高中数学必修1基本初等函数常考题型幂函数
高中数学人教版 必修1 第二章 基本初等函数(I) 2.3 幂函数
高中数学人教版必修1 第二章基本初等函数(I) 2.3 幂函数选择题下列函数中是幂函数的是（）①y＝?x2；②y＝2x；③y＝xπ；④y＝(x?1)3；⑤y＝；⑥y＝x2＋.A．①③⑤? B．①②⑤C．③⑤D．只有⑤【答案】C【解析】y＝?x2的系数是?1而不是1，故不是幂函数；y＝2x是指数函数；y＝(x?1)3的底数是x?1而不是x，故不是幂函数；y＝x2＋是两个幂函数和的形式，也不是幂函数．y＝＝x?2和y＝xπ具有幂函数y＝xα的形式，所以选C.选择题幂函数f(x)的图象过点(4，)，那么f(8)的值为（）A. B．64 C．2 ? D.【答案】A【解析】设幂函数的解析式为y＝xα，依题意得，＝4α，即22α＝2?1，∴α＝?.∴幂函数的解析式为y＝，∴f(8)＝＝＝＝, 故选A.选择题函数f(x)＝(m2?m?1)是幂函数，且在x∈(0，+∞)上是减函数，则实数m的取值集合是（）A．{m|m＝?1或m＝2} B．{m|?1解得m＝2.选择题下列幂函数中图象过点(0，0)，(1，1)，且是偶函数的是（）A.? y=?B.? y=C.? y=D.? y=【答案】B【解析】函数y=，y=不是偶函数，函数y=是偶函数，但其图象不过点(0，0).函数y=的图象过点(0，0)，(1，1)且是偶函数，故选B.选择题函数f(x)=(n∈Z，a>0且a≠1)的图象必过定点（）A.(1，1) ?B.(1，2)C.( ?1，0)D.( ?1，1)【解析】因为f(1)==1+1=2，所以f(x)=(n∈Z，a>0且a≠1)的图象必过定点(1，2)，故选B.选择题下列命题中正确的是（）A．当α＝0时，函数y＝xα的图象是一条直线B．幂函数的图象都经过(0，0)、(1，1)两点C．幂函数y＝x0的定义域是RD．幂函数的图象不可能在第四象限【答案】D【解析】当α＝0时，函数y＝xα的定义域为{x|x≠0，x∈R}，其图象不是直线，故A和C不? 正确；当α0，α∈R时，y＝xα>0，则幂函数的图象都不在第四象限，故D正确．选择题设α∈{?2，?1，?，，，1，2，3}，则使f(x)＝xα为奇函数，且在(0，+∞)上递增的α的个数是（）A．1 B．2 C．3 D．4【解析】f(x)为奇函数，则α＝?1，，1，3，f(x)在(0，+∞)上递增，则α＝，1，3，故选C.选择题在同一坐标系内，函数y＝xa(a≠0)和y＝ax?的图象可能是（）【答案】C【解析】当a0，结合图象排除A，C，D，又y＝xa在(0，+∞)上是减函数，∴B项也不正确．当a>0时，y＝ax?是增函数，?0时，y＝xa在(0，+∞)上是增函数，故A项不正确，故选C.选择题在函数，，，中，幂函数的个数为A．0? ? B．1C．2 D．3【解析】函数为幂函数；函数，前的系数不是1，所以它不是幂函数；函数是两个函数和的形式，所以它不是幂函数；函数与不是同一个函数，所以它也不是幂函数．所以只有1个是幂函数，故选B．选择题若函数是幂函数，且满足，则的值等于A．B．C．D．【答案】A【解析】令，因为，即，解得，所以，所以．选择题若幂函数的图象不过原点，则A．B．或C．D．【答案】B【解析】因为幂函数的图象不过原点，所以，解得或．故选B．选择题如图所示的曲线是幂函数在第一象限的图象，已知，相应曲线对应的值依次为A．B．C．D．【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线对应的值依次为．故本题选B．选择题设，，，则的大小关系是A．B．C．D．【答案】B【解析】在上为减函数，，即.在上为增函数，，即.所以.选择题在同一直角坐标系中，函数，的图象可能是【答案】D【解析】对于A，没有幂函数的图象，不符合题目要求；对于B,中，中，舍去；对于C，中，中，舍去；对于D，中，中，故选D.选择题已知幂函数的图象过点，则A．B．1C．D．2【答案】A【解析】因为幂函数的图象过点，所以，解得，所以．故选A．选择题函数是幂函数，且在上为增函数，则实数的值是A．?1? B．2C．3 D．?1或2【答案】B【解析】是幂函数或．又在上是增函数，所以，故选B．填空题比较下列各组数的大小：(1)与的大小关系是______；(2)，，的大小关系是______.【答案】(1) （2）【解析】1)∵在(0，+∞)上为减函数，且5.1>5.09，∴.(2)，.∵在(0，+∞)上为增函数，且，∴.又，∴.填空题已知幂函数f(x)＝，若f(a+1)＝(x>0)，易知f(x)在(0，+∞)上为减函数，又f(a+1)解得∴3，下列五个关系式：①0与y＝的图象(如图所示)，设，作直线y＝m.如果m＝0或1，则a＝b；如果01，则1填空题若一个幂函数的图象过点，则．【答案】【解析】设幂函数的解析式为已知幂函数的图象过点，所以，即所以，则．填空题若，则满足的的取值范围是．【答案】【解析】根据幂函数的性质，由于，所以当时，当时，，因此的解集为.填空题下列函数中，在(0,1)上单调递减，且为偶函数的是．①；②y=x4；③y=x?2；④.【答案】③【解析】①中函数不具有奇偶性；②中函数y=x4是偶函数，但在[0，＋∞)上为增函数；③中函数y=x?2是偶函数，且在(0，＋∞)上为减函数；④中函数是奇函数．故填③.填空题已知幂函数，若f(a＋1)＜f(10?2a)，则a的取值范围是．【答案】(3,5)【解析】∵，易知f(x)在(0，＋∞)上为减函数，又f(a＋1)＜f(10?2a)，∴，解得，∴3＜a＜5.解答题已知函数f(x)＝?且f(4)＝.(1)求的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明．【答案】(1)1 ?(2)奇函数?(3)略【解析】(1)因为f(4)＝，所以，所以＝1.(2)由(1)知f(x)=，因为f(x)的定义域为{x|x≠0}，，所以f(x)是奇函数．(3) f(x)在(0，+∞)上单调递增.证明如下：设，则.因为，所以，，所以，所以f(x)在(0，+∞)上为单调递增函数．解答题已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)?α＝2，∴f(x)＝x2.同理可求出，在同一坐标系内作出y＝f(x)与y＝g(x)的图象，如图所示．由图象可知：(1)当x>1或xg(x)．(2)当x＝±1时，f(x)＝g(x)．(3)当?1，其中?2，，1；（2），，；【答案】（1）；（2）．【解析】（1）把1看作，幂函数在(0，＋∞)上是增函数．∵，∴，即．（2）因为，，，幂函数在(0，＋∞)上是增函数，且.∴.解答题已知幂函数（）的图象关于轴对称，且在上是减函数．（1）求的值；（2）求满足不等式的实数a的取值范围．【答案】（1）；（2）.【解析】（1）因为函数在上是减函数，所以，所以.因为，所以或.又函数图象关于轴对称，所以是偶数，所以.（2）不等式等价于，解得．所以实数a的取值范围是.解答题已知幂函数(m∈Z)为偶函数，且在区间(0，＋∞)上是单调增函数．（1）求函数f(x)的解析式；（2）设函数，若g(x)>2对任意的x∈R恒成立，求实数c的取值范围．【答案】（1）f(x)=x4；（2）(3，＋∞).【解析】（1）∵f(x)在区间(0，＋∞)上是单调增函数，∴?m2＋2m＋3>0，即m2?2m?32对任意的x∈R恒成立，∴g(x)min>2，且x∈R，即c?1>2，解得c>3.故实数c的取值范围是(3，＋∞)．。
