2020届高考数学一轮复习单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ提升卷单元检测理含解析新人教A版
高考数学一轮复习第二章函数的概念基本初等函数(Ⅰ)及函数的应用2.6函数与方程习题理
§2.6函数与方程1．函数的零点(1)定义：对于函数y＝f(x)，我们把使的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的________，也是函数y＝f(x)的图象与x轴的________．(2)函数有零点的几个等价关系：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴⇔函数y＝f(x) ．由此可知，求方程f(x)＝0的实数根，就是确定函数y＝f(x)的________．一般地，对于不能用公式求根的方程f(x)＝0来说，我们可以将它与________联系起来，利用函数的性质找出零点，从而求出方程的根．2．函数的零点存在性定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有，那么，函数y＝f(x)在区间内有零点，即存在c∈，使得，这个c 也就是方程f(x)＝0的根．3．二次函数的零点分布(即一元二次方程根的分布，见2.4节“考点梳理”5)自查自纠1．(1)f(x)＝0 实数根交点的横坐标(2)有交点有零点零点函数y＝f(x)2．f(a)·f(b)＜0 (a，b) (a，b) f(c)＝0(2015·安徽)下列函数中，既是偶函数又存在零点的是( )A．y＝cos x B．y＝sin xC．y＝ln x D．y＝x2＋1解：y＝cos x是偶函数且有无数多个零点，y＝sin x为奇函数，y＝ln x既不是奇函数也不是偶函数，y＝x2＋1是偶函数但没有零点．故选A.函数f (x )＝2x ＋x 3－2在区间(0，1)内的零点个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．3解：易知函数f (x )＝2x＋x 3－2单调递增，∵f (0)＝1－2＝－1＜0，f (1)＝2＋1－2＝1＞0，∴函数f (x )在区间(0，1)内零点的个数为1.故选B .(2014·山东)已知函数f (x )＝|x －2|＋1，g (x )＝kx .若方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12B.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 C ．(1，2)D ．(2，＋∞)解：在同一平面直角坐标系中分别画出函数y ＝f (x )，y ＝g (x )的图象．如图所示，方程f (x )＝g (x )有两个不相等的实根，等价于两个函数的图象有两个不同的交点．结合图象可知，当直线y ＝kx 的斜率大于坐标原点与点(2，1)连线的斜率且小于直线y ＝x －1的斜率时符合题意，故12＜k ＜1.故选B .方程ln x ＝8－2x 的实数根x ∈(k ，k＋1)，k ∈Z ，则k ＝________.解：构造函数f (x )＝ln x ＋2x －8，∴f ′(x )＝1x＋2＞0(x ＞0)，则f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (1)＝－6＜0，f (2)＝ln2－4＜0，f (3)＝ln3－2＜0，f (4)＝ln4＞0，∴f (x )的唯一零点在(3，4)内，因此k ＝3.故填3.(2014·苏锡模拟)已知奇函数f (x )是R 上的单调函数，若函数y ＝f (x 2)＋f (k －x )只有一个零点，则实数k 的值是________．解：由f (x 2)＋f (k －x )＝0得f (x 2)＝－f (k －x )，因为f (x )是奇函数，有－f (k －x )＝f (x －k )，故有f (x 2)＝f (x －k )，又f (x )是R 上的单调函数，所以方程x 2＝x －k 即x 2－x ＋k＝0有唯一解，由Δ＝0解得k ＝14，故填14.类型一 判断函数零点所在的区间(2014·北京)已知函数f (x )＝6x－log 2x .在下列区间中，包含f (x )零点的区间是( )A ．(0，1)B ．(1，2)C ．(2，4)D ．(4，＋∞)解：f (x )在(0，＋∞)为减函数，又f (1)＝6＞0，f (2)＝2＞0，f (4)＝32－2＝－12＜0.故选C .【点拨】要判断在给定区间连续的函数是否存在零点，只需计算区间端点的函数值是否满足零点存在性定理的条件；如果题目没有给出具体区间，则需要估算函数值并利用函数的单调性等性质来求．但应注意到：不满足f (a )·f (b )<0的函数也可能有零点，此时，应结合函数性质分析判断．(2013·北京朝阳检测)函数f (x )＝ln x －2x的零点所在的大致区间是( )A ．(1，2)B ．(2，3)C ．(1，e)和(3，4)D ．(e ，＋∞)解：∵f ′(x )＝1x ＋2x 2＞0(x ＞0)，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增，又f (3)＝ln3－23＞0，f (2)＝ln2－1＜0，∴f (2)·f (3)＜0，∴f (x )唯一的零点在区间(2，3)内．故选B .类型二 零点个数的判断(2015·江苏)已知函数f (x )＝|ln x |，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧0， 0＜x ≤1，|x 2－4|－2，x ＞1，则方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数为________．解：由题意知，方程|f (x )＋g (x )|＝1实根的个数即为函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )交点个数及函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )交点个数之和，而y ＝1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1， 0＜x ≤1，7－x 2，x ≥2，x 2－1，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝1－g (x )有两个交点，又y ＝－1－g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－1， 0＜x ＜1，5－x 2，x ≥2，x 2－3，1＜x ＜2，作图易知函数y ＝f (x )与y ＝－1－g (x )有两个交点，因此共有4个交点．故填4.【点拨】(1)连续函数在区间[a ，b ]上满足f (a )·f (b )＜0时，函数在(a ，b )内的零点至少有一个，但不能确定究竟有多少个．要更准确地判断函数在(a ，b )内零点的个数，还得结合函数在该区间的单调性、极值等性质进行判断；(2)对于解析式较复杂的函数，可根据解析式特征化为f (x )＝g (x )的形式，通过考察两个函数图象的交点个数来求原函数的零点个数；(3)有时求两函数图象交点的个数，不仅要研究其走势(单调性、极值点、渐近线等)，而且要明确其变化速度快慢．(2014·福建)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2， x ≤0，2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________． 解：当x ≤0时，f (x )＝x 2－2，令x 2－2＝0，得x ＝2(舍)或x ＝－2， 即在区间(－∞，0]上，函数只有一个零点． 当x >0时，f (x )＝2x －6＋ln x ，解法一：令2x －6＋ln x ＝0，得ln x ＝6－2x .作出函数y ＝ln x 与y ＝6－2x 在区间(0，＋∞)上的图象，易得两函数图象只有一个交点，即函数f (x )＝2x －6＋ln x (x >0)只有一个零点．解法二：f ′(x )＝2＋1x，由x ＞0知f ′(x )＞0，∴f (x )在(0，＋∞)上单调递增， 而f (1)＝－4＜0，f (e)＝2e －5＞0，f (1)f (e)＜0，从而f (x )在(0，＋∞)上只有一个零点．综上可知，函数f (x )的零点个数是2.故填2.类型三 已知零点情况求参数范围(2014·江苏)已知f (x )是定义在R 上且周期为3的函数，当x ∈[0，3)时，f (x )＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪x 2－2x ＋12，若函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a 的取值范围是________．解：函数y ＝f (x )－a 在区间[－3，4]上有互不相同的10个零点，即函数y ＝f (x )，x ∈[－3，4]与y ＝a 的图象有10个不同交点．在坐标系中作出函数f (x )在一个周期[0，3)上的图象如图，可知当0＜a ＜12时满足题意．故填⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12. 【点拨】(1)解答本题的关键在于依据函数的对称性、周期性等知识作出函数图象，将函数的零点个数问题转化为求两个函数的交点个数问题；(2)对于含参数的函数零点问题，一般先分离参数，针对参数进行分类讨论，按照题目所给零点的条件，找出符合要求的参数值或范围，但讨论要注意全面及数形结合．(2015·河南模拟)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x >a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则实数a 的取值范围是( )A ．[－1，1)B ．[0，2]C ．[－2，2)D ．[－1，2)解：∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2， x ＞a ，x 2＋5x ＋2，x ≤a ，∴g (x )＝f (x )－2x ＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋2， x ＞a ，x 2＋3x ＋2，x ≤a .方程－x ＋2＝0的解为x ＝2，方程x 2＋3x ＋2＝0的解为x ＝－1或－2.若函数g (x )＝f (x )－2x 恰有三个不同的零点，则⎩⎪⎨⎪⎧a ＜2，－1≤a ，－2≤a ，解得－1≤a ＜2，即实数a的取值范围是[－1，2)．故选D .1．函数y＝f(x)的零点就是方程f(x)＝0的实数根，也就是函数y＝f(x)的图象与x 轴交点的横坐标，注意它是数而不是点．2．判断函数在给定区间零点的步骤(1)确定函数的图象在闭区间[a，b]上连续；(2)计算f(a)，f(b)的值并判断f(a)·f(b)的符号；(3)若f(a)·f(b)＜0，则有实数解．除了用上面的零点存在性定理判断外，有时还需结合相应函数的图象来作出判断．3．确定函数f(x)零点个数(方程f(x)＝0的实根个数)的方法：(1)判断二次函数f(x)在R上的零点个数，一般由对应的二次方程f(x)＝0的判别式Δ＞0，Δ＝0，Δ＜0来完成；对于一些不便用判别式判断零点个数的二次函数，则要结合二次函数的图象进行判断．(2)对于一般函数零点个数的判断，不仅要用到零点存在性定理，还必须结合函数的图象和性质才能确定，如三次函数的零点个数问题．(3)若函数f(x)在[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，且是单调函数，又f(a)·f(b)＜0，则y＝f(x)在区间(a，b)内有唯一零点．1．函数y ＝x 12－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 的零点个数为( ) A ．0B ．1C ．2D ．3解：在同一坐标系内分别做出y 1＝x ，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x的图象，根据图象可以看出交点的个数为1.故选B .2．(2015·青岛模拟)若函数f (x )＝3ax ＋1－2a 在区间(－1，1)上存在一个零点，则实数a 的取值范围是( )A ．a >15B ．a >15或a <－1C ．－1<a <15D ．a <－1解：由题可知函数f (x )的图象是一条直线，所以f (x )在区间(－1，1)上存在一个零点等价于f (－1)f (1)＜0，即(1－5a )(a ＋1)＜0.解得a ＞15或a ＜－1.故选B .3．(2013·天津)函数f (x )＝2x|log 0.5x |－1的零点个数为( ) A ．1B ．2C ．3D ．4解：判断函数f (x )的零点个数可转化为判断方程f (x )＝2x|log 0.5x |－1＝0的根的个数，由此得到|log 0.5x |＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，设y 1＝|log 0.5x |，y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，则两个函数y 1与y 2的交点个数即为所求，如图所示，可知交点有两个．故选B .4．已知x 0是函数f (x )＝2x＋11－x的一个零点，若x 1∈(1，x 0)，x 2∈(x 0，＋∞)，则( )A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0解：由于函数g (x )＝11－x ＝－1x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )＝2x在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上，f (x 1)<f (x 0)＝0；在(x 0，＋∞)上，f (x 2)>f (x 0)＝0.故选B .5．(2014·黄冈九月质检)函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x －x 22＋x 33cos2x 在区间[－3，3]上零点的个数为( )A ．3B ．4C ．5D ．6解：令g (x )＝1＋x －x22＋x33， 则g ′(x )＝1－x ＋x 2＞0，故g (x )在R 上单调递增，而g (－3)g (3)＜0，故g (x )在(－3，3)上仅有1个零点．作图易知y ＝cos2x 在[－3，3]上有4个零点，且易判断这5个零点互不相同．故选C .6．(2015·浙江模拟)函数y ＝ln|x －1|的图象与函数y ＝－2cos πx (－2≤x ≤4)的图象所有交点的横坐标之和等于( )A ．8B ．6C ．4D ．2解：作出两函数的大致图象如图所示．两函数图象都关于直线x ＝1对称，且共有6个交点， 故所有交点的横坐标之和为6.故选B .7．设f (x )＝2x－x －4，x 0是函数f (x )的一个正数零点，且x 0∈(a ，a ＋1)，其中a ∈N ，则a ＝ .解：∵x 0是函数f (x )的一个正数零点，即f (x 0)＝2x 0－x 0－4＝0，知f (2)＝22－2－4＜0，f (3)＝23－3－4＞0，∴x 0∈(2，3)，再由y ＝2x与y ＝x ＋4在(0，＋∞)上只有一个交点知a 值惟一．又∵a ∈N ，∴a ＝2.故填2.8．(2014·安庆六校联考)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |， x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0， 若函数g (x )＝f (x )＋2m 有三个零点，则实数m 的取值范围是________．解：作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x |，x ＞0，－x 2－2x ＋1，x ≤0 的图象如图所示，令g (x )＝f (x )＋2m ＝0，则f (x )＝－2m ，由图象知，当1≤－2m ＜2，即－1＜m ≤－12时，直线y ＝－2m 与y ＝f (x )的图象有三个交点．故填⎝⎛⎦⎥⎤－1，－12.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，log 2x ，x >0，求函数y ＝f (f (x ))＋1的所有零点构成的集合．解：先解方程f (t )＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧t ≤0，t ＋1＝－1或⎩⎪⎨⎪⎧t >0，log 2t ＝－1. 得t ＝－2或t ＝12.再解方程f (x )＝－2和f (x )＝12.即⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝－2或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝－2和⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，x ＋1＝12或⎩⎪⎨⎪⎧x >0，log 2x ＝12. 得x ＝－3或x ＝14和x ＝－12或x ＝ 2.故所求为⎩⎨⎧⎭⎬⎫－3，－12，14，2.10．若函数f (x )＝2ax 2－x －1在(0，1)上恰有一个零点，求实数a 的取值范围． 解：f (x )在(0，1)上恰有一个零点，显然a ≠0. ∴有两种情形：①f (0)f (1)＜0，得(－1)·(2a －2)＜0⇒a ＞1；②Δ＝0且方程f (x )＝0的根在(0，1)内，令Δ＝0⇒1＋8a ＝0⇒a ＝－18，得f (x )＝－14(x 2＋4x ＋4)，此时f (x )＝0的根x 0＝－2∉(0，1)．综上知a ＞1，即实数a 的取值范围为(1，＋∞)． 11．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)． (1)若f (－1)＝0，试判断函数f (x )的零点个数；(2)若对任意x 1，x 2∈R ，且x 1<x 2，f (x 1)≠f (x 2)，试证明存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立． 解：(1)∵f (－1)＝0，∴a －b ＋c ＝0，b ＝a ＋c . ∵Δ＝b 2－4ac ＝(a ＋c )2－4ac ＝(a －c )2， 当a ＝c 时，Δ＝0，函数f (x )有一个零点； 当a ≠c 时，Δ>0，函数f (x )有两个零点．(2)证明：令g (x )＝f (x )－12[f (x 1)＋f (x 2)]，则g (x 1)＝f (x 1)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 1）－f （x 2）2，g (x 2)＝f (x 2)－12[f (x 1)＋f (x 2)]＝f （x 2）－f （x 1）2，∴g (x 1)·g (x 2)＝－14[f (x 1)－f (x 2)]2.∵f (x 1)≠f (x 2)，∴g (x 1)·g (x 2)<0，即g (x )＝0在(x 1，x 2)内必有一个实根．即存在x 0∈(x 1，x 2)，使f (x 0)＝12[f (x 1)＋f (x 2)]成立．设函数f (x )(x ∈R )满足f (－x )＝f (x )，f (x )＝f (2－x )，且当x ∈[0，1]时，f (x )＝x 3.又函数g (x )＝||x cos （πx ），则函数h (x )＝g (x )－f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上的零点个数为( ) A ．5B ．6C ．7D ．8解：原问题可转化为函数f (x )与g (x )的图象在[－12，32]上的交点个数问题．由题意知函数f (x )为偶函数，且周期为2.当x ＝32，12，0，－12时，g (x )＝0，当x ＝1时，g (x )＝1，且g (x )是偶函数，g (x )≥0，由此可画出函数y ＝g (x )和函数y ＝f (x )的大致图象如图所示，由图可知在⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，32上两函数图象有6个交点，故选B .。
单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)
单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．(2019·运城市永济中学期末)函数f (x )＝2x －1＋1x －1的定义域为( )A ．[0,1)B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(1，＋∞)D ．[0,1)∪(1，＋∞)2．已知f (x )＝x －x 2，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－x 4 B ．f (x )＝x －x 2 C ．f (x )＝x 2－x 4(x ≥0)D ．f (x )＝x －x (x ≥0)3．(2019·洛阳期末)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，若关于x 的不等式f (x )>0的解集为(－1,3)，则( )A ．f (4)>f (0)>f (1)B ．f (1)>f (0)>f (4)C ．f (0)>f (1)>f (4)D ．f (1)>f (4)>f (0)4．已知a ＝⎝⎛⎭⎫1312，b ＝ln 12，c ＝213，则( ) A ．a >b >c B ．c >a >b C ．b >a >c D ．b >c >a5．(2019·郑州期末)已知函数f (x )＝a ＋22x ＋1为奇函数，则f (a )等于( )A.13B.23 C ．－1 D ．－126．若函数f (x )是定义在R 上的偶函数，在(－∞，0]上是减函数，且f (2)＝0，则使得f (x )<0的x 的取值范围是( ) A ．(－∞，2)B ．(－2,2)C ．(－∞，2)∪(2，＋∞)D ．(2，＋∞)7．(2019·安徽省示范高中皖北协作区联考)函数f (x )＝x cos x －sin x ，x ∈[－π，π]的大致图像为( )8．(2019·郑州质检)高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－2.1]＝－3，[3.1]＝3，已知函数f (x )＝2x ＋32x ＋1，则函数y ＝[f (x )]的值域为( ) A ．{0,1,2,3} B ．{0,1,2} C ．{1,2,3}D ．{1,2}9．函数y ＝2－xx ＋1，x ∈(m ，n ]的最小值为0，则m 的取值范围是( )A ．(1,2)B ．(－1,2)C ．[1,2)D ．[－1,2)10.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ＝DC ＝2，CB ＝2，动点P 从点A 出发，由A →D →C →B 沿边运动，点P 在AB 上的射影为Q .设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y ＝f (x )的图像大致是( )11．已知定义在R 上的函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称，且满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，又 f (－1)＝1，f (0)＝－2，则f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)等于( ) A ．1 B ．－1 C ．2 019 D ．2 02012．已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x )＋f (2－x )＝0，且当x ∈[0,1)时，f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎫e x ＋x x ＋1，则函数g (x )＝f (x )＋13x 在区间[－6,6]上的零点个数是( )A ．4B ．5C ．6D ．7第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m －3在区间(0，＋∞)内为增函数，则实数m 的值为________．14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0≤x <1时，f (x )＝2x ＋a ，f (1)＝0，则f (－3)＋f (14－log 27)＝________.15．某公司租地建仓库，每月土地占用费y 1(万元)与仓库到车站的距离(公里)成反比．而每月库存货物的运费y 2(万元)与仓库到车站的距离(公里)成正比．如果在距车站10公里处建仓库，这两项费用y 1和y 2分别为2万元和8万元．由于地理位置原因，仓库距离车站不超过4公里．那么要使这两项费用之和最小，最少的费用为________万元．16．(2020·安徽省皖南八校联考)已知函数f (x )＝ax －x 2，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax －x 2，x ≥0，a －2x ，x <0，若方程g (f (x ))＝0有四个不相等的实数根，则实数a 的取值范围是________．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(12分)已知函数f (x )＝⎝⎛⎭⎫12ax，a 为常数，且函数的图像过点(－1,2)． (1)求常数a 的值；(2)若g (x )＝4－x －2，且存在x ，使g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．18.(12分)(2020·江西师范大学附属中学月考)已知函数y ＝f (x )与函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图像关于y ＝x 对称．(1)若当x ∈[0,2]时，函数f (3－ax )恒有意义，求实数a 的取值范围； (2)当a ＝2时，求函数g (x )＝f (x )·f (2x )的最小值．19．(13分)已知定义在区间[1,2]上的两个函数f (x )和g (x )，f (x )＝－x 2＋2ax －1，a ≥1，g (x )＝mx＋x ，x ∈R . (1)求函数f (x )的最大值m (a )；(2)若y ＝g (x )在区间[1,2]上单调，求实数m 的取值范围；(3)当m ＝4时，若对于任意x 1∈[1,2]，总存在x 2∈[1,2]，使f (x 1)<g (x 2)恒成立，求实数a 的取值范围．20．(13分)已知函数f (x )定义在区间(－1,1)内，且满足下列两个条件：①对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ；②当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.(1)求f (0)，并证明函数f (x )在区间(－1,1)内是奇函数； (2)验证函数f (x )＝lg 1－x1＋x 是否满足这些条件；(3)若f ⎝⎛⎭⎫－12＝1，试求函数F (x )＝f (x )＋12的零点．答案精析1．D [因为f (x )＝2x －1＋1x －1，所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －1≠0，解得x ≥0且x ≠1，故f (x )的定义域为[0,1)∪(1，＋∞)．] 2．C [因为f (x )＝(x )2－(x )4， 所以f (x )＝x 2－x 4(x ≥0)．]3．B [由已知a <0，且－1,3为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两根， 可得－1＋3＝－b a ，－1×3＝ca ，即b ＝－2a ，c ＝－3a ， f (x )＝ax 2－2ax －3a ，a <0，可得f (0)＝－3a ，f (1)＝－4a ，f (4)＝5a ， 可得f (1)>f (0)>f (4)．]4．B [∵a ＝1213∈(0,1)，b ＝ln 12＝－ln 2<0，c ＝132>20＝1，∴b <a <c .]5．A [由函数表达式可知，函数在x ＝0处有定义， 则f (0)＝0，a ＝－1，则f (x )＝－1＋22x ＋1，f (－1)＝13.故选A.]6．B [f (x )是定义在R 上的偶函数， 因为f (x )在(－∞，0]上是减函数， 所以f (x )在[0，＋∞)上是增函数， 又f (2)＝0，所以f (－2)＝f (2)＝0，所以f (x )<0的解集为(－2,2)．]7．D [f (－x )＝－x cos x ＋sin x ＝－(x cos x －sin x )＝－f (x )， 函数f (x )是奇函数，图像关于原点对称，排除A ，C ， 又f ⎝⎛⎭⎫π2＝π2cos π2－sin π2＝－1<0，排除B ，故选D.] 8．D [f (x )＝2x ＋32x ＋1＝(1＋2x )＋21＋2x ＝1＋21＋2x， 又2x >0，∴1＋21＋2x∈(1,3)， ∴当x ∈(1,2)时，y ＝[f (x )]＝1； 当x ∈[2,3)时，y ＝[f (x )]＝2. ∴函数y ＝[f (x )]的值域是{1,2}．]9．B [函数y ＝2－x x ＋1＝3－(x ＋1)x ＋1＝3x ＋1－1在区间(－1，＋∞)上是减函数．当x ＝2时，y ＝0.根据题意x ∈(m ，n ]时，y min ＝0. 所以m 的取值范围是－1<m <2.] 10．D [根据题意可得到y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2，0≤x ≤2，22x ＋1－2，2<x <4，－2＋22(x －4－2)，4≤x ≤4＋2，由二次函数和一次函数的图像可知f (x )的图像只能是D.] 11．A [定义在R 上的函数f (x )的图像关于点⎝⎛⎭⎫－34，0对称， 所以f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫－x －32. 因为函数f (x )满足f (x )＝－f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， 则f ⎝⎛⎭⎫－x －32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋32，即f ⎣⎡⎦⎤－⎝⎛⎭⎫x ＋32＝f ⎝⎛⎭⎫x ＋32， 所以f (x )为定义在R 上的偶函数， 所以f (x )＝f (－x )＝f (x ＋3)，所以f (x )是一个以3为周期的周期函数． 又f (－1)＝1，f (0)＝－2， 则f (1)＝f (－1)＝1， f (－1)＝f (－1＋3)＝f (2)＝1， f (0)＝f (0＋3)＝f (3)＝－2. 所以f (1)＋f (2)＋f (3)＝0. 又2 020＝673×3＋1.所以f (1)＋f (2)＋f (3)＋…＋f (2 020)＝f (1)＝f (－1)＝1.] 12．B [由f (x )＋f (2－x )＝0，令x ＝1，则f (1)＝0， ∵f (x )＋f (2－x )＝0，∴f (x )的图像关于点(1,0)对称， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (2－x )＝f (x －2)， ∴f (x )是周期为2的函数．当x ∈[0,1)时，f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋x x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x －1x ＋1＋1为增函数， 画出f (x )及y ＝－13x 在[0,6]上的图像如图所示，经计算，结合图像易知，函数f (x )的图像与直线y ＝－13x 在[0,6]上有3个不同的交点，由函数的奇偶性可知，函数g (x )＝f (x )＋13x 在区间[－6,6]上的零点个数是5.]13．2解析 根据题意得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为增函数，所以当m ＝2时，m 2＋2m －3＝5，幂函数为f (x )＝x 5，满足题意； 当m ＝－1时，m 2＋2m －3＝－4，幂函数为f (x )＝x －4，不满足题意． 综上，m ＝2. 14．－34解析 易知f (－3)＝f (1)＝0， 由f (x )是奇函数，知f (0)＝0， 所以20＋a ＝0，所以a ＝－1. 因为log 27＝2＋log 274，所以f (14－log 27)＝f ⎝⎛⎭⎫－log 274＝－f ⎝⎛⎭⎫log 274 ＝－⎝⎛⎭⎫74－1＝－34， 则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－34.15．8.2解析 设仓库与车站距离为x 公里， 由已知y 1＝20x ，y 2＝0.8x .费用之和y ＝y 1＋y 2＝0.8x ＋20x，其中0<x ≤4， 由对勾函数的单调性可知，函数y ＝0.8x ＋20x 在区间(0,4]上递减，所以，当x ＝4时，y 取得最小值8.2万元．16．(－∞，0)∪(4，＋∞) 解析 由题意知，当a >0时， 由g (t )＝0，解得t ＝0或t ＝a ，又由g (f (x ))＝0，可得f (x )＝0或f (x )＝a ， 此时方程f (x )＝0有两解，方程f (x )＝a 要有两解时，Δ＝a 2－4a >0，解得a >4， 当a ＝0时，由g (f (x ))＝0， 即f (x )＝0，可得x 2＝0只有一解， 当a <0时，由g (t )＝0得t ＝0或t ＝a2，又由g (f (x ))＝0化为f (x )＝0或f (x )＝a2，方程f (x )＝0有两解，只要f (x )＝a2有两解，即方程x 2－ax ＋a2＝0有两解，则a 2－2a >0，解得a <0.综上，a ∈(－∞，0)∪(4，＋∞)． 17．解 (1)由已知得⎝⎛⎭⎫12－a＝2，解得a ＝1. (2)由(1)知f (x )＝⎝⎛⎭⎫12x ， 因为存在x ，使g (x )＝f (x )， 所以4－x －2＝⎝⎛⎭⎫12x ， 即⎝⎛⎭⎫14x －⎝⎛⎭⎫12x －2＝0，即⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫12x 2－⎝⎛⎭⎫12x －2＝0有解， 令⎝⎛⎭⎫12x＝t (t >0)，则t 2－t －2＝0， 即(t －2)(t ＋1)＝0，解得t ＝2，即⎝⎛⎭⎫12x ＝2，解得x ＝－1， 故满足条件的x 的值为－1.18．解 (1)由题意，可知函数y ＝f (x )与函数y ＝a x (a >0，且a ≠1)图像关于y ＝x 对称， 所以函数f (x )的解析式为f (x )＝log a x (a >0，a ≠1)， 所以f (3－ax )＝log a (3－ax )，又由当x ∈[0,2]时，函数f (3－ax )恒有意义，所以3－ax >0在[0,2]上恒成立， 设g (x )＝3－ax (a >0，a ≠1)， 则g (x )在[0,2]上为减函数， 则g (2)＝3－2a >0，解得a <32，所以实数a 的取值范围是⎩⎨⎧⎭⎬⎫a ⎪⎪0<a <32，a ≠1. (2)由(1)知函数f (x )＝log 2x ，所以g (x )＝f (x )·f (2x )＝12(1＋log 2x )log 2x .令log 2x ＝t ，t ∈R ，则y ＝12t (t ＋1)＝12⎝⎛⎭⎫t ＋122－18≥－18， 当t ＝－12时，g (x )min ＝－18.19．解 (1)f (x )＝－x 2＋2ax －1＝－(x －a )2＋a 2－1， 则当1≤a <2时，m (a )＝f (x )max ＝f (a )＝a 2－1， 当a ≥2时，m (a )＝f (x )max ＝f (2)＝4a －5，所以m (a )＝⎩⎪⎨⎪⎧4a －5，a ≥2，a 2－1，1≤a <2.(2)g ′(x )＝－mx 2＋1＝x 2－m x 2，依题意，①g ′(x )≥0在[1,2]上恒成立， 即x 2－m ≥0在[1,2]上恒成立， 则m ≤(x 2)min ＝1；②g ′(x )≤0在[1,2]上恒成立， 即x 2－m ≤0在[1,2]上恒成立， 则m ≥(x 2)max ＝4.综上，实数m 的取值范围为m ≤1或m ≥4. (3)依题意可得，f (x 1)max <g (x 2)max ，当m ＝4时，由(2)知g (x )在[1,2]上递减，则g (x 2)max ＝g (1)＝5，由(1)得，①当1≤a <2时，a 2－1<5，解得－6<a <6，所以1≤a <2；②当a ≥2时，4a －5<5，解得a <52，所以2≤a <52. 综上所述，1≤a <52. 20．解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＋f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0. 令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的定义域(－1,1)关于坐标原点对称，所以函数f (x )在区间(－1,1)内是奇函数．(2)由1－x 1＋x>0，得－1<x <1， 所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．①f (x )＋f (y )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1－y 1＋y＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝lg 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy ＝lg 1－x ＋y1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy . ②当－1<x <0时，0<1＋x <1<1－x ，所以1－x 1＋x >1，所以lg 1－x 1＋x>0. 故函数f (x )＝lg 1－x 1＋x满足这些条件． (3)设－1<x 1<x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2. 因为－1<x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，所以－1<x 1－x 21－x 1x 2<0. 由条件②知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)，故f (x )在区间(－1,0)内为减函数．由奇函数性质可知，f (x )在区间(0,1)内仍是减函数， 所以f (x )在区间(－1,1)内单调递减，因为f ⎝⎛⎭⎫－12＝1，所以f ⎝⎛⎭⎫12＝－1. 由F (x )＝f (x )＋12＝0，得2f (x )＝－1， 所以f (x )＋f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x 1＋x 2＝f ⎝⎛⎭⎫12， 所以2x 1＋x 2＝12， 整理得x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝2－3或x ＝2＋ 3. 又x ∈(－1,1)，所以x ＝2－ 3.故函数F (x )的零点为2－ 3.。
