4x a y -+-=相交于A 、C 和B 、D ，则四边形ABCD 的面积为 ．
16.过原点作一条倾斜角为θ的直线与椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>交于A 、B 两点，F 为椭
圆的左焦点，若AF BF ⊥，且该椭圆的离心率2e ∈⎣⎦
，
则θ的取值范围为 ． 三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） 17.某学校1800名学生在一次百米测试中，成绩全部介于13秒与18秒之间，抽取其中50名学生组成一个样本，将测试结果按如下方式分成五组：第一组[13,14)，第二组[14,15)……，第五组[17,18]，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图.
（1）请估计学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数；
（2）若成绩小于15秒认为良好，求该样本中在这次百米测试中成绩良好的人数； （3）请根据频率分布直方图，求样本数据的众数、平均数.
18.已知命题p ：方程2
2
2
2220x y mx m m +-+-=表示圆；命题q ：双曲线
22
15y x m
-=的离心率(1,2)e ∈，若命题“p q ∧”为假命题，“p q ∨”为真命题，求实数m 的取值范围. 19.已知
M ：22(2)1x y +-=，Q 是x 轴上的动点，QA 、QB 分别切M 于A 、B 两点.
（1）如果AB =
，求MQ 及直线MQ 的方程； （2）求证：直线AB 恒过定点.
20.某校在一次趣味运动会的颁奖仪式上，高一、高二、高三各代表队人数分别为120人、120分、n 人.为了活跃气氛，大会组委会在颁奖过程中穿插抽奖活动，并用分层抽样的方法从三个代表队中共抽取20人在前排就坐，其中高二代表队有6人.
（1）求n 的值；
（2）把在前排就坐的高二代表队6人分别记为a ，b ，c ，d ，e ，f ，现随机从中抽取2人上台抽奖.求a 和b 至少有一人上台抽奖的概率；
（3）抽奖活动的规则是：代表通过操作按键使电脑自动产生两个[0,1]之间的均匀随机数x ，y ，并按如图所示的程序框图执行.若电脑显示“中奖”，则该代表中奖；若电脑显示“谢谢”，则不中奖，求该代表中奖的概率.
21.如图，在四棱锥P ABCD -中，底面ABCD 是平行四边形，PA ⊥平面ABCD ，点M ，
N 分别为BC ，PA 的中点，且1AB AC ==，AD =
（1）证明：//MN 平面PCD ；
（2）设直线AC 与平面PBC 所成角为α，当α在(0,)6
π内变化时，求二面角P BC A --的
取值范围.
22.在圆2
2
4x y +=上任取一点M ，过点M 作x 轴的垂线段MD ，D 为垂
足.3
DN DM =
，当点M 在圆上运动时， （1）求N 点的轨迹T 的方程；
（2） 若(2,0)A ，直线l 交曲线T 于E 、F 两点（点E 、F 与点A 不重合），且满足
AE AF ⊥.O 为坐标原点，点P 满足2OP OE OF =+，证明直线l 过定点，并求直线AP 的
斜率的取值范围.
参考答案（理科）
一、选择题
1-5: CBBBA 6-10: BCDDB 11、12：CC 二、填空题 13.
13 14. 5.5 15. 8 16. 5[,]66
ππ
三、解答题
17.
解：
学校1800名学生中，成绩属于第四组的人数
人；
（2）样本在这次百米测试中成绩良好的人数是：人
；
由图可知众数落在第三组
，是
，
70.1585.17325.16385.15165.1465.131001=⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∴）（x .
18.解：若命题p ：方程表示圆为真命题，
则
，解得．
若命题q ：双曲线的离心率
，为真命题，
则，解得．
命题“
”为假命题，“”为真命题，与q 必然一真一假．
，或
，
解得
或
综上可得：实数m 的取值范围是．
19. 解：
设直线MQ 交AB 于点P ，则
，又
，得
，
．设，而点，由
，得
，则Q 点的坐标为
或
． 从而直线MQ 的方程为或
．
证明：设点
，由几何性质，可知A 、B 两点在以QM 为直径的圆上，此圆的方程为
，而线段AB 是此圆与已知圆的公共弦，
即为
，直线AB 恒过定点（0，3
2 ）.