幂函数知识点高一必修一
幂函数知识点高一必修一幂函数是高中数学中的一个重要概念，它在解决实际问题和理论推导中都有广泛应用。
在高一必修一的数学课程中，学生将首次接触到幂函数的概念和相关知识。
本文将从定义、性质、图像和应用等方面进行介绍，帮助学生更好地理解和掌握幂函数。
一、幂函数的定义幂函数是形如$f(x)=x^a$的函数，其中$x$是自变量，$a$是常数且$a$可以为有理数、整数或实数。
当$a$为有理数时，幂函数的定义域是实数集；当$a$为整数时，幂函数的定义域可以是正实数集、负实数集或者零；当$a$为实数时，幂函数的定义域可以是正实数集和零集。
二、幂函数的性质1. 定义域：幂函数的定义域取决于指数的取值范围，通常为实数集或者特定的数集。
2. 奇偶性：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数是偶函数；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数是奇函数；当指数$a$为实数且为非整数时，幂函数既不是奇函数也不是偶函数。
3. 单调性：当指数$a>0$时，幂函数是增函数；当指数$a<0$时，幂函数是减函数。
4. 对称轴：当指数$a$为整数且为偶数时，幂函数的对称轴为$y$轴；当指数$a$为整数且为奇数时，幂函数没有对称轴。
三、幂函数的图像根据幂函数的性质可以推断出其图像的一些特点。
1. 当指数$a>1$时，幂函数的图像在原点左侧逐渐趋近于$x$轴且斜率逐渐增大；在原点右侧逐渐上升但斜率趋于0。
2. 当指数$a=1$时，幂函数的图像为直线$y=x$。
3. 当指数$0<a<1$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，并且在$x$轴上趋于无穷。
4. 当指数$a=0$时，幂函数的图像为常数函数$y=1$。
5. 当指数$a<0$时，幂函数的图像在整个定义域上单调递减，但在$x$轴右侧逐渐趋近于0。
综上所述，幂函数的图像呈现出不同的形态和趋势，具体取决于指数的取值范围。
四、幂函数的应用幂函数在实际问题中有广泛的应用，尤其在自然科学和工程技术领域。
高一幂函数题型练习(全)
幂函数 知识梳理一、幂函数的定义与性质1.一般地，函数叫做幂函数．特别提醒：幂函数的表达式有四个特征：①解析式的右边是一个幂；②系数为1；③底数未自变量；④指数为常数．二、幂函数的图象及性质1.幂函数，，，，的性质图象定义域值域奇偶性奇偶奇非奇非偶奇单调性增递减递增增增递减递减定点，图象特点在第一象限内，幂函数的指数越小，其图象越靠近轴2.幂函数的图象及性质（1）当时，①图象都过点，；②在第一象限内，函数值随的增大而增大；③在第一象限内，时，图象是向下凸的，时，图象是向上凸的；④在第一象限内，过点后，图象向右上方无限伸展．（2）当时，①图象都多点；②在第一象限内，函数值随的增大而减小，图象是向下凸的；③在第一象限内，图象向左与轴无限接近，向右与轴无限接近；④在第一象限内，过点后，越大，图象下落的速度越快．三、幂函数的奇偶性对于幂函数，令，其中、互质，、．若为奇数，则的奇偶性取决于是奇数还是偶数，当是奇数时，则是奇函数；当是偶数时，是偶函数；若为偶数，则必定是奇数，此时既不是奇函数，也不是偶函数．四、幂的大小的比较方法比较两个幂值的大小，关键是构造适当的函数．若指数相同而底数不同，则考虑借助幂函数的单调性；若指数不同而底数相同，则考虑借助函数的图象来比较．题型训练题型一幂函数的概念（系数为1）1.若函数为幂函数，则等于？2.已知幂函数的图象经过点，则？3.若函数是幂函数，则？4.若幂函数的图像过点，则该幂函数的解析式为？5.若在幂函数的图象上，则？6.已知幂函数，其图象过原点，则实数的值为？题型二图像问题1.如图所示，曲线与分别是函数和在第一象限内的图象，则下列结论正确的是（）A．B．C．D．2.若四个幂函数，，，在同一坐标系中的图象如图，则、、、的大小关系是（）A．B．C．D．3.已知幂函数，当时，恒有，则 的取值范围是（）A．B．C．D．4.使不等式成立的的取值范围是（）A．或B．C．D．5.设时，若函数与则有两个不同的交点，求实数的取值范围？题型三过定点1.函数恒过定点？题型四幂函数单调性与奇偶性1.下列幂函数中是奇函数且在上单调递增的是（填序号）．2.已知幂函数在上单调递减，则的值为？3.幂函数在上是减函数，且，则可能等于（）A．B．C．D．4.下列函数中，既是偶函数，又在区间上单调递减的函数是（）A．B．C．D．5.已知函数是定义在区间上的奇函数，则6.若函数是幂函数且在是递增的，则？7.已知幂函数的图象关于轴对称，且在上是减函数．(1)求的值；(2)求满足不等式的实数a的取值范围．题型五比大小1.比较两个幂的值的大小：，2.若，则实数的取值范围为？3.，；，；4.，，的大小关系是（）A．B．C．D．5.设，，，则，，的大小关系是（）A．B．C．D．6.当时，，，的大小关系是（）A．B．C．D．7.当时，函数，，的大小关系是．题型六解不等式1.若，试求实数的取值范围．2.已知幂函数，若，则的取值范围是？3.已知幂函数，若，则a的取值范围是？4.已知幂函数的图象经过点，且，则实数的取值范围是（）A．B．C．D．5.6.若，则实数x的取值范围（）A．B．C．D．。
高中数学必修1 必修一幂函数专项练习题