2020年高考数学一轮复习考点与题型总结：第二章 函数的概念与基本初等函数(含答案)
第二章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ第一节 函数及其表示一、基础知识1．函数与映射的概念2．函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域：在函数y ＝f (x )，x ∈A 中，x 叫做自变量，x 的取值范围A 叫做函数的定义域；与x 的值相对应的y 值叫做函数值，函数值的集合{f (x )|x ∈A }叫做函数的值域．求函数定义域的策略(1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发． (2)如果函数y ＝f (x )是用表格给出，则表格中x 的集合即为定义域．(3)如果函数y ＝f (x )是用图象给出，则图象在x 轴上的投影所覆盖的x 的集合即为定义域． (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系．(3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是判断两函数相等的依据.两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同．(4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法． 3．分段函数若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函数通常叫做分段函数．关于分段函数的3个注意(1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数．(2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集． (3)各段函数的定义域不可以相交．考点一 函数的定义域[典例] (1)(2019·长春质检)函数y ＝ln (1－x )x ＋1＋1x 的定义域是( )A ．[－1,0)∪(0,1)B ．[－1,0)∪(0,1]C ．(－1,0)∪(0,1]D ．(－1,0)∪(0,1)(2)已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( ) A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝⎛⎭⎫12，1[解析] (1)由题意得⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，x ＋1>0，x ≠0，解得－1<x <0或0<x <1.所以原函数的定义域为(－1,0)∪(0,1)．(2)令u ＝2x ＋1，由f (x )的定义域为(－1,0)，可知－1<u <0，即－1<2x ＋1<0， 得－1<x <－12.[答案] (1)D (2)B [解题技法]1．使函数解析式有意义的一般准则 (1)分式中的分母不为0； (2)偶次根式的被开方数非负； (3)y ＝x 0要求x ≠0；(4)对数式中的真数大于0，底数大于0且不等于1； (5)正切函数y ＝tan x ，x ≠k π＋π2(k ∈Z)；(6)实际问题中除考虑函数解析式有意义外，还应考虑实际问题本身的要求． 2．抽象函数的定义域问题(1)若已知函数f (x )的定义域为[a ，b ]，其复合函数f (g (x ))的定义域由不等式a ≤g (x )≤b 求出； (2)若已知函数f (g (x ))的定义域为[a ，b ]，则f (x )的定义域为g (x )在x ∈[a ，b ]上的值域．[题组训练]1.函数f (x )＝1ln (x ＋1)＋4－x 2的定义域为( )A ．[－2,0)∪(0,2]B ．(－1,0)∪(0,2]C ．[－2,2]D ．(－1,2]解析：选B 由⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，ln (x ＋1)≠0，4－x 2≥0，得－1<x ≤2，且x ≠0.2.若函数y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，则函数g (x )＝f (x ＋1)x －1的定义域是________________．解析：因为y ＝f (x )的定义域是[1,2 019]，所以若g (x )有意义，应满足⎩⎪⎨⎪⎧1≤x ＋1≤2 019，x －1≠0，所以0≤x ≤2 018，且x ≠1.因此g (x )的定义域是{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}． 答案：{x |0≤x ≤2 018，且x ≠1}考点二 求函数的解析式[典例] (1)已知二次函数f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5，求f (x )； (2)已知函数f (x )满足f (－x )＋2f (x )＝2x ，求f (x )． [解] (1)法一：待定系数法因为f (x )是二次函数，所以设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，则f (2x ＋1)＝a (2x ＋1)2＋b (2x ＋1)＋c ＝4ax 2＋(4a ＋2b )x ＋a ＋b ＋c .因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5， 所以⎩⎪⎨⎪⎧4a ＝4，4a ＋2b ＝－6，a ＋b ＋c ＝5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝－5，c ＝9，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法二：换元法令2x ＋1＝t (t ∈R)，则x ＝t －12，所以f (t )＝4⎝⎛⎭⎫t －122－6·t －12＋5＝t 2－5t ＋9(t ∈R)，所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)． 法三：配凑法因为f (2x ＋1)＝4x 2－6x ＋5＝(2x ＋1)2－10x ＋4＝(2x ＋1)2－5(2x ＋1)＋9， 所以f (x )＝x 2－5x ＋9(x ∈R)．(2)解方程组法由f (－x )＋2f (x )＝2x ， ① 得f (x )＋2f (－x )＝2－x ，②①×2－②，得3f (x )＝2x ＋1－2－x .即f (x )＝2x ＋1－2－x3.故f (x )的解析式是f (x )＝2x ＋1－2－x3(x ∈R)．[解题技法] 求函数解析式的4种方法及适用条件 (1)待定系数法先设出含有待定系数的解析式，再利用恒等式的性质，或将已知条件代入，建立方程(组)，通过解方程(组)求出相应的待定系数．(2)换元法对于形如y ＝f (g (x ))的函数解析式，令t ＝g (x )，从中求出x ＝φ(t )，然后代入表达式求出f (t )，再将t 换成x ，得到f (x )的解析式，要注意新元的取值范围．(3)配凑法由已知条件f (g (x ))＝F (x )，可将F (x )改写成关于g (x )的表达式，然后以x 替代g (x )，便得f (x )的解析式．(4)解方程组法已知关于f (x )与f ⎝⎛⎭⎫1x 或f (－x )的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f (x )．[提醒] 由于函数的解析式相同，定义域不同，则为不相同的函数，因此求函数的解析式时，如果定义域不是R ，一定要注明函数的定义域．[题组训练]1.[口诀第2句]已知f (x )是二次函数，且f (0)＝0，f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，则f (x )＝________________. 解析：设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝0，知c ＝0，f (x )＝ax 2＋bx . 又由f (x ＋1)＝f (x )＋x ＋1，得a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＝ax 2＋bx ＋x ＋1， 即ax 2＋(2a ＋b )x ＋a ＋b ＝ax 2＋(b ＋1)x ＋1，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝b ＋1，a ＋b ＝1，解得a ＝b ＝12.所以f (x )＝12x 2＋12x (x ∈R)．答案：12x 2＋12x (x ∈R)2.[口诀第3句]已知f ⎝⎛⎭⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________________.解析：令2x ＋1＝t ，得x ＝2t －1，则f (t )＝lg 2t －1，又x >0，所以t >1，故f (x )的解析式是f (x )＝lg2x －1(x >1)．答案：lg2x －1(x >1) 3.[口诀第4句]已知f (x )满足2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，则f (x )＝________. 解析：∵2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，①把①中的x 换成1x ，得2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x.② 联立①②可得⎩⎨⎧2f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫1x ＝3x ，2f ⎝⎛⎭⎫1x ＋f (x )＝3x，解此方程组可得f (x )＝2x －1x (x ≠0)．答案：2x －1x (x ≠0)考点三 分段函数考法(一) 求函数值[典例] (2019·石家庄模拟)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0(0<a <1)，且f (－2)＝5，f (－1)＝3，则f (f (－3))＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3[解析] 由题意得，f (－2)＝a －2＋b ＝5，① f (－1)＝a －1＋b ＝3，②联立①②，结合0<a <1，得a ＝12，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，⎝⎛⎭⎫12x ＋1，x ≤0，则f (－3)＝⎝⎛⎭⎫12－3＋1＝9，f (f (－3))＝f (9)＝log 39＝2. [答案] B[解题技法] 求分段函数的函数值的策略(1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间对应的解析式求值；(2)当出现f (f (a ))的形式时，应从内到外依次求值；(3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的端点．考法(二) 求参数或自变量的值(或范围)[典例] (2018·全国卷Ⅰ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，则满足f (x ＋1)<f (2x )的x 的取值范围是( )A ．(－∞，－1]B ．(0，＋∞)C ．(－1,0)D ．(－∞，0)[解析] 法一：分类讨论法①当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x ≤0，即x ≤－1时，f (x ＋1)<f (2x )，即为2－(x ＋1)<2－2x，即－(x ＋1)<－2x ，解得x <1. 因此不等式的解集为(－∞，－1]．②当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≤0，2x >0时，不等式组无解．③当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x ≤0，即－1<x ≤0时，f (x ＋1)<f (2x )，即为1<2－2x，解得x <0.因此不等式的解集为(－1,0)．④当⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1>0，2x >0，即x >0时，f (x ＋1)＝1，f (2x )＝1，不合题意．综上，不等式f (x ＋1)<f (2x )的解集为(－∞，0)． 法二：数形结合法∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x，x ≤0，1，x >0，∴函数f (x )的图象如图所示． 结合图象知，要使f (x ＋1)<f (2x )， 则需⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1<0，2x <0，2x <x ＋1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1≥0，2x <0， ∴x <0，故选D. [答案] D[解题技法]已知函数值(或范围)求自变量的值(或范围)的方法(1)根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值(或范围)是否符合相应段的自变量的取值范围，最后将各段的结果合起来(求并集)即可；(2)如果分段函数的图象易得，也可以画出函数图象后结合图象求解．[题组训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧x ，0＜x ＜1，2(x －1)，x ≥1，若f (a )＝f (a ＋1)，则f ⎝⎛⎭⎫1a ＝( ) A ．2 B ．4 C ．6D ．8解析：选C 当0＜a ＜1时，a ＋1＞1，f (a )＝a ，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴a ＝2a ， 解得a ＝14或a ＝0(舍去)．∴f ⎝⎛⎭⎫1a ＝f (4)＝2×(4－1)＝6.当a ≥1时，a ＋1≥2，f (a )＝2(a －1)，f (a ＋1)＝2(a ＋1－1)＝2a ， ∵f (a )＝f (a ＋1)，∴2(a －1)＝2a ，无解． 综上，f ⎝⎛⎭⎫1a ＝6.2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x，x ≤1，f (x －1)，x >1，则f (f (3))＝________.解析：由题意，得f (3)＝f (2)＝f (1)＝21＝2， ∴f (f (3))＝f (2)＝2. 答案：23．(2017·全国卷Ⅲ)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝⎛⎭⎫x －12>1的x 的取值范围是________．解析：由题意知，可对不等式分x ≤0,0<x ≤12，x >12讨论．①当x ≤0时，原不等式为x ＋1＋x ＋12>1，解得x >－14，故－14<x ≤0.②当0<x ≤12时，原不等式为2x ＋x ＋12>1，显然成立．③当x >12时，原不等式为2x ＋2x －12>1，显然成立．综上可知，所求x 的取值范围是⎝⎛⎭⎫－14，＋∞. 答案：⎝⎛⎭⎫－14，＋∞ 4．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧⎝⎛⎭⎫12x －7，x <0，x ，x ≥0，若f (a )<1，则实数a 的取值范围是____________．解析：若a <0，则f (a )<1⇔⎝⎛⎭⎫12a－7<1⇔⎝⎛⎭⎫12a <8，解得a >－3，故－3<a <0； 若a ≥0，则f (a )<1⇔a <1，解得a <1，故0≤a <1. 综上可得－3<a <1. 答案：(－3,1)[课时跟踪检测]1．下列所给图象是函数图象的个数为( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：选B ①中当x ＞0时，每一个x 的值对应两个不同的y 值，因此不是函数图象；②中当x ＝x 0时，y 的值有两个，因此不是函数图象；③④中每一个x 的值对应唯一的y 值，因此是函数图象．故选B.2．函数f (x )＝2x －1＋1x －2的定义域为( ) A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)解析：选C 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1≥0，x －2≠0，解得x ≥0，且x ≠2.3．已知f ⎝⎛⎭⎫12x －1＝2x －5，且f (a )＝6，则a 等于( ) A.74 B ．－74C.43D ．－43解析：选A 令t ＝12x －1，则x ＝2t ＋2，f (t )＝2(2t ＋2)－5＝4t －1，则4a －1＝6，解得a ＝74.4．(2019·贵阳检测)下列函数中，同一个函数的定义域与值域相同的是( ) A ．y ＝x －1 B ．y ＝ln x C ．y ＝13x －1D ．y ＝x ＋1x －1解析：选D 对于A ，定义域为[1，＋∞)，值域为[0，＋∞)，不满足题意；对于B ，定义域为(0，＋∞)，值域为R ，不满足题意；对于C ，定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，值域为(－∞，－1)∪(0，＋∞)，不满足题意；对于D ，y ＝x ＋1x －1＝1＋2x －1，定义域为(－∞，1)∪(1，＋∞)，值域也是(－∞，1)∪(1，＋∞)．5．(2018·福建期末)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ＋a ，x >0，4x －2－1，x ≤0.若f (a )＝3，则f (a －2)＝( )A ．－1516B ．3C ．－6364或3D ．－1516或3解析：选A 当a >0时，若f (a )＝3，则log 2a ＋a ＝3，解得a ＝2(满足a >0)；当a ≤0时，若f (a )＝3，则4a －2－1＝3，解得a ＝3，不满足a ≤0，所以舍去．于是，可得a ＝2.故f (a －2)＝f (0)＝4－2－1＝－1516.6．已知函数y ＝f (2x －1)的定义域是[0,1]，则函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．[1,2]B ．(－1,1] C.⎣⎡⎦⎤－12，0 D ．(－1,0)解析：选D 由f (2x －1)的定义域是[0,1]， 得0≤x ≤1，故－1≤2x －1≤1， ∴f (x )的定义域是[－1,1]， ∴要使函数f (2x ＋1)log 2(x ＋1)有意义，需满足⎩⎪⎨⎪⎧－1≤2x ＋1≤1，x ＋1>0，x ＋1≠1，解得－1<x <0.7．下列函数中，不满足f (2 018x )＝2 018f (x )的是( ) A ．f (x )＝|x | B ．f (x )＝x －|x | C ．f (x )＝x ＋2D ．f (x )＝－2x解析：选C 若f (x )＝|x |，则f (2 018x )＝|2 018x |＝2 018|x |＝2 018f (x )；若f (x )＝x －|x |，则f (2 018x )＝2 018x －|2 018x |＝2 018(x －|x |)＝2 018f (x )；若f (x )＝x ＋2，则f (2 018x )＝2 018x ＋2，而2 018f (x )＝2 018x ＋2 018×2，故f (x )＝x ＋2不满足f (2 018x )＝2 018f (x )；若f (x )＝－2x ，则f (2 018x )＝－2×2 018x ＝2 018×(－2x )＝2 018f (x )．故选C.8．已知具有性质：f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： ①f (x )＝x －1x ；②f (x )＝x ＋1x ；③f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，0<x <1，0，x ＝1，－1x ，x >1.其中满足“倒负”变换的函数是( ) A ．①② B ．①③ C ．②③D ．①解析：选B 对于①，f (x )＝x －1x ，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x－x ＝－f (x )，满足题意；对于②，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝1x ＋x ＝f (x )，不满足题意；对于③，f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，0<1x<1，0，1x ＝1，－x ，1x >1，即f ⎝⎛⎭⎫1x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1x，x >1，0，x ＝1，－x ，0<x <1，故f ⎝⎛⎭⎫1x ＝－f (x )，满足题意．综上可知，满足“倒负”变换的函数是①③.9．(2019·青岛模拟)函数y ＝ln ⎝⎛⎭⎫1＋1x ＋1－x 2的定义域为________． 解析：由⎩⎪⎨⎪⎧1＋1x >0，1－x 2≥0⇒⎩⎪⎨⎪⎧x <－1或x >0，－1≤x ≤1⇒0<x ≤1.所以该函数的定义域为(0,1]． 答案：(0,1]10．(2019·益阳、湘潭调研)若函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，则f (f (－9))＝________.解析：∵函数f (x )＝⎩⎨⎧lg (1－x )，x <0，－2x ，x ≥0，∴f (－9)＝lg 10＝1，∴f (f (－9))＝f (1)＝－2.答案：－211．(2018·张掖一诊)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x ＞0，x ＋1，x ≤0，若f (a )＋f (1)＝0，则实数a 的值等于________．解析：∵f (1)＝2，且f (1)＋f (a )＝0，∴f (a )＝－2＜0，故a ≤0. 依题知a ＋1＝－2，解得a ＝－3.答案：－312．已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ＋1，x ≤0，－(x －1)2，x ＞0，使f (x )≥－1成立的x 的取值范围是________．解析：由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ≤0，12x ＋1≥－1或⎩⎪⎨⎪⎧x ＞0，－(x －1)2≥－1， 解得－4≤x ≤0或0＜x ≤2， 故所求x 的取值范围是[－4,2]． 答案：[－4,2]13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax ＋b ，x ＜0，2x ，x ≥0，且f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)．(1)求函数f (x )的解析式；(2)在如图所示的直角坐标系中画出f (x )的图象．解：(1)由f (－2)＝3，f (－1)＝f (1)，得⎩⎪⎨⎪⎧－2a ＋b ＝3，－a ＋b ＝2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝－1，b ＝1，所以f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x ＜0，2x ，x ≥0.(2)函数f (x )的图象如图所示．第二节函数的单调性与最值一、基础知识1．增函数、减函数定义：设函数f(x)的定义域为I：(1)增函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)<f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是增函数．(2)减函数：如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量的值x1，x2，当x1<x2时，都有f(x1)>f(x2)，那么就说函数f(x)在区间D上是减函数．增(减)函数定义中的x1，x2的三个特征一是任意性；二是有大小，即x1<x2(x1>x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可．2．单调性、单调区间若函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，则称函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间.有关单调区间的两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”连接，也不能用“或”连接，只能用“逗号”或“和”连接．3．函数的最值设函数y＝f(x)的定义域为I，如果存在实数M满足：(1)对于任意的x∈I，都有f(x)≤M或f(x)≥M.(2)存在x0∈I，使得f(x0)＝M.那么，我们称M是函数y＝f(x)的最大值或最小值．函数最值存在的两条结论(1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值．当函数在闭区间上单调时最值一定在端点取到．(2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值．二、常用结论在公共定义域内：(1)函数f(x)单调递增，g(x)单调递增，则f(x)＋g(x)是增函数；(2)函数f(x)单调递减，g(x)单调递减，则f(x)＋g(x)是减函数；(3)函数f (x )单调递增，g (x )单调递减，则f (x )－g (x )是增函数； (4)函数f (x )单调递减，g (x )单调递增，则f (x )－g (x )是减函数；(5)若k >0，则kf (x )与f (x )单调性相同；若k <0，则kf (x )与f (x )单调性相反； (6)函数y ＝f (x )(f (x )>0)在公共定义域内与y ＝－f (x )，y ＝1f (x )的单调性相反； (7)复合函数y ＝f [g (x )]的单调性与y ＝f (u )和u ＝g (x )的单调性有关．简记：“同增异减”．考点一 确定函数的单调性(区间))[典例] (1)求函数f (x )＝－x 2＋2|x |＋1的单调区间． (2)试讨论函数f (x )＝axx －1(a ≠0)在(－1,1)上的单调性．[解] (1)易知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2＋2x ＋1，x ≥0，－x 2－2x ＋1，x <0＝⎩⎪⎨⎪⎧－(x －1)2＋2，x ≥0，－(x ＋1)2＋2，x <0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(－∞，－1]和[0,1]，单调递减区间为[－1,0]和[1，＋∞)．(2)法一：定义法 设－1<x 1<x 2<1，f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －1＋1x －1＝a⎝⎛⎭⎫1＋1x －1， 则f (x 1)－f (x 2)＝a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 1－1－a ⎝⎛⎭⎫1＋1x 2－1＝a (x 2－x 1)(x 1－1)(x 2－1).由于－1<x 1<x 2<1，所以x 2－x 1>0，x 1－1<0，x 2－1<0， 故当a >0时，f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递减；当a <0时，f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)， 函数f (x )在(－1,1)上单调递增． 法二：导数法f ′(x )＝(ax )′(x －1)－ax (x －1)′(x －1)2＝a (x －1)－ax (x －1)2＝－a(x －1)2.当a >0时，f ′(x )<0，函数f (x )在(－1,1)上单调递减； 当a <0时，f ′(x )>0，函数f (x )在(－1,1)上单调递增．[解题技法] 判断函数单调性和求单调区间的方法(1)定义法：一般步骤为设元―→作差―→变形―→判断符号―→得出结论．(2)图象法：如果f (x )是以图象形式给出的，或者f (x )的图象易作出，则可由图象的上升或下降确定单调性．(3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间．(4)性质法：对于由基本初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定．[题组训练]1．下列函数中，满足“∀x 1，x 2∈(0，＋∞)且x 1≠x 2，(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0”的是( ) A ．f (x )＝2x B ．f (x )＝|x －1| C ．f (x )＝1x－xD ．f (x )＝ln(x ＋1)解析：选C 由(x 1－x 2)·[f (x 1)－f (x 2)]<0可知，f (x )在(0，＋∞)上是减函数，A 、D 选项中，f (x )为增函数；B 中，f (x )＝|x －1|在(0，＋∞)上不单调；对于f (x )＝1x －x ，因为y ＝1x 与y ＝－x 在(0，＋∞)上单调递减，因此f (x )在(0，＋∞)上是减函数．2．函数f (x )＝log 12(x 2－4)的单调递增区间是( )A ．(0，＋∞)B ．(－∞，0)C ．(2，＋∞)D ．(－∞，－2)解析：选D 令t ＝x 2－4，则y ＝log 12t .因为y ＝log 12t 在定义域上是减函数，所以求原函数的单调递增区间，即求函数t ＝x 2－4的单调递减区间，结合函数的定义域，可知所求区间为(－∞，－2)．3．判断函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，＋∞)上的单调性．解：设x 1，x 2是任意两个正数，且x 1<x 2，则f (x 1)－f (x 2)＝⎝⎛⎭⎫x 1＋a x 1－⎝⎛⎭⎫x 2＋a x 2＝x 1－x 2x 1x 2(x 1x 2－a )． 当0<x 1<x 2≤a 时，0<x 1x 2<a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)>0，即f (x 1)>f (x 2)， 所以函数f (x )在(0，a ]上是减函数； 当a ≤x 1<x 2时，x 1x 2>a ，x 1－x 2<0， 所以f (x 1)－f (x 2)<0，即f (x 1)<f (x 2)，所以函数f (x )在[a ，＋∞)上是增函数．综上可知，函数f (x )＝x ＋ax (a >0)在(0，a ]上是减函数，在[a ，＋∞)上是增函数．考点二 求函数的值域(最值))[典例] (1)(2019•深圳调研)函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________．(2)若函数f (x )＝－ax＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域为⎣⎡⎦⎤12，2，则a ＝________，b ＝________. (3)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－4x ，x ≤0，sin x ，x >0的最大值为________．[解析] (1)图象法函数y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x ≤－1，3，－1<x <2，2x －1，x ≥2.作出函数的图象如图所示．根据图象可知，函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为[3，＋∞)． (2)单调性法∵f (x )＝－ax ＋b (a >0)在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f (x )min ＝f ⎝⎛⎭⎫12＝12，f (x )max ＝f (2)＝2.即⎩⎨⎧－2a ＋b ＝12，－a2＋b ＝2，解得a ＝1，b ＝52.(3)当x ≤0时，f (x )＝－x 2－4x ＝－(x ＋2)2＋4，而－2∈(－∞，0]，此时f (x )在x ＝－2处取得最大值，且f (－2)＝4；当x >0时，f (x )＝sin x ，此时f (x )在区间(0，＋∞)上的最大值为1.综上所述，函数f (x )的最大值为4.[答案] (1)[3，＋∞) (2)1 52(3)4[提醒] (1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域．(2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数的最大值，最小的作为分段函数的最小值．[题组训练]1．函数f (x )＝x 2＋4x的值域为________．解析：当x >0时，f (x )＝x ＋4x ≥4，当且仅当x ＝2时取等号； 当x <0时，－x ＋⎝⎛⎭⎫－4x ≥4， 即f (x )＝x ＋4x ≤－4，当且仅当x ＝－2取等号，所以函数f (x )的值域为(－∞，－4]∪[4，＋∞)． 答案：(－∞，－4]∪[4，＋∞)2．若x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3，则函数y ＝4sin 2x －12sin x －1的最大值为________，最小值为________． 解析：令t ＝sin x ，因为x ∈⎣⎡⎦⎤－π6，2π3， 所以t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1，y ＝f (t )＝4t 2－12t －1， 因为该二次函数的图象开口向上，且对称轴为t ＝32，所以当t ∈⎣⎡⎦⎤－12，1时，函数f (t )单调递减， 所以当t ＝－12时，y max ＝6；当t ＝1时，y min ＝－9. 答案：6 －93．已知f (x )＝x 2＋2x ＋ax ，x ∈[1，＋∞)，且a ≤1.若对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立，则实数a 的取值范围是________．解析：对任意x ∈[1，＋∞)，f (x )>0恒成立等价于x 2＋2x ＋a >0在x ∈[1，＋∞)上恒成立，即a >－x 2－2x 在x ∈[1，＋∞)上恒成立．又函数y ＝－x 2－2x 在[1，＋∞)上单调递减， ∴(－x 2－2x )max ＝－3，故a >－3， 又∵a ≤1，∴－3<a ≤1. 答案：(－3,1]考点三 函数单调性的应用考法(一) 比较函数值的大小[典例] 设偶函数f (x )的定义域为R ，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )是增函数，则f (－2)，f (π)，f (－3)的大小关系是( )A ．f (π)>f (－3)>f (－2)B ．f (π)>f (－2)>f (－3)C ．f (π)<f (－3)<f (－2)D ．f (π)<f (－2)<f (－3)[解析] 因为f (x )是偶函数，所以f (－3)＝f (3)，f (－2)＝f (2)． 又因为函数f (x )在[0，＋∞)上是增函数． 所以f (π)>f (3)>f (2)，即f (π)>f (－3)>f (－2)． [答案] A[解题技法] 比较函数值大小的解题思路比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合的尽量用图象法求解．考法(二) 解函数不等式[典例] 设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ，x <2，x 2，x ≥2.若f (a ＋1)≥f (2a －1)，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，1]B ．(－∞，2]C ．[2,6]D ．[2，＋∞)[解析] 易知函数f (x )在定义域(－∞，＋∞)上是增函数，∵f (a ＋1)≥f (2a －1)， ∴a ＋1≥2a －1，解得a ≤2.故实数a 的取值范围是(－∞，2]． [答案] B[解题技法] 求解含“f ”的函数不等式的解题思路先利用函数的相关性质将不等式转化为f (g (x ))>f (h (x ))的形式，再根据函数的单调性去掉“f ”，得到一般的不等式g (x )>h (x )(或g (x )<h (x ))．考法(三) 利用单调性求参数的范围(或值)[典例] (2019•南京调研)已知函数f (x )＝x －a x ＋a2在(1，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．[解析] 设1<x 1<x 2，∴x 1x 2>1. ∵函数f (x )在(1，＋∞)上是增函数， ∴f (x 1)－f (x 2)＝x 1－a x 1＋a2－⎝⎛⎭⎫x 2－a x 2＋a 2 ＝(x 1－x 2)⎝⎛⎭⎫1＋a x 1x 2<0.∵x 1－x 2<0，∴1＋ax 1x 2>0，即a >－x 1x 2.∵1<x 1<x 2，x 1x 2>1，∴－x 1x 2<－1，∴a ≥－1. ∴a 的取值范围是[－1，＋∞)． [答案] [－1，＋∞)[解题技法]利用单调性求参数的范围(或值)的方法(1)视参数为已知数，依据函数的图象或单调性定义，确定函数的单调区间，与已知单调区间比较求参数；(2)需注意若函数在区间[a ，b ]上是单调的，则该函数在此区间的任意子集上也是单调的．[题组训练]1．已知函数f (x )的图象向左平移1个单位后关于y 轴对称，当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)]·(x 2－x 1)<0恒成立，设a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12，b ＝f (2)，c ＝f (3)，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c >a >b B ．c >b >a C ．a >c >bD ．b >a >c解析：选D 由于函数f (x )的图象向左平移1个单位后得到的图象关于y 轴对称，故函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝1对称，所以a ＝f ⎝⎛⎭⎫－12＝f ⎝⎛⎭⎫52.当x 2>x 1>1时，[f (x 2)－f (x 1)](x 2－x 1)<0恒成立，等价于函数f (x )在(1，＋∞)上单调递减，所以b >a >c .2．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ax 2－x －14，x ≤1，log a x －1，x >1是R 上的单调函数，则实数a 的取值范围是( )A.⎣⎡⎭⎫14，12 B.⎣⎡⎦⎤14，12 C.⎝⎛⎦⎤0，12 D.⎣⎡⎭⎫12，1解析：选B 由对数函数的定义可得a >0，且a ≠1.