20.由题意可得
可解得；
(2)高二代表队6
人，从中抽取
2
人上台抽奖的基本事件有
(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(a,f),(b,c),(b,d),(b,e),(b,f),(c,d),(c, e),
(c,f),(d,e),(d,f),(e,f)共15种，其中a 和b 至少有一人上台抽奖的基本事件有9种，
和b 至少有一人上台抽奖的概率为
；
(3)由已知，点在如图所示的正方形OABC 内，由条件，
得到的区域为图中的阴影部分， 由
，令
可得
，令
可得
，
在时满足的区域的面积为，
该代表中奖的概率为．
21. (1)取PD 得中点Q,连接NQ,CQ,因为点M,N 分别为BC,PA 的中点，
,
2
1
,////CM AD NQ CM AD NQ ==
∴ CQ MN CQNM //∴∴为平行四边形，四边形， PCD MN PCD CQ PCD MN 面面面又//,,∴⊂⊄，
(2) 连接PM,因为2,1=
==AD AC AB ,点M 为BC 的中点，则
,,,,BC PM ABCD PA BC AM ⊥⊥⊥则面又
θ的平面角，设为为二面角A BC P PMA --∠∴，
以AB,AC,AP 所在的直线分别为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系，
则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C(0，1，0),M(021
21，，),P(θtan 2
2
00，，
)， 设平面PBC 的一个法向量为=(x,y,z),则由0,0=⋅=⋅，
⎪⎩⎪
⎨⎧=-
+=+-0tan 22
212
10θz y x y x 可取
6
0,sin 22tan 2
21sin 2παθθ
α<<=
+
=
=
∴ 2
2
sin 0,21sin 0<∠<<
<∴AMH α, 0044P BC A π
π
θ∴<<
--，即二面角取值范围为（，）.
22. (1) 设M(x 0,y 0),N （x,y ），则x=x 0,y=3
2 y 0,代入圆方程有
2
2
143
x y +=. 即为N 点的轨迹方程.
(2)当直线l 垂直于x 轴时,由22
23412
y x x y =-+⎧⎨+=⎩消去y 整理得2
71640x x -+=, 解得27x =
或2,此时2,07P ⎛⎫
⎪⎝⎭
,直线AP 的斜率为0； 当直线l 不垂直于x 轴时,设()()1122,,,E x y F x y ,直线l :y kx t =+(2t k ≠-),
由22
3412
y kx t x y =+⎧⎨+=⎩,消去y 整理得()222
3484120k x ktx t +++-=, 依题意()()222
2
644344120k t k t
∆=-+->,即22430k t -+>(*),
且122
834kt
x x k
+=-+,212241234t x x k -=+, 又AE AF ⊥,所以
()()()()()()
121212122222AE AF x x y y x x kx t kx t ⋅=--+=--+++222
7416034t k kt
k ++==+,
所以2274160t k kt ++=,即()()7220t k t k ++=,解得27
k
t =-满足(*), 所
以
2O P O
E O
F =+()1212,x x y y =++
=2286,3434kt t k k ⎛
⎫- ⎪++⎝⎭
,
故
2243,3434kt t P k k ⎛⎫- ⎪++⎝⎭
, 故直线AP 的斜率222
33344846234AP
t
t k k kt k kt k
+==-=++--+217878k k k k =
++, 当0k <时
,7
8k k
+
≤-
此时0AP k ≤<； 当0k >时
,7
8k k
+
≥
此时056AP k <≤； 综上,直线AP
的斜率的取值范围为⎡⎢⎣⎦
.。