必修一幂函数专项练习题1. 下列命题中正确的是（ ）A. 当α＝0时，幂函数y ＝x α的图象是一条直线B. 幂函数的图象都经过（0，0）、（1，1）两点C. 若幂函数y ＝x α的图象关于原点对称，则在定义域内y 随x 的增大而增大D. 幂函数的图象不可能在第四象限 2. 幂函数y ＝x 43，y ＝x 31，y ＝x －43的定义域分别是M 、N 、P ，则（ ）A. M ⊂N ⊂PB. N ⊂M ⊂PC. M ⊂P ⊂ND. A 、B 、C 都不对3. （湖南高考，文）函数f （x ）＝x 21-的定义域是（ ） A. （－∞，0］ B. ［0，＋∞） C. （－∞，0） D. （－∞，＋∞）4. （唐山十县联考）函数y ＝（－21+x ）－21的定义域是（ ） A. （－∞，－1） B. （－∞，－1］ C. （1，＋∞） D. ［1，＋∞） 5. （江西高考，理）已知实数a 、b 满足等式（21）a ＝（31）b ，下列五个关系式： ①0<b<a ；②a<b<0；③0<a<b ；④b<a<0；⑤a ＝b ，其中不可能成立的有（ ）A. 1个B. 2个C. 3个D. 4个6. 下列函数中，是幂函数的为（ ） A. y ＝x x B. y ＝3x 21 C. y ＝x 21＋1 D. y ＝x 2-7. 若T1＝（21）32，T 2＝（51）32，T 3＝（21）31，则下列关系式正确的是（ ） A. T 1<T 2<T 3 B. T 3< T 1< T 2 C. T 2< T 3< T 1 D. T 2< T 1<T 38. （经典回放）对于幂函数f （x ）＝x 54，若0<x 1<x 2，则f （221x x +），x x f x f )()(21+的大小关系是（ ）A. f （221x x +）>x x f x f )()(21+ B. f （221x x +）<x x f x f )()(21+C. f （221x x +）＝x x f x f )()(21+D. 无法确定9. 已知函数f （x ）＝x a ＋m 的图象经过点（1，3），又其反函数图象经过点（10，2），则f （x ）的解析式为_________。
高中数学必修一同步练习题库：幂函数(简答题：一般)
幂函数（简答题：一般）1、已知幂函数的图象经过点．（1）求函数的解析式，并画出图象；（2）证明：函数在上是减函数．2、已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间（2，3）上为单调函数，求实数的取值范围．3、比较大小：1.20.5，1.20.6，0.51.2，0.61.2.4、若，求a的取值范围.5、已知幂函数f(x)＝x (m∈N*)．(1)试确定该函数的定义域，并指明该函数在其定义域上的单调性；(2)若该函数还经过点(2，)，试确定m的值，并求满足条件f(2－a)＞f(a－1)的实数a的取值范围．6、点(，2)与点分别在幂函数f(x)，g(x)的图象上，问：当x为何值时，有：①f(x)>g(x)？②f(x)＝g(x)？③f(x)<g(x)?7、计算下列各式：（1）（2）8、已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．9、已知，且。
求满足的实数的取值范围。
10、已知函数的图象与x、y轴都无公共点，且关于y轴对称，求p的值，并画出图象。
11、已知函数为幂函数，且为奇函数.（1）求的值；（2）求函数在的值域.12、已知幂函数在上是增函数，又（），（1）求函数的解析式；（2）当时，的值域为，试求与的值．13、已知幂函数为偶函数，且在区间上是单调递增函数。
（Ⅰ）求函数的解析式；（Ⅱ）设，若能取遍内的所有实数，求实数的取值范围．14、已知幂函数f(x)＝，其中−2<m<2，m∈Z，满足：(1)f(x)是区间(0，+∞)上的增函数；(2)对任意的x∈R，都有f(−x) +f(x)＝0.求同时满足条件(1)、(2)的幂函数f(x)的解析式，并求x∈[0,3]时，f(x)的值域．15、已知点在幂函数f(x)的图象上，点在幂函数g(x)的图象上，问当x为何值时，(1)f(x)>g(x)；(2)f(x)＝g(x)；(3)f(x)<g(x)．16、已知函数f(x)＝−且f(4)＝.(1)求的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明．17、已知幂函数为偶函数．（1）求的解析式；（2）若函数在区间上为单调函数，求实数的取值范围．18、如图，幂函数的图象关于轴对称，且与轴，轴均无交点，求此函数的解析式及不等式的解集．19、已知函数（）是偶函数，且（1）求的解析式；（2）若（，）在区间上为增函数，求实数的取值范围20、已知（是常数）为幂函数,且在第一象限单调递增．（1）求的表达式；（2）讨论函数在上的单调性,并证之．21、已知函数y＝ (n∈Z)的图像与两坐标轴都无公共点，且其图像关于y轴对称，求n的值，并画出函数图像.22、（本题满分12分）已知幂函数在上单调递增，函数．（1）求的值；（2）当时，记、的值域分别为集合、，若，求实数的取值范围．23、（本小题满分10分）已知幂函数在上单调递增，函数（1）求的值；（2）当时，记的值域分别为，若，求实数的取值范围．24、已知命题P：若幂函数过点，实数满足。
人教版高中数学必修一《幂函数》综合练习题含答案
数学1（必修）第三章 函数的应用（含幂函数）[基础训练A 组] 一、选择题1．若)1(,,)1(,1,4,)21(,2522>==-=+====a a y x y x y x y x y y x y xx 上述函数是幂函数的个数是（ ）A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个2．已知)(x f 唯一的零点在区间(1,3)、(1,4)、(1,5)内，那么下面命题错误的（ ） A ．函数)(x f 在(1,2)或[)2,3内有零点 B ．函数)(x f 在(3,5)内无零点 C ．函数)(x f 在(2,5)内有零点 D ．函数)(x f 在(2,4)内不一定有零点3．若0,0,1a b ab >>>，12log ln 2a =，则log a b 与a 21log 的关系是（ ）A ．12log log a b a < B ．12log log a b a =C ．12log log a b a > D ．12log log a b a ≤4． 求函数132)(3+-=x x x f 零点的个数为 （ ） A ．1 B ．2 C ．3 D ．45．已知函数)(x f y =有反函数，则方程0)(=x f （ ） A ．有且仅有一个根 B ．至多有一个根 C ．至少有一个根 D ．以上结论都不对6．如果二次函数)3(2+++=m mx x y 有两个不同的零点，则m 的取值范围是（ ） A ．()6,2- B ．[]6,2- C ．{}6,2- D ．()(),26,-∞-+∞7．某林场计划第一年造林10000亩，以后每年比前一年多造林20%，则第四年造林（ ） A ．14400亩 B ．172800亩 C ．17280亩 D ．20736亩二、填空题1．若函数()x f 既是幂函数又是反比例函数,则这个函数是()x f = 。