又函数f (x )在R 上单调，而二次函数y ＝ax 2－x －14的图象开口向上，所以函数f (x )在R 上单调递减，故有⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，12a≥1，a ×12－1－14≥log a1－1，即⎩⎪⎨⎪⎧0<a <1，0<a ≤12，a ≥14.所以a ∈⎣⎡⎦⎤14，12.[课时跟踪检测]A 级1．下列四个函数中，在x ∈(0，＋∞)上为增函数的是( ) A ．f (x )＝3－x B ．f (x )＝x 2－3x C ．f (x )＝－1x ＋1D ．f (x )＝－|x |解析：选C 当x >0时，f (x )＝3－x 为减函数；当x ∈⎝⎛⎭⎫0，32时，f (x )＝x 2－3x 为减函数，当x ∈⎝⎛⎭⎫32，＋∞时，f (x )＝x 2－3x 为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－1x ＋1为增函数；当x ∈(0，＋∞)时，f (x )＝－|x |为减函数．2．若函数f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，则函数g (x )＝a (x 2－4x ＋3)的单调递增区间是( ) A ．(2，＋∞) B ．(－∞，2) C ．(4，＋∞)D ．(－∞，4)解析：选B 因为f (x )＝ax ＋1在R 上单调递减，所以a <0. 而g (x )＝a (x 2－4x ＋3)＝a (x －2)2－a .因为a <0，所以g (x )在(－∞，2)上单调递增．3．已知函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13的x 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫13，23B.⎣⎡⎭⎫13，23 C.⎝⎛⎭⎫12，23D.⎣⎡⎭⎫12，23解析：选D 因为函数f (x )是定义在区间[0，＋∞)上的增函数，满足f (2x －1)＜f ⎝⎛⎭⎫13. 所以0≤2x －1＜13，解得12≤x ＜23.4．(2019·菏泽模拟)定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2，2]的最大值等于( )A ．－1B ．1C ．6D ．12解析：选C 由题意知当－2≤x ≤1时，f (x )＝x －2，当1<x ≤2时，f (x )＝x 3－2，又f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在相应的定义域内都为增函数，且f (1)＝－1，f (2)＝6，∴f (x )的最大值为6.5．已知函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，那么不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(全集为R)( )A ．(－1,2)B ．(1,4)C ．(－∞，－1)∪[4，＋∞)D ．(－∞，－1]∪[2，＋∞)解析：选D 由函数f (x )是R 上的增函数，A (0，－3)，B (3,1)是其图象上的两点，知不等式－3＜f (x ＋1)＜1即为f (0)＜f (x ＋1)＜f (3)，所以0＜x ＋1＜3，所以－1＜x ＜2，故不等式－3＜f (x ＋1)＜1的解集的补集是(－∞，－1]∪[2，＋∞)．6．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－ax －5，x ≤1，a x ，x >1是R 上的增函数，则实数a 的取值范围是( )A ．[－3,0)B ．(－∞，－2]C ．[－3，－2]D ．(－∞，0)解析：选C 若f (x )是R 上的增函数，则应满足⎩⎪⎨⎪⎧－a2≥1，a <0，－12－a ×1－5≤a 1，解得－3≤a ≤－2.7．已知函数f (x )＝x 2－2x －3，则该函数的单调递增区间为________．解析：设t ＝x 2－2x －3，由t ≥0，即x 2－2x －3≥0，解得x ≤－1或x ≥3，所以函数f (x )的定义域为(－∞，－1]∪[3，＋∞)．因为函数t ＝x 2－2x －3的图象的对称轴为x ＝1，所以函数t ＝x 2－2x －3在(－∞，－1]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，所以函数f (x )的单调递增区间为[3，＋∞)．答案：[3，＋∞)8．函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1x ，x ≥1，－x 2＋2，x <1的最大值为________．解析：当x ≥1时，函数f (x )＝1x 为减函数，所以f (x )在x ＝1处取得最大值，为f (1)＝1；当x <1时，易知函数f (x )＝－x 2＋2在x ＝0处取得最大值，为f (0)＝2.故函数f (x )的最大值为2.答案：29．若函数f (x )＝1x 在区间[2，a ]上的最大值与最小值的和为34，则a ＝________.解析：由f (x )＝1x 的图象知，f (x )＝1x 在(0，＋∞)上是减函数，∵[2，a ]⊆(0，＋∞)，∴f (x )＝1x 在[2，a ]上也是减函数，∴f (x )max ＝f (2)＝12，f (x )min ＝f (a )＝1a ，∴12＋1a ＝34，∴a ＝4. 答案：410．(2019·甘肃会宁联考)若f (x )＝x ＋a －1x ＋2在区间(－2，＋∞)上是增函数，则实数a 的取值范围是________．解析：f (x )＝x ＋a －1x ＋2＝x ＋2＋a －3x ＋2＝1＋a －3x ＋2，要使函数在区间(－2，＋∞)上是增函数，需使a－3<0，解得a <3.答案：(－∞，3)11．已知函数f (x )＝1a －1x (a ＞0，x ＞0)．(1)求证：f (x )在(0，＋∞)上是增函数；(2)若f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上的值域是⎣⎡⎦⎤12，2，求a 的值． 解：(1)证明：任取x 1＞x 2＞0， 则f (x 1)－f (x 2)＝1a －1x 1－1a ＋1x 2＝x 1－x 2x 1x 2，∵x 1＞x 2＞0，∴x 1－x 2＞0，x 1x 2＞0， ∴f (x 1)－f (x 2)＞0， 即f (x 1)＞f (x 2)，∴f (x )在(0，＋∞)上是增函数．(2)由(1)可知，f (x )在⎣⎡⎦⎤12，2上是增函数， ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝1a －2＝12，f (2)＝1a －12＝2， 解得a ＝25.12．已知f (x )＝xx －a(x ≠a )．(1)若a ＝－2，试证f (x )在(－∞，－2)内单调递增；(2)若a ＞0且f (x )在(1，＋∞)内单调递减，求a 的取值范围． 解：(1)证明：当a ＝－2时，f (x )＝xx ＋2.任取x 1，x 2∈(－∞，－2)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1＋2－x 2x 2＋2＝2(x 1－x 2)(x 1＋2)(x 2＋2). 因为(x 1＋2)(x 2＋2)＞0，x 1－x 2＜0， 所以f (x 1)－f (x 2)＜0，即f (x 1)＜f (x 2)， 所以f (x )在(－∞，－2)内单调递增． (2)任取x 1，x 2∈(1，＋∞)，且x 1＜x 2， 则f (x 1)－f (x 2)＝x 1x 1－a －x 2x 2－a ＝a (x 2－x 1)(x 1－a )(x 2－a ). 因为a ＞0，x 2－x 1＞0，又由题意知f (x 1)－f (x 2)＞0， 所以(x 1－a )(x 2－a )＞0恒成立，所以a ≤1. 所以0＜a ≤1.所以a 的取值范围为(0,1]．B 级1．若f (x )＝－x 2＋4mx 与g (x )＝2mx ＋1在区间[2,4]上都是减函数，则m 的取值范围是( ) A ．(－∞，0)∪(0,1] B ．(－1,0)∪(0,1] C ．(0，＋∞)D ．(0,1]解析：选D 函数f (x )＝－x 2＋4mx 的图象开口向下，且以直线x ＝2m 为对称轴，若在区间[2,4]上是减函数，则2m ≤2，解得m ≤1；g (x )＝2m x ＋1的图象由y ＝2mx 的图象向左平移一个单位长度得到，若在区间[2,4]上是减函数，则2m >0，解得m >0.综上可得，m 的取值范围是(0,1]．2．已知函数f (x )＝ln x ＋x ，若f (a 2－a )>f (a ＋3)，则正数a 的取值范围是________． 解析：因为f (x )＝ln x ＋x 在(0，＋∞)上是增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－a >a ＋3，a 2－a >0，a ＋3>0，解得－3<a <－1或a >3.又a >0，所以a >3. 答案：(3，＋∞)3．已知定义在R 上的函数f (x )满足：①f (x ＋y )＝f (x )＋f (y )＋1，②当x >0时，f (x )>－1. (1)求f (0)的值，并证明f (x )在R 上是单调增函数; (2)若f (1)＝1，解关于x 的不等式f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4. 解：(1)令x ＝y ＝0，得f (0)＝－1.在R 上任取x 1>x 2，则x 1－x 2>0，f (x 1－x 2)>－1. 又f (x 1)＝f [(x 1－x 2)＋x 2]＝f (x 1－x 2)＋f (x 2)＋1>f (x 2)， 所以函数f (x )在R 上是单调增函数． (2)由f (1)＝1，得f (2)＝3，f (3)＝5.由f (x 2＋2x )＋f (1－x )>4得f (x 2＋x ＋1)>f (3)， 又函数f (x )在R 上是增函数，故x 2＋x ＋1>3， 解得x <－2或x >1，故原不等式的解集为{x |x <－2或x >1}．第三节 函数的奇偶性与周期性一、基础知1．函数的奇偶性偶函数奇函数定义如果对于函数f (x )的定义域内任意一个x都有f (－x )＝f (x )❷，那么函数f (x )是偶函数都有f (－x )＝－f (x )❷，那么函数f (x )是奇函数 图象特征关于y 轴对称关于原点对称函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件．若f (x )≠0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下：(1)f (－x )＝f (x )⇔f (－x )－f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝1⇔f (x )为偶函数；(2)f (－x )＝－f (x )⇔f (－x )＋f (x )＝0⇔f (－x )f (x )＝－1⇔f (x )为奇函数．2．函数的周期性 (1)周期函数对于函数f (x )，如果存在一个非零常数T ，使得当x 取定义域内的任何值时，都有f (x ＋T )＝f (x )，那么就称函数f (x )为周期函数，称T 为这个函数的周期．周期函数定义的实质存在一个非零常数T ，使f (x ＋T )＝f (x )为恒等式，即自变量x 每增加一个T 后，函数值就会重复出现一次．(2)最小正周期如果在周期函数f (x )的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f (x )的最小正周期．二、常用结论1．函数奇偶性常用结论(1)如果函数f (x )是奇函数且在x ＝0处有定义，则一定有f (0)＝0；如果函数f (x )是偶函数，那么f (x )＝f (|x |)．(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性常用结论 对f (x )定义域内任一自变量x ： (1)若f (x ＋a )＝－f (x )，则T ＝2a (a >0)． (2)若f (x ＋a )＝1f (x )，则T ＝2a (a >0)．(3)若f (x ＋a )＝－1f (x )，则T ＝2a (a >0)．3．函数图象的对称性(1)若函数y ＝f (x ＋a )是偶函数，即f (a －x )＝f (a ＋x )，则函数y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称． (2)若对于R 上的任意x 都有f (2a －x )＝f (x )或f (－x )＝f (2a ＋x )，则y ＝f (x )的图象关于直线x ＝a 对称．(3)若函数y ＝f (x ＋b )是奇函数，即f (－x ＋b )＋f (x ＋b )＝0，则函数y ＝f (x )关于点(b,0)中心对称．考点一 函数奇偶性的判断[典例] 判断下列函数的奇偶性： (1)f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3；(2)f (x )＝1－x 2＋x 2－1； (3)f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2；(4)f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0.[解] (1)由f (x )＝36－x 2|x ＋3|－3，可知⎩⎪⎨⎪⎧ 36－x 2≥0，|x ＋3|－3≠0⇒⎩⎪⎨⎪⎧－6≤x ≤6，x ≠0且x ≠－6，故函数f (x )的定义域为(－6,0)∪(0,6]，定义域不关于原点对称，故f (x )为非奇非偶函数．(2)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2≥0，x 2－1≥0⇒x 2＝1⇒x ＝±1，故函数f (x )的定义域为{－1,1}，关于原点对称，且f (x )＝0，所以f (－x )＝f (x )＝－f (x )，所以函数f (x )既是奇函数又是偶函数．(3)由⎩⎪⎨⎪⎧1－x 2>0，|x －2|－2≠0⇒－1<x <0或0<x <1，定义域关于原点对称．此时f (x )＝log 2(1－x 2)|x －2|－2＝log 2(1－x 2)2－x －2＝－log 2(1－x 2)x ，故有f (－x )＝－log 2[1－(－x )2]－x ＝log 2(1－x 2)x ＝－f (x )，所以函数f (x )为奇函数． (4)法一：图象法画出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，x 2－x ，x >0的图象如图所示，图象关于y 轴对称，故f (x )为偶函数．法二：定义法易知函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，－x >0，故f (－x )＝x 2＋x ＝f (x )；当x <0时，f (x )＝x 2＋x ，则当x >0时，－x <0，故f (－x )＝x 2－x ＝f (x )，故原函数是偶函数．法三：f (x )还可以写成f (x )＝x 2－|x |(x ≠0)，故f (x )为偶函数．[题组训练]1．(2018·福建期末)下列函数为偶函数的是( ) A ．y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4 B ．y ＝x 2＋e |x | C ．y ＝x cos xD ．y ＝ln|x |－sin x解析：选B 对于选项A ，易知y ＝tan ⎝⎛⎭⎫x ＋π4为非奇非偶函数；对于选项B ，设f (x )＝x 2＋e |x |，则f (－x )＝(－x )2＋e |－x |＝x 2＋e |x |＝f (x )，所以y ＝x 2＋e |x |为偶函数；对于选项C ，设f (x )＝x cos x ，则f (－x )＝－x cos(－x )＝－x cos x ＝－f (x )，所以y ＝x cos x 为奇函数；对于选项D ，设f (x )＝ln|x |－sin x ，则f (2)＝ln 2－sin 2，f (－2)＝ln 2－sin(－2)＝ln 2＋sin 2≠f (2)，所以y ＝ln|x |－sin x 为非奇非偶函数，故选B.2．设函数f (x )＝e x －e －x2，则下列结论错误的是( )A ．|f (x )|是偶函数B ．－f (x )是奇函数C ．f (x )|f (x )|是奇函数D ．f (|x |)f (x )是偶函数解析：选D ∵f (x )＝e x －e －x2，则f (－x )＝e －x －e x2＝－f (x )．∴f (x )是奇函数． ∵f (|－x |)＝f (|x |)，∴f (|x |)是偶函数，∴f (|x |)f (x )是奇函数．考点二 函数奇偶性的应用[典例] (1)(2019·福建三明模拟)函数y ＝f (x )是R 上的奇函数，当x <0时，f (x )＝2x ，则当x >0时，f (x )＝( )A ．－2xB ．2－xC ．－2－xD ．2x(2)(2018·贵阳摸底考试)已知函数f (x )＝a －2e x ＋1(a ∈R)是奇函数，则函数f (x )的值域为( )A ．(－1,1)B ．(－2,2)C ．(－3,3)D ．(－4,4)[解析] (1)当x >0时，－x <0，∵x <0时，f (x )＝2x ，∴当x >0时，f (－x )＝2－x .∵f (x )是R 上的奇函数，∴当x >0时，f (x )＝－f (－x )＝－2－x .(2)法一：由f (x )是奇函数知f (－x )＝－f (x )，所以a －2e －x＋1＝－a ＋2e x ＋1，得2a ＝2e x ＋1＋2e －x ＋1，所以a ＝1e x ＋1＋e x e x ＋1＝1，所以f (x )＝1－2e x ＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)．法二：函数f (x )的定义域为R ，且函数f (x )是奇函数，所以f (0)＝a －1＝0，即a ＝1，所以f (x )＝1－2e x＋1.因为e x ＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，－1<1－2e x ＋1<1，所以函数f (x )的值域为(－1,1)． [答案] (1)C (2)A[解题技法]应用函数奇偶性可解决的四类问题及解题方法(1)求函数值将待求值利用奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． (2)求解析式先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或充分利用奇偶性构造关于f (x )的方程(组)，从而得到f (x )的解析式．(3)求函数解析式中参数的值利用待定系数法求解，根据f (x )±f (－x )＝0得到关于待求参数的恒等式，由系数的对等性得参数的值或方程(组)，进而得出参数的值．(4)画函数图象和判断单调性利用奇偶性可画出另一对称区间上的图象及判断另一区间上的单调性．[题组训练]1．(2019·贵阳检测)若函数f (x )是定义在R 上的奇函数，当x ≥0时，f (x )＝log 2(x ＋2)－1，则f (－6)＝( )A ．2B ．4C ．－2D ．－4解析：选C 根据题意得f (－6)＝－f (6)＝1－log 2(6＋2)＝1－3＝－2.2．已知函数f (x )为奇函数，当x >0时，f (x )＝x 2－x ，则当x <0时，函数f (x )的最大值为________． 解析：法一：当x <0时，－x >0，所以f (－x )＝x 2＋x .又因为函数f (x )为奇函数，所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2－x ＝－⎝⎛⎭⎫x ＋122＋14，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14. 法二：当x >0时，f (x )＝x 2－x ＝⎝⎛⎭⎫x －122－14，最小值为－14，因为函数f (x )为奇函数，所以当x <0时，函数f (x )的最大值为14.答案：143．(2018·合肥八中模拟)若函数f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，则a ＝________. 解析：∵f (x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)为偶函数，∴f (－x )＝f (x )，即－x ln(a ＋x 2－x )＝x ln(x ＋a ＋x 2)，从而ln[(a ＋x 2)2－x 2]＝0，即ln a ＝0，故a ＝1.答案：1考点三 函数的周期性[典例] (1)(2018·开封期末)已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝－f (x ＋2)，当x ∈(0,2]时，f (x )＝2x ＋log 2x ，则f (2 019)＝( )A ．5 B.12C ．2D ．－2(2)(2018·江苏高考)函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，且在区间(－2,2]上，f (x )＝⎩⎨⎧cos πx2，0<x ≤2，⎪⎪⎪⎪x ＋12，－2<x ≤0，则f (f (15))的值为________．[解析] (1)由f (x )＝－f (x ＋2)，得f (x ＋4)＝f (x )，所以函数f (x )是周期为4的周期函数，所以f (2 019)＝f (504×4＋3)＝f (3)＝f (1＋2)＝－f (1)＝－(2＋0)＝－2.(2)由函数f (x )满足f (x ＋4)＝f (x )(x ∈R)，可知函数f (x )的周期是4， 所以f (15)＝f (－1)＝⎪⎪⎪⎪－1＋12＝12， 所以f (f (15))＝f ⎝⎛⎭⎫12＝cos π4＝22. [答案] (1)D (2)22[题组训练]1．(2019·山西八校联考)已知f (x )是定义在R 上的函数，且满足f (x ＋2)＝－1f (x )，当2≤x ≤3时，f (x )＝x ，则f ⎝⎛⎭⎫－112＝________. 解析：∵f (x ＋2)＝－1f (x )，∴f (x ＋4)＝f (x )， ∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝f ⎝⎛⎭⎫52，又2≤x ≤3时，f (x )＝x ， ∴f ⎝⎛⎭⎫52＝52，∴f ⎝⎛⎭⎫－112＝52. 答案：522．(2019·哈尔滨六中期中)设f (x )是定义在R 上的周期为3的函数，当x ∈[－2,1)时，f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧4x 2－2，－2≤x ≤0，x ，0<x <1，则f ⎝⎛⎭⎫f ⎝⎛⎭⎫214＝________. 解析：由题意可得f ⎝⎛⎭⎫214＝f ⎝⎛⎭⎫6－34＝f ⎝⎛⎭⎫－34＝4×⎝⎛⎭⎫－342－2＝14，f ⎝⎛⎭⎫14＝14. 答案：14[课时跟踪检测]A 级1．下列函数为奇函数的是( ) A ．f (x )＝x 3＋1 B ．f (x )＝ln 1－x1＋xC ．f (x )＝e xD ．f (x )＝x sin x解析：选B 对于A ，f (－x )＝－x 3＋1≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于B ，f (－x )＝ln 1＋x1－x ＝－ln1－x 1＋x＝－f (x )，所以其是奇函数；对于C ，f (－x )＝e －x ≠－f (x )，所以其不是奇函数；对于D ，f (－x )＝－x sin(－x )＝x sin x ＝f (x )，所以其不是奇函数．故选B.。
数学一轮复习第2章函数概念与基本初等函数Ⅰ第6讲函数的图象试题1理
第二章函数的概念与基本初等函数I第六讲函数的图象练好题·考点自测1.下列说法正确的是(）A。
若函数y=f(x）满足f（1+x）=f(1-x），则函数y=f(x)的图象关于直线x=1对称B.若函数y=f(x)满足f（x+1)=f（x-1）,则函数y=f（x)的图象关于直线x=1对称C.当x∈(0,+∞)时,函数y=f(|x|）的图象与y=｜f（x)|的图象相同D.函数y=f(1-x）的图象可由y=f(-x）的图象向左平移1个单位长度得到2。
［2020天津，3,5分］函数y=4x的图象大致为（）x2+13。
［2020石家庄市高三测试]已知函数f(x)={1,x>0,则函数g(x)=f0,x=0,-1,x<0,（x)·(e x—1)的大致图象是()A B C D4.[2018全国卷Ⅲ，7，5分］下列函数中,其图象与函数y=ln x 的图象关于直线x=1对称的是（）A.y=ln（1—x) B。
y=ln(2-x)C。
y=ln(1+x） D.y=ln(2+x）5.［新课标全国Ⅰ,5分］设函数y=f（x）的图象与y=2x+a的图象关于直线y=-x对称,且f（—2）+f（-4)=1,则a=（）A。
—1 B。
1 C。
2 D.46。
设f（x）=|lg(x—1）｜，若1<a<b且f(a)=f（b），则ab的取值范围是。
拓展变式1.(1)［2020河南开封4月模拟］函数y=cos x+ln｜x|的大致图象为（）x2-2x+1，x∈[1,4］。
(2）［2020山东临沂4月模拟]已知函数f(x）=12当x=a时,f（x）取得最大值b，则函数g（x)=a｜x+b｜的大致图象为（)(3）［2020广州阶段模拟][平面向量与函数图象综合]如图2—6-3所示的图形是由一个半径为2的圆和两个半径为1的半圆组成的，它们的圆心分别是O,O1，O2,动点P从点A出发沿着圆弧按A→O→B→C→A→D→B的路线运动(其中A，O1,O，O2,B五点共线)，记点P运动的路程为x，设y=｜O1P⃗⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ｜2,y与x的函数解析式为y=f （x），则y=f(x)的图象大致是()2.（1）［2016全国卷Ⅱ，12,5分］[理］已知函数f(x)(x∈R)满足f（—x)=2-f(x)，若函数y=x+1x与y=f(x）图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(x m,y m),则∑i=1m(x i+y i）=()A。
备战2020年高考高三一轮单元训练金卷 数学(理) 第2单元 函数的概念、性质与初等函数
单元训练金卷▪高三▪数学卷（A ）第2单元 函数的概念、性质与初等函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出★答案★后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的★答案★标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．函数0.5log (4)y x =-的定义域是（ ） A ．[3,4)B ．(,3]-∞C ．[3,)+∞D ．(,4]-∞2．下列函数中为偶函数的是（ ） A ．3y x x =+B ．24y x =-C ．y x =D ．1y x =+3．已知函数()26f x x kx =--在[2，8]上是单调函数，则k 的取值范围是（ ） A ．错误!未找到引用源。
B ．错误!未找到引用源。
C ．错误!未找到引用源。
D ．错误!未找到引用源。
4．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（ ）① ② ③ ④ A ．①13y x =，②2y x =，③12y x =，④1y x -=B ．①错误!未找到引用源。
，②错误!未找到引用源。
，③12y x =，④错误!未找到引用源。
C ．①错误!未找到引用源。
，②3y x =，③错误!未找到引用源。
，④12y x =D ．①13y x =，②12y x =，③错误!未找到引用源。
，④错误!未找到引用源。
5．函数()1()lg x f x -=的大致图象是（ ）A ．B ．C ．D ．6．已知2log 6a =，5log 15b =，7log 21c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c <<B ．c b a <<C ．c a b <<D ．b c a <<7．已知定义域R 的奇函数()f x 的图像关于直线1x =对称，且当01x ≤≤时，3()f x x =，则212f ⎛⎫=⎪⎝⎭（ ） A ．278-B ．18-C ．18D ．2788．已知定义在R 上的函数()f x 在区间)[0,+∞上单调递增，且()1y f x =-的图象关于1x =对称，若实数a 满足()()2log 2f a f <，则a 的取值范围是（ ） A ．10,4⎛⎫ ⎪⎝⎭B ．1,4⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭C ．1,44⎛⎫⎪⎝⎭D ．()4,+∞9．函数()2283,1log ,1a x ax x f x x x ⎧-+<⎪=⎨≥⎪⎩在x ∈R 内单调递减，则a 的取值范围是（ ）A ．10,2⎛⎤⎥⎝⎦B ．15,28⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭D ．5,18⎡⎫⎪⎢⎣⎭10．设函数2,3()(1),3x x f x f x x ⎧≥⎪=⎨+<⎪⎩，则()2log 6f 的值为（ ）A ．3B ．6C ．8D ．1211．已知函数1f xmx 的零点在区间(1,2)内，则m 的取值范围是（ ）A ．1(,)2-∞-B ．11,2⎛⎫-- ⎪⎝⎭C ．()1,-+∞D ．1(,1)(,)2-∞-⋃-+∞12．已知定义在R 上的函数()f x 满足(1)(1)0f x f x ++--=，(2)(2)0f x f x +--=． 当(]0,2x ∈时，()3x f x =，则(2018)(2019)f f -+=（ ） A ．6- B ．3-C ．3D ．12此卷只装订不密封班级 姓名 准考证号 考场号 座位号第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．已知函数22,1()log (1),1x a x f x x x ⎧+≤⎪=⎨->⎪⎩，若[(0)]2f f =，则实数a 的值是_______．14．已知函数y =定义域为R ，则实数a 的取值范围是________．15．函数2212x xy -⎛⎫= ⎪⎝⎭的值域为________．16．设函数()21,02,x x f x x x ⎧-≥=⎨+<⎩，若函数()y f x a =-有两个不同的零点，则实数a 的取值范围是_______．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）化简求值：（112--；（2）7lg142lg lg7lg183-+-．18．（12分）设22332100064lg42lg5a =⨯+++． （1）化简上式，求错误!未找到引用源。
2020高考新课标数学(理)大一轮复习检测：第二章 函数的概念和基本初等函数(必修1)
第一节函数及其表示高考概览：1.了解构成函数的要素，了解映射的概念；2.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数；3.了解简单的分段函数，并能简单地应用．(函数分段不超过三段)[知识梳理]1．函数与映射的概念2.函数的定义域、值域(1)在函数y＝f(x)，x∈A中，x叫做自变量，x的取值范围A叫做函数的定义域；与x的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合{f(x)|x∈A}叫做函数的值域．(2)函数的三要素是：定义域、值域和对应关系．3．表示函数的常用方法列表法、图象法和解析法．4．分段函数在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则，这种函数称为分段函数．[辨识巧记]1．一种优先意识函数定义域是研究函数的基础依据，对函数的研究，必须坚持定义域优先的原则．2．两个关注点(1)分段函数是一个函数．(2)分段函数的定义域、值域是各段定义域、值域的并集．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)函数y ＝1与y ＝x 0是同一个函数．( ) (2)对于函数f ：A →B ，其值域是集合B .( ) (3)f (x )＝x －3＋2－x 是一个函数．( )(4)若两个函数的定义域与值域相同，则这两个函数相等．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× (4)×2．(必修1P 17例1(1)改编)函数f (x )＝2x－1＋1x －2的定义域为( )A ．[0,2)B ．(2，＋∞)C ．[0,2)∪(2，＋∞)D ．(－∞，2)∪(2，＋∞)[解析]由⎩⎨⎧2x －1≥0，x －2≠0得x ≥0且x ≠2，所以函数f (x )的定义域为[0,2)∪(2，＋∞)．故选C.[答案] C3．(必修1P 23练习T 2改编)若函数y ＝f (x )的定义域为M ＝{x |－2≤x ≤2}，值域为N ＝{y |0≤y ≤2}，则函数y ＝f (x )的图象可能是( )[解析] 根据函数的定义，结合图象可知选项B 符合．故选B. [答案] B4．(2019·杭州质检)下列各组函数中，是同一函数的是( ) A ．f (x )＝x 2，g (x )＝3x 3B ．f (x )＝|x |x ，g (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x ≥0，－1，x <0C ．f (x )＝2n ＋1x2n ＋1，g (x )＝(2n －1x )2n －1，n ∈N *D ．f (x )＝x ·x ＋1，g (x )＝x (x ＋1)[解析] 对于A ，f (x )＝x 2＝|x |，g (x )＝3x 3＝x ，它们的值域和对应关系都不同，所以不是同一函数；对于B ，函数f (x )的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，而g (x )的定义域为R ，所以不是同一函数；对于C ，当n ∈N *时，2n ±1为奇数，则f (x )＝2n ＋1x 2n ＋1＝x ，g (x )＝(2n －1x )2n －1＝x ，它们的定义域、对应关系都相同，所以是同一函数；对于D ，f (x )的定义域为[0，＋∞)，而g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[0，＋∞)，它们的定义域不同，所以不是同一函数，故选C.[答案] C5．(2018·哈尔滨师大附中等校一模)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋2，x ≤0，2x －4，x >0，则f [f (1)]的值为( ) A ．－10 B ．10 C ．－2 D ．2[解析] ∵f (1)＝21－4＝－2，∴f [f (1)]＝f (－2)＝－2.故选C. [答案] C考点一 函数与映射的概念【例1】 (1)下列对应是否是从集合A 到B 的映射，能否构成函数？①A ＝N ，B ＝N ，f ：x →y ＝(x －1)2； ②A ＝N ，B ＝R ，f ：x →y ＝±x ； ③A ＝N ，B ＝Q ，f ：x →y ＝1x －1；④A ＝{衡中高三·一班的同学}，B ＝[0,150]，f ：每个同学与其高考数学的分数相对应．(2)下列四组函数中，表示相等函数的一组是( ) A ．f (x )＝x ＋1·x －1，g (x )＝x 2－1 B ．f (x )＝x 2，g (x )＝(x )2 C ．f (x )＝x 2－1x －1，g (x )＝x ＋1D ．f (x )＝|x |，g (t )＝t 2[解析] (1)①是映射，也是函数 ②不是映射，更不是函数 ③不是映射，更不是函数 ④是映射，但不是函数 (2)在A中，由⎩⎨⎧x ＋1≥0，x －1≥0，可知f (x )的定义域为[1，＋∞)；由x 2－1≥0，可知g (x )的定义域为(－∞，－1]∪[1，＋∞)．因为它们的定义域不同，所以A 不成立．在B 中，f (x )＝x 2＝|x |，其定义域为R ；g (x )＝(x )2＝x ，其定义域为[0，＋∞)．它们的解析式和定义域都不同，所以B不成立．在C中，f(x)＝x2－1x－1＝x＋1，其定义域为{x|x≠1}；g(x)＝x＋1的定义域为R.因为它们的定义域不同，所以C不成立．在D中，g(t)＝t2＝|t|，与f(x)＝|x|的对应关系和定义域都相同，所以D成立．故选D.[答案](1)见解析(2)D映射与函数的含义(1)映射只要求第一个集合A中的每个元素在第二个集合B中有且只有一个元素与之对应；至于B中的元素有无原象、有几个原象却无所谓．(2)函数是特殊的映射：当映射f：A→B中的A，B为非空数集时，即成为函数．(3)构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同．两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数．[对点训练]1．下列图象中不能作为函数图象的是()[解析]B中的图象与垂直于x轴的直线可能有两个交点，显然不满足函数的定义．故选B.[答案] B2．(2018·江西抚州月考)设f，g都是由A到A的映射，其对应法则如下：映射f的对应法则映射gA．1 B．2 C．3 D．4[解析]由映射g的对应法则，可知g(1)＝4，由映射f的对应法则，知f(4)＝1，故f[g(1)]＝1.故选A.[答案] A考点二 函数的解析式函数的解析式是函数的基础知识，高考中重视对求解析式的考查，题目难度不大，以选择题、填空题的形式出现．常见的命题角度有： (1)配凑法求函数解析式； (2)换元法求函数解析式； (3)待定系数法求函数解析式； (4)解方程组法求函数解析式． 角度1：配凑法求函数解析式【例2－1】 (1)已知f (x ＋1)＝x ＋2x ，则f (x )＝________； (2)已知f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2，则f (x )＝________.[思路引导] (1)观察x ＋1与x ＋2x 的关系→配方求得 →注意定义域(2)观察x ＋1x 与x 2＋1x 2的关系→配方求得 →注意定义域[解析] (1)∵f (x ＋1)＝x ＋2x ＝(x ＋1)2－1， 又x ＋1≥1，∴f (x )＝x 2－1(x ≥1)． (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x ＝x 2＋1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋1x 2－2， 又x ＋1x ≥2或x ＋1x ≤－2. ∴f (x )＝x 2－2(x ≥2或x ≤－2)．[答案] (1)x 2－1(x ≥1) (2)x 2－2(x ≥2或x ≤－2)角度2：换元法求函数解析式【例2－2】 已知f (1－cos x )＝sin 2x ，则f (x )的解析式为________． [思路引导] 令1－cos x ＝t →用t 表示sin 2x →求出f (x )，并写出t 的取值范围即f (x )[解析] ∵f (1－cos x )＝sin 2x ＝1－cos 2x ， 设1－cos x ＝t (0≤t ≤2)，则cos x ＝1－t ， ∴f (t )＝1－(1－t )2＝－t 2＋2t . 故f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2)． [答案] f (x )＝－x 2＋2x (0≤x ≤2) 角度3：待定系数法求函数解析式【例2－3】 已知f (x )是一次函数，且满足3f (x ＋1)－ 2f (x －1)＝2x ＋17，则f (x )＝________. [思路引导] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)→代入已知条件→解出a 、b →得f (x )[解析] 设f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，则3f (x ＋1)－2f (x －1)＝3ax ＋3a ＋3b －2ax ＋2a －2b ＝ax ＋5a ＋b ，即ax ＋5a ＋b ＝2x ＋17不论x 为何值都成立，∴⎩⎨⎧a ＝2，b ＋5a ＝17，解得⎩⎨⎧a ＝2，b ＝7，∴f (x )＝2x ＋7.[答案] 2x ＋7角度4：解方程组法求函数解析式【例2－4】 已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，且f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x－1，则f (x )＝________.[解析] 在f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，用1x 代替x ， 得f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x －1，将f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝2f (x )x－1代入f (x )＝2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x x －1中，得f (x )＝23x ＋13.[答案] 23x ＋13求函数解析式的方法策略[对点训练]1．已知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋1＝lg x ，则f (x )＝________.[解析] 令t ＝2x ＋1(t >1)，则x ＝2t －1，∴f (t )＝lg 2t －1，即f (x )＝lg 2x －1(x >1)．[答案] lg 2x －1(x >1)2．已知f (x )是二次函数且f (0)＝2，f (x ＋1)－f (x )＝x －1，则f (x )＝________.[解析] 设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)， 由f (0)＝2，得c ＝2，f (x ＋1)－f (x )＝a (x ＋1)2＋b (x ＋1)＋2－ax 2－bx －2＝x －1， 则2ax ＋a ＋b ＝x －1，∴⎩⎨⎧2a ＝1，a ＋b ＝－1，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－32.∴f (x )＝12x 2－32x ＋2. [答案] 12x 2－32x ＋23．(2019·湖南模拟)定义在(－1,1)内的函数f (x )满足2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)，求函数f (x )的解析式．[解] 当x ∈(－1,1)时，有2f (x )－f (－x )＝lg(x ＋1)．① －x ∈(－1,1)，以－x 代替x 得，2f (－x )－f (x )＝lg(－x ＋1)．② 由①②消去f (－x )得，f (x )＝23lg(x ＋1)＋13lg(1－x )，x ∈(－1,1)．考点三 分段函数【例3】 (1)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3x ，x >0，a x ＋b ，x ≤0，且f (0)＝2，f (－1)＝3，则f [f (－3)]＝( )A ．－2B ．2C ．3D ．－3(2)(2019·南京、盐城模拟)已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2＋1，x ≤0，－(x －1)2，x >0，则不等式f (x )≥－1的解集是________．[思路引导] (1)根据已知f (0)，f (－1)的值列方程→求出a 与b 的值→进而求出f [f (－3)]的值(2)分段解f (x )≥－1→求并集[解析] (1)由题意得f (0)＝a 0＋b ＝1＋b ＝2，解得b ＝1； f (－1)＝a －1＋b ＝a －1＋1＝3， 解得a ＝12.故f (－3)＝(12)－3＋1＝9，从而f [f (－3)]＝f (9)＝log 39＝2.故选B. (2)当x ≤0时，由题意得x2＋1≥－1， 解之得－4≤x ≤0.当x >0时，由题意得－(x －1)2≥－1， 解之得0<x ≤2，综上f (x )≥－1的解集为{x |－4≤x ≤2}．[答案] (1)B (2){x |－4≤x ≤2}分段函数题型的求解策略(1)根据分段函数解析式求函数值：首先确定自变量的值属于哪个区间，其次选定相应的解析式代入求解．(2)已知函数值或函数值范围求自变量的值或范围：应根据每一段的解析式分别求解，但要注意检验所求自变量的值或范围是否符合相应段的自变量的取值范围．[对点训练]1．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋3)，x <6，log 2x ，x ≥6则f (－1)的值为( )A ．1B ．2C ．3D ．4 [解析] 当x <6时，f (x )＝f (x ＋3)， 则f (－1)＝f (2)＝f (5)＝f (8)， 当x ≥6时，f (x )＝log 2x ，所以f (－1)＝f (8)＝log 28＝3，故选C. [答案] C2．已知实数a ≠0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋a ，x <1，－x －2a ，x ≥1，若f (1－a )＝f (1＋a )，则a 的值为( )A ．－34 B.34 C ．－35 D.35[解析] 当a >0时，1－a <1<1＋a ，则f (1－a )＝2(1－a )＋a ＝2－a ，f (1＋a )＝－(1＋a )－2a ＝－1－3a ，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴2－a ＝－1－3a ，则a ＝－32(舍)， 当a <0时，1＋a <1<1－a ，则f (1－a )＝－(1－a )－2a ＝－1－a ，f (1＋a )＝2(1＋a )＋a ＝2＋3a ，∵f (1－a )＝f (1＋a )，∴－1－a ＝2＋3a ，即a ＝－34. 综上，可得a ＝－34.故选A. [答案] A解题方法系列②——解有关分段函数的不等式问题 素养解读：分段函数问题一直是高考考查的热点，纵观近几年的高考试卷，分段函数问题的考查逐渐成为重点．下面就分段函数不等式求解进行分析．【典例】 (1)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．(2)设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2＋x ，x <0，－x 2，x ≥0.若f [f (a )]≤2，则实数a 的取值范围是________．[切入点] (1)写出f (x ＋1)的解析式；(2)f [f (a )]的解析式并不易求出，可考虑用图象求解．[关键点](1)每一段上x的取值范围是求交集，最后各段求并集；(2)结合图象将f[f(a)]<2转化为f(a)的取值范围问题．[规范解答](1)当x＋1<0，即x<－1时，f(x＋1)＝－(x＋1)＋1＝－x，不等式变为x－x(x＋1)≤1，即－x2≤1，解得x∈R，故x∈(－∞，－1)．当x＋1≥0，即x≥－1时，f(x＋1)＝x＋1－1＝x，不等式变为x ＋x(x＋1)≤1，即x2＋2x－1≤0，解得－1－2≤x≤－1＋2，故x ∈[－1，－1＋2]．综上可知，所求不等式的解集为(－∞，－1＋2]．(2)f(x)的图象如图，由图象知，满足f[f(a)]≤2时，得f(a)≥－2，而满足f(a)≥－2时，得a≤ 2.[答案](1)(－∞，－1＋2](2)a≤ 2[解题反思](1)要解不等式x＋(x＋1)f(x＋1)≤1，就要把f(x＋1)转变为具体的表达式，观察已知分段函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x <0，x －1，x ≥0，易知需要对x ＋1的符号进行分类讨论，即分为x ＋1<0和x ＋1≥0两类．(2)本题实际上利用了换元法．令t ＝f (a )通过f (x )的图象得出f (t )≤2的解集t 的取值范围，再通过t ＝f (a )的范围，结合图象得出a 的取值范围，这种利用图象求解分段函数的关键是必须分清t 既在f (t )中是自变量，又在t ＝f (a )中成为函数值．解决有关分段函数的不等式问题通常有两种方法：一种是利用代数手段，通过对x 进行分类讨论将不等式转变为具体的不等式求解；另一种是通过作出分段函数的图象，利用图象特点，数形结合解不等式．[感悟体验]1．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧21－x，x ≤1，1－log 2x ，x >1，则满足f (x )≤2的x 的取值范围是( )A ．[－1,2]B ．[0,2]C ．[1，＋∞)D ．[0，＋∞)[解析]f (x )≤2⇔⎩⎨⎧x ≤1，21－x≤2，或⎩⎨⎧x >1，1－log 2x ≤2，⇔0≤x ≤1或x >1，故选D.[答案] D2．对任意实数a ，b 定义运算“⊗”：a ⊗b ＝⎩⎪⎨⎪⎧b ，a －b ≥1，a ，a －b <1.设f (x )＝(x 2－1)⊗(4＋x )，若函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点，则k 的取值范围是________．[解析] 解不等式x 2－1－(4＋x )≥1，得x ≤－2或x ≥3. 所以f (x )＝⎩⎨⎧x ＋4，x ∈(－∞，－2]∪[3，＋∞)，x 2－1，x ∈(－2，3).其图象如右图实线所示，由图可知，当－2≤k <1时，函数y ＝f (x )＋k 的图象与x 轴恰有三个不同交点．故k 的取值范围是[－2,1)．[答案] [－2,1)课后跟踪训练(四)基础巩固练一、选择题1．(2019·长春模拟)下列对应关系：①A ＝{1,4,9}，B ＝{－3，－2，－1,1,2,3}，f ：x →x 的平方根；②A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 的倒数；③A ＝R ，B ＝R ，f ：x →x 2－2；④A ＝{－1,0,1}，B ＝{－1,0,1}，f ：A 中的数平方．其中是A 到B 的映射的是( ) A ．①③ B ．②④ C ．③④ D ．②③[解析] ①中对于A 中任一元素在B 中有两个元素与之对应，故①不是A 到B 的映射；②中A ＝R ，A 中元素0在f ：x →x 的倒数作用下在B 中没有唯一元素对应，故②不是A 到B 的映射；③④符合映射的定义，故选C.[答案] C2．(2019·山东滨州期末)已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x ＋1)，x <1，3x ，x ≥1，则f (－1＋log 35)＝( )A ．15 B.53 C ．5 D.15[解析] ∵1<log 35<2，∴－1＋log 35∈(0,1)，∴f (－1＋log 35)＝f (－1＋log 35＋1)＝f (log 35)＝3log 35＝5，故选C.[答案] C3．(2019·山西太原一模)若函数f (x )满足f (1－ln x )＝1x ，则f (2)等于( )A.12 B ．e C.1e D ．－1[解析] 解法一：令1－ln x ＝t ，则x ＝e 1－t ，于是f (t )＝1e 1－t ，即f (x )＝1e 1－x ，故f (2)＝e.故选B.解法二：由1－ln x ＝2，得x ＝1e ，这时1x ＝11e ＝e ，即f (2)＝e.故选B.[答案] B4．已知f ⎝⎛⎭⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ，则f (x )＝( ) A ．(x ＋1)2 B ．(x －1)2 C ．x 2－x ＋1D ．x 2＋x ＋1[解析] f ⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫1＋x x ＝x 2＋1x 2＋1x ＝⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫x ＋1x 2－x ＋1x ＋1，令x ＋1x ＝t ，则f (t )＝t 2－t ＋1，即f (x )＝x 2－x ＋1.故选C.[答案] C5．(2019·新疆乌鲁木齐一诊)函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧e x －1，x <2，－log 3(x －1)，x ≥2，则不等式f (x )>1的解集为( )A ．(1,2) B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－∞，43 C.⎝⎛⎭⎪⎫1，43 D ．[2，＋∞)[解析] 当x <2时，不等式f (x )>1即e x －1>1， ∴x －1>0，∴x >1，则1<x <2；当x ≥2时，不等式f (x )>1即－log 3(x －1)>1， ∴0<x －1<13，∴1<x <43，此时不等式无解． 综上可得，不等式的解集为(1,2)．故选A. [答案] A 二、填空题6．(2019·湖南衡阳八中一模)f (x )＝⎩⎨⎧⎝ ⎛⎭⎪⎫13x，x ≤0，log 3x ，x >0，则f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝________.[解析] ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝log 319＝－2， ∴f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫19＝f (－2)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫13－2＝9. [答案] 97．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2，x ≤0，f (x －3)＋2，x >0，则f (9)＝________.[解析] f (9)＝f (6)＋2＝f (3)＋4＝f (0)＋6＝0＋2＋6＝8. [答案] 88．f (2sin x2－1)＝cos x ＋1，则f (x )的解析式为________． [解析] ∵f (2sin x 2－1)＝1－2sin 2x 2＋1＝2－2sin 2x 2 设2sin x2－1＝t ，则－3≤t ≤1，sin x 2＝t ＋12，∴f (t )＝2－2·⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫t ＋122＝－12t 2－t ＋32. 故f (x )＝－12x 2－x ＋32(－3≤x ≤1)． [答案] －12x 2－x ＋32(－3≤x ≤1) 三、解答题9．设二次函数f (x )满足f (2＋x )＝f (2－x )，且f (x )＝0的两个实根的平方和为10，f (x )的图象过点(0,3)，求f (x )的解析式．[解] ∵f (2＋x )＝f (2－x )，∴f (x )的图象关于直线x ＝2对称． 于是，设f (x )＝a (x －2)2＋k (a ≠0)， 则由f (0)＝3，可得k ＝3－4a ， ∴f (x )＝a (x －2)2＋3－4a ＝ax 2－4ax ＋3. ∵ax 2－4ax ＋3＝0的两实根的平方和为10， ∴10＝x 21＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2＝16－6a ， ∴a ＝1.∴f (x )＝x 2－4x ＋3.10.如图，点M 是边长为1的正方形ABCD 的边CD 的中点．当点P 在正方形的边上沿A —B —C 运动时，点P 经过的路程为x ，△APM 的面积为y ，求y 关于x 的函数关系式．[解] 利用分段函数建立关系式．当点P 在线段AB 上，即0<x ≤1时，y ＝12x ；当点P 在线段BC 上，即1<x ≤2时，y ＝12×⎝⎛⎭⎪⎫12＋1×1－12(x －1)×1－12×(2－x )×12＝14(3－x )．所以所求函数关系式为y ＝⎩⎪⎨⎪⎧12x ，0<x ≤1，14(3－x )，1<x ≤2.能力提升练11．(2019·西安调考)若函数f (x )满足关系式f (x )＋2f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＝3x ，则f (2)的值为( )A ．1B ．－1C ．－32 D.32 [解析] 由f (x )＋2f (1x )＝3x ， 得⎩⎪⎨⎪⎧f (2)＋2f (12)＝6，f (12)＋2f (2)＝32.消去f (12)，得f (2)＝－1.故选B. [答案] B12．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －1，x <1，2x ，x ≥1.则满足f [f (a )]＝2f (a )的a 的取值范围是 ( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤23，1 B.[]0，1 C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫23，＋∞ D.[)1，＋∞[解析] 由f [f (a )]＝2f (a )得，f (a )≥1.当a <1时，有3a －1≥1，∴a ≥23，∴23≤a <1. 当a ≥1时，有2a ≥1，∴a ≥0，∴a ≥1. 综上，a ≥23，故选C. [答案] C13．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧x ＋1，x ≤0，2x ，x >0，则满足f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12>1的x 的取值范围是________．[解析] ①当x ≤0时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝x ＋1＋x －12＋1>1，得x >－14，∴－14<x ≤0；②当0<x ≤12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋x －12＋1>1恒成立；③当x >12时，f (x )＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －12＝2x ＋2x －12>1恒成立． 综上所述，x >－14.[答案] ⎝ ⎛⎭⎪⎫－14，＋∞[解]拓展延伸练15．设x ∈R ，定义符号函数sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x >0，0，x ＝0，－1，x <0.则( )A ．|x |＝x |sgn x |B ．|x |＝x sgn|x |C ．|x |＝|x |sgn xD ．|x |＝x sgn x[解析]由已知可得x sgn x ＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，而|x |＝⎩⎪⎨⎪⎧x ，x >0，0，x ＝0，－x ，x <0，所以|x |＝x sgn x ，故选D. [答案] D16．设函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧3x －b ，x <1，2x ，x ≥1.若f ⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫56＝4，则b ＝( )A ．1 B.78 C.34 D.12 [解析][答案] D第二节 函数的定义域与值域高考概览：1.会求一些简单函数的定义域；2.了解求函数值域的方法，会求一些简单函数的值域．[知识梳理]1．函数的定义域 (1)求定义域的步骤：①写出使函数式有意义的不等式(组)； ②解不等式(组)；③写出函数定义域．(注意用区间或集合的形式写出) (2)基本初等函数的定义域： ①整式函数的定义域为R . ②分式函数中分母不等于0.③偶次根式函数被开方式大于或等于0. ④一次函数、二次函数的定义域均为R . ⑤函数f (x )＝x 0的定义域为{x |x ≠0}． ⑥指数函数的定义域为R . ⑦对数函数的定义域为(0，＋∞)． 2．函数的值域 基本初等函数的值域： (1)y ＝kx ＋b (k ≠0)的值域是R .(2)y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的值域是：当a >0时，值域为{y |y ≥4ac －b 24a }；当a <0时，值域为{y |y ≤4ac －b 24a }．(3)y ＝kx (k ≠0)的值域是{y |y ≠0}．(4)y ＝a x (a >0且a ≠1)的值域是(0，＋∞)． (5)y ＝log a x (a >0且a ≠1)的值域是R .[辨识巧记]两个注意点(1)当一个函数是由有限个基本初等函数通过和、差、积、商的形式构成时，定义域一般是各个基本初等函数定义域的交集；(2)定义域是一个集合，要用集合或区间表示，用区间表示时，不能用“或”连接，而应该用并集符号“∪”连接．[双基自测]1．判断下列结论的正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)解析式相同定义域不同的两函数，其值域也不相同．( ) (2)函数y ＝log a (x －1)的值域为[0，＋∞)．( ) (3)函数y ＝x ＋1x 的值域为(0，＋∞)．( ) (4)函数y ＝4x ＋2x 的值域为[－14，＋∞)．( ) [答案] (1)× (2)√ (3)× (4)×2．(必修1P 74T 7(2)改编)设函数y ＝9－x 2的定义域为A ，函数y ＝ln(3－x )的定义域为B ，则A ∩(∁R B )＝( )A ．(－∞，3)B ．(－∞，－3)C ．{3}D ．[－3,3)[解析] 由9－x 2≥0解得－3≤x ≤3，可得A ＝[－3,3]，由3－x >0解得x <3，可得B ＝(－∞，3)，因此∁R B ＝[3，＋∞)．∴A ∩(∁R B )＝[－3,3]∩[3，＋∞)＝{3}．故选C. [答案] C3．下列函数中，值域是(0，＋∞)的是( ) A ．y ＝15－x ＋1B ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－1 C ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫131－xD ．y ＝1－2x[解析] A 项，因为5－x ＋1>1，所以函数值域为(0,1)；B 、D 项的函数值域为[0，＋∞)；C 项，因为1－x ∈R ，根据指数函数的性质可知函数的值域为(0，＋∞)，故选C.[答案] C4．已知函数f (x )的定义域为(－1,0)，则函数f (2x ＋1)的定义域为( )A ．(－1,1) B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，－12 C ．(－1,0)D.⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1 [解析] 因为函数f (x )的定义域为(－1,0)，所以－1<2x ＋1<0，解得－1<x <－12.故选B.[答案] B5．函数y ＝2x ＋1－2x 的值域为__________．[解析] (代数换元法)令t ＝1－2x ，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值，∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.[答案] ⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54考点一 求函数的定义域函数的定义域是函数有意义的自变量的取值范围，高考中常以选择题形式出现，难度较低．常见的命题角度有： (1)具体函数的定义域； (2)抽象函数的定义域． 角度1：具体函数的定义域【例1－1】 (2019·江西九江七校联考)函数y ＝9－x 2log 2(x ＋1)的定义域是( )A ．(－1,3)B ．(－1,3]C ．(－1,0)∪(0,3)D ．(－1,0)∪(0,3][解析]由题意得⎩⎪⎨⎪⎧9－x 2≥0，x ＋1>0，x ＋1≠1⇒－1<x ≤3，且x ≠0，故选D.[答案] D角度2：抽象函数的定义域【例1－2】 已知函数f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，则f (x )的定义域是________．[思路引导]由已知得x ∈(0，1)→求2x ＋1的范围→得f (x )的定义域[解析] 令t ＝2x ＋1，由0<x <1，得1<t <3.∴f (x )的定义域为(1,3)． [答案] (1,3)[拓展探究] (1)本例改为f (x )的定义域为(0,1)，求f (2x ＋1)的定义域，又如何求呢？(2)本例的条件不变，求f (1－x )的定义域，如何求？ [解] (1)∵f (x )的定义域为(0,1)， ∴0<2x ＋1<1，得－12<x <0.故f (2x ＋1)的定义域为⎝⎛⎭⎪⎫－12，0.(2)∵f (2x ＋1)的定义域为(0,1)，即0<x <1， ∴1<2x ＋1<3，∴f (x )的定义域为(1,3)． 由1<1－x <3，得－2<x <0. ∴f (1－x )的定义域为(－2,0)．求函数定义域的策略[对点训练]1．(2019·广东深圳一模)函数y ＝－x 2－x ＋2ln x的定义域为( )A ．(－2,1)B ．[－2,1]C ．(0,1)D ．(0,1][解析]由题意得⎩⎨⎧－x 2－x ＋2≥0，x >0且ln x ≠0，解得0<x <1，故选C.[答案] C2．已知函数f (2x )的定义域为[－1,1]，则函数y ＝f (log 2x )的定义域为________．[解析] ∵－1≤x ≤1， ∴12≤2x ≤2.∴在函数y ＝f (log 2x )中，12≤log 2x ≤2， 解得2≤x ≤4.∴函数y ＝f (log 2x )的定义域为[2，4]． [答案] [2，4]考点二 求函数的值域【例2】 求下列函数的值域： (1)y ＝5x －14x ＋2，x ∈[－3，－1]；(2)y ＝2x ＋1－2x ； (3)y ＝x ＋4＋9－x 2； (4)y ＝2x 2＋4x －7x 2＋2x ＋3；(5)y ＝log 3x ＋log x 3－1.[解] (1)由y ＝5x －14x ＋2可得y ＝54－74(2x ＋1).∵－3≤x ≤－1，∴720≤－74(2x ＋1)≤74，∴85≤y ≤3，即y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤85，3.(2)(代数换元法)令t ＝1－2x (t ≥0)，则x ＝1－t 22.∴y ＝－t 2＋t ＋1＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫t －122＋54(t ≥0)．∴当t ＝12，即x ＝38时，y 取最大值，y max ＝54，且y 无最小值， ∴函数的值域为⎝⎛⎦⎥⎤－∞，54.(3)(三角换元法)令x ＝3cos θ，θ∈[0，π]，则 y ＝3cos θ＋4＋3sin θ＝32sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4＋4.∵0≤θ≤π，∴π4≤θ＋π4≤5π4，∴－22≤sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ＋π4≤1. ∴1≤y ≤32＋4，∴函数的值域为[1,32＋4]．(4)(判别式法)观察函数式，将已知的函数式变形为yx 2＋2yx ＋3y ＝2x 2＋4x －7，整理得(y －2)x 2＋2(y －2)x ＋3y ＋7＝0.显然y ≠2(运用判别式法之前，应先讨论x 2的系数)． 将上式看作关于x 的一元二次方程．易知原函数的定义域为R ，则上述关于x 的一元二次方程有实根，所以Δ＝[2(y －2)]2－4(y －2)(3y ＋7)≥0.解不等式得－92≤y ≤2.又y ≠2，∴原函数的值域为⎣⎢⎡⎭⎪⎫－92，2. (5)y ＝log 3x ＋log x 3－1变形得y ＝log 3x ＋1log 3x －1.①当log 3x >0，即x >1时，y ＝log 3x ＋1log 3x －1≥2－1＝1，当且仅当log 3x ＝1，即x ＝3时取“＝”． ②当log 3x <0，即x <1时，y ≤－2－1＝－3. 当且仅当log 3x ＝－1，即x ＝13时取“＝”．综上所述，原函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞)．(1)求函数值域，一定要注意到函数的定义域；(2)利用换元法时，要及时确定新变量的取值范围，如本例(2)(3)． (3)本例中(4)用了判别式“Δ”法，此方法适用y ＝ax 2＋bx ＋c px 2＋qx ＋r (ap ≠0，x ∈R )类型(即f (x )是分式函数且分子或分母至少有一个二次式，且没有公因式．解此类问题一定要检验所求最值，在定义域内是否有对应的x 值，还要注意对二次项系数是否为零的讨论)，但若给定x 一个范围，则此方法不再适用，可考虑转化为其他方法求解．[对点训练]1．函数y ＝2－sin x2＋sin x的值域为________．[解析] 解法一：y ＝2－sin x 2＋sin x ＝－1＋42＋sin x ，因为－1≤sin x ≤1，所以1≤2＋sin x ≤3，所以43≤42＋sin x ≤4，所以13≤－1＋42＋sin x≤3，故函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，3.解法二：由已知得sin x ＝2－2y 1＋y ，∵sin ∈[－1,1]，∴－1≤2－2y1＋y≤1，即⎝ ⎛⎭⎪⎫2－2y 1＋y 2≤1，解得13≤y ≤3. [答案] ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，32．函数y ＝|x ＋1|＋|x －2|的值域为________． [解析] y ＝|x ＋1|＋|x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x ＋1，x <－1，3，－1≤x ≤2，2x －1，x >2当x <－1时，y >3；当x >2时，y >3，故函数的值域为[3，＋∞)． [答案] [3，＋∞)考点三 函数定义域与值域的应用【例3】 (1)若函数y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，则实数m的取值范围是( )A.⎝ ⎛⎦⎥⎤0，34B.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，34C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，34D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34(2)若函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域是[4，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[思路引导] (1)函数的定义域为R →对∀x ∈R ，mx 2＋4mx ＋3≠0→对m 分类求解(2)求出y ＝－x ＋6(x ≤2)的值域→讨论y ＝3＋log a x (x >2)的值域→由集合的包含关系求出a 的范围[解析] (1)∵y ＝mx －1mx 2＋4mx ＋3的定义域为R ，∴mx 2＋4mx ＋3恒不为0.当m ＝0时，mx 2＋4mx ＋3＝3满足题意； 当m ≠0时，Δ＝16m 2－12m <0，解得0<m <34.综上，0≤m <34，即m ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫0，34.故选D.(2)函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域为函数f (x )＝－x ＋6(x ≤2)的值域与函数f (x )＝3＋log a x (x >2)的值域的并集．因为函数f (x )＝－x ＋6(x ≤2)的值域为[4，＋∞)，f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋6，x ≤2，3＋log a x ，x >2(a >0，且a ≠1)的值域为[4，＋∞)，所以函数f (x )＝3＋log a x (x >2)的值域应为集合[4，＋∞)的子集． 当a >1时，y ＝log a x ＋3在(2，＋∞)上单调递增，所以只需log a 2＋3≥4，即log a 2≥1＝log a a ，解得1<a ≤2.当0<a <1时，x →＋∞时，y ＝log a x ＋3→－∞，不符合题意．综上，1<a ≤2.[答案] (1)D (2)(1,2](1)对定义域、值域的综合问题，要注意定义域对函数值域的限制作用．即在定义域内用相应方法求值域．(2)若解析式中含有参数，要注意参数对函数值域的影响，即要考虑分类讨论．(3)解题时要注意数形结合思想的应用，即借助图象确定函数的值域．[对点训练]1．设f (x )＝⎩⎨⎧(x －a )2，x ≤0，x ＋1x ＋a ，x >0.若f (0)是f (x )的最小值，则a 的取值范围为( )A ．[－1,2]B ．[－1,0]C ．[1,2]D ．[0,2][解析] 由函数f (x )的解析式，得f (0)＝a 2；当x ≤0时，f (x )≥a 2；当x >0时，f (x )≥2＋a .∵f (0)是f (x )的最小值，∴a 2≤a ＋2，且a ≥0.解得0≤a ≤2.故选D.[答案] D2．已知函数f (x )＝a x ＋b (a >0，a ≠1)的定义域和值域都是[－1,0]，则a ＋b ＝________.[解析] 当a >1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为增函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝－1，a 0＋b ＝0，无解．当0<a <1时，函数f (x )＝a x ＋b 在[－1,0]上为减函数，由题意得⎩⎨⎧a －1＋b ＝0，a 0＋b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝12，b ＝－2，所以a ＋b＝－32.[答案] －32解题方法系列③——利用几何意义求函数的值域素养解读：函数的值域是函数在定义域内对应的函数值的取值范围，其求解关键是确定相应的最值．因此，求解函数的值域时要求出定义域内的所有极值和端点处的函数值，并进行比较，得到函数的最值．在高考中主要考查求解函数的值域问题，从而带动对函数的最值等相关问题的考查，其应用广泛，综合性强，且解法灵活多变．在实际求解中，各种方法往往可以相互渗透，也可以多法并举．【典例】 (1)函数f (x )＝sin x 2－cos x的值域是( )A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33B ．[－1,1]C ．[－2,2]D ．[－3，3](2)函数f (x )＝x 2－2x ＋2＋x 2－4x ＋8的值域为________． [切入点] 根据式子的结构特点联想其几何意义，数形结合求解．[关键点] 构造满足条件的几何图形．[规范解答] (1)可以看成过A (2,0)，B (cos x ，－sin x )两点直线的斜率，B 点在单位圆上运动．如图：易求得k 1＝33，k 2＝－33.∴y ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－33，33.故选A.(2)f (x )＝(x －1)2＋(0－1)2＋(x －2)2＋(0＋2)2表示x 轴上的动点P (x,0)与两定点A (1,1)和B (2，－2)的距离之和．由图可知，|P A |＋|PB |≥|AB |.|AB |＝10，故函数f (x )的值域为[10，＋∞)．[答案] (1)A (2)[10，＋∞)几何法求值域的步骤[感悟体验]定义min{a ，b }＝⎩⎪⎨⎪⎧a ，a ≤b ，b ，a >b ，则函数f (x )＝min{|x ＋1|，|x－2|}的值域为________．[解析] 根据题意，作出函数y ＝f (x )的图象，如图所示．由图象可知，函数f (x )＝min{|x ＋1|，|x －2|}的值域为[0，＋∞)． [答案] [0，＋∞)课后跟踪训练(五)基础巩固练一、选择题1．(2018·山东临沂月考)y ＝x －12x－log 2(4－x 2)的定义域是( )A ．(－2,0)∪(1,2)B ．(－2,0]∪(1,2)C ．(－2,0)∪[1,2)D ．[－2,0]∪[1,2][解析]要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧x －12x≥0，x ≠0，4－x 2>0，解得x ∈(－2,0)∪[1,2)，即函数的定义域是(－2,0)∪[1,2)．故选C.[答案] C2．(2018·陕西宝鸡月考)若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为( )A ．[－1,1]B ．[－1,0]C ．[0,1]D ．[2,8][解析] 函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数，函数的值域都为[－1,1]，故函数y ＝f (3x ＋2)的值域为[－1,1]．故选A.[答案] A3．(2018·山东滨州期末)函数y ＝12x ＋log 12x ，x ∈[1,2)的值域为( )A ．[12，＋∞)B.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，－12 C.⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，12 D.⎝⎛⎭⎪⎫－∞，－34 [解析] ∵函数y ＝12x ＋log 12x 在[1,2)上是减函数，∴－34<y ≤12，即函数的值域为⎝ ⎛⎦⎥⎤－34，12.故选C.[答案] C4．(2018·江西宜春月考)若函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则实数a 的取值范围为( )A ．(－2,2)B ．(－∞，－2)∪(2，＋∞)C ．(－∞，－2]∪[2，＋∞)D ．[－2,2] [解析] 函数f (x )＝x 2＋ax ＋1的定义域为实数集R ，则x 2＋ax ＋1≥0恒成立，即Δ＝a 2－4≤0，解得－2≤a ≤2， 即实数a 的取值范围是[－2,2]，故选D. [答案] D5．(2018·西安联考)已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，x ∈[m,5]的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( )A ．(－∞，－1)B ．(－1,2]C ．