2．幂函数()f x 的图象过点（，则()f x 的解析式是_____________。
必修一幂函数（含答案）
必修⼀幂函数（含答案）2.7幂函数⼀、幂函数定义的应⽤〖例1〗已知函数f(x)=(m 2-m-1)x -5m-3,m 为何值时，f(x)： (1)是幂函数；(2)是幂函数，且是(0，+∞)上的增函数； (3)是正⽐例函数； (4)是反⽐例函数.〖例2〗已知y=(m 2+2m-2)·211m x -+(2n-3)是幂函数，求m 、n 的值.⼆、幂函数的图象与性质〖例1〗已知点在幂函数()f x 的图象上，点124?-，，在幂函数()g x 的图象上．定义()()()()()()()≤??=?>??f x f xg x h x g x f x g x ，，，．试求函数h(x)的最⼤值以及单调区间.〖例2〗已知函数2245()44x x f x x x ++=++（1）求()f x 的单调区间；（2）⽐较()f π-与(2f -的⼤⼩（⼆）幂函数的性质与应⽤【例1】(1)试⽐较0.40.2,0.20.2,20.2,21.6的⼤⼩.(2)已知幂函数y=x 3m-9(m ∈N *)的图象关于y 轴对称，且在(0，+∞)上函数值随x 的增⼤⽽减⼩，求满⾜() ()--+<-m m 33a 132a 的a 的取值范围.三、幂函数中的三类讨论题〖例1〗已知函数223()()m m f x xm -++=∈Z 为偶函数，且(3)(5)f f <，求m 的值，并确定()f x 的解析式．例2已知函数2()f x x =，设函数()[()](21)()1g x qf f x q f x =-+-+，问是否存在实数(0)q q <，使得()g x 在区间(]4--，∞是减函数，且在区间(40)-，上是增函数？若存在，请求出来；若不存在，请说明理由．例3讨论函数2221()kk y k k x--=+在0x >时随着x 的增⼤其函数值的变化情况．【⾼考零距离】（2010陕西⽂数）7.下列四类函数中，个有性质“对任意的x >0，y >0，函数f (x )满⾜f （x ＋y ）＝f （x ）f （y ）”的是[]（）幂函数（）对数函数（）指数函数（）余弦函数【考点提升训练】⼀、选择题(每⼩题6分，共36分)1.(2012·西安模拟)已知幂函数y=f(x)通过点，则幂函数的解析式为( ) ()y=212x()y=12x ()y= 32x()y=521x 22.函数y=1x-x 2的图象关于( ) ()y 轴对称 ()直线y=-x 对称 ()坐标原点对称()直线y=x 对称3.已知(0.71.3)m＜(1.30.7)m，则实数m 的取值范围是( ) ()(0，+∞)()(1，+∞) ()(0，1) ()(-∞,0)4.已知幂函数f(x)=x m的部分对应值如表，则不等式f(|x|)≤2的解集为( )(){x|0){x|0≤x ≤4} (){x|x ){x|－4≤x ≤4}5.设函数f(x)=x1()7,x 02,x 0?-?≥＜若f(a)＜1，则实数a 的取值范围是( )()(-∞,-3) ()(1，+∞) ()(-3，1) ()(-∞,-3)∪(1,+∞) 6.(2012·漳州模拟)设函数f(x)=x 3,若0≤θ≤2π时，f(mcos θ)+f(1-m)＞0恒成⽴，则实数m 的取值范围为( )()(-∞,1) ()(-∞, 12) ()(-∞,0) ()(0,1)⼆、填空题(每⼩题6分，共18分)7.(2012·武汉模拟)设x∈(0,1)，幂函数y=x a的图象在直线y=x的上⽅，则实数a的取值范围是__________.8.已知幂函数f(x)=12x-，若f(a+1)＜f(10-2a)，则a的取值范围是_______.9.当0三、解答题(每⼩题15分，共30分)10.(2012·宁德模拟)已知函数f(x)=x m-2x且f(4)=72.(1)求m的值；(2)判定f(x)的奇偶性；(3)判断f(x)在(0，+∞)上的单调性，并给予证明.11.（易错题）已知点(2，4)在幂函数f(x)的图象上，点(12，4)在幂函数g(x)的图象上.(1)求f(x)，g(x)的解析式；(2)问当x取何值时有：①f(x)＞g(x);②f(x)=g(x);③f(x)＜g(x).【探究创新】(16分)已知幂函数y=f(x)=2p3p22x-++(p∈Z)在(0,+∞)上是增函数，且是偶函数.(1)求p的值并写出相应的函数f(x)；(2)对于(1)中求得的函数f(x)，设函数g(x)=-qf(f(x))+(2q-1)f(x)+1.试问：是否存在实数q(q＜0)，使得g(x)在区间(-∞,-4]上是减函数，且在(-4，0)上是增函数；若存在，请求出来，若不存在，说明理由.答案解析1.【解析】选.设y=x α,则由已知得，α,即322=2α,∴α=32,∴f(x)= 32x .2.【解析】选.因为函数的定义域为{x|x ≠0}，令y=f(x)=1x-x 2, 则f(-x)=1x -(-x)2=1x-x 2=f(x), ∴f(x)为偶函数，故选.3.【解析】选.因为0＜0.71.3＜0.70=1, 1.30.7＞1.30=1,∴0＜0.71.3＜1.30.7.⼜(0.71.3)m ＜(1.30.7)m,∴函数y=x m在(0,+∞)上为增函数，故m ＞0.4.【解题指南】由表中数值，可先求出m 的值，然后由函数的奇偶性及单调性，得出不等式，求解即可.【解析】选.由(12)m m=12，∴f(x)= 12x ，∴f(|x|)=12x ,⼜∵f(|x|)≤2，∴12x ≤2，即|x|≤4,∴－4≤x ≤4．5.【解题指南】分a ＜0,a ≥0两种情况分类求解. 【解析】选.当a ＜0时，(12)a-7＜1, 即2-a＜23,∴a ＞-3,∴-3＜a ＜0.当a ≥01,∴0≤a ＜1,综上可得:-3＜a ＜1.6.【解题指南】求解本题先由幂函数性质知f(x)=x 3为奇函数，且在R 上为单调增函数，将已知不等式转化为关于m 与cos θ的不等式恒成⽴求解.【解析】选.因为f(x)=x 3为奇函数且在R 上为单调增函数，∴f(mcos θ)+f(1-m)＞0? f(mcos θ)＞f(m-1)? mcos θ＞m-1?mcos θ-m+1＞0恒成⽴，令g(cos θ)=mcos θ-m+1, ⼜0≤θ≤2π,∴0≤cos θ≤1, 则有：()()g 00g 10＞，＞即m 10m m 10-+??-+?＞，＞解得：m ＜1. 7.【解析】由幂函数的图象知a ∈(-∞,1).答案：(-∞,1) 8.【解析】由于f(x)= 12x-在(0，+∞)上为减函数且定义域为(0，+∞)，则由f(a+1)＜f(10-2a)得a 10102a 0,a 1102a +??