[－1,2]D ．[2,5][解析] ∵f (x )＝－x 2＋4x ＝－(x －2)2＋4， ∴当x ＝2时，f (2)＝4，由f (x )＝－x 2＋4x ＝－5，解得x ＝5或x ＝－1，∴结合图象可知，要使函数在[m,5]上的值域是[－5,4]，则－1≤m ≤2.故选C.[答案] C 二、填空题6．函数y ＝1－x2x ＋5的值域为________．[解析] y ＝1－x 2x ＋5＝－12(2x ＋5)＋722x ＋5＝－12＋722x ＋5.∵722x ＋5≠0，∴y ≠－12，∴函数y ＝1－x2x ＋5的值域为⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12. [答案] ⎩⎨⎧⎭⎬⎫y |y ≠－12 7．若函数y ＝log 2(ax 2＋2x ＋1)的值域为R ，则a 的取值范围为________．[解析] 设f (x )＝ax 2＋2x ＋1，由题意知， f (x )取遍所有的正实数．当a ＝0时， f (x )＝2x ＋1符合条件；当a ≠0时，则⎩⎨⎧a >0，Δ＝4－4a ≥0，解得0<a ≤1.所以0≤a ≤1.[答案] [0,1]8．(2018·山东省实验中学段考)已知函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，则函数y ＝f (x ＋1)－x 2－3x ＋4的定义域是________． [解析] ∵函数f (x )的定义域为(0，＋∞)，∴⎩⎨⎧x ＋1>0，－x 2－3x ＋4>0，解得⎩⎨⎧x >－1，－4<x <1，即－1<x <1，∴所求函数的定义域是(－1,1)． [答案] (－1,1) 三、解答题9．求下列函数的值域： (1)y ＝x －3x ＋1；(2)y ＝x －1－2x ； (3)y ＝x 2＋x ＋1x ＋1；(4)y ＝1－x 21＋x 2.[解] (1)y ＝x －3x ＋1＝x ＋1－4x ＋1＝1－4x ＋1.因为4x ＋1≠0，所以1－4x ＋1≠1，即函数的值域是{y |y ∈R ，y ≠1}． (2)解法一：令1－2x ＝t ，则t ≥0且x ＝1－t 22，于是y ＝1－t 22－t ＝－12(t ＋1)2＋1，由于t ≥0，所以y ≤12，故函数的值域是⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12. 解法二：函数y ＝f (x )为增函数，而其定义域应满足1－2x ≥0，即x ≤12，所以y ≤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝12，即函数的值域是⎩⎨⎧y ⎪⎪⎪⎭⎬⎫y ≤12.(3)x ≠－1且由已知得x 2＋(1－y )x ＋1－y ＝0(*) 方程有解，∴Δ＝(1－y )2－4(1－y )≥0， 即y 2＋2y －3≥0 解得y ≥1或y ≤－3 由x ＝－1不满足(*)∴函数的值域为(－∞，－3]∪[1，＋∞) (4)y ＝1－x 21＋x 2＝－1－x 2＋21＋x 2＝－1＋21＋x 2. 由1＋x 2≥1，得0<21＋x2≤2，所以－1<－1＋21＋x 2≤1. 故函数的值域为(－1,1]．10．已知函数f (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6. (1)若f (x )的定义域为R ，求实数a 的取值范围； (2)若f (x )的值域为[0，＋∞)，求实数a 的取值范围． [解] (1)①若1－a 2＝0，即a ＝±1，(ⅰ)当a ＝1时，f (x )＝6，定义域为R ，符合要求； (ⅱ)当a ＝－1时， f (x )＝6x ＋6，定义域不为R .②若1－a 2≠0，g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6为二次函数， ∵f (x )的定义域为R ，∴g (x )≥0，∀x ∈R 恒成立，∴⎩⎨⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≤0⇔⎩⎨⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≤0⇒－511≤a <1.综合①②得a 的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－511，1. (2)∵函数f (x )的值域为[0，＋∞)，∴函数g (x )＝(1－a 2)x 2＋3(1－a )x ＋6取一切非负实数， ①当1－a 2≠0时有⎩⎨⎧1－a 2>0，Δ＝9(1－a )2－24(1－a 2)≥0⇔⎩⎨⎧－1<a <1，(a －1)(11a ＋5)≥0⇒－1<a ≤－511.②当1－a 2＝0时a ＝±1，当a ＝1时，f (x )＝6不合题意．当a ＝－1时，f (x )＝6x ＋6的值域为[0，＋∞)，符合题目要求．故所求实数a 的取值范围为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－511.能力提升练11．(2019·湖南邵阳期末)设函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x ，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为( )A ．[1,2]B ．(2,4]C ．[1,2)D ．[2,4)[解析] ∵函数f (x )＝log 2(x －1)＋2－x 有意义，∴⎩⎨⎧x －1>0，2－x ≥0，解得1<x ≤2，∴函数的f (x )定义域为(1,2]，∴1<x2≤2，解得x ∈(2,4]，则函数f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2的定义域为(2,4]．故选B.[答案] B12．(2019·广东珠海质检)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(1－2a )x ＋3a ，x <1，ln x ，x ≥1的值域为R ，则实数a 的取值范围是( )A ．(－∞，－1] B.⎝⎛⎭⎪⎫－1，12C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－1，12 D.⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12 [解析] 由题意知y ＝ln x (x ≥1)的值域为[0，＋∞)，故要使f (x )的值域为R ，则必有y ＝(1－2a )x ＋3a 为增函数，且1－2a ＋3a ≥0，所以1－2a >0，且a ≥－1，解得－1≤a <12，故选C.[答案] C13．定义新运算⊕：当a ≥b 时，a ⊕b ＝a ；当a <b 时，a ⊕b ＝b 2，则函数f (x )＝(1⊕x )x －(2⊕x )，x ∈[－2,2]的最大值等于__________．[解析]由已知得1⊕x ＝⎩⎨⎧1－2≤x ≤1，x 21<x ≤2，当x ∈[－2,2]时，2⊕x ＝2，∴f (x )＝⎩⎨⎧x －2，－2≤x ≤1，x 3－2，1<x ≤2.∵f (x )＝x －2，f (x )＝x 3－2在定义域内都为增函数．∴f (x )的最大值为f (2)＝23－2＝6.[答案] 614．已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx (a 、b 是常数，且a ≠0)满足条件：f (2)＝0，且方程f (x )＝x 有两个相等实根．(1)求f (x )的解析式；(2)是否存在实数m 、n (m <n )，使f (x )的定义域和值域分别为[m ，n ]和[2m,2n ]？如存在，求出m 、n 的值；如不存在，说明理由．[解] (1)方程f (x )＝x ，即ax 2＋bx ＝x ， 亦即ax 2＋(b －1)x ＝0，由方程有两个相等实根，得Δ＝(b －1)2－4a ×0＝0， ∴b ＝1.①由f (2)＝0，得4a ＋2b ＝0，②由①、②得，a ＝－12，b ＝1，故f (x )＝－12x 2＋x . (2)假设存在实数m 、n 满足条件，由(1)知， f (x )＝－12x 2＋x ＝－12(x －1)2＋12≤12， 则2n ≤12，即n ≤14.∵f (x )＝－12(x －1)2＋12的对称轴为x ＝1， ∴当n ≤14时，f (x )在[m ，n ]上为增函数．于是有⎩⎨⎧ f (m )＝2m ，f (n )＝2n ，即⎩⎪⎨⎪⎧－12m 2＋m ＝2m ，－12n 2＋n ＝2n ，∴⎩⎨⎧m ＝－2或m ＝0，n ＝－2或n ＝0.又m <n ≤14，∴⎩⎨⎧m ＝－2，n ＝0.故存在实数m ＝－2，n ＝0，使f (x )的定义域为[m ，n ]，值域为[2m,2n ]．拓展延伸练15．(2019·江西鄱阳月考)已知函数f (x )＝1－log 2x 的定义域为[1,4]，则函数y ＝f (x )·f (x 2)的值域是( )A ．[0,1]B ．[0,3]C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，3 [解析] 对于y ＝f (x )·f (x 2)，由函数f (x )的定义域是[1,4]，得1≤x ≤4，且1≤x 2≤4，解得1≤x ≤2，故函数y ＝f (x )·f (x 2)的定义域是[1,2]，易得y ＝f (x )·f (x 2)＝1－3log 2x ＋2log 22x ，令t ＝log 2x ，则t ∈[0,1]，y ＝1－3t ＋2t 2＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫t －342－18，故t ＝34时，y 取最小值－18；t ＝0时，y 取最大值1，故所求函数的值域是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－18，1，故选C.[答案] C16．(2019·江苏南京、盐城一模)设函数y ＝e x ＋1e x －a 的值域为A ，若A ⊆[0，＋∞)，则实数a 的取值范围是________．[解析]∵e x＋1e x≥2e x·1e x＝2，∴函数y＝ex＋1e x－a的值域为[2－a，＋∞)．又∵A⊆[0，＋∞)，∴2－a≥0，即a≤2.[答案](－∞，2]第三节函数的单调性与最值高考概览：1.理解函数的单调性、最大值、最小值及其几何意义；2.会运用函数的图象理解和研究函数的最值．[知识梳理]1．函数的单调性(1)单调函数的定义(2)单调区间的定义如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y ＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．2．函数的最值[辨识巧记]1．两个防范(1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示．(2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．2．单调性的两种等价形式。
高考数学一轮总复习第2章函数的概念与基本初等函数(ⅰ)第9节函数模型及其应用跟踪检测文含解析
第二章 函数的概念与基本初等函数(Ⅰ)第九节 函数模型及其应用A 级·基础过关|固根基|1.一根蜡烛长20 cm ，点燃后每小时燃烧5 cm ，燃烧时剩下的高度h(cm)与燃烧时间t(h)的函数关系用图象表示为图中的( )解析：选B 由题意知h ＝20－5t(0≤t≤4)，图象应为B 项．2．某家具的标价为132元，若降价以九折出售(即优惠10%)，仍可获利10%(相对进货价)，则该家具的进货价是( )A ．118元B ．105元C ．106元D ．108元解析：选D 设进货价为a 元，由题意知132×(1－10%)－a ＝10%·a ，解得a ＝108.3．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限M 约为3361，而可观测宇宙中普通物质的原子总数N 约为1080.则下列各数中与M N最接近的是( )(参考数据：lg 3≈0.48) A ．1033B ．1053C ．1073D ．1093解析：选D M≈3361，N≈1080，M N ≈33611080，则lg M N ≈lg 33611080＝lg 3361－lg 1080＝361lg 3－80≈93.∴M N≈1093. 4．某汽车销售公司在A ，B 两地销售同一种品牌的汽车，在A 地的销售利润(单位：万元)为y 1＝4.1x－0.1x 2，在B 地的销售利润(单位：万元)为y 2＝2x ，其中x 为销售量(单位：辆)，若该公司在两地共销售16辆该种品牌的汽车，则能获得的最大利润是( )A ．10.5万元B ．11万元C ．43万元D ．43.025万元解析：选C 设公司在A 地销售该品牌的汽车x 辆，则在B 地销售该品牌的汽车(16－x)辆． 所以利润y ＝4.1x －0.1x 2＋2(16－x)＝－0.1x 2＋2.1x ＋32＝－0.1⎝⎛⎭⎪⎫x －2122＋0.1×2124＋32.因为x∈[0，16]，且x∈N，所以当x ＝10或11时，总利润取得最大值43万元．5．设某公司原有员工100人从事产品A 的生产，平均每人每年创造产值t 万元(t 为正数)．公司决定从原有员工中分流x(0＜x ＜100，x∈N *)人去进行新开发的产品B 的生产．分流后，继续从事产品A 生产的员工平均每人每年创造产值在原有的基础上增长了1.2x%.若要保证产品A 的年产值不减少，则最多能分流的人数是( )A ．15B ．16C ．17D ．18解析：选B 由题意，分流前每年创造的产值为100t 万元，分流x 人后，每年创造的产值为(100－x)(1＋1.2x%)t 万元，则由⎩⎪⎨⎪⎧0＜x ＜100，x∈N *，（100－x ）（1＋1.2x%）t≥100t，解得0＜x≤503.因为x∈N *，所以x 的最大值为16.6．当生物死亡后，其体内原有的碳14的含量大约每经过5 730年衰减为原来的一半，这个时间称为“半衰期”．当死亡生物体内的碳14含量不足死亡前的千分之一时，用一般的放射性探测器就测不到了．若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它经过的“半衰期”个数至少是( )A ．8B ．9C ．10D ．11解析：选C 设该死亡生物体内原来的碳14的含量为1，则经过n 个“半衰期”后的含量为⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，由⎝ ⎛⎭⎪⎫12n＜11 000，得n≥10，所以，若某死亡生物体内的碳14用该放射性探测器探测不到，则它至少需要经过10个“半衰期”．7．(2019届北京东城模拟)小菲在学校选修课中了解到艾宾浩斯遗忘曲线，为了解自己记忆一组单词的情况，她记录了随后一个月的有关数据，绘制图象，拟合了记忆保持量f(x)与时间x(天)之间的函数关系f(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧－720x ＋1，0<x≤1，15＋920x－12，1<x≤30.某同学根据小菲拟合后的信息得到以下结论： ①随着时间的增加，小菲的单词记忆保持量降低； ②9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%； ③26天后，小菲的单词记忆保持量不足20%.其中正确结论的序号有________．(请写出所有正确结论的序号)解析：由函数解析式可知f(x)随着x 的增加而减少，故①正确；当1<x≤30时，f(x)＝15＋920x －12，则f(9)＝15＋920×9－12＝0.35，即9天后，小菲的单词记忆保持量低于40%，故②正确；f(26)＝15＋920×26－12>15，故③错误． 答案：①②8.有一批材料可以建成200 m 长的围墙，如果用此材料在一边靠墙的地方围成一块矩形场地，中间用同样的材料隔成三个面积相等的矩形(如图所示)，则围成的矩形场地的最大面积为________ m 2.(围墙厚度不计)解析：设围成的矩形场地的长为x m ，则宽为200－x 4 m ，则S ＝x·200－x 4＝14(－x 2＋200x)＝－14(x －100)2＋2 500.∴当x ＝100时，S max ＝2 500 m 2. 答案：2 5009．已知投资x 万元经销甲商品所获得的利润为P ＝x 4；投资x 万元经销乙商品所获得的利润为Q ＝a2x(a ＞0)．若投资20万元同时经销这两种商品或只经销其中一种商品，使所获得的利润不少于5万元，则a的最小值为________．解析：设投资乙商品x 万元(0≤x≤20)，则投资甲商品(20－x)万元． 则利润分别为Q ＝a 2x(a ＞0)，P ＝20－x4，由题意得P ＋Q≥5，0≤x≤20时恒成立， 则化简得a x ≥x2，在0≤x≤20时恒成立．(1)x ＝0时，a 为一切实数； (2)0＜x≤20时，分离参数a≥x2，0＜x≤20时恒成立，所以a≥5，a 的最小值为 5. 答案： 510．已知某服装厂生产某种品牌的衣服，销售量q(x)(单位：百件)关于每件衣服的利润x(单位：元)的函数解析式为q(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1 260x ＋1，0＜x≤20，90－35x ，20＜x≤180，求该服装厂所获得的最大效益是多少元？解：设该服装厂所获效益为f(x)元，则f(x)＝100xq(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧126 000x x ＋1，0＜x≤20，100x （90－35x ），20＜x≤180.当0＜x≤20时，f(x)＝126 000x x ＋1＝126 000－126 000x ＋1，f(x)在区间(0，20]上单调递增，所以当x ＝20时，f(x)有最大值120 000；当20＜x≤180时，f(x)＝9 000x －3005·x x ， 则f′(x)＝9 000－4505·x ，令f′(x)＝0，所以x ＝80.当20＜x ＜80时，f′(x)＞0，f(x)单调递增；当80≤x≤180时，f′(x)≤0，f(x)为单调递减，所以当x ＝80时，f(x)有极大值，也是最大值240 000.由于120 000＜240 000.故该服装厂所获得的最大效益是240 000元. B 级·素养提升|练能力|11.将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝ae nt.假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4L ，则m 的值为( )A ．5B ．8C ．9D ．10解析：选A ∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，∴函数y ＝f(t)＝ae n t 满足f(5)＝ae 5n＝12a ，可得n ＝15ln 12，∴f(t )＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12t 5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时，f(k)＝a·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14a ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12k 5＝14，∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5.12．“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线的．已知某品牌商品靠广告销售的收入R 与广告费A 之间满足关系R ＝a A(a 为常数)，广告效应为D ＝a A －A.那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入的广告费应为________．(用常数a 表示)解析：令t ＝A(t ≥0)，则A ＝t 2，所以D ＝at －t 2＝－t －12a 2＋14a 2，所以当t ＝12a ，即A ＝14a 2时，D取得最大值．答案：14a 213．(2019年北京卷)李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西瓜、桃，价格依次为60元/盒、65元/盒、80元/盒、90元/盒．为增加销量，李明对这四种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网上支付成功后，李明会得到支付款的80%.(1)当x ＝10时，顾客一次购买草莓和西瓜各1盒，需要支付________元；(2)在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的最大值为________．解析：(1)当x ＝10时，一次购买草莓和西瓜各1盒，共60＋80＝140(元)，由题可知顾客需支付140－10＝130(元)．(2)设每笔订单金额为m 元，当0≤m＜120时，顾客支付m 元，李明得到0.8m 元，0.8m ≥0.7m ，显然符合题意，此时x ＝0； 当m≥120时，根据题意得(m －x)80%≥m ×70%， 所以x≤m8，而m≥120，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x≤⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min ，而⎝ ⎛⎭⎪⎫m 8min＝15， 所以x≤15.综上，当0≤x≤15时，符合题意， 所以x 的最大值为15.答案：(1)130 (2)1514．十九大提出对农村要坚持精准扶贫，至2020年底全面脱贫．现有扶贫工作组到某山区贫困村实施脱贫工作，经摸底排查，该村现有贫困农户100家，他们均从事水果种植，2017年底该村平均每户年纯收入为1万元．扶贫工作组一方面请有关专家对水果进行品种改良，提高产量；另一方面，抽出部分农户从事水果包装、销售工作，其人数必须小于种植的人数．从2018年初开始，若该村抽出5x 户(x∈Z，1≤x≤9)从事水果包装、销售工作，经测算，剩下从事水果种植的农户的年纯收入每户平均比上一年提高x20，而从事包装、销售的农户的年纯收入每户平均为⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x 万元(参考数据：1.13＝1.331，1.153≈1.521，1.23＝1.728)．(1)至2020年底，为使从事水果种植的农户能实现脱贫(每户年均纯收入不低于1万6千元)，至少要抽出多少户从事包装、销售工作？(2)至2018年底，该村每户年均纯收入能否达到1.35万元？若能，请求出从事包装、销售的户数；若不能，请说明理由．解：(1)至2020年底，种植户平均收入 ＝（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203100－5x≥1.6，即⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 203≥1.6， 即x≥20(31.6－1)．由题中所给数据，知1.15＜31.6＜1.2，所以3＜20(31.6－1)＜4. 所以x 的最小值为4，此时5x≥20，即至少要抽出20户从事包装、销售工作． (2)至2018年底，假设该村每户年均纯收入能达到1.35万元．每户的平均收入为5x ⎝ ⎛⎭⎪⎫3－14x ＋（100－5x ）⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋x 20100≥1.35，化简得3x 2－30x ＋70≤0.因为x∈Z 且1≤x≤9，所以x∈{4，5，6}．所以当从事包装、销售的户数达到20至30户时，能达到，否则，不能．。
2020届高考数学(理)一轮复习课时训练：第2章 函数的概念与基本初等函数Ⅰ 7 含答案
【课时训练】第7节 幂函数与二次函数一、选择题1．(2018湖南长沙模拟)已知函数f (x )＝x12，则()A ．∃x 0∈R ，使得f (x )<0B ．∀x >0, f (x )>0C ．∃x 1，x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)－f (x 2)x 1－x 2<0D ．∀x 1∈[0，＋∞)，∃x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2) 【答案】B【解析】由题得，f (x )＝x ，函数的定义域为[0，＋∞)，函数的值域为[0，＋∞)，并且函数是单调递增函数，所以A 不成立，根据单调性可知C 也不成立，而D 中，当x 1＝0时，不存在x 2∈[0，＋∞)，使得f (x 1)>f (x 2)，所以D 不成立．故选B.2．(2018黑龙江哈尔滨六中月考)已知α∈⎩⎨⎧⎭⎬⎫－2，－1，－12，12，1，2，则使f (x )＝x α为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递减的α的值的个数是( )A ．1B ．2C ．3D ．4【答案】A【解析】由f (x )＝x α在(0，＋∞)上单调递减，可知α<0.又f (x )＝x α为奇函数，所以α只能取－1.3．(2018福建六校联考)若幂函数y ＝(m 2－3m ＋3)·xm 2－m －2的图象不过原点，则m 的取值是( )A ．－1≤m ≤2B ．m ＝1或m ＝2C ．m ＝2D ．m ＝1【答案】B【解析】由幂函数性质可知m 2－3m ＋3＝1，∴m ＝1或m ＝2.又函数图象不过原点，∴m 2－m －2≤0，即－1≤m ≤2.∴m ＝1或m ＝2.4．(2018天津河东区模拟)若函数f (x )＝(1－x 2)(x 2＋ax －5)的图象关于直线x ＝0对称，则f (x )的最大值是( )A．－4 B．4C．4或－4 D．不存在【答案】B【解析】由题意知，函数f(x)是偶函数，则y＝x2＋ax－5是偶函数，故a＝0.则f(x)＝(1－x2)(x2－5)＝－x4＋6x2－5＝－(x2－3)2＋4.故当x2＝3时，f(x)取最大值为4.5．(2018广东惠州一模)已知函数f(x)＝x2－m是定义在区间[－3－m，m2－m]上的奇函数，则下列成立的是()A．f(m)<f(0) B．f(m)＝f(0)C．f(m)>f(0) D．f(m)与f(0)大小不确定【答案】A【解析】因为函数f(x)是奇函数，所以－3－m＋m2－m＝0，解得m＝3或m＝－1.当m＝3时，函数f(x)＝x－1，定义域不是[－6,6]，不合题意；当m＝－1时，函数f(x)＝x3在定义域[－2,2]上单调递增，又m<0，所以f(m)<f(0)．6．(2018湖南岳阳一模)已知函数f(x)＝x2＋2|x|，若f(－a)＋f(a)≤2f(2)，则实数a的取值范围是()A．[－2,2]B．(－2,2]C．[－4,2]D．[－4,4]【答案】A【解析】由题意知f(2)＝8，则f(－a)＋f(a)＝2a2＋4|a|≤16，解得－2≤a≤2.7．(2018云南大理一模)设函数f(x)＝x2－23x＋60，g(x)＝f(x)＋|f(x)|，则g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝()A．56 B．112C．0 D．38【答案】B【解析】由二次函数图象的性质可知，当3≤x≤20时，f(x)＋|f(x)|＝0，∴g(1)＋g(2)＋…＋g(20)＝g(1)＋g(2)＝f(1)＋|f(1)|＋f(2)＋|f(2)|＝112.8．(2018河南南阳第一中学联考)已知函数f(x)＝(m2－m－1)x4m9－m5－1是幂函数，对任意的x 1，x 2∈(0，＋∞)，且x 1≠x 2，(x 1－x 2)[f (x 1)－f (x 2)]>0.若a ，b ∈R ，且a ＋b >0，ab <0，则f (a )＋f (b )的值( )A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断【答案】A【解析】∵函数f (x )＝(m 2－m －1)x 4m 9－m 5－1是幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.又由题易知函数f (x )在第一象限是增函数，当m ＝2时，指数为4×29－25－1＝2 015>0，满足题意，当m ＝－1时，指数为4×(－1)9－(－1)5－1＝－4<0，不满足题意．∴幂函数f (x )＝x 2 015，它是定义在R 上的奇函数，且是增函数．又∵a ，b ∈R ，且a ＋b >0，∴a >－b ，∴f (a )>f (－b )＝－f (b )，∴f (a )＋f (b )>0.故选A.二、填空题9．(2018河南百校联盟质检)若关于x 的不等式x 2－4x ≥m 对任意x ∈(0,1]恒成立，则m 的取值范围为________．【答案】(－∞，－3]【解析】因为函数f (x )＝x 2－4x 在(0,1]上为减函数，所以当x ＝1时，f (x )m i n ＝1－4＝－3，所以m ≤－3.10．(2018四川遂宁零诊)已知点P 1(x 1,2 018)和P 2(x 2，2 018)在二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋9的图象上，则f (x 1＋x 2)的值为________．【答案】9【解析】依题意得x 1＋x 2＝－ba ，则f (x 1＋x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a 2＋b ⎝ ⎛⎭⎪⎫－b a ＋9＝9.11．(2019福建泉州质检)．若二次函数f (x )＝ax 2－x ＋b 的最小值为0，则a ＋4b 的取值范围为________．【答案】[2，＋∞)【解析】由已知可得，a >0，且判别式Δ＝1－4ab ＝0，即ab ＝14，∴a ＋4b ≥24ab ＝2，即a ＋4b 的取值范围为[2，＋∞)．12．(2018江苏兴化三校联考)已知函数f (x )＝x |x －2|在[0，a ]上的值域为[0,1]，则实数a 的取值范围是________．【答案】[1,1＋2]【解析】函数f (x )＝x |x －2|＝⎩⎪⎨⎪⎧x 2－2x ，x >2，2x －x 2，x ≤2，则易知f (x )在(－∞，1)上单调递增，在(1,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，且过点(0,0)，(2,0)．因为由2x －x 2＝1(x ≤2)解得x ＝1，由x 2－2x ＝1(x >2)解得x ＝1＋2，且f (x )在[0，a ]上的值域为[0,1]，所以1≤a ≤1＋ 2.三、解答题13．(2018杭州模拟)已知函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，且为奇函数．(1)求m 的值；(2)求函数g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域．【解】(1)∵函数h (x )＝(m 2－5m ＋1)x m ＋1为幂函数，∴m 2－5m ＋1＝1，解得m ＝0或5.又h (x )为奇函数，∴m ＝0.(2)由(1)可知g (x )＝x ＋1－2x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12，令1－2x ＝t ，则x ＝－12t 2＋12，t ∈[0,1]，∴f (t )＝－12t 2＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1， 故g (x )＝h (x )＋1－2h (x )，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，12的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤12，1.14．(2018四川成都二诊)已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a >0，b ∈R ，c ∈R )．(1)若函数f (x )的最小值是f (－1)＝0，且c ＝1，F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧f (x )，x >0，－f (x )，x <0，求F (2)＋F (－2)的值；(2)若a ＝1，c ＝0，且|f (x )|≤1在区间(0,1]上恒成立，试求b 的取值范围．【解】(1)由已知c ＝1，a －b ＋c ＝0， 且－b2a ＝－1，解得a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝(x ＋1)2.∴F (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(x ＋1)2，x >0，－(x ＋1)2，x <0. ∴F (2)＋F (－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.(2)由题意可知， f (x )＝x 2＋bx ，则原命题等价于－1≤x 2＋bx ≤1在(0,1]上恒成立，即b ≤1x －x 且b ≥－1x －x 在(0,1]上恒成立．又1x －x 的最小值为0，－1x －x 的最大值为－2， 所以－2≤b ≤0.故b 的取值范围是[－2,0]．。
2020年高考高三理科数学一轮复习单元训练AB卷 第2单元 函数的概念、性质与初等函数 B卷 Word版含解析答案
单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第2单元 函数的概念、性质与初等函数注意事项：1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
3．非选择题的作答：用签字笔直接答在答题卡上对应的答题区域内。
写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效。
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交。