-??+-?＞＞＞解得：3＜a ＜5. 答案：(3,5)9.【解题指南】在同⼀坐标系内画出三个函数的图象，数形结合求解. 【解析】画出三个函数的图象易判断f(x)答案:f(x)72,所以4m -24=72.所以m=1. (2)因为f(x)的定义域为{x|x ≠0}，关于原点对称, ⼜f(-x)=-x-2x - =-(x-2x)=-f(x)，所以f(x)是奇函数. (3)⽅法⼀：设x 1＞x 2＞0，则f(x 1)-f(x 2)= x 1-12x -(x 2-22x )=(x 1-x 2)(1+122x x ),[来源:/doc/7210e201581b6bd97e19ea07.html ]因为x 1＞x 2＞0,所以x 1-x 2＞0,1+122x x ＞0. 所以f(x 1)＞f(x 2).所以f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数. ⽅法⼆：∵f(x)=x-2x,∴f ′(x)=1+22x ＞0在(0,+∞)上恒成⽴，∴f(x)在(0,+∞)上为单调递增函数.11.【解析】(1)设f(x)=x α, ∵点(2，4)在f(x)的图象上，∴4=2α，∴α=2，即f(x)=x 2. 设g(x)=x β,∵点(12，4)在g(x)的图象上，∴4=(12)β，∴β=-2，即g(x)=x -2. (2)∵f(x)-g(x)=x 2-x -2=x 2-21x=()()222x 1x 1x-+(*)∴当-1＜x ＜1且x ≠0时，(*)式⼩于零，即f(x)＜g(x)；当x=±1时，(*)式等于零，即f(x)=g(x)；当x ＞1或x ＜-1时，(*)式⼤于零，即f(x)＞g(x). 因此，①当x ＞1或x ＜-1时，f(x)＞g(x)；②当x=±1时，f(x)=g(x)；③当-1＜x ＜1且x ≠0时，f(x)＜g(x).【误区警⽰】本题(2)在求解中易忽视函数的定义域{x|x ≠0}⽽失误.失误原因：将分式转化为关于x 的不等式时，忽视了等价性⽽致误.【探究创新】【解析】(1)∵幂函数y=x α在(0,+∞)上是增函数时,α＞0,∴-12p 2+p+32＞0,即p 2-2p-3＜0,解得-1＜p ＜3，⼜p ∈Z,∴p=0,1,2. 当p=0时，y=32x 不是偶函数；当p=1时,f(x)=x 2是偶函数；当p=2时,f(x)=32x 不是偶函数，∴p=1，此时f(x)=x 2.(2)由(1)得g(x)=-qx 4+(2q-1)x 2+1,设x 1＜x 2,则g(x 1)-g(x 2)=q(4421x x -)+(2q-1)·(2212x x -)=(2221x x -)[q(2212x x +)-(2q-1)].若x 1＜x 2≤-4,则2221x x -＜0且2212x x +＞32,要使g(x)在(-∞,-4]上是减函数，必须且只需q(2212x x +)-(2q-1)＜0恒成⽴. 即2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴. 由2212x x +＞32且q ＜0，得q(2212x x +)＜32q ，只需2q-1≥32q 成⽴，则2q-1＞q(2212x x +)恒成⽴.∴当q ≤-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数,同理可证, 当q ≥-130时,g(x)在(-4,0)上是增函数, ∴当q=-130时,g(x)在(-∞,-4]上是减函数，在(-4,0)上是增函数.[来源:学科⽹ZXXK]。
考点11 幂函数【考点通关】高一数学题型归纳与解题策略(必修第一册)(原卷版)
考点11幂函数1、幂函数的判断及应用判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y x α=（α是常数）的形式，即满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1．只有同时满足这三个条件的函数才是幂函数，对于形如(2),2,6y x y x y x ααα===+等函数都不是幂函数。
2、幂函数的图象及应用（1）幂函数图象的画法①确定幂函数在第一象限内的图象：先根据α的取值，确定幂函数y x α=在第一象限内的图象．②确定幂函数在其他象限内的图象：根据幂函数的定义域及奇偶性确定幂函数f(x)在其他象限内的图象．（2）要牢记幂函数的图象，并能灵活运用．由幂函数的图象，我们知道：①所有的幂函数在(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．②任何幂函数的图象与坐标轴最多只有一个交点（原点）；任何幂函数的图象都不经过第四象限．③当α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象上抛；当0<α<1时，幂函数的图象右抛．④当α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．⑤幂指数互为倒数的幂函数在第一象限内的图象关于直线y ＝x 对称．⑥在第一象限，作直线x ＝a (a >1)，它同各幂函数图象相交，按交点从下到上的顺序，幂指数按从小到大的顺序排列．3、解决与幂函数有关的综合性问题的方法首先要考虑幂函数的概念，对于幂函数y x α=(α∈R)，由于α的取值不同，所以相应幂函数的单调性和奇偶性也不同．同时，注意分类讨论思想的应用．考点一幂函数的定义（一）求幂函数的值或解析式1．（2022·甘肃庆阳·高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点13,3⎛⎫⎪⎝⎭，则此函数的解析式为______．2．（2022·内蒙古·赤峰二中高一期末（文））已知点（a ，2）在幂函数()(3)b f x a x =-的图象上，则函数f （x ）的解析式是（）A ．12()f x x =B ．12()2f x x =C ．3()f x x =D ．1()f x x -=3．（2022·甘肃·甘南藏族自治州合作第一中学高一期末）幂函数()y f x =的图象经过点(14,2)，则1(4f =____.4．（2022·全国·高一课时练习）若函数()f x 是幂函数，满足(4)8(2)f f =，则1(1)3f f ⎛⎫+= ⎪⎝⎭_________．5．（2022·北京市第五中学高一期末）已知幂函数()a f x x =过点(28)，，若0()5f x =-，则0x =________．6．