第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．设函数12122()3log (2,),2x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，则((0))f f =（ ）A ．5B ．8C ．9D ．172．下列函数中，既是偶函数，又在区间(0,)+∞上单调递减的函数是（ ） A ．3y x = B ．1ln||y x = C ．sin y x = D ．||2x y =3．若函数在区间上的最小值为，则的取值集合为（ ） A ．B ．C ．D ．4．如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知114,,,444α⎧⎫∈--⎨⎬⎩⎭，相应曲线对应的值依次为（ ）A ．114444--，，，B ．114444--，，，C ．114444--，，，D ．114444--，，，5．如图所示是函数()y f x =的图象，则函数()f x 可能是（ ）A ．1cos x x x ⎛⎫- ⎪⎝⎭B ．1cos x x x ⎛⎫+ ⎪⎝⎭C ．cos x xD ．cos xx6．若4log 3a =，0.33b =，3log cos 19π20c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a c b <<B ．c b a <<C ．b c a <<D ．c a b <<7．已知函数()22()4f x x m x m =+-+是偶函数，()m g x x =在(,0)-∞内单调递增，则实数m =（ ） A ．2B ．2±C ．0D ．2-8．已知(2)f x +是偶函数，()f x 在(],2-∞上单调递减，(0)0f =，则(23)0f x ->的解集是（ ）A ．2,(2,)3⎛⎫-∞+∞ ⎪⎝⎭ B ．2,23⎛⎫⎪⎝⎭C ．22,33⎛⎫- ⎪⎝⎭D ．22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭9．在同一直角坐标系中，函数1x y a =，1log (02a y x a ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭且0)a ≠的图象可能是（ ）A ．B ．C ．D ．10．函数22()log (34)f x x x =--的单调减区间为（ ） A ．(,1)-∞-B ．3,2⎛⎫-∞- ⎪⎝⎭C ．3,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．(4,)+∞11．已知函数()2,,x x af x x x a ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，若函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是（ ）A ．(),0-∞B ．(),1-∞C ．()1,+∞D ．()0,+∞12．已知()f x 是定义在R 上的奇函数，且(1)f x +为偶函数，若(1)2f -=，则(1)(2)(3)(2019)f f f f ++++=L （ ）A ．4B ．2C ．0D ．-2第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．函数()2()log ||1f x x =+-的定义域是__________． 14．函数()211log 1ax f x x x+=+-为奇函数，则实数a =__________． 15．已知函数是偶函数，且当时，，则_________．16．已知函数，()21g x x =-．若对任意[]10,3x ∈，总存在[]22,3x ∈， 使得成立，则实数的值为____．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）已知函数()x x f x e e -=-． （1）判断函数()f x 的奇偶性；（2）若()()1210f m f m -++≤，求实数m 的取值范围．18．（12分）已知函数是奇函数，且当时，．（1）求函数的表达式；（2）求不等式()12f x >-的解集．19．（12分）已知函数()[](]251,223,,2,4x x f x x x ⎧-∈-⎪=⎨-∈⎪⎩．（1）在图中给定的直角坐标系内画出的图象；（2）写出的单调递增区间．20．（12分）已知函数（为常数）．（1）若函数是偶函数，求的值； （2）在（1）条件下，满足的任意实数，都有，求实数的取值范围．21．（12分）2016年汕头市开展了一场创文行动一直以来，汕头市部分市民文明素质有待提高、环境脏乱差现象突出、交通秩序混乱、占道经营和违章搭建问题严重，为了解决这一老大难问题，汕头市政府打了一场史无前例的“创文”仗，目的是全力改善汕头市环境、卫生道路、交通各方面不文明现象，同时争夺2020年“全国文明城市”称号随着创文活动的进行，我区生活环境得到了很大的改善，但因为违法出行的三轮车减少，市民出行偶有不便有一商人从中看到商机，打算开一家汽车租赁公司，他委托一家调查公司进行市场调查，调查公司的调查结果如表：每辆车月租金定价元30003250能出租的车辆数辆若他打算购入汽车100辆用于租赁业务，通过调查发现租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出的车每辆每月需要维护费50元由上表，他决定每辆车月租金定价满足：为方便预测，月租金定价必须为50的整数倍；不低于3000元；定价必须使得公司每月至少能出租10辆汽车设租赁公司每辆车月租金定价为x 元时，每月能出租的汽车数量为y 辆．（1）按调查数据，请将y 表示为关于x 的函数；（2）当x 何值时，租赁公司月收益最大？最大月收益是多少？22．（12分）已知函数，()1ln g x a x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，其中a 为常数．（1）当时，设函数，判断函数在上是增函数还是减函数，并说明理由； （2）设函数，若函数有且仅有一个零点，求实数a 的取值范围．单元训练金卷▪高三▪数学卷（B ）第2单元 函数的概念、性质与初等函数 答 案第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．【答案】C【解析】由题意，函数12122()3log (2,),2x x f x x x -⎧+≥⎪=⎨+-<⎪⎩，则()203log (20)4f =+-=，所以41((0))(4)129f f f -==+=，故选C ． 2．【答案】B【解析】对于A ，3y x =为奇函数，在区间(0,)+∞为单调增函数，故A 不满足题意； 对于B ，1ln||y x =为偶函数，在区间(0,)+∞上为单调递减的函数，故B 满足题意； 对于C ，sin y x =为偶函数，在区间(0,)+∞上为周期函数，故C 不满足题意； 对于D ，||2x y =为偶函数，在区间(0,)+∞为单调增函数，故D 不满足题意， 故答案选B ． 3．【答案】C【解析】∵函数()()22211f x x x x +=--=，对称轴1x =， ∵在区间[a ，a +2]上的最小值为4，∴当1≤a 时，函数最小值为()()214f a a =-=，1a =-（舍去）或3a =，当a +2≤1时，即1a ≤-，函数最小值为()()2214f a a =+=+，1a =（舍去）或3a =-， 当12a a <<+时，即11a -<<时，函数最小值为()104f =≠， 故满足条件的a 的取值集合为．故选C ．4．【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为114444--，，，． 故选B ． 5．【答案】A【解析】由图像可得，该函数定义域为(,0)(0,)-∞+∞，且函数图像关于原点对称， 所以该函数为奇函数；又当0x >时，函数图像出现在x 轴下方，即函数值先为负值， 显然BCD 均不满足，故选A ． 6．【答案】D【解析】由题意可得4log 3(0,1)a =∈，0.30331b =>=，33log cos log 20π0119c =<=， 所以c a b <<，故选D ． 7．【答案】D【解析】函数()22()4f x x m x m =+-+是偶函数，得()()f x f x -=，即()()2222()4=4()f x x m x m f m x x x m =-=--++-+， 则()2244m m --=-，解得240m -=，解得2m =或2m =-，当2m =时，()m g x x =在(,0)-∞内单调递减，不符题意， 当2m =-时，()m g x x =在(,0)-∞内单调递增，符合题意， 答案选D ． 8．【答案】D【解析】因为(2)f x +是偶函数，所以()f x 关于直线2x =对称， 因此由(0)0f =，得(4)0f =，又()f x 在(],2-∞上单调递减，则()f x 在[)2,+∞上单调递增， 所以当232x -≥，即0x ≤时，由(23)0f x ->，得(23)(4)f x f ->， 所以234x ->，解得23x <-；当232x -<，即0x >时，由(23)0f x ->，得(23)(0)f x f ->， 所以230x -<，解得23x >， 因此(23)0f x ->的解集是22,,33⎛⎫⎛⎫-∞-+∞ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭．9．【答案】D【解析】当01a <<时，函数x y a =过定点()0,1且单调递减，则函数1x y a=过定点()0,1且单调递增，函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且单调递减，D 选项符合；当1a >时，函数x y a =过定点()0,1且单调递增，则函数1x y a=过定点()0,1且单调递减， 函数1log 2a y x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭过定点1,02⎛⎫⎪⎝⎭且单调递增，各选项均不符合．综上，故选D ． 10．【答案】A【解析】函数22()log (34)f x x x =--，所以2340(4)(1)04x x x x x -->⇒-+>⇒>或1x <-， 所以函数()f x 的定义域为4x >或1x <-，234y x x =--，当3,2x ⎛⎫∈-∞ ⎪⎝⎭时，函数是单调递减，而1x <-，所以函数()()22log 34f x x x =--的单调减区间为(,1)-∞-，故本题选A ．11．【答案】D【解析】函数()2,,x x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨-<⎪⎩，函数的图象如图：函数()f x 存在零点，则实数a 的取值范围是()0,+∞，故选D ． 12．【答案】C【解析】()f x 是定义在R 上的奇函数，()()f x f x ∴-=-①， (1)f x +为偶函数，(1)(1)f x f x ∴-+=+②，在②式中，令用1x +替代x ，则()(2)f x f x -=+，()(2)f x f x ∴=-+③， 在①式中，令2x +替代x ，则(2)(2)f x f x -+=--④， (2)[(3)1]f x f x --=-++，再根据②式关系，得(2)[(3)1][(3)1](4)f x f x f x f x --=-++=++=+， 综上所述，得()(4)f x f x =+，()f x 的周期为4，由已知得，()f x 是定义在R 上的奇函数，则(0)0f =，(1)(1)2f f =--=-， (2)(11)(11)(0)0f f f f =+=-+==，(3)(14)(1)2f f f =-+=-=， (4)(04)(0)0f f f =+==，得(1)(2)(3)(4)0f f f f +++=， (1)(2)(3)(4)(2019)f f f f f ∴+++++L504((1)(2)(3)(4))((1)(2)(3))2020f f f f f f f =⋅++++++=-++=，答案选C ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分． 13．【答案】{}|2112x x x -≤<-<≤或【解析】因为()2()log ||1f x x -，求其定义域只需24010x x ⎧-≥⎪⎨->⎪⎩，即2211x x x -≤≤⎧⎨><-⎩或，所以{}|2112x x x -≤<-<≤或，故答案为{}|2112x x x -≤<-<≤或． 14．【答案】1 【解析】函数()211log 1axf x x x+=+-为奇函数， ()()f x f x ∴-=-，即()()0f x f x -+=，则221111log log 011ax ax x x x x -+-+++=+-，即211log 011ax ax x x +-⎛⎫⋅= ⎪-+⎝⎭，2221111111ax ax a x x x x+--∴⋅==-+-，则22211a x x -=-，21a ∴=，则1a =±， 当1a =-时，()211log 1xf x x x-=+-，则()f x 定义域为{}01x x x ≠≠且，此时定义域不关于原点对称，为非奇非偶函数，不满足题意； 当1a =时，()211log 1x f x x x+=+-，满足题意， 1a \=，本题正确结果1．15．【答案】5【解析】因为函数是偶函数，所以，因为当时，，所以．16．【答案】13-【解析】不等式可化为：， 若对任意，总存在，使得成立，则()()()()min min maxmax g x f x f x g x -≤⎡⎤⎡⎤⎣⎧⎦⎣⎦≤⎪⎨⎪⎩，当时，()21g x x =-的最大值为()22221g ==-， 当时，的最大值为，最小值为，所以()()()()min minmax max g x f x f x g x -≤⎡⎤⎡⎤⎣⎧⎦⎣⎦≤⎪⎨⎪⎩可化为231332a a -≤-+≤⎧⎨⎩，解得1133a -≤≤-．故13a =-．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．【答案】（1）函数()f x 是奇函数；（2）(],2-∞-．【解析】（1）函数()f x 的定义域是R ，因为()()()x x x x f x e e e e f x ---=-=--=-，即()()f x f x -=-，所以函数()f x 是奇函数．（2）由（1）知函数()f x 是奇函数，所以()()()12121f m f m f m -≤-+=--． 因为x y e =是R 上的增函数，1xy e =-是R 上的增函数，则函数()f x 是R 上的增函数． 所以121m m -≤--，解得2-≤m ． 故实数m 的取值范围是(],2-∞-．18．【答案】（1）()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩；（2）31044x x x ⎧⎫-<≤>⎨⎬⎩⎭或．【解析】（1）根据题意，函数是奇函数，则，当时，，则， 又由函数为奇函数，则，则()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩．（2）根据题意，()21,00,021,0x x f x x x x ->⎧⎪==⎨⎪+<⎩， 当时，，此时()12f x >-，即1212x ->-，解可得14x >，此时不等式的解集为14x x ⎧⎫>⎨⎬⎩⎭， 当时，，()12f x >-成立；此时不等式的解集为，当时，，此时()12f x >-，即1212x +>-，解可得34x >-，此时不等式的解集为304x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，综合可得：不等式()12f x >-的解集31044x x x ⎧⎫-<≤>⎨⎬⎩⎭或．19．【答案】（1）见解析；（2）单调递增区间是，．【解析】（1）（2）的单调递增区间是，．20．【答案】（1）；（2）()47,47-+． 【解析】（1）函数是偶函数，恒成立，即恒成立，也就是，解得．（2）由（1）知，由，得，又2n m =-，∴()221221m m +>-+，整理得2890m m -+<，44m ∴<+ 实数m 的取值范围是()47,47-+． 21．【答案】（1）116050y x =-+，，且，；（2）当时，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元．【解析】（1）由表格可知，当定价为3000元时，能出租100辆，当定价每提升50元时能出租的车辆将减少1辆， 则()1110030001605050y x x =--=-+， 令，得11601050x -+≥，得115050x ≤，得，所以所求函数116050y x =-+，，且，．（2）由（1）知，租赁公司的月收益为，则()()21111601505010016016221000505050f x x x x x x ⎛⎫⎛⎫=----+=-+- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭()21405030705050x =--+，，当时，取得最大值为307050，即月租金定为4050时，租赁公司的月收益最大，最大月收益为307050元． 22．【答案】（1）见解析；（2），．【解析】（1）由题意，当时，，则()()222ln 01x h x x x =≠+，因为22222211x x x =-++，又由221x +在递减，所以2221x -+在递增，所以根据复合函数的单调性，可得函数在单调递增函数．（2）由，得，即()1ln 425ln a x a a x ⎛⎫-+-=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭， 若函数由有且只有1个零点，则方程()1ln 425ln a x a a x ⎛⎫-+-=-⎡⎤ ⎪⎣⎦⎝⎭有且只有1个实数根， 化简得()1425a x a a x-+-=-， 即有且只有1个实数根，①4a =时，可化为，即，此时()412530130a a a -⋅+-⎧=>-=>⎪⎨⎪⎩，满足题意，②当时，由，得，解得14x a=-或，（i ）当114a=-，即时，方程有且只有1个实数根，此时()412520120a a a -⋅+-⎧=>-=>⎪⎨⎪⎩，满足题意；（ii ）当114a≠-，即时，若是的零点，则()4125010a aa-⋅+->->⎧⎪⎨⎪⎩，解得，若14xa=-是的零点，则()41250114a aaa-⋅+->->-⎧⎪⎪⎨⎪⎪⎩，解得，函数有且只有1个零点，所以12aa>≤⎧⎨⎩或12aa≤>⎧⎨⎩，，综上，a的取值范围是，．。
高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元达标提高题学能测试试卷
高三数学第二学期函数的概念与基本初等函数多选题单元达标提高题学能测试试卷一、函数的概念与基本初等函数多选题1．函数()f x 的定义域为D ，若存在区间[],m n D ⊆使()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则称区间[],m n 为函数()f x 的“和谐区间”，则下列函数存在“和谐区间”的是（ ） A ．()f x =B ．()222f x x x =-+C ．()1f x x x=+D ．()1f x x=【答案】ABD 【分析】根据题意，可知若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，且m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，再对各个选项进行运算求解,m n ，即可判断该函数是否存在“和谐区间”.【详解】解：由题得，若()f x 在区间[],m n 上的值域也是[],m n ，则()f x 存在“和谐区间”[],m n ，可知，m n <，则()()f m m f n n ⎧=⎪⎨=⎪⎩或()()f m nf n m ⎧=⎪⎨=⎪⎩，A ：())0f x x =≥，若()()f m mf n n⎧==⎪⎨==⎪⎩，解得：01m n =⎧⎨=⎩，所以()f x =“和谐区间”[]0,1；B ：()()222f x x x x R =-+∈，若 ()()222222f m m m mf n n n n⎧=-+=⎪⎨=-+=⎪⎩，解得：12m n =⎧⎨=⎩， 所以()222f x x x =-+存在“和谐区间” []1,2；C ：()()10f x x x x =+≠，若()()11f m m m mf n n n n ⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，得1010m n⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，故无解；若()()11f m m nmf n n mn⎧=+=⎪⎪⎨⎪=+=⎪⎩，即 21111m n m m m n n m n ⎧+=⎪⎪⎪=⎨+⎪⎪+=⎪⎩，化简得：2210(1)m m m m ++=+， 即210m m ++=，由于2141130∆=-⨯⨯=-<，故无解； 若()0112,m n f m m <<<∴=∴= 不成立 所以()1f x x x=+不存在“和谐区间”； D ：()()10f x x x =≠，函数在()()0+-0∞∞，，，单调递减，则 ()()11f m n mf n mn ⎧==⎪⎪⎨⎪==⎪⎩， 不妨令122m n ⎧=⎪⎨⎪=⎩， 所以()1f x x =存在“和谐区间”1,22⎡⎤⎢⎥⎣⎦； 综上得：存在“和谐区间”的是ABD. 故选：ABD. 【点睛】关键点点睛：本题以函数的新定义为载体，考查函数的定义域、值域以及零点等知识，解题的关键是理解“和谐区间”的定义，考查运算能力以及函数与方程的思想.2．对x ∀∈R ，[]x 表示不超过x 的最大整数．十八世纪，[]y x =被“数学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整函数”，则下列命题中的真命题是（ ） A ．,[]1x x x ∃∈+RB ．,,[][][]x y x y x y ∀∈++RC ．函数[]()y x x x =-∈R 的值域为[0,1)D ．若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2nt t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则正整数n 的最大值是5 【答案】BCD 【分析】由取整函数的定义判断，由定义得[][]1x x x ≤<+，利用不等式性质可得结论． 【详解】[]x 是整数， 若[]1x x ≥+，[]1x +是整数，∴[][]1x x ≥+，矛盾，∴A 错误；,x y ∀∈R ，[],[]x x y y ≤≤，∴[][]x y x y +≤+，∴[][][]x y x y +≤+，B 正确；由定义[]1x x x -<≤，∴0[]1x x ≤-<，∴函数()[]f x x x =-的值域是[0,1)，C 正确；若t ∃∈R ，使得3451,2,3,,2n t t t t n ⎡⎤⎡⎤⎡⎤⎡⎤====-⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎣⎦同时成立，则1t ≤<，t ≤<t ≤<t ≤<，，t ≤<=6n ≥，则不存在t同时满足1t ≤<t <5n ≤时，存在t ∈满足题意， 故选：BCD ． 【点睛】本题考查函数新定义，正确理解新定义是解题基础．由新定义把问题转化不等关系是解题关键，本题属于难题．3．对于函数()()13cos ,,22132,,22x x f x f x x π⎧⎡⎤∈-⎪⎢⎥⎪⎣⎦=⎨⎛⎫⎪-∈+∞ ⎪⎪⎝⎭⎩，下面结论正确的是（ ）A ．任取121,,2x x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()122f x f x -≤恒成立 B ．对于一切1,2x ⎡⎫∈-+∞⎪⎢⎣⎭，都有()()()*22N k f x f x k k =+∈ C ．函数()1ln 2y f x x ⎛⎫=--⎪⎝⎭有3个零点 D ．对任意0x >，不等式()k f x x ≤恒成立，则实数k 的取值范围是1,2⎡⎫+∞⎪⎢⎣⎭【答案】ABC 【分析】先在坐标轴中画出()y f x =的图象,根据图象可判断A 选项,结合解析式可判断B 选项,再画出1ln()2y x =-与k y x=的图象,数形结合可判断C,D 选项.【详解】在坐标轴上作出函数()f x 的图象如下图所示:由图象可知()f x 的最大值为1,最小值为1-,故选项A 正确; 由题可知()()()1312,(,)(2),(,)22221f x f x x f x f x x =-∈+∞⇒+=∈-+∞, 所以*1(2)()()()2k f x k f x k N +=∈即()2(2)k f x f x k =+,故选项B 正确;作出1ln()2y x =-的图象，因为11ln(2)ln 2232-=<，由图象可知()y f x =与1ln()2y x =-有3个交点,故选项C 正确;结合图象可知,若对任意0x >,不等式()kf x x恒成立, 即2x n =时,不等式(2)2kf n n恒成立, 又11(2)()(0)()22nnf n f ==, 所以1()22n k n ,即22n nk 在*n N ∈时恒成立, 设2()2x x g x =,则2ln 4()2xxg x -⋅'=, 故[)2,x ∈+∞时,()0g x '<,函数()g x 在[)2,+∞上单调递减, 所以[)2,x ∈+∞时,max ()(2)1g x g ==,又(1)1g =,所以max 212n n ⎛⎫= ⎪⎝⎭,即1k ,故选项D 错误.故选:ABC. 【点睛】本题主要考查分段函数的周期性及数形结合法在处理函数问题中的应用,有一定难度.4．下列命题正确的是（ ）A ．已知幂函数21()(1)m f x m x --=+在(0,)+∞上单调递减则0m =或2m =-B ．函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，一个大于0，一个小于0的一个充分不必要条件是1m <-．C ．已知函数31()sin ln 1x f x x x x +⎛⎫=++⎪-⎝⎭，若(21)0f a ->，则a 的取值范围为1,2⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭D ．已知函数()f x 满足()()2f x f x -+=，1()x g x x+=，且()f x 与()g x 的图像的交点为()()()112288,,,,x y x y x y 则128128x x x y y y ++⋯++++⋯+的值为8【答案】BD 【分析】根据幂函数的性质，可判定A 不正确；根据二次函数的性质和充分条件、必要条件的判定，可得判定B 是正确；根据函数的定义域，可判定C 不正确；根据函数的对称性，可判定D 正确，即可求解. 【详解】对于A 中，幂函数21()(1)m f x m x--=+，可得11m +=±，解得0m =或2m =-，当0m =时，函数1()f x x -=在(0,)+∞上单调递减；当2m =-时，函数()f x x =在(0,)+∞上单调递增，所以A 不正确；对于B 中，若函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0，则满足(0)30f m =<，解得0m <，所以1m <-是函数2()(24)3f x x m x m =-++的有两个零点，且一个大于0，一个小于0的充分不必要条件，所以B 是正确； 对于C 中，由函数31()sin ln()1x f x x x x +=++-，则满足101xx+>-，解得11x -<<， 即函数()f x 的定义域为(1,1)-，所以不等式(21)0f a ->中至少满足1211a -<-<， 即至少满足01a <<，所以C 不正确；对于D 中，函数()f x 满足()()2f x f x -+=，可得函数()y f x =的图象关于(0,1)点对称， 又由11()x x g x x x-+--==-，可得()()2g x g x -+=，所以函数()y g x =的图象关于(0,1)点对称，则1281280428x x x y y y ++⋯++++⋯+⨯+==，所以D 正确.故选：BD. 【点睛】本题主要考查了以函数的基本性质为背景的命题的真假判定，其中解答中熟记函数的基本性质，逐项判定是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于中档试题.5．已知直线2y x =-+分别与函数x y e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，则下列结论正确的是( ) A ．122x x +=B ．122x x e e e +>C ．1221ln ln 0x x x x +<D ．12e x x >【答案】ABC 【分析】根据互为反函数的性质可得()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1，从而可判断A ；利用基本不等式可判断B 、D ；利用零点存在性定理以及对数的运算性质可判断C. 【详解】函数xy e =与ln y x =互为反函数， 则xy e =与ln y x =的图象关于y x =对称，将2y x =-+与y x =联立，则1,1x y ==，由直线2y x =-+分别与函数xy e =和ln y x =的图象交于点()()1122,,,A x y B x y ，作出函数图像：则()()1122,,,A x y B x y 的中点坐标为()1,1， 对于A ，由1212x x +=，解得122x x +=，故A 正确； 对于B ，12121222222x x x x x x e e e e e e e +≥=+⋅==， 因为12x x ≠，即等号不成立，所以122x x e e e +>，故B 正确；对于C ，将2y x =-+与xy e =联立可得2x x e -+=，即20x e x +-=，设()2xf x e x =+-，且函数为单调递增函数，()010210f =+-=-<，112211320222f e e ⎛⎫=+-=-> ⎪⎝⎭，故函数的零点在10,2⎛⎫ ⎪⎝⎭上，即1102x <<，由122x x +=，则212x <<， 122112211ln ln ln lnx x x x x x x x +=- ()1222122ln ln ln 0x x x x x x x <-=-<，故C 正确；对于D，由12x x +≥，解得121x x ≤， 由于12x x ≠，则121x x <，故D 错误； 故选：ABC 【点睛】本题考查了互为反函数的性质、基本不等式的应用、零点存在性定理以及对数的运算性质，考查了数形结合的思想，属于难题.6．已知()f x 是定义域为(,)-∞+∞的奇函数，()1f x +是偶函数，且当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则（ ）A ．()f x 是周期为2的函数B ．()()201920201f f +=-C ．()f x 的值域为[-1，1]D ．()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点 【答案】BCD 【分析】对于A ，由()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，得()()4f x f x =-，则()f x 是周期为4的周期函数，可判断A ；对于B ，由()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==，()()()2019111f f f =-=-=-，可判断B ．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜，可判断C ． 对于D ，构造函数()()cos g x f x x =-，利用导数法求出单调区间，结合零点存在性定理，即可判断D ． 【详解】 根据题意，对于A ，()f x 为R 上的奇函数，()1f x +为偶函数，所以()f x 图象关于1x =对称，(2)()()f x f x f x +=-=- 即(4)(2)()f x f x f x +=-+=则()f x 是周期为4的周期函数，A 错误； 对于B ，()f x 定义域为R 的奇函数，则()00f =，()f x 是周期为4的周期函数，则()()202000f f ==；当(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，则()()11121f =-⨯-=，则()()()()201912020111f f f f =-+=-=-=-， 则()()201920201f f +=-；故B 正确．对于C ，当(]01x ∈，时，()()2f x x x =--，此时有()01f x ≤＜，又由()f x 为R 上的奇函数，则[)10x ∈-，时，()10f x -≤＜， (0)0f =，函数关于1x =对称，所以函数()f x 的值域[11]-，．故C 正确． 对于D ，(0)0f =，且(]0,1x ∈时，()()2f x x x =--，[0,1],()(2)x f x x x ∴∈=--，[1,2],2[0,1],()(2)(2)x x f x f x x x ∴∈-∈=-=--， [0,2],()(2)x f x x x ∴∈=--，()f x 是奇函数，[2,0],()(2)x f x x x ∴∈-=+， ()f x 的周期为4，[2,4],()(2)(4)x f x x x ∴∈=--，[4,6],()(4)(6)x f x x x ∴∈=---， [6,2],()(6)(8)x f x x x π∴∈=--，设()()cos g x f x x =-，当2[0,2],()2cos x g x x x x ∈=-+-，()22sin g x x x '=-++，设()(),()2cos 0h x g x h x x =''=-+<在[0,2]恒成立，()h x 在[0,2]单调递减，即()g x '在[0,2]单调递减，且(1)sin10,(2)2sin20g g '=>'=-+<， 存在00(1,2),()0x g x ∈'=，0(0,),()0,()x x g x g x ∈'>单调递增， 0(,2),()0,()x x g x g x ∈'<单调递减，0(0)1,(1)1cos10,()(1)0,(2)cos20g g g x g g =-=->>>=->，所以()g x 在0(0,)x 有唯一零点，在0(,2)x 没有零点， 即2(]0,x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点，当[]24x ∈，时，，()()2cos 6+8cos x x g x f x x x =-=--，则()26+sin g x x x '=-，()()26+sin x x h x g x ='=-，则()2+cos >0h x x '=，所以()g x '在[]24，上单调递增， 且()()3sin3>0,22+sin20g g '='=-<，所以存在唯一的[][]12324x ∈⊂，，，使得()0g x '=， 所以()12,x x ∈，()0g x '<，()g x 在()12,x 单调递减，()14x x ∈，，()>0g x '，()g x 在()14x ，单调递增，又()31cos30g =--<，所以()1(3)0g x g <<， 又()()2cos2>0,4cos4>0g g =-=-，所以()g x 在()12,x 上有一个唯一的零点，在()14x ，上有唯一的零点， 所以当[]24x ∈，时，()f x 的图象与曲线cos y x =有2个交点，， 当[]46x ∈，时，同[0,2]x ∈，()f x 的图象与曲线cos y x =有1个交点， 当[6,2],()(6)(8)0,cos 0x f x x x y x π∈=--<=>，()f x 的图象与曲线cos y x =没有交点，所以()f x 的图象与曲线cos y x =在()0,2π上有4个交点，故D 正确； 故选：BCD ． 【点睛】本题考查抽象函数的奇偶性、周期性、两函数图像的交点，属于较难题.7．已知函数()f x 满足：当-<3≤0x 时，()()1xf x e x =+，下列命题正确的是（ ）A ．若()f x 是偶函数，则当03x <≤时，()()1xf x e x =+B ．若()()33f x f x --=-，则()()32g x f x e=+在()6,0x ∈-上有3个零点 C ．若()f x 是奇函数，则1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<D ．若()()3f x f x +=，方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，则k 的范围为2312k e e -<<- 【答案】BC 【分析】A 选项，利用函数的奇偶性求出解析式即可判断；B 选项，函数()f x 关于直线3x =-对称，利用导数研究函数的单调性作出函数图像，由函数图像可知当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e =-有3个交点可判断；C 选项，由函数图像关于原点对称求出函数的值域进行判断；D 选项，函数周期为3，作出函数图像知方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，则2312k e e-<≤-时方程()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根. 【详解】A 选项，若03x <≤，则30x -≤-<，()()1xf x e x --=-+，因为函数()f x 是偶函数，所以()()()1xf x f x ex -=-=-+，A 错误；B 选项，若()()33f x f x --=-，则函数()f x 关于直线3x =-对称，当-<3≤0x 时，()()2xf x ex '=+，当()3,2x ∈--时，()0f x '<，函数()f x 单调递减，当()2,0x ∈--时，()0f x '>，函数()f x 单调递增，且()323f e -=-，()2120f e -=-<，()10f -=， 作出函数大致图像如图所示，则当()6,0x ∈-时，函数()f x 与直线32y e =-有3个交点，即函数()()32g x f x e =+在()6,0x ∈-上有3个零点，B 正确；C 选项，由B 知当[3,0)x ∈-时，()2[,1)f x e -∈-，若函数()f x 为奇函数，则当[]3,3x ∈-时()()1,1f x ∈-，所以1x ∀，[]23,3x ∈-，()()122f x f x -<，C 正确；D 选项，若()()3f x f x +=，则函数()f x 的周期为3，作出函数在[]3,3x ∈-上的图像如图所示，若方程()()20f x kf x -=⎡⎤⎣⎦即()()[]0f x f x k -=在[]3,3x ∈-上有6个不同的根，因为方程()0f x =在[]3,3x ∈-上有两个不同的根，所以()f x k =在[]3,3x ∈-上有4个不同的根，又()323f e -=-，()2120f e -=-<，所以2312k e e-<≤-，D 错误. 故选：BC 【点睛】本题考查函数的图像与性质综合应用，涉及函数的单调性、奇偶性、对称性，函数的零点与方程的根，综合性较强，属于较难题.8．已知函数4()nnf x x x =+(n 为正整数)，则下列判断正确的是（ ） A ．函数()f x 始终为奇函数B ．当n 为偶数时，函数()f x 的最小值为4C ．当n 为奇数时，函数()f x 的极小值为4D ．当1n =时，函数()y f x =的图象关于直线2y x =对称 【答案】BC 【分析】由已知得()()4()nnf x x x -=-+-，分n 为偶数和n 为奇数得出函数()f x 的奇偶性，可判断A 和；当n 为偶数时，>0n x ，运用基本不等式可判断B ；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，构造函数4()g t t t=+，利用其单调性可判断C ；当1n =时，取函数4()f x x x=+上点()15P ，，求出点P 关于直线2y x =对称的对称点，代入可判断D.【详解】因为函数4()nn f x x x=+(n 为正整数)，所以()()4()n n f x x x -=-+-， 当n 为偶数时，()()44()()nn nn f x x x f x xx -=-+=+=-，函数()f x 是偶函数； 当n 为奇数时，()4()nnf x x f x x-=-+=--，函数()f x 是奇函数，故A 不正确；当n 为偶数时，>0n x，所以4()4n n f x x x =+≥=，当且仅当4n n x x =时， 即2>0n x =取等号，所以函数()f x 的最小值为4，故B 正确；当n 为奇数时，令n t x =，则>0,>0;0,0x t x t <<，函数()f x 化为4()g t t t=+， 而4()g t t t=+在()()22-∞-+∞，，，上单调递增，在()()2002-，，，上单调递递减， 所以4()g t t t =+在2t =时，取得极小值4(2)242g =+=，故C 正确； 当1n =时，函数4()f x x x=+上点()15P ，，设点P 关于直线2y x =对称的对称点为()000P x y ，，则000051121+5+222y x x y -⎧=-⎪-⎪⎨⎪⨯=⎪⎩，解得00175195x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，，而将0171955P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，代入4()f x x x=+不满足， 所以函数()y f x =的图象不关于直线2y x =对称，故D 不正确， 故选：BC ． 【点睛】本题考查综合考查函数的奇偶性，单调性，对称性，以及函数的最值，属于较难题.9．定义：若函数()F x 在区间[]a b ，上的值域为[]a b ，，则称区间[]a b ，是函数()F x 的“完美区间”，另外，定义区间()F x 的“复区间长度”为()2b a -，已知函数()21f x x =-，则（ ）A ．[]0,1是()f x 的一个“完美区间”B．⎣⎦是()f x 的一个“完美区间” C ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+ D ．()f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为3+【答案】AC 【分析】根据定义，当[]0,1x ∈时求得()f x 的值域，即可判断A ；对于B ，结合函数值域特点即可判断；对于C 、D ，讨论1b ≤与1b >两种情况，分别结合定义求得“复区间长度”，即可判【详解】对于A ，当[]0,1x ∈时，()2211f x x x =-=-，则其值域为[]0,1，满足定义域与值域的范围相同，因而满足“完美区间”定义，所以A 正确；对于B ，因为函数()210f x x =-≥，所以其值域为[)0,+∞，而102-<，所以不存在定义域与值域范围相同情况，所以B 错误；对于C ，由定义域为[]a b ，，可知0a b ≤<， 当1b ≤时，[][]0,1a b ，，此时()2211f x x x =-=-，所以()f x 在[]a b ，内单调递减，则满足()()2211f a a b f b b a⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，化简可得22a a b b -=-， 即221122a b ⎛⎫⎛⎫-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，所以1122a b -=-或1122a b -=-，解得a b =（舍）或1a b +=， 由211a b a b +=⎧⎨+=⎩解得1b =或0b =（舍）， 所以10a b =-=，经检验满足原方程组，所以此时完美区间为[]0,1，则“复区间长度”为()22b a -=；当1b >时，①若01a ≤<，则[]1a b ∈，，此时()()min 10f x f ==.当()f x 在[]a b ，的值域为[]a b ，，则()0,a f b b ==，因为1b > ，所以()21f b b b =-=，即满足210b b --=，解得b =b =.所以此时完美区间为⎡⎢⎣⎦，则“复区间长度”为()12212b a +-=⨯=+ ②若1a ≤，则()21f x x =-，[]x a b ∈，，此时()f x 在[]a b ，内单调递增，若()f x 的值域为[]a b ，，则()()2211f a a af b b b⎧=-=⎪⎨=-=⎪⎩，则,a b 为方程210x x --=的两个不等式实数根，解得1x =，2x =，所以a b ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，与1a ≤矛盾，所以此时不存在完美综上可知，函数()21f x x =-的“复区间长度”的和为213++=C 正确，D 错误； 故选：AC. 