（2022·上海中学高一期末）某厂商计划投资生产甲、乙两种商品，经市场调研发现，如图所示，甲、乙商品的投资x 与利润y （单位：万元）分别满足函数关系11ay k x =与22ay k x =．(1)求1k ，1a 与2k ，2a 的值；(2)该厂商现筹集到资金20万元，如何分配生产甲、乙商品的投资，可使总利润最大？并求出总利润的最大值．（二）根据函数是幂函数求参数值7．【多选】（2022·广东茂名·高一期末）若函数()225y k k x =--是幂函数，则实数k 的值可能是（）A ．3k =B ．3k =-C ．2k =-D ．2k =8．【多选】（2022·广东·韶关市田家炳中学高一期末）如果幂函数()22233mm y m m x --=-+的图象不过原点，则实数m 的取值为（）A ．0B ．2C ．1D ．无解9．（2022·湖南郴州·高一期末）已知幂函数()f x kx α=的图象过点()2,4，则k α+=__________.考点二幂函数的定义域和值域（一）幂函数的定义域10．（2022·江苏·高一）若()342x --有意义，则实数x 的取值范围是（）A ．[)2,+∞B ．(],2-∞C ．()2,+∞D ．(),2-∞11．（2022·山西吕梁·高一期末）已知幂函数()f x 的图象过点(，则()f x 的定义域为（）A ．RB ．()0,∞+C ．[)0,∞+D ．()(),00,∞-+∞U12．（2022·黑龙江绥化·高一期末）函数4()(1)f x x =-+）A ．()1，∞+B ．(2,)-+∞C ．()()211∞-⋃+，，D ．R13．（2022·全国·高一专题练习）设α∈11,132⎧⎫-⎨⎬⎩⎭，，则使函数y ＝xα的定义域为R 的所有α的值为（）A ．1,3B ．－1,1C ．－1,3D ．－1,1,314．（2022·内蒙古·赤峰红旗中学松山分校高一期末）已知幂函数()1*4n y x n N -=∈的定义域为()0,∞+，且单调递减，则n =________.（二）幂函数的值域15．（2022·全国·高一专题练习）幂函数a y x =中a 的取值集合C 是11,0,,1,2,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭的子集，当幂函数的值域与定义域相同时，集合C 为（）A ．11,0,2⎧⎫-⎨⎬⎩⎭B ．1,1,22⎧⎫⎨⎬⎩⎭C ．11,,32⎧⎫-⎨⎬⎩⎭D ．1,1,2,32⎧⎫⎨⎬⎩⎭16．（2022·全国·高一专题练习）函数213324y x x =++，其中8x - ，则其值域为___________.17．（2022·广东·广州六中高一期末）幂函数()y f x =的图象过点(，则函数()y x f x =-的值域是（）A ．(),-∞+∞B ．1,4⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．1,4⎡⎫-+∞⎪⎢⎣⎭D ．1,4⎛⎫-+∞ ⎪⎝⎭18．（2022·上海师大附中高一期末）已知函数()()()2151Z m f x m m x m +=-+∈为幂函数，且为奇函数.(1)求m 的值，并确定()f x 的解析式；(2)令()()g x f x =，求()y g x =在1,12x ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦的值域.19．（2022·贵州·六盘水市第五中学高一期末）已知幂函数()()1221m f m x m x -=--在()0,∞+上为增函数.(1)求实数m 的值；(2)求函数()()2345g x f x x =--+的值域.20．（2022·湖北黄石·高一期中）已知函数())2()x a f x x x a ⎧≥⎪=⎨<⎪⎩，若函数()f x 的值域为R ，则实数a 的取值范围为（）A ．(1,0)-B ．(1,0]-C ．[1,0)-D ．[1,0]-考点三幂函数的图象和性质（一）幂函数的图象（1）依据图象高低判定幂指数大小21．（2022·全国·高一课时练习）图中1C ，2C ，3C 分别为幂函数1y x =α，2y x =α，3y x α=在第一象限内的图象，则1α，2α，3α依次可以是（）A ．12，3，1-B ．1-，3，12C ．12，1-，3D ．1-，12，322．（2022·全国·高一课时练习）幂函数a b c d y x y x y x y x ====，，，在第一象限的图像如图所示，则a b c d ，，，的大小关系是（）A ．a b c d >>>B ．d b c a >>>C ．d c b a>>>D ．b c d a>>>23．（2022·全国·高一课时练习）如图所示是函数mn y x =(*N m n ∈、且互质)的图象，则（）A ．m n 、是奇数且1mn<B ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n>C ．m 是偶数，n 是奇数，且1m n<D ．m n 、是偶数，且1m n>24．（2022·四川凉山·高一期末）如图，①②③④对应四个幂函数的图像，其中①对应的幂函数是（）A ．3y x =B ．2y x =C ．y x=D ．58y x =（2）图象的识别25．（2022·全国·高一单元测试）下列四个图像中，函数34y x =的图像是（）A ．B ．C ．D ．26．（2022·上海·高一单元测试）已知幂函数的图象经过点14,2P ⎛⎫⎪⎝⎭，则该幂函数的大致图象是（）A ．B ．C ．D ．27．（2022·全国·高一单元测试）如图为某体育赛事举重成绩与运动员体重之间关系的折线图，下列模型中，最能刻画举重成绩y （单位：千克）和运动员体重x （单位：千克）之间的关系的是（）A ．y =()0m >B ．y mx n =+()0m >C ．2y mx n =+()0m >D ．x y ma n =+（0m >，0a >且1a ≠）（二）幂函数的性质（1）由幂函数的单调性求参数28．（2022·广东广州·高一期末）函数()22211mm y m m x --=--是幂函数，且在()0,x ∈+∞上是减函数，则实数m =__________.29．（2022·河南开封·高一期末）已知函数()22my m m x =+幂函数，且在其定义域内为单调函数，则实数m =（）A ．12B ．1-C ．12或1-D ．12-30．（2022·云南德宏·高一期末）“当()0,x ∈+∞时，幂函数()22231mm y m m x --=--为减函数”是“1m =-或2”的（）条件A ．既不充分也不必要B ．必要不充分C ．充分不必要D ．充要31．