【点睛】本题考查了函数新定义的综合应用，由函数单调性判断函数的值域，函数与方程的综合应用，分类讨论思想的综合应用，属于难题.10．下列命题正确的有（ ） A ．已知0,0a b >>且1a b +=，则1222a b -<<B ．34a b ==a bab+= C ．323y x x x =--的极大值和极小值的和为6-D ．过(1,0)A -的直线与函数3y x x =-有三个交点，则该直线斜率的取值范围是1(,2)(2,)4-+∞ 【答案】ACD 【分析】由等式关系、指数函数的性质可求2a b -的范围；利用指对数互化，结合对数的运算法求a b ab+；利用导数确定零点关系，结合原函数式计算极值之和即可；由直线与3y x x =-有三个交点，即可知2()h x x x k =--有两个零点且1x =-不是其零点即可求斜率范围. 【详解】A 选项，由条件知1b a =-且01a <<，所以21(1,1)a b a -=-∈-，即1222a b -<<；B 选项，34a b ==log a =4log b =1212112(log 3log 4)2a b ab a b+=+=+=； C 选项，2361y x x '=--中>0∆且开口向上，所以存在两个零点12,x x 且122x x +=、1213x x =-，即12,x x 为y 两个极值点，所以2212121212121212()[()3]3[()2]()6y y x x x x x x x x x x x x +=++--+--+=-；D 选项，令直线为(1)y k x =+与3y x x =-有三个交点，即2()()(1)g x x x k x =--+有三个零点，所以2()h x x x k =--有两个零点即可∴140(1)20k h k ∆=+>⎧⎨-=-≠⎩，解得1(,2)(2,)4k ∈-+∞故选：ACD 【点睛】本题考查了指对数的运算及指数函数性质，利用导数研究极值，由函数交点情况求参数范围，属于难题.11．若实数2a ≥，则下列不等式中一定成立的是（ ） A ．21(1)(2)a a a a +++>+ B ．1log (1)log (2)a a a a ++>+ C ．1log (1)a a a a ++< D ．12log (2)1a a a a +++<+ 【答案】ABD 【分析】对于选项A ：原式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，对于选项D ：变形为()()ln 2ln 121a a a a ++<++，构造函数()ln xf x x =，通过求导判断其在(),x e ∈+∞上的单调性即可判断；对于选项B ：利用换底公式：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+， 等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，利用基本不等式22a b ab +⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，再结合放缩法即可判断； 【详解】 令()ln x f x x =，则()21ln x f x x -'=0<在()3,x ∈+∞上恒成立，所以函数()ln xf x x=在(),x e ∈+∞上单调递减， 对于选项A ：因为2a ≥，所以21(1)(2)a a a a +++>+()()()()2ln 11ln 2a a a a ⇔++>++，即原不等式等价于()()ln 1ln 212a a a a ++>++，因为12a a +<+，所以()()ln 1ln 212a a a a ++>++，从而可得21(1)(2)a a a a +++>+，故选项A 正确； 对于选项C ：1log (1)a a a a ++<()ln 11ln a a a a ++⇔<()ln 1ln 1a a a a+⇔<+，由于函数()ln x f x x =在(),e +∞上单调递减，所以()()43f f <，即ln 4ln 343<，因为ln 42ln 2ln 2442==，所以ln 2ln 323<，取2a =，则()ln 1ln 1a a a a +>+，故选项C 错误；对于选项D ：12log (2)1a a a a +++<+()()ln 22ln 11a a a a ++⇔<++()()ln 2ln 121a a a a ++⇔<++，与选项A 相同，故选项D 正确.对于选项B ：1log (1)log (2)a a a a ++>+()()()ln 1ln 2ln ln 1a a a a ++⇔>+，因为2a ≥， 所以等价于()()2ln 1ln ln 2a a a +>⋅+，因为()()2ln ln 2ln ln 22a a a a ++⎡⎤⋅+<⎢⎥⎣⎦，因为()()()()222222ln 2ln 21ln ln 2ln 1222a a a a a a a ⎡⎤⎡⎤+++++⎡⎤⎢⎥⎢⎥=<=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦， 所以不等式1log (1)log (2)a a a a ++>+成立，故选项B 正确； 故选：ABD 【点睛】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综合型强、难度大型试题.12．函数()()1xf x x R x=∈+，以下四个结论正确的是（ ） A ．()f x 的值域是()1,1- B ．对任意x ∈R ，都有()()12120f x f x x x ->-C ．若规定()()()()()11,n n f x f x f x f f x +==，则对任意的(),1n xn N f x n x*∈=+ D ．对任意的[]1,1x ∈-，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，则当[]1,1a ∈-时，2t ≤-或2t ≥【答案】ABC 【分析】由函数解析式可得函数图象即可知其值域、单调性；根据C 中的描述结合数学归纳法可推得结论成立；由函数不等式恒成立，利用变换主元法、一元二次不等式的解法即可求参数范围.【详解】由函数解析式可得11,01()11,01x x f x x x ⎧-≥⎪⎪+=⎨⎪-<⎪-⎩，有如下函数图象：∴()f x 的值域是()1,1-，且单调递增即()()12120f x f x x x ->-(利用单调性定义结合奇偶性也可说明)，即有AB 正确； 对于C ，有()11x f x x =+，若()1,1(1)n x n N f x n x*-∈=+-， ∴当2n ≥时，11(1)||()(())1||1||1(1)||n n xx n x f x f f x x n x n x -+-===+++-，故有(),1n xn N f x n x*∈=+.正确. 对于D ，[]1,1x ∈-上max 1()(1)2f x f ==，若函数()2122f x t at ≤-+恒成立，即有211222t at -+≥，220t at -≥恒成立，令2()2h a at t =-+，即[]1,1a ∈-上()0h a ≥， ∴0t >时，2(1)20h t t =-+≥，有2t ≥或0t ≤（舍去）；0t =时，()0h a 故恒成立；0t <时，2(1)20h t t -=+≥，有2t ≤-或0t ≥（舍去）；综上，有2t ≥或0t =或2t ≤-；错误. 故选：ABC 【点睛】 方法点睛：1、对于简单的分式型函数式画出函数图象草图判断其值域、单调性.2、数学归纳法：当1n =结论成立，若1n -时结论也成立，证明n 时结论成立即可.3、利用函数不等式恒成立，综合变换主元法、一次函数性质、一元二次不等式解法求参数范围.13．已知函数()1y f x =-的图象关于1x =对称，且对(),y f x x R =∈，当12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，若()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，则a 的可能取值为（ ）A ．B ．1-C ．1 D【答案】BC 【分析】由已知得函数()f x 是偶函数，在[0,)+∞上是单调增函数，将问题转化为2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，由基本不等式可求得范围得选项． 【详解】因为函数()1y f x =-的图象关于直线1x =对称，所以函数()y f x =的图象关于直线0x =（即y 轴）对称，所以函数()f x 是偶函数.又12,(,0]x x ∈-∞时，()()21210f x f x x x -<-成立，所以函数()f x 在[0,)+∞上是单调增函数.且()()2221f ax f x <+对任意的x ∈R 恒成立，所以2|2||21|ax x <+对任意的x ∈R 恒成立，当0x =时，01<恒成立，当0x ≠时，2|21|11|||||||||2|22x a x x x x x+<=+=+，又因为1||||2x x +=≥||2x =时，等号成立，所以||a <，因此a <<，故选：BC. 【点睛】方法点睛：不等式恒成立问题常见方法：① 分离参数()a f x ≥恒成立(()max a f x ≥即可)或()a f x ≤恒成立（()min a f x ≤即可）；② 数形结合(()y f x = 图象在()y g x = 上方即可)；③ 讨论最值()min 0f x ≥或()max 0f x ≤恒成立.14．已知函数()22x f x x =+-的零点为a ，函数2()log 2g x x x =+-的零点为b ，则（ ） A ．2a b += B ．22log 2ab +=C ．223a b +>D ．01ab <<【答案】ABD 【分析】在同一坐标系中分别作出函数2x y =，2log y x =，2y x =-的图象，图像的交点即为函数的零点，反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，进而可判断A ，B ，D 正确. 由函数()f x 在R 上单调递增，且102f ⎛⎫<⎪⎝⎭，(1)0f >，可得零点a 的范围，可得C 不正确. 【详解】由()0f x =，()0g x =得22x x =-，2log 2x x =-， 函数2x y =与2log y x =互为反函数，在同一坐标系中分别作出函数2xy =，2log y x =，2y x =-的图象，如图所示，则(),2aA a ，()2,log B b b .由反函数的性质知A ，B 关于点()1,1对称，则2a b +=，22log 2ab +=.因为0a >，0b >，且ab ，所以2012a b ab +⎛⎫<<= ⎪⎝⎭，故A ，B ，D 正确. 因为()22x f x x =+-在R 上单调递增，且132022f ⎛⎫=< ⎪⎝⎭，(1)10f =>， 所以112a <<. 因为222221(2)2(1)212a b a a a a ⎛⎫+=+-=-+<<⎪⎝⎭，所以2252,2a b ⎛⎫+∈ ⎪⎝⎭，故C 不正确. 故选：ABD 【点睛】方法点睛：通过画函数图象把零点问题转化为函数图象的交点问题，本题考查了运算能力和逻辑推理能力，属于难题.15．下列函数求值域正确的是（ ）A ．2()1(2)f x x x =++-的值域为[2)+∞，B ．222()1x x g x x ++=+的值域为[2)+∞，C ．()11h x x x =+--的值域为(02]，D ．()13w x x x =-++的值域为[222]，【答案】CD 【分析】()12f x x x =++-去绝对值结合单调性和图象即可判断选项A ；2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++讨论10x +>和10x +<，利用基本不等式求值域可判断选项B ；()1111h x x x x x =+--=++-利用单调性即可判断选项C ；()w x 定义域为[31]-，，将()13w x x x =-++两边平方可得()222(1)44w x x =-+++，由于()0w x >，可得()22(1)44w x x =-+++，求出2(1)t x =-+的范围即可求()w x 值域，可判断选项D. 【详解】对于选项A ：原函数化为211()12312212x x f x x x x x x -+≤-⎧⎪=++-=-<≤⎨⎪->⎩，，，， 其图象如图，原函数值域为[3)+∞，，故选项A 不正确，对于选项B ：2(1)11()(1)11x g x x x x ++==++++，定义域为{}|1x x ≠-， 当1x <-时，10x +<，此时[][]11(1)2(1)211x x x x ⎛⎫⎛⎫-++-≥-+⨯-= ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭，所以1(1)21x x ++≤-+，当且仅当1(1)1x x -+=-+即2x =-时等号成立，当1x >-时，10x +>，此时1(1)21x x ++≥=+，当且仅当111x x +=+即0x =时等号成立， 所以函数()g x 值域为(2][2)-∞-⋃+∞，，，故选项B 不正确； 对于选项C ：()h x 的定义域为[1)+∞，，()h x ===，因为y =y =[1)+∞，上是增函数，所以y =[1)+∞，上是增函数，又y =[1)+∞，上恒不等于0，则y =在[1)+∞，上是减函数，则()h x 的最大值为()1h =又因为()0h x >，所以()h x 的值域为(0，故选项C 正确；对于选项D ：()w x 的定义域为[31]-，，()w x ======设2(1)t x =-+，则[40]t ∈-，，[]0,4，[]44,8∈，则()2,w x ⎡=⎣，()w x 的值域为[2，故选项D 正确， 故选：CD 【点睛】方法点睛：求函数值域常用的方法（1）观察法：一些简单的函数，值域可以通过观察法得到；（2）利用常见函数的值域：一次函数值域为R ；二次函数利用配方法，结合定义域求出值域；反比例函数的值域为{}|0y y ≠；指数函数的值域为{}|0y y >；对数函数值域为R ；正、余弦函数的值域为[]1,1-；正切函数值域为R ；（3）单调性法：先判断函数的单调性，再由函数的单调性求函数的值域； （4）分离常数法：将有理分式转化为反比例函数类的形式，便于求值域；（5）换元法：对于一些无理函数如y ax b =±±数，通过求有理函数的值域间接求原函数的值域；（6）不等式法：利用几个重要的不等式及其推论来求最值，进而求得值域，如222a b ab +≥，a b +≥，以及绝对值三角不等式等；（7）判别式法：把函数解析式化为关于x 的一元二次方程，利用判别式求值域，形如2y Ax B axbx c =+++或22ax bx c y dx ex f++=++的函数适用； （8）有界性法：充分利用三角函数或一些代数表达式的有界性，求出值域； （9）配方法：求二次函数型函数值域的基本方法，形如()()()()20F x a f x bf x c a =++≠⎡⎤⎣⎦的函数求值域，均可使用配方法；（10）数形结合法：若函数的解析式的几何意义较明显，如距离、斜率等可使用数形结合法；（11）导数法：利用导数求函数值域时，一种是利用导数判断函数的单调性，进而根据单调性求函数的值域；一种是利用导数与极值、最值的关系求函数的值域.16．已知函数222,0()log ,0x x x f x x x ⎧--≤⎪=⎨>⎪⎩，若x 1<x 2<x 3<x 4，且f (x 1)＝f (x 2)＝f (x 3)＝f (x 4)，则下列结论正确的是（ ） A ．x 1＋x 2＝－1 B ．x 3x 4＝1 C ．1<x 4<2 D ．0<x 1x 2x 3x 4<1【答案】BCD 【分析】由解析式得到函数图象，结合函数各分段的性质有122x x +=-，341x x =，341122x x <<<<，即可知正确选项. 【详解】由()f x 函数解析式可得图象如下：∴由图知：122x x +=-，121x -<<-，而当1y =时，有2|log |1x =，即12x =或2， ∴341122x x <<<<，而34()()f x f x =知2324|log ||log |x x =：2324log log 0x x +=， ∴341x x =，21234121(1)1(0,1)x x x x x x x ==-++∈.故选：BCD 【点睛】关键点点睛：利用分段函数的性质确定函数图象，由二次函数、对数运算性质确定1234,,,x x x x 的范围及关系.17．已知函数()2,021,0x x ax x f x x -⎧+≤=⎨->⎩，则（ ）A ．()f x 的值域为()1,-+∞B ．当0a ≤时，()()21f x f x >+C ．当0a >时，存在非零实数0x ，满足()()000f x f x -+=D ．函数()()g x f x a =+可能有三个零点 【答案】BC 【分析】A ．考虑2a =时的情况，求解出各段函数值域再进行判断；B ．先根据条件分析()f x 的单调性，再根据21x +与x 的大小关系进行判断；C ．作出222,,y x ax y x ax y x ax =+=-+=-+的函数图象，根据图象的对称性进行分析判断；D ．根据条件先分析出()0,1a ∈，再根据有三个零点确定出a 满足的不等式，由此判断出a 是否有解，并判断结论是否正确.【详解】A ．当0x >时，21011x y -=->-=-，当0x ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭，取2a =，此时()2111y x =+-≥-，所以此时的值域为[)1,-+∞，故A 错误；B ．当0a ≤时，22224a a y x ax x ⎛⎫=+=+- ⎪⎝⎭的对称轴为02a x =-≥，所以()f x 在(],0-∞上单调递减，又因为()f x 在()0,∞+上单调递减，且200021a -+⨯=-，所以()f x 在R 上单调递减，又因为22131024x x x ⎛⎫+-=-+> ⎪⎝⎭，所以21x x +>，所以()()21f x f x >+，故B 正确；C ．作出函数22,,21x y x ax y x ax y -=+=-+=-的图象如下图所示：由图象可知：22,y x ax y x ax =+=-+关于原点对称，且2y x ax =-+与21x y -=-相交于()00,x y ，因为点()00,x y 在函数2y x ax =-+的图象上，所以点()00,x y --在函数2y x ax =+的图象上，所以()()()00000f x f x y y +-=+-=，所以当0a >时，存在0x 使得()()000f x f x -+=，故C 正确；D ．由题意知：()f x a =-有三个根，所以()f x 不是单调函数，所以0a >， 又因为()211,0xy -=-∈-，所以()1,0a -∈-，所以()0,1a ∈，且22,4a y x ax ⎡⎫=+∈-+∞⎪⎢⎣⎭，若方程有三个根，则有24a a ->-，所以4a >或0a <，这与()0,1a ∈矛盾，所以函数()()g x f x a =+不可能有三个零点，故D 错误， 故选：BC. 【点睛】思路点睛：函数与方程的综合问题，采用数形结合思想能高效解答问题，通过数与形的相互转化能使问题转化为更简单的问题，常见的图象应用的命题角度有： （1）确定方程根的个数； （2）求参数范围； （3）求不等式解集； （4）研究函数性质.18．已知()f x 为定义在R 上且周期为5的函数，当[)0,5x ∈时，()243f x x x =-+.则下列说法中正确的是（ ）A ．()f x 的增区间为()()15,2535,55k k k k ++⋃++，k Z ∈B ．若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1C ．当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4 D ．若()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，则k 的取值范围为12,23⎛⎫ ⎪⎝⎭【答案】BC 【分析】首先作出()f x 的图象几个周期的图象，由于单调区间不能并，可判断选项A 不正确；利用数形结合可判断选项B 、C ；举反例如1k =时经分析可得()20y kx k =->与()y f x =有3个交点，可判断选项D 不正确，进而可得正确选项. 【详解】对于选项A ：单调区间不能用并集，故选项A 不正确；对于选项B ：由图知若y a =与()y f x =在[]5,7-上有10个零点，则a 的范围是()0,1， 故选项B 正确；对于选项C ：()10f =，()43f =，由图知当[]0,x a ∈时，()f x 的值域为[]0,3，则a 的取值范围[]1,4，故选项C 正确；对于选项D ：当1k =时，直线为2y x =-过点()5,3，()f x 也过点()5,3，当10x =时，1028y =-=，直线过点()10,8，而点()10,8不在()f x 图象上，由图知：当1k =时，直线为2y x =-与()y f x =有3个交点，由排除法可知选项D 不正确，故选：BC【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法： （1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围； （2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.19．已知函数ln ,0()1,0x x f x x x ⎧>=⎨+≤⎩，若函数(())y f f x a =+有6个不同零点，则实数a 的可能取值是（ ）A ．0B ．12-C ．1-D ．13-【答案】BD 【分析】分别代入各个选项中a 的值，选解出(())0f f x a +=中的()f x ，然后再根据数形结合可得出答案. 【详解】画出函数,0,()1,0lnx x f x x x ⎧>=⎨+⎩的图象：函数(())y f f x a =+有零点，即方程(())0f f x a +=有根的问题． 对于A ：当0a =时，(())0f f x =，故()1f x =-，()1f x =，故0x =，2x =-，1=x e，x e =， 故方程(())0f f x a +=有4个不等实根； 对于B ：当12a =-时，1(())2f f x =， 故1()2f x =-，()f x e =()f x e =，当1()2f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x=时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 对于C ：当1a =-时，(())1f f x =， 故()0f x =，()f x e =，1()f x e=， 当()0f x =时，由图象可知，有2个根， 当()f x e =时，由图象可知，有2个根， 当1()f x e=时，由图象可知，有3个根， 故方程(())0f f x a +=有7个不等实根； 对于D ：当13a =-时，1(())3f f x =，故2()3f x =-，()f x =()f x ，当2()3f x =-时，由图象可知，有1个根，当()f x =2个根， 当()f x =时，由图象可知，有3个根，故方程(())0f f x a +=有6个不等实根； 故选：BD ． 【点睛】关键点睛：本题的关键一是将问题转化为方程问题，二是先解出()f x 的值，三是根据数形结合得到每一个新的方程的根.20．设函数()f x 是定义在区间I 上的函数，若对区间I 中的任意两个实数12,x x ，都有1212()()(),22x x f x f x f ++≤则称()f x 为区间I 上的下凸函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（ ） A ．()21f x x =-+ B ．()2f x x =-- C ．3()5f x x =+ D ．21()1x f x x +=- 【答案】ACD 【分析】根据函数的解析式，求得1212()()()22x x f x f x f ++=，可判定A 正确；根据特殊值法，可判定B 不正确；根据函数的图象变换，结合函数的图象，可判定C 、D 正确. 【详解】对于A 中，任取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，则1212()()12x x f x x +=-++， 121212()()1(2121)()122f x f x x x x x +=-+-+=-++，可得1212()()()22x x f x f x f ++=，满足1212()()()22++≤x x f x f x f ，所以A 正确； 对于B 中，取1235,22x x ==，则1222x x +=， 可得351()()222f f ==-，所以12()()122f x f x +=-，12()(2)02x x f f +==， 此时1212()()()22x x f x f x f ++>，不符合题意，所以B 不正确； 对于C 中，函数3()5f x x =+，由幂函数3y x =的图象向上移动5个单位，得到函数3()5f x x =+的图象， 如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=， 因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；对于D 中，函数213()211x f x x x +==+-- 由函数3y x =的图象向右平移1个单位，再向上平移2个单位，得到21()1x f x x +=-的图象，如图所示，取12,(1,3)x x ∈且12x x ≠，由图象可得12()2C x x f y +=，12()()2D f x f x y +=，因为D C y y >，所以1212()()()22++≤x x f x f x f ，符合题意，所以是正确的；【点睛】本题主要考查了函数的新定义及其应用，其中解答中正确理解函数的新定义，以及结合函数的图象求解是解答的关键，着重考查了数形结合法，以及推理与运算能力，属于中档试题.。
函数概念与基本初等函数章节综合检测提升试卷(二)附答案人教版新高考分类汇编
得分
三、解答题
17．解答下列各题：（1）请作出下列函数的大致图像
① ；② ．
（2）如图
图甲中阴影部图乙表示的函
分表示的集合为________________；数解析式可以为__________________．
18．已知二次函数 ，满足：（1）图象过原点；
（2） ；（3） 是奇函数
解答下列各题：（1）求 ；（2）证明： ；（3）求 的解析式
，当且仅当 时取等号
13．
14．k》1
15．
16．
评卷人
得分
三、解答题
17．
18．
19．
20．
A．f（x）与g（x）均为偶函数B．f（x）为偶函数，g（x）为奇函数
C．f（x）与g（x）均为奇函数D．f（x）为奇函数，g（x）为偶函数（2020广东理3）
．
4．已知 是定义在R上的单调函数，实数 ，
，若 ，则（）
A． B． C． D． (2020辽宁)
5．设集合 ， 都是 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的 、 （ ）都有 ，( 表示两个数 中的较小者），则 的最大值是（）
A．10B．11C．12D．13(2020湖南)
6．设 是定义在 上的奇函数，当 时， ，则
（A） (B) （Ｃ）１ （Ｄ）３(2020年高考安徽卷理科3)
7．函数 的定义域为R，若 与 都是奇函数，则( D )
(A) 是偶函数(B) 是奇函数
(C) (D) 是奇函数
8．在区间上 不是增函数的是------------------------------------------------------------------------------------（）
2020届高考数学一轮复习单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ提升卷单元检测文含解析新人教A版
单元检测二函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)考生注意：．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共页．．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．．本次考试时间分钟，满分分．．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题共分)一、选择题(本题共小题，每小题分，共分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)．函数()＝＋的定义域为( )．(－∞，] ．(，)∪(，]．(，] ．(，)答案解析要使函数()有意义，则解得<≤且≠.．(·哈尔滨师大附中模拟)与函数＝相同的函数是( )．＝．＝．＝()．＝(>且≠)答案解析中对应关系不同；中定义域不同；中定义域不同；中对应关系，定义域均相同，是同一函数．．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( )．＝－．＝．＝．＝答案解析＝－在其定义域内既不是增函数，也不是减函数；＝在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数；＝在其定义域内既是奇函数，又是增函数；＝在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数．．已知()＝－，则函数()的解析式为( )．()＝－．()＝－．()＝－(≥) ．()＝－(≥)答案解析因为()＝()－()，所以()＝－(≥)．．(·宁夏银川一中月考)二次函数()＝－＋，对称轴＝－，则()的值为( )．－．．．答案解析函数()＝－＋的图象的对称轴为＝－，可得＝－，解得＝－，所以()＝＋＋.则()＝＋＋＝.．若＝，＝π，＝，则( )．>>．>>．>>．>>答案解析因为<<，>，所以＝<，由于>，所以＝>，由<<π，得<＝π<，所以>>.．已知(＋)＝－，则函数()的图象大致为( )答案解析由题意得(＋)＝－＝－，所以()＝－＝.由>，解得定义域为(－∞，－)∪(，＋∞)，故排除.因为(－)＝＝＝－＝－()，所以函数()为奇函数，排除.又()＝<，故排除.．已知函数()＝－＋，当∈[，]时，()的值域是[－，]，则实数的取值范围是( ) ．(－∞，－) ．(－，]．[－，]．[，]答案解析()＝－(－)＋，所以当＝时，()＝.由()＝－，解得＝或＝－.所以要使函数()在区间[，]上的值域是[－，]，则－≤≤.．(·南昌模拟)已知函数()的图象关于轴对称，且()在(－∞，]上单调递减，则满足(＋)<的实数的取值范围是( )答案解析由函数()的图象关于轴对称，且()在(－∞，]上单调递减，得()在(，＋∞)上单调递增．又(＋)<，所以＋<，解得－<<－.．(·孝感模拟)设()＝且()＝，则((－))的值为( )．．答案解析∵()＝∴()＝(＋)＝，解得＝.∴(－)＝(＋)＝，((－))＝..如图，在直角梯形中，⊥，＝＝，＝，动点从点出发，由→→→沿边运动，点在上的射影为.设点运动的路程为，△的面积为，则＝()的图象大致是( )答案解析根据题意可得到＝()＝由二次函数和一次函数的图象可知()的图象只能是.．定义在上的函数＝(＋)的图象关于直线＝－对称，且(＋)是偶函数．若当∈[，]时，()＝，则函数＝()与＝－的图象在区间[－， ]上的交点个数为( )．．．．答案解析因为函数＝(＋)的图象关于直线＝－对称，所以函数＝()图象的对称轴为直线＝，故＝()是偶函数，即(－)＝()．又(＋)是偶函数，所以(＋)＝(－＋)．故(＋)＝(－)＝()，所以函数()是周期为的偶函数．又当∈[，]时，()＝，作出＝()与＝的图象，如图所示．结合图象可知在每个周期内，两函数的图象有个交点，所以在区间[－， ]上的交点个数为×＝.第Ⅱ卷(非选择题共分)二、填空题(本题共小题，每小题分，共分．把答案填在题中横线上)．幂函数()＝(－－)223m mx+-在区间(，＋∞)内为增函数，则实数的值为．答案解析根据题意得－－＝，解得＝或＝－.因为当∈(，＋∞)时，()为增函数，所以当＝时，＋－＝，幂函数为()＝，满足题意；当＝－时，＋－＝－，幂函数为()＝－，不满足题意．综上，＝.．已知函数()是定义在上的周期为的奇函数，且当≤<时，()＝＋，()＝，则(－)＋(－)＝. 答案－解析易知(－)＝()＝，由()是奇函数，知()＝，所以＋＝，所以＝－.因为＝＋，所以(－)＝＝－＝－＝－，则(－)＋(－)＝－＝－.．已知函数()＝有三个不同的零点，则实数的取值范围是．答案解析如图，要使函数()的图象和轴有三个交点，则解得<≤.．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设∈，用[]表示不超过的最大整数，则＝[]称为高斯函数．例如：[－]＝－，[]＝.已知函数()＝－，则函数＝[()]＋[(－)]的值域是．答案{－，}解析因为()＝，则(－)＝＝－()，所以()为奇函数．因为函数()＝－＝－，又＋>，所以<<，故－<－<.当()∈时，[()]＝－，[(－)]＝；当()∈时，[()]＝，[(－)]＝－；当()＝时，[()]＝，[(－)]＝.所以函数＝[()]＋[(－)]的值域为{－，}．三、解答题(本题共小题，共分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)．(分)已知函数()＝，为常数，且函数的图象过点(－，)．()求常数的值；()若()＝－－，且存在，使()＝()，求满足条件的的值．解()由已知得－＝，解得＝.()由()知()＝，因为存在，使()＝()，所以－－＝，即－－＝，即－－＝有解，令＝(>)，则－－＝，即(－)(＋)＝，解得＝，即＝，解得＝－，故满足条件的的值为－.．(分)已知函数()＝，∈(－，)．()判断函数()的单调性；()解不等式12log[(－＋)]>12log[()]．解()任取，∈(－，)，且<，则()－()＝－＝＝.∵<，∴－>，又，∈(－，)，∴＋>，＋>，∴()－()>，即()>()．∴函数()＝，∈(－，)为减函数．()由()知函数()在(－，)上为减函数，易知()>，∴12log[(－＋)]>12log[()]等价于(－＋)<()，∴解得<<.故所求不等式的解集为.．(分)小王于年初用万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出万元，假定该车每年的运输收入均为万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第年年底出售，其销售价格为(－)万元(国家规定大货车的报废年限为年)．()大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？()在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解()设大货车运输到第年年底，该车运输累计收入与总支出的差为万元，则＝－[＋(－)]－＝－＋－(<≤，∈*)．由－＋－>，可得－<<＋.又<－<，故大货车运输到第年年底，该车运输累计收入超过总支出．()∵利润＝累计收入＋销售收入－总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为＝＝－≤－＝－＝，当且仅当＝时，等号成立．∴小王应当在第年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．．(分)已知函数()＝(＋)－.()若函数＝()－－没有零点，求实数的取值范围；()若函数()＝()＋＋·－，∈[，]的最小值为，求实数的值．解()函数＝()－－没有零点，即关于的方程(＋)－＝无实数根．令()＝(＋)－，则函数＝()的图象与直线＝无交点．因为()＝(＋)－＝(＋)－＝＝，又＋>，所以()＝>.所以实数的取值范围是(－∞，]．()由题意得()＝＋·，∈[，]．令＝∈[，]，则φ()＝＋，∈[，]．①当－≤，即≥－时，φ()＝φ()＝＋＝，解得＝－；②当<－<，即－<<－时，φ()＝φ＝－＝，解得＝(舍去)．③当－≥，即≤－时，φ()＝φ()＝＋＝，解得＝－(舍去)，综上可知，实数的值为－.。
2020年高考数学(理)一轮复习讲练测专题第二章函数与基本初等函数(单元测试)