（2022·江西省铜鼓中学高一期末）已知函数()()()2,16,(1a a x x f x x x ⎧+≤=⎨->⎩）是减函数，则实数a 的取值范围是（）A ．[)7,2--B ．(),2-∞-C ．(),7-∞-D ．()7,2--（2）由幂函数的单调性解不等式32．（2022·上海中学高一期末）不等式()()2021202142x x --->-的解为______．33．（2022·海南鑫源高级中学高一期末）已知幂函数()af x x =的图象经过点(.（1）求幂函数()f x 的解析式；（2）试求满足()()13f a f a +>-的实数a 的取值范围.34（2022·上海金山·高一期末）已知幂函数()y f x =在其定义域上是严格增函数，且()22mm f x x -=（m Z ∈）.(1)求m 的值；(2)解不等式：()()32f x f x-<.（3）由幂函数的单调性比较大小35．（2022·重庆九龙坡·高一期末）已知111333332,,555a b c -⎛⎫⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则,,a b c 的大小关系为（）A ．a b c<<B ．b c a<<C ．c a b<<D ．a c b<<36．（2022·青海·大通回族土族自治县教学研究室高一期末）幂函数()()22251mm f x m m x +-=--在区间()0,∞+上单调递增，且0a b +>，则()()f a f b +的值（）A ．恒大于0B ．恒小于0C ．等于0D ．无法判断（4）幂函数奇偶性的应用37．（2022·全国·高一课时练习）求出下列函数的定义域，并判断函数的奇偶性：（1）22()f x x x -=+；（2）23()3f x x x =+；（3）133()f x x x =+；（4）142()2f x x x -=+.38．（2022·全国·高一专题练习）已知幂函数()2()1mf x m m x =--的图象关于y 轴对称，则()f m =___________．39．（2022·重庆九龙坡·高一期末）已知幂函数()21()55m f x m m x +=-+为奇函数，则m =___________.40．（2022·山东济宁·高一期末）已知()y f x =是奇函数，当0x ≥时，()()23f x x m m =+∈R ，则()8f -=______．（5）幂函数的单调性和奇偶性的综合应用41．（2022·河南开封·高一期末）下列函数中，既是奇函数，又是增函数的是（）①1y x=-；②y =||y x x =；④3y x x =+．A ．①②B ．①④C ．②③D ．③④42．（2022·云南玉溪·高一期末）幂函数22m m y x +-=()03,m m Z ≤≤∈的图象关于y 轴对称，且在(0,)+∞上是增函数，则m 的值为（）A ．0B ．2C ．3D ．2和343．（2022·重庆巫山·高一期末）若幂函数()f x 过点()2,8，则满足不等式()()310f a f a -+-≤的实数a 的取值范围是______44．（2022·湖北·高一期末）已知函数()53352f x x x x =+++，若()()214f a f a +->，则实数a 的取值范围是（）A ．1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭B ．1,3⎛⎫-∞ ⎪⎝⎭C ．(),3-∞D ．()3,+∞45．（2022·黑龙江·大庆实验中学高一期末）已知幂函数()223m m y xm N --*=∈的图象关于y 轴对称，且在()0,∞+上单调递减，则满足()()33132mma a --+<-的a 的取值范围为________.（6）幂函数性质的综合应用46．（2022·全国·高一）已知幂函数a y x =（a 是常数），则（）A ．()f x 的定义域是RB ．()f x 在()0,∞+单调递增C ．()f x 过定点()1,1D ．()f x 可能过定点()1,3-47．【多选】（2022·广西玉林·高一期末）已知函数()a f x x =的图象经过点1,33⎛⎫ ⎪⎝⎭则（）A ．()f x 的图象经过点(3,9)B ．()f x 的图象关于y 轴对称C ．()f x 在(0,)+∞上单调递减D ．()f x 在(0,)+∞内的值域为(0,)+∞48．【多选】（2022·广东揭阳·高一期末）已知幂函数()y f x =的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（）A ．()f x 为偶函数B ．()f x 为增函数C ．若1x >，则()1f x >D ．若210x x >>，则()()121222f x f x x x f ++⎛⎫> ⎪⎝⎭。
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幂函数【知识梳理】1．幂函数的概念一般地，函数y＝xα叫做幂函数．其中x是自变量，α是常数．2．常见幂函数的图象与性质(1)所有的幂函数在区间(0，＋∞)上都有定义，并且图象都过点(1,1)．(2)α>0时，幂函数的图象通过原点，并且在区间[0，＋∞)上是增函数．特别地，当α>1时，幂函数的图象下凸；当0<α<1时，幂函数的图象上凸．(3)α<0时，幂函数的图象在区间(0，＋∞)上是减函数．在第一象限内，当x从右边趋向原点时，图象在y轴右方无限地逼近y轴正半轴；当x趋于＋∞时，图象在x轴上方无限地逼近x 轴正半轴．【常考题型】题型一、幂函数的概念【例1】(1)下列函数：①y＝x3；②y＝12x⎛⎫⎪⎝⎭；③y＝4x2；④y＝x5＋1；⑤y＝(x－1)2；⑥y＝x；⑦y＝a x(a>1)．其中幂函数的个数为()A．1B．2C ．3D ．4(2)已知幂函数y ＝()22231m m m m x----，求此幂函数的解析式，并指出定义域．(1)[解析] ②⑦为指数函数，③中系数不是1，④中解析式为多项式，⑤中底数不是自变量本身，所以只有①⑥是幂函数，故选B.[答案] B(2)[解] ∵y ＝()22231mm m m x ----为幂函数，∴m 2－m －1＝1，解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，m 2－2m －3＝－3，则y ＝x －3，且有x≠0； 当m ＝－1时，m 2－2m －3＝0，则y ＝x 0，且有x≠0.故所求幂函数的解析式为y ＝x －3，{x|x≠0}或y ＝x 0，{x|x≠0}． 【类题通法】判断一个函数是否为幂函数的方法判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为y ＝x α(α为常数)的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：(1)指数为常数；(2)底数为自变量；(3)系数为1.反之，若一个函数为幂函数，则该函数应具备这一形式，这是我们解决某些问题的隐含条件．【对点训练】函数f(x)＝()2231m m m m x +---是幂函数，且当x ∈(0，＋∞)时，f(x)是增函数，求f(x)的解析式．解：根据幂函数的定义得m 2－m －1＝1.解得m ＝2或m ＝－1.当m ＝2时，f(x)＝x 3在(0，＋∞)上是增函数； 当m ＝－1时，f(x)＝x －3在(0，＋∞)上是减函数，不符合要求．故f(x)＝x 3.题型二、幂函数的图象【例2】 (1)如图，图中曲线是幂函数y ＝x α在第一象限的大致图象，已知α取－2，－12，12，2四个值，则相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α的值依次为( )A ．－2，－12，12，2B ．2，12，－12，－2本文档如对你有帮助，请帮忙下载支持！C ．－12，－2,2，12D ．2，12，－2，－12(2)如图是幂函数y ＝mx 与y ＝nx 在第一象限内的图象，则( ) A ．－1<n<0<m<1 B ．n<－1,0<m<1 C ．－1<n<0，m>1 D ．n<－1，m>1[解析] (1)令x ＝2，则22>212>2－12>2－2，故相应于曲线C 1，C 2，C 3，C 4的α值依次为2，12，－12，－2.故选B.(2)此类题有一简捷的解决办法，在(0,1)内取x 0，作直线x ＝x 0，与各图象有交点，则“点低指数大”．如图，0<m<1，n<－1.[答案] (1)B (2)B 【类题通法】解决幂函数图象问题应把握的两个原则(1)依据图象高低判断幂指数大小，相关结论为：在(0,1)上，指数越大，幂函数图象越靠近x 轴(简记为指大图低)；在(1，＋∞)上，指数越大，幂函数图象越远离x 轴(简记为指大图高)．(2)依据图象确定幂指数α与0,1的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象(类似于y ＝x－1或y ＝12x 或y ＝x 3)来判断．【对点训练】已知函数y ＝ax ，y ＝bx ，y ＝cx 的图象如图所示，则a ，b ，c 的大小关系为( ) A ．c<b<a B ．a<b<c C ．b<c<aD ．c<a<b解析：选A 由幂函数的图象特征知，c<0，a>0，b>0.由幂函数的性质知，当x>1，幂指数大的幂函数的函数值就大，则a>b.综上所述，可知c<b<a.题型三、利用幂函数的性质比较大小【例3】 比较下列各组数中两个数的大小．(1)0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭与0.513⎛⎫⎪⎝⎭；(2)123-⎛⎫- ⎪⎝⎭与135-⎛⎫- ⎪⎝⎭；(3)3423⎛⎫⎪⎝⎭与2334⎛⎫ ⎪⎝⎭. [解] (1)∵幂函数y ＝0.5x 在(0，＋∞)上是单调递增的，又25>13，∴0.525⎛⎫ ⎪⎝⎭>0.513⎛⎫⎪⎝⎭. (2)∵幂函数y ＝1x -在(－∞，0)上是单调递减的， 又－23<－35，∴123-⎛⎫- ⎪⎝⎭>135-⎛⎫- ⎪⎝⎭.(3)∵函数y 1＝23x⎛⎫⎪⎝⎭为R 上的减函数，又34>23，∴2323⎛⎫⎪⎝⎭>3423⎛⎫ ⎪⎝⎭. 又∵函数y 2＝23x 在(0，＋∞)上是增函数，且34>23，∴2334⎛⎫⎪⎝⎭>2323⎛⎫ ⎪⎝⎭，∴2334⎛⎫ ⎪⎝⎭>3423⎛⎫⎪⎝⎭. 【类题通法】比较幂值大小的方法(1)若指数相同，底数不同，则考虑幂函数； (2)若指数不同，底数相同，则考虑指数函数；(3)若指数与底数都不同，则考虑插入中间数，使这个数的底数与所比较数的一个底数相同，指数与另一个数的指数相同，那么这个数就介于所比较的两数之间，进而比较大小．【对点训练】比较下列各题中两个幂的值的大小： (1)342.3，342.4；(2)32- ，32- ；(3)()650.31-，650.35.解：(1)∵y ＝34x 为[0，＋∞)上的增函数，且2.3<2.4， ∴342.3<342.4.(2)∵y ＝32x - 为(0，＋∞)∴32- >32- .(3)∵y ＝65x 为R 上的偶函数，∴()650.31-＝650.31.又函数y ＝65x 为[0，＋∞)上的增函数，且0.31<0.35， ∴650.31<650.35，即()650.31-<650.35.【练习反馈】1．下列函数是幂函数的是( ) A ．y ＝2x B ．y ＝2x －1C ．y ＝(x ＋1)2D ．y 解析：选D 由幂函数的概念可知D 正确． 2．下列命题：①幂函数的图象都经过点(1,1)和点(0,0)； ②幂函数的图象不可能在第四象限； ③n ＝0，函数y ＝nx 的图象是一条直线； ④幂函数y ＝n x 当n>0时，是增函数；⑤幂函数y ＝nx 当n<0时，在第一象限内函数值随x 值的增大而减小． 正确的命题为( ) A ．①④ B ．④⑤ C ．②③ D ．②⑤解析：选D y ＝x－1不过(0,0)点，∴①错误，排除A ；当n ＝0时，y ＝nx 的图象为两条射线，③错误，排除C ；y ＝x 2不是增函数，④错误，排除B ；因此答案选D.3．已知幂函数f(x)的图象过点(4,2)，则f ⎝⎛⎭⎫18＝________. 解析：设f(x)＝x α，则4α＝2，∴α＝12，即f(x)＝12x ，∴f ⎝⎛⎭⎫18＝1218⎛⎫ ⎪⎝⎭＝4.答案：44．函数f(x)＝()22231m m m m x +--+是幂函数，且在x ∈(0，＋∞)时是减函数，则实数m ＝________.解析：由m 2－m ＋1＝1，得m ＝0或m ＝1，再把m ＝0和m ＝1分别代入m 2＋2m －3<0检验，得m ＝0. 答案：05．比较下列各题中两个幂的值的大小： (1)121.1，120.9；(2) 121.1- ，120.9- ；(3)343- ，3412⎛⎫⎪⎝⎭. 解：(1)∵y ＝12x 为[0，＋∞)上的增函数，又1.1>0.9， ∴121.1>120.9. (2)∵y ＝12x - 为(0，＋∞)上的减函数，又1.1>0.9，∴121.1- <120.9- .(3)∵343- ＝3413⎛⎫ ⎪⎝⎭，函数y ＝34x 为[0，＋∞)上的增函数，且13<12，∴3413⎛⎫ ⎪⎝⎭<3412⎛⎫⎪⎝⎭，即343- <3412⎛⎫ ⎪⎝⎭.。