第二单元单元测试【满分：100分 时间：90分钟】一、选择题(本大题共12小题，每小题4分，共48分)1．（2019·安徽芜湖一中模拟）若函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，则函数y ＝f (3x ＋2)的值域为( ) A ．[－1,1] B ．[－1,0] C ．[0,1] D ．[2,8]【答案】A【解析】函数y ＝f (x ＋1)的值域为[－1,1]，由于函数中的自变量取定义域内的任意数时，函数的值域都为[－1,1]，故函数y ＝f (3x ＋2)的值域为[－1,1]．故选A.2．（2019·福建双十中学模拟）设函数f (x )＝lg(1－x )，则函数f [f (x )]的定义域为( ) A ．(－9，＋∞) B ．(－9,1) C ．[－9，＋∞) D ．[－9,1)【答案】B【解析】 f [f (x )]＝f [lg(1－x )]＝lg[1－lg(1－x )]，其定义域为⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，1－lg(1－x )>0的解集，解得－9＜x ＜1，所以f [f (x )]的定义域为(－9,1)．故选B.3．（2019·浙江镇海中学模拟）已知函数y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则实数a 的取值范围是( ) A ．(0,1] B ．[1,2] C ．[1，＋∞) D ．[2，＋∞)【答案】C【解析】要使y ＝log 2(ax －1)在(1,2)上单调递增，则a >0且a －1≥0，∴a ≥1.故选C.4．（2019·河北唐山一中模拟）奇函数f (x )的定义域为R.若f (x ＋2)为偶函数，且f (1)＝1，则f (8)＋f (9)＝( )A ．－2B ．－1C ．0D ．1 【答案】D【解析】由函数f (x ＋2)为偶函数可得，f (2＋x )＝f (2－x )．又f (－x )＝－f (x )，故f (2－x )＝－f (x －2)， 所以f (2＋x )＝－f (x －2)，即f (x ＋4)＝－f (x )． 所以f (x ＋8)＝－f (x ＋4)＝f (x )， 故该函数是周期为8的周期函数． 又函数f (x )为奇函数，故f (0)＝0. 所以f (8)＋f (9)＝f (0)＋f (1)＝0＋1＝1.5．（2019·江苏启东中学模拟）已知定义在R 上的奇函数f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，且在区间[0,2]上是增函数，则( )A ．f (－25)＜f (11)＜f (80)B ．f (80)＜f (11)＜f (－25)C ．f (11)＜f (80)＜f (－25)D ．f (－25)＜f (80)＜f (11)【答案】D【解析】∵f (x )满足f (x －4)＝－f (x )，∴f (x －8)＝f (x )，∴函数f (x )是以8为周期的周期函数，则f (－25)＝f (－1)，f (80)＝f (0)，f (11)＝f (3)． 由f (x )是定义在R 上的奇函数，且满足f (x －4)＝－f (x )，得f (11)＝f (3)＝－f (－1)＝f (1)． ∵f (x )在区间[0,2]上是增函数，f (x )在R 上是奇函数， ∴f (x )在区间[－2,2]上是增函数， ∴f (－1)＜f (0)＜f (1)， 即f (－25)＜f (80)＜f (11)．6．（2019·江西高安中学模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧2－x －1，x ≤0，f (x －1)，x ＞0，若方程f (x )＝x ＋a 有且只有两个不相等的实数根，则实数a 的取值范围为( )A ．(－∞，0]B ．[0,1)C ．(－∞，1)D ．[0，＋∞)【答案】C【解析】当x ＞0时，f (x )＝f (x －1)，所以f (x )是以1为周期的函数．又当0＜x ≤1时，x －1≤0，所以f (x )＝f (x －1)＝21－x －1＝2⎝⎛⎭⎫12x －1.方程f (x )＝x ＋a 的根的个数可看成是两个函数y ＝f (x )与y ＝x ＋a 的图象的交点个数，画出函数的图象，如图所示，由图象可知实数a 的取值范围是(－∞，1)．7．（2019·河南师大附中模拟）已知在(－∞，1]上递减的函数f (x )＝x 2－2tx ＋1，且对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤2，则实数t 的取值范围为( )A ．[－2，2]B ．[1，2]C ．[2,3]D ．[1,2]【答案】B【解析】由于函数f (x )＝x 2－2tx ＋1的图象的对称轴为x ＝t ， 函数f (x )＝x 2－2tx ＋1在区间(－∞，1]上单调递减， 所以t ≥1.则在区间[0，t ＋1]上，0距对称轴x ＝t 最远，故要使对任意的x 1，x 2∈[0，t ＋1]，都有|f (x 1)－f (x 2)|≤2， 只要f (0)－f (t )≤2即可，即1－(t 2－2t 2＋1)≤2， 求得－2≤t ≤ 2.再结合t ≥1，可得1≤t ≤ 2.故选B.8. （2019·广东 惠州一中模拟） 已知f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(2－a )x ＋1，x ＜1，a x ，x ≥1满足对任意x 1≠x 2，都有f x 1－f x 2x 1－x 2＞0成立，那么a 的取值范围是( )A ．(1,2) B.⎝⎛⎦⎤1，32 C.⎣⎡⎭⎫32，2 D.⎝⎛⎭⎫32，2【答案】C【解析】由已知条件得f (x )为增函数， 所以⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＞0，a ＞1，(2－a )×1＋1≤a ，解得32≤a ＜2，所以a 的取值范围是⎣⎡⎭⎫32，2.故选C.9．（2019·湖北 荆州中学模拟）已知点A (1,0)，点B 在曲线G ：y ＝ln x 上，若线段AB 与曲线M ：y ＝1x相交且交点恰为线段AB 的中点，则称B 为曲线G 关于曲线M 的一个关联点．那么曲线G 关于曲线M 的关联点的个数为( )A ．0B ．1C ．2D ．4【答案】B【解析】设B (x 0，ln x 0)，x 0＞0，线段AB 的中点为C ，则C⎝⎛⎭⎫x 0＋12，ln x 02，又点C 在曲线M 上，故ln x 02＝2x 0＋1，即ln x 0＝4x 0＋1.此方程根的个数可以看作函数y ＝ln x 与y ＝4x ＋1的图象的交点个数．画出图象(如图)，可知两个函数的图象只有1个交点．故选B.10．（2019·广西柳州铁一中模拟）已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－x 2－2x ＋3，x ≤1，ln x ，x ＞1，若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是( )A.⎝⎛⎭⎫12，e B.⎣⎡⎭⎫12，e C.⎝⎛⎦⎤12，e e D.⎝⎛⎭⎫12，e e 【答案】D【解析】若关于x 的方程f (x )＝kx －12恰有4个不相等的实数根，则y ＝f (x )的图象和直线y ＝kx －12有4个交点．作出函数y ＝f (x )的图象，如图，故点(1,0)在直线y ＝kx －12的下方．∴k ×1－12＞0，解得k ＞12.当直线y ＝kx －12和y ＝ln x 相切时，设切点横坐标为m ，则k ＝ln m ＋12m ＝1m ，∴m ＝ e.此时，k ＝1m ＝ee ，f (x )的图象和直线y ＝kx －12有3个交点，不满足条件，故所求k 的取值范围是⎝⎛⎭⎫12，ee ，故选D.11．（2019·陕西交大附中模拟）已知定义在R 上的函数y ＝f (x )对任意的x 都满足f (x ＋2)＝f (x )，当－1≤x ＜1时，f (x )＝sin π2x ，若函数g (x )＝f (x )－log a |x |至少有6个零点，则a 的取值范围是( )A.⎝⎛⎦⎤0，15∪(5，＋∞) B.⎝⎛⎭⎫0，15∪[5，＋∞) C.⎝⎛⎦⎤17，15∪(5,7) D.⎝⎛⎭⎫17，15∪[5,7)【答案】A【解析】当a ＞1时，作出函数y ＝f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|＜1，log a |5|＜1，故a ＞5；当0＜a ＜1时，作出函数f (x )与函数y ＝log a |x |的图象，如图所示．结合图象可知⎩⎪⎨⎪⎧log a |－5|≥－1，log a |5|≥－1，故0＜a ≤15.故选A.12. （2019·四川雅安中学模拟）将甲桶中的a L 水缓慢注入空桶乙中，t min 后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲线y ＝a e nt .假设过5 min 后甲桶和乙桶的水量相等，若再过m min 甲桶中的水只有a4 L ，则m 的值为( )A.5B.8C.9D.10【答案】A【解析】∵5 min 后甲桶和乙桶的水量相等， ∴函数y ＝f (t )＝a e nt 满足f (5)＝a e 5n ＝12a ， 可得n ＝15ln 12，∴f (t )＝a ·⎝⎛⎭⎫12t5，因此，当k min 后甲桶中的水只有a4 L 时， f (k )＝a ·⎝⎛⎭⎫12k 5＝14a ，即⎝⎛⎭⎫12k 5＝14， ∴k ＝10，由题可知m ＝k －5＝5. 二、填空题(本大题共4小题，共16分)13．（2019·海南加积中学模拟）函数y ＝x ＋－x 2＋10x －23的最小值为________． 【答案】5－ 2【解析】原函数可化为：y ＝x ＋2－x －52.由2－(x －5)2≥0⇒|x －5|≤2， 令x －5＝2cos α，那么|2cos α|≤2⇒|cos α|≤1⇒0≤α≤π， 于是y ＝2cos α＋5＋2sin α＝2sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4＋5. 因为α＋π4∈⎣⎡⎦⎤π4，5π4，所以sin ⎝⎛⎭⎫α＋π4∈⎣⎡⎦⎤－22，1， 所以函数的最小值为5－ 2.14．（2019·广东广雅中学模拟）对于函数f (x )，如果存在x 0≠0，使得f (x 0)＝－f (－x 0)，则称(x 0，f (x 0))与(－x 0，f (－x 0))为函数图象的一组奇对称点．若f (x )＝e x －a (e 为自然对数的底数)的图象上存在奇对称点，则实数a 的取值范围是________．【答案】(1，＋∞)【解析】依题意，知f (x )＝－f (－x )有非零解，由f (x )＝－f (－x )得，e x －a ＝－(e －x －a )，即a ＝12⎝⎛⎭⎫e x ＋1e x ＞1(x ≠0)，所以当f (x )＝e x －a 存在奇对称点时，实数a 的取值范围是(1，＋∞)．15．（2019·江西南昌十中模拟）定义：如果在函数y ＝f (x )定义域内的给定区间[a ，b ]上存在x 0(a ＜x 0＜b )，满足f (x 0)＝f （b ）－f （a ）b －a ，则称函数y ＝f (x )是[a ，b ]上的“平均值函数”，x 0是它的一个均值点，如y＝x 4是[－1,1]上的平均值函数，0就是它的均值点．现有函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数，则实数m 的取值范围是________．【答案】(0,2)【解析】因为函数f (x )＝－x 2＋mx ＋1是[－1,1]上的平均值函数， 设x 0为均值点，所以f （1）－f （－1）1－（－1）＝m ＝f (x 0)，即关于x 0的方程－x 20＋mx 0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得x 0＝1或x 0＝m －1. 所以必有－1＜m －1＜1，即0＜m ＜2， 所以实数m 的取值范围是(0,2)．16. （2019·河北辛集中学模拟）函数f (x )＝x ＋1x 的图象与直线y ＝kx ＋1交于不同的两点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)，则y 1＋y 2＝________.【答案】2【解析】因为f (x )＝x ＋1x ＝1x ＋1，所以f (x )的图象关于点(0，1)对称，而直线y ＝kx ＋1过(0，1)点，故两图象的交点(x 1，y 1)，(x 2，y 2)关于点(0，1)对称，所以y 1＋y 22＝1，即y 1＋y 2＝2.三、解答题(本大题共3小题，共36分)17．（12分）（2019·浙江温州中学模拟）设a ＞0，且a ≠1，函数y ＝a 2x ＋2a x －1在[－1,1]上的最大值是14，求实数a 的值．【解析】令t ＝a x (a ＞0，且a ≠1)， 则原函数化为y ＝f (t )＝(t ＋1)2－2(t ＞0)． ①当0＜a ＜1，x ∈[－1,1]时，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤a ，1a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤a ，1a 上为增函数． 所以f (t )max ＝f ⎝⎛⎭⎫1a ＝⎝⎛⎭⎫1a ＋12－2＝14.所以⎝⎛⎭⎫1a ＋12＝16，解得a ＝－15(舍去)或a ＝13. ②当a ＞1时，x ∈[－1,1]，t ＝a x ∈⎣⎡⎦⎤1a ，a ， 此时f (t )在⎣⎡⎦⎤1a ，a 上是增函数． 所以f (t )max ＝f (a )＝(a ＋1)2－2＝14， 解得a ＝3或a ＝－5(舍去)． 综上得a ＝13或3.18．（12分）（2019·河北石家庄二中模拟）已知二次函数f (x )的最小值为－4，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}．(1)求函数f (x )的解析式；(2)求函数g (x )＝f xx －4ln x 的零点个数．【解析】(1)因为f (x )是二次函数，且关于x 的不等式f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤3，x ∈R}， 所以f (x )＝a (x ＋1)(x －3)＝ax 2－2ax －3a ，且a ＞0. 所以f (x )min ＝f (1)＝－4a ＝－4，a ＝1. 故函数f (x )的解析式为f (x )＝x 2－2x －3.(2)因为g (x )＝x 2－2x －3x －4ln x ＝x －3x －4ln x －2(x ＞0)， 所以g ′(x )＝1＋3x 2－4x ＝（x －1）（x －3）x 2. 令g ′(x )＝0，得x 1＝1，x 2＝3.当x 变化时，g ′(x )，g (x )的取值变化情况如下：当0＜x ≤3时，g (x )≤g (1)＝－4＜0.又因为g (x )在(3，＋∞)上单调递增，因而g (x )在(3，＋∞)上只有1个零点． 故g (x )在(0，＋∞)上只有1个零点．19．（12分）（2019·安徽淮北一中模拟）已知某工厂每天固定成本是4万元，每生产一件产品成本增加100元，工厂每件产品的出厂价定为a 元时，生产x (x ＞0)件产品的销售收入是R (x )＝－14x 2＋500x (元)，P (x )为每天生产x 件产品的平均利润(平均利润＝总利润总产量)．销售商从工厂以每件a 元进货后，又以每件b 元销售，且b ＝a ＋λ(c －a )，其中c 为最高限价(a ＜b ＜c )，λ为销售乐观系数，据市场调查，λ由当b －a 是c －b ，c －a 的比例中项时来确定．(1)每天生产量x 为多少时，平均利润P (x )取得最大值？并求P (x )的最大值； (2)求乐观系数λ的值；(3)若c ＝600，当厂家平均利润最大时，求a 与b 的值．【解析】 (1)依题意设总利润为L (x )，则L (x )＝－14x 2＋500x －100x －40 000＝－14x 2＋400x －40 000(x ＞0)，∴P (x )＝－14x 2＋400x －40 000x ＝－14x －40 000x ＋400≤－200＋400＝200，当且仅当14x ＝40 000x ，即x ＝400时等号成立．故当每天生产量为400件时，平均利润最大，最大值为200元． (2)由b ＝a ＋λ(c －a )，得λ＝b －ac －a. ∵b －a 是c －b ，c －a 的比例中项， ∴(b －a )2＝(c －b )(c －a )，两边同时除以(b －a )2，得1＝（c －a ）－（b －a ）b －a ·c －a b －a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫c －a b －a －1c －ab －a，∴1＝⎝⎛⎭⎫1λ－1·1λ，解得λ＝5－12或λ＝－5－12(舍去)．故乐观系数λ的值为5－12.(3)∵厂家平均利润最大，∴a ＝40 000x ＋100＋P (x )＝40 000400＋100＋200＝400. 由b ＝a ＋λ(c －a )，结合(2)可得b －a ＝λ(c －a )＝100(5－1)， ∴b ＝100(5＋3)．故a 与b 的值分别为400,100(5＋3)．。
函数概念与基本初等函数章节综合检测提升试卷(二)含答案人教版新高考分类汇编
高中数学专题复习《函数的概念与基本初等函数》单元过关检测经典荟萃，匠心巨制！独家原创，欢迎下载！注意事项：1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2．请将答案正确填写在答题卡上第I 卷（选择题）请点击修改第I 卷的文字说明 评卷人得分 一、选择题1．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）A. R x x y ∈-=,3B. R x x y ∈=,sinC. R x x y ∈=,D. R x x y ∈=,)21((2020广东)2．给出下列三个命题：①函数11c o s ln 21cos x y x -=+与ln tan 2x y =是同一函数；②若函数()y f x =与()y g x =的图像关于直线y x =对称，则函数()2y f x =与()12y g x =的图像也关于直线y x =对称； ③若奇函数()f x 对定义域内任意x 都有()(2)f x f x =-，则()f x 为周期函数。
其中真命题是（ ）CA. ①②B. ①③C.②③D. ②（2020江西理9）3．若函数f （x ）=3x +3-x 与g （x ）=3x -3-x 的定义域均为R ，则（ ）A ．f （x ）与g （x ）均为偶函数B ． f （x ）为偶函数，g （x ）为奇函数C ．f （x ）与g （x ）均为奇函数D ． f （x ）为奇函数，g （x ）为偶函数（2020广东理3） ()33(),()33()x x x x f x f x g x g x ---=+=-=-=-．4．已知)(x f y =是定义在R 上的单调函数，实数21x x ≠，,1,121λλλ++=-≠x x a λλβ++=112x x ，若|)()(||)()(|21βαf f x f x f -<-，则 （ ）A ．0<λB ．0=λC ．10<<λD ．1≥λ(2020辽宁)5．设集合{}6,5,4,3,2,1=M ，k S S S ,,,21 都是M 的含有两个元素的子集，且满足：对任意的{}i i i b a S ,=、{}j j j b a S ,=（{}k j i j i ,,3,2,1,, ∈≠）都有⎪⎭⎪⎬⎫⎪⎩⎪⎨⎧≠⎭⎬⎫⎩⎨⎧j j j j i i i i a b b a a b b a ,min ,min ， ({}y x ,m in 表示两个数y x ,中的较小者），则k 的最大值是（ ）A ．10B ．11C ．12D ．13(2020湖南) 6．设()f x 是定义在R 上的奇函数，当x ≤0时，()f x x x 2=2-，则()f 1=（A ）-3 (B) -1 （Ｃ）１ （Ｄ）３(2020年高考安徽卷理科3)7．函数()f x 的定义域为R ，若(1)f x +与(1)f x -都是奇函数，则( D )(A) ()f x 是偶函数 (B) ()f x 是奇函数(C) ()(2)f x f x =+ (D) (3)f x +是奇函数8．在区间上),(+∞0不是增函数的是------------------------------------------------------------------------------------（ ）(A) 12+=x y (B) 132+=x y (C) xy 2= (D) 122++=x x y 9．已知(1)1f x x -=-，则()f x =_____________.10．已知二次函数2()(0)f x x x a a =++>，若()0f m <，则(1)f m +的值（ ）（A ）正数 （B ）负数 （C ）零 （D ）符号与a 有关 第II 卷（非选择题）请点击修改第II 卷的文字说明 评卷人得分 二、填空题11．设函数()f x 是定义在R 上的奇函数，若当(0,)x ∈+∞时，()lg f x x =，则满足()0f x >的x 的取值范围是 ▲ ．12． 已知二次函数)(2)(2R x c x ax x f ∈++=的值域为),0[∞+，则)1(f 的最小值为_____.13．已知定义域为R 的偶函数()f x 在(],0-∞上是减函数，且1()22f =，则不等式4(log )2f x >的解集为 ．14．已知函数268y kx kx k =-++的值域为[)0,+∞，则k 的取值范围是 .15．若)(x f 为偶函数且在（0,∞-）上是减函数，又0)2(=-f ,则0)(<⋅x f x 的解集为____________.16．若()f x 是R 上的偶函数，()g x 是R 上的奇函数，且()(1)g x f x =-，当(2)2f =时，(2006)f 的值为__________________ 评卷人得分 三、解答题17．解答下列各题：（1）请作出下列函数的大致图像①⎪⎩⎪⎨⎧≥<-=0,0,12x x x x y ； ②11log 3+=x y ．（2）如图图甲中阴影部 图乙表示的函分表示的集合为________________； 数解析式可以为__________________．18．已知二次函数c bx ax x f ++=2)(，满足：（1）图象过原点；（2） )1()1(x f x f +=-； （3）2)()(x x f x g -=是奇函数解答下列各题：（1）求c ； （2）证明：a b 2-=； （3）求)(x f 的解析式（甲） （乙）19．已知二次函数)(x f 满足)2()2(x f x f +=-，其图象交x 轴于)0,1(-A 和B 两点，图象的顶点为C ，若ABC ∆的面积为18，求此二次函数的解析式.20．已知()y f x =是奇函数，在(0,)+∞上增函数，且()0f x <，那么1()()F x f x =在(,0)-∞上单调性如何？证明你的结论．【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除评卷人得分 一、选择题1．A2．ABCF解析：高☆考♂资♀源*网考查相同函数、函数对称性的判断、周期性知识。
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单元检测二 函数概念与基本初等函数Ⅰ(提升卷)考生注意：1．本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共4页．2．答卷前，考生务必用蓝、黑色字迹的钢笔或圆珠笔将自己的姓名、班级、学号填写在相应位置上．3．本次考试时间100分钟，满分130分． 4．请在密封线内作答，保持试卷清洁完整．第Ⅰ卷(选择题 共60分)一、选择题(本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1．函数f (x )＝3x21－x＋lg(3x ＋1)的定义域是( ) A ．(－∞，1)B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，1D.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，＋∞ 答案 B解析 要使函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧1－x >0，3x ＋1>0，解得－13<x <1，所以函数f (x )的定义域为⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，1. 2．(2019·哈尔滨师大附中模拟)与函数y ＝x 相同的函数是( ) A ．y ＝x 2B ．y ＝x 2xC ．y ＝(x )2D ．y ＝log a a x(a >0且a ≠1)答案 D解析 A 中对应关系不同；B 中定义域不同；C 中定义域不同；D 中对应关系，定义域均相同，是同一函数．3．下列函数在其定义域内既是奇函数，又是增函数的是( ) A ．y ＝－1xB ．y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12xC ．y ＝x 3D ．y ＝log 2x答案 C解析 y ＝－1x 在其定义域内既不是增函数，也不是减函数；y ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数；y ＝x 3在其定义域内既是奇函数，又是增函数；y ＝log 2x 在其定义域内既不是偶函数，也不是奇函数．4．已知f (x )＝x －x 2，则函数f (x )的解析式为( ) A ．f (x )＝x 2－x 4B ．f (x )＝x －x 2C ．f (x )＝x 2－x 4(x ≥0) D ．f (x )＝x －x (x ≥0)答案 C解析 因为f (x )＝(x )2－(x )4， 所以f (x )＝x 2－x 4(x ≥0)．5．(2019·宁夏银川一中月考)二次函数f (x )＝4x 2－mx ＋5，对称轴x ＝－2，则f (1)的值为( )A ．－7B ．17C ．1D ．25 答案 D解析 函数f (x )＝4x 2－mx ＋5的图象的对称轴为x ＝－2， 可得m8＝－2，解得m ＝－16，所以f (x )＝4x 2＋16x ＋5.则f (1)＝4＋16＋5＝25.6．若a ＝30.3，b ＝log π3，c ＝log 0.3e ，则( ) A ．a >b >c B ．b >a >c C ．c >a >b D ．b >c >a答案 A解析 因为0<0.3<1，e>1， 所以c ＝log 0.3e<0，由于0.3>0，所以a ＝30.3>1， 由1<3<π，得0<b ＝log π3<1， 所以a >b >c .7．已知f (x ＋1)＝－lnx ＋3x －1，则函数f (x )的图象大致为( )答案 A解析 由题意得f (x ＋1)＝－ln x ＋3x －1＝－ln (x ＋1)＋2(x ＋1)－2，所以f (x )＝－ln x ＋2x －2＝ln x －2x ＋2. 由x －2x ＋2>0，解得定义域为(－∞，－2)∪(2，＋∞)，故排除B. 因为f (－x )＝ln －x －2－x ＋2＝ln x ＋2x －2＝－lnx －2x ＋2＝－f (x )， 所以函数f (x )为奇函数，排除C.又f (3)＝ln 15<0，故排除D.8．已知函数f (x )＝－x 2＋4x ，当x ∈[m,5]时，f (x )的值域是[－5,4]，则实数m 的取值范围是( ) A ．(－∞，－1) B ．(－1,2] C ．[－1,2] D ．[2,5]答案 C解析 f (x )＝－(x －2)2＋4， 所以当x ＝2时，f (2)＝4.由f (x )＝－5，解得x ＝5或x ＝－1.所以要使函数f (x )在区间[m,5]上的值域是[－5,4]， 则－1≤m ≤2.9．(2018·南昌模拟)已知函数f (x )的图象关于y 轴对称，且f (x )在(－∞，0]上单调递减，则满足f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12的实数x 的取值范围是( ) A.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，－16B.⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－16C.⎣⎢⎡⎭⎪⎫－13，－16D.⎝ ⎛⎭⎪⎫－13，－16答案 B解析 由函数f (x )的图象关于y 轴对称， 且f (x )在(－∞，0]上单调递减， 得f (x )在(0，＋∞)上单调递增．又f (3x ＋1)<f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以|3x ＋1|<12，解得－12<x <－16.10．(2018·孝感模拟)设f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，且f (1)＝6，则f (f (－2))的值为( )A ．12B ．18C.112D.118答案 A解析 ∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 3(x 2＋t )，x <0，2(t ＋1)x，x ≥0，∴f (1)＝2(t ＋1)＝6，解得t ＝2.∴f (－2)＝log 3(4＋2)＝log 36，f (f (－2))＝12.11.如图，在直角梯形ABCD 中，AB ⊥BC ，AD ＝DC ＝2，CB ＝2，动点P 从点A 出发，由A →D →C →B 沿边运动，点P 在AB 上的射影为Q .设点P 运动的路程为x ，△APQ 的面积为y ，则y ＝f (x )的图象大致是( )答案 D解析 根据题意可得到y ＝f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧14x 2，0≤x ≤2，22x ＋1－2，2<x <4，－2＋22(x －4－2)，4≤x ≤4＋2，由二次函数和一次函数的图象可知f (x )的图象只能是D.12．(2019·成都龙泉驿区一中模拟)已知f (x )是定义在R 上的奇函数，满足f (x )＋f (2－x )＝0，且当x ∈[0,1)时，f (x )＝ln ⎝⎛⎭⎪⎫e x＋x x ＋1，则函数g (x )＝f (x )＋13x 在区间[－6,6]上的零点个数是( ) A ．4B ．5C ．6D ．7 答案 B解析 由f (x )＋f (2－x )＝0，令x ＝1，则f (1)＝0， ∵f (x )＋f (2－x )＝0，∴f (x )的图象关于点(1,0)对称， 又f (x )是定义在R 上的奇函数， ∴f (x )＝－f (2－x )＝f (x －2)， ∴f (x )是周期为2的函数． 当x ∈[0,1)时，f (x )＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x ＋x x ＋1＝ln ⎝ ⎛⎭⎪⎫e x－1x ＋1＋1为增函数，画出f (x )及y ＝－13x 在[0,6]上的图象如图所示，经计算，结合图象易知，函数f (x )的图象与直线y ＝－13x 在[0,6]上有3个不同的交点，由函数的奇偶性可知，函数g (x )＝f (x )＋13x 在区间[－6,6]上的零点个数是5.第Ⅱ卷(非选择题 共70分)二、填空题(本题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)13．幂函数f (x )＝(m 2－m －1)xm 2＋2m －3在区间(0，＋∞)内为增函数，则实数m 的值为________． 答案 2解析 根据题意得m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1. 因为当x ∈(0，＋∞)时，f (x )为增函数，所以当m ＝2时，m 2＋2m －3＝5，幂函数为f (x )＝x 5，满足题意； 当m ＝－1时，m 2＋2m －3＝－4，幂函数为f (x )＝x －4，不满足题意． 综上，m ＝2.14．已知函数f (x )是定义在R 上的周期为2的奇函数，且当0≤x <1时，f (x )＝2x＋a ，f (1)＝0，则f (－3)＋f (14－log 27)＝________. 答案 －34解析 易知f (－3)＝f (1)＝0， 由f (x )是奇函数，知f (0)＝0， 所以20＋a ＝0，所以a ＝－1.因为log 27＝2＋log 274，所以f (14－log 27)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－log 274＝－f ⎝ ⎛⎭⎪⎫log 274 ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫74－1＝－34，则f (－3)＋f (14－log 27)＝0－34＝－34.15．已知λ∈R ，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧|x ＋1|，x <0，lg x ，x >0，g (x )＝x 2－4x ＋1＋4λ，若关于x 的方程f (g (x ))＝λ有6个解，则λ的取值范围为________．答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫0，25解析 函数f (x )在(－∞，－1]上单调递减，在[－1,0)和(0，＋∞)上单调递增，f (x )的图象如图所示．由于方程g (x )＝n 最多只有两解， 因此由题意f (n )＝λ有三解，所以0<λ<1且三解n 1，n 2，n 3满足n 1<－1，－1<n 2<0，n 3>1，n 1＝－1－λ， 所以g (x )＝x 2－4x ＋1＋4λ＝－1－λ有两解， (x －2)2＝－5λ＋2>0，λ<25，所以0<λ<25.16．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设x ∈R ，用[x ]表示不超过x 的最大整数，则y ＝[x ]称为高斯函数．例如：[－3.5]＝－4，[2.1]＝2.已知函数f (x )＝e x1＋e x －12，则函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域是________．答案 {－1,0}解析 因为f (x )＝e x－12(e x ＋1)，则f (－x )＝1－ex2(1＋e x )＝－f (x )，所以f (x )为奇函数．因为函数f (x )＝e x 1＋e x －12＝12－1e x＋1， 又e x＋1>1，所以0<1e x ＋1<1，故－12<12－1e x ＋1<12.当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，0时，[f (x )]＝－1，[f (－x )]＝0； 当f (x )∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，12时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝－1； 当f (x )＝0时，[f (x )]＝0，[f (－x )]＝0. 所以函数y ＝[f (x )]＋[f (－x )]的值域为{－1,0}．三、解答题(本题共4小题，共50分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)17．(12分)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12ax，a 为常数，且函数的图象过点(－1,2)．(1)求常数a 的值；(2)若g (x )＝4－x－2，且存在x ，使g (x )＝f (x )，求满足条件的x 的值．解 (1)由已知得⎝ ⎛⎭⎪⎫12－a＝2，解得a ＝1.(2)由(1)知f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x，因为存在x ，使g (x )＝f (x )，所以4－x－2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ，即⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0， 即⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫12x 2－⎝ ⎛⎭⎪⎫12x－2＝0有解，令⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＝t (t >0)，则t 2－t －2＝0， 即(t －2)(t ＋1)＝0，解得t ＝2，即⎝ ⎛⎭⎪⎫12x＝2，解得x ＝－1，故满足条件的x 的值为－1.18．(12分)已知函数f (x )＝x 2－2ax ＋5(a >1)．(1)若函数f (x )的定义域和值域为[1，a ]，求实数a 的值；(2)若f (x )在区间(－∞，2]上是减函数，且对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]，总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4，求实数a 的取值范围．解 (1)∵f (x )＝x 2－2ax ＋5在(－∞，a ]上是减函数， ∴f (x )＝x 2－2ax ＋5在[1，a ]上单调递减， 根据题意得⎩⎪⎨⎪⎧f (1)＝a ，f (a )＝1，解得a ＝2.(2)∵f (x )在(－∞，2]上是减函数，∴a ≥2.综合(1)知f (x )在[1，a ]上单调递减，在[a ，a ＋1]上单调递增， ∴当x ∈[1，a ＋1]时，f (x )min ＝f (a )＝5－a 2，f (x )max ＝max{f (1)，f (a ＋1)}．又f (1)－f (a ＋1)＝6－2a －(6－a 2)＝a (a －2)≥0， ∴f (x )max ＝f (1)＝6－2a . ∵对任意的x 1，x 2∈[1，a ＋1]， 总有|f (x 1)－f (x 2)|≤4， ∴f (x )max －f (x )min ≤4，即6－2a －(5－a 2)≤4，整理得a 2－2a －3≤0， 解得－1≤a ≤3，又a ≥2，∴2≤a ≤3. 故实数a 的取值范围是[2,3]．19．(13分)小王于年初用50万元购买一辆大货车，第一年因缴纳各种费用需支出6万元，从第二年起，每年都比上一年增加支出2万元，假定该车每年的运输收入均为25万元．小王在该车运输累计收入超过总支出后，考虑将大货车作为二手车出售，若该车在第x 年年底出售，其销售价格为(25－x )万元(国家规定大货车的报废年限为10年)． (1)大货车运输到第几年年底，该车运输累计收入超过总支出？(2)在第几年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大？(利润＝累计收入＋销售收入－总支出)解 (1)设大货车运输到第x 年年底，该车运输累计收入与总支出的差为y 万元，则y ＝25x －[6x ＋x (x －1)]－50＝－x 2＋20x －50(0<x ≤10，x ∈N *)．由－x 2＋20x －50>0，可得10－52<x <10＋5 2.又2<10－52<3，故大货车运输到第3年年底，该车运输累计收入超过总支出．(2)∵利润＝累计收入＋销售收入－总支出，∴二手车出售后，小张的年平均利润为y ＝y ＋(25－x )x ＝19－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋25x ≤19－2x ×25x ＝19－10＝9，当且仅当x ＝5时，等号成立．∴小王应当在第5年年底将大货车出售，能使小王获得的年平均利润最大．20．(13分)已知函数f (x )定义在区间(－1,1)内，且满足下列两个条件： ①对任意x ，y ∈(－1,1)，都有f (x )＋f (y )＝f ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy ； ②当x ∈(－1,0)时，有f (x )>0.(1)求f (0)，并证明函数f (x )在区间(－1,1)内是奇函数；(2)验证函数f (x )＝lg 1－x 1＋x是否满足这些条件； (3)若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，试求函数F (x )＝f (x )＋12的零点． 解 (1)令x ＝y ＝0，则f (0)＋f (0)＝f (0)，所以f (0)＝0.令y ＝－x ，则f (x )＋f (－x )＝f (0)＝0，所以f (－x )＝－f (x )，又f (x )的定义域(－1,1)关于坐标原点对称，所以函数f (x )在区间(－1,1)内是奇函数．(2)由1－x 1＋x>0，得－1<x <1， 所以函数f (x )的定义域为(－1,1)．①f (x )＋f (y )＝lg 1－x 1＋x ＋lg 1－y 1＋y＝lg ⎝ ⎛⎭⎪⎫1－x 1＋x ·1－y 1＋y ＝lg 1－x －y ＋xy 1＋x ＋y ＋xy ＝lg 1－x ＋y 1＋xy 1＋x ＋y 1＋xy＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋y 1＋xy .②当－1<x <0时，0<1＋x <1<1－x ，所以1－x1＋x >1，所以lg 1－x1＋x >0.故函数f (x )＝lg 1－x1＋x 满足这些条件．(3)设－1<x 1<x 2<0，则f (x 1)－f (x 2)＝f (x 1)＋f (－x 2)＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2.因为－1<x 1<x 2<0，所以x 1－x 2<0,0<x 1x 2<1，所以x 1－x 21－x 1x 2<0.由条件②知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x 1－x 21－x 1x 2>0，所以f (x 1)－f (x 2)>0，所以f (x 1)>f (x 2)， 故f (x )在区间(－1,0)内为减函数．由奇函数性质可知，f (x )在区间(0,1)内仍是减函数， 所以f (x )在区间(－1,1)内单调递减，因为f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－12＝1，所以f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12＝－1.由F (x )＝f (x )＋12＝0，得2f (x )＝－1，所以f (x )＋f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x1＋x 2＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，所以2x 1＋x 2＝12，整理得x 2－4x ＋1＝0，解得x ＝2－3或x ＝2＋ 3. 又x ∈(－1,1)，所以x ＝2－ 3.故函数F (x )的零点为2－ 3.。