北京市东城区2018-2019第一学期高三期末数学理科(word解析)

2018-2019学年北京市东城区高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题（本大题共8小题，共40.0分）1. 若集合A={x|-2＜x≤0}，B={-2，-1，0，1，2}，则A∩B=（）A. B. C. D.2. 下列复数为纯虚数的是（）A. B. C. D.3. 下列函数中，是奇函数且存在零点的是（）A. B. C. D.4. 执行如图所示的程序框图，如果输入n=5，m=3，则输出p的等于（）A. 3B. 12C. 60D. 3605. “”是“函数的图象关于直线x=m对称”的（）A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充分必要条件D. 既不充分也不必要条件6. 某三棱锥的三视图如图所示，在此三棱锥的六条棱中，最长棱的长度为（）A. 2B.C.D. 37. 在极坐标系中，下列方程为圆ρ=2sinθ的切线方程的是（）A. B. C. D.8. 地震里氏震级是地震强度大小的一种度量．地震释放的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M之间的关系为lg E=4.8+1.5M．已知两次地震的里氏震级分别为8.0级和7.5级，若它们释放的能量分别为E1和E2，则的值所在的区间为（）A. B. C. D.二、填空题（本大题共6小题，共30.0分）9. 若x，y满足，则x+2y的最小值为______．10. 已知双曲线-=1的一个焦点为（2，0），则m=______．11. 若等差数列{a n}和等比数列{b n}满足a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，试写出一组满足条件的数列{a n}和{b n}的通项公式：a n=______，b n=______．12. 在菱形ABCD中，若，则的值为______．13. 函数在区间，上的最大值为______．14. 已知函数f（x）为定义域为R，设F f（x）=．①若f（x）=，则F f（1）=______；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），则实数a的取值范围为______．三、解答题（本大题共6小题，共80.0分）15. 在△ABC中，．（Ⅰ）求∠B的大小；（Ⅱ）若△ABC的面积为a2，求cos A的值．16. 某中学有学生500人，学校为了解学生的课外阅读时间，从中随机抽取了50名学生，获得了他们某一个月课外阅读时间的数据（单位：小时），将数据分为5组：[10，12），[12，14），[14，16），[16，18），[18，20]，整理得到如图所示的频率分布直方图．（Ⅰ）求频率分布直方图中的x的值；（Ⅱ）试估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16小时的学生人数；（Ⅲ）已知课外阅读时间在[10，12）的样本学生中有3名女生，现从阅读时间在[10，12）的样本学生中随机抽取3人，记X为抽到女生的人数，求X的分布列与数学期望E（X）．17. 如图1，在四边形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，E，F分别为AD，BC的中点，AE=EF，．将四边形ABFE沿EF折起，使平面ABFE⊥平面EFCD（如图2），G是BF的中点．（Ⅰ）证明：AC⊥EG；（Ⅱ）在线段BC上是否存在一点H，使得DH∥平面ABFE？若存在，求的值；若不存在，说明理由；（Ⅲ）求二面角D-AC-F的大小．18. 已知函数f（x）=axe x-x2-2x．（Ⅰ）当a=1时，求曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（Ⅱ）当x＞0时，若曲线y=f（x）在直线y=-x的上方，求实数a的取值范围．19. 已知椭圆：过点P（2，1）．（Ⅰ）求椭圆C的方程，并求其离心率；（Ⅱ）过点P作x轴的垂线l，设点A为第四象限内一点且在椭圆C上（点A不在直线l上），点A关于l的对称点为A'，直线A'P与C交于另一点B．设O为原点，判断直线AB与直线OP的位置关系，并说明理由．20. 对给定的d∈N*，记由数列构成的集合，，∈．（Ⅰ）若数列{a n}∈Ω（2），写出a3的所有可能取值；（Ⅱ）对于集合Ω（d），若d≥2．求证：存在整数k，使得对Ω（d）中的任意数列{a n}，整数k不是数列{a n}中的项；（Ⅲ）已知数列{a n}，{b n}∈Ω（d），记{a n}，{b n}的前n项和分别为A n，B n．若|a n+1|≤|b n+1|，求证：A n≤B n．1.C解：∵集合A表示-2到0的所有实数，集合B表示5个整数的集合，∴A∩B={-1，0}，故选：C．直接利用交集运算得答案．本题考查了交集及其运算，是基础题．2.D解：∵1+i2=1-1=0，i+i2=i-1，，（1-i）2=1-2i+i2=-2i．∴为纯虚数的是（1-i）2．故选：D．直接利用复数的运算求解即可得答案，本题考查了复数的基本概念，是基础题．3.A解：对于选项A：y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，与题意相符，对于选项B：y=iog2x为非奇非偶函数，与题意不符，对于选项C：y=2x2-3为偶函数，与题意不符，对于选项D：y=不存在零点，与题意不符，故选：A．由函数的奇偶性及函数的零点可判断y=x3+x为奇函数，且存在零点为x=0，y=iog2x为非奇非偶函数，y=2x2-3为偶函数，y=不存在零点，故得解．本题考查了函数的奇偶性及函数的零点，属简单题．4.C解：模拟执行程序，可得n=5，m=3，k=1，p=1，p=3，满足条件k＜m，执行循环体，k=2，p=12，满足条件k＜m，执行循环体，k=3，p=60，不满足条件k＜m，退出循环，输出p的值为60．故选：C．通过程序框图，按照框图中的要求将几次的循环结果写出，得到输出的结果．本题考查程序框图的应用，解决程序框图中的循环结构的输出结果问题时，常采用写出几次的结果找规律，属于基础题．5.A解：若函数的图象关于直线x=m，则2m+=kπ，得m=-+，当k=1时，m=，即“”是“函数的图象关于直线x=m对称”的充分不必要条件，故选：A．结合三角函数的对称性以及充分条件和必要条件的定义进行判断即可．本题主要考查充分条件和必要条件的判断，结合三角函数的对称性求出m的取值范围是解决本题的关键．6.D解：由三棱锥的三视图知该三棱锥是如图所示的三棱锥P-ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=2，BC=1，∴PB===3，∴在该三棱锥中，最长的棱长为PB=3．故选：D．由三棱锥的三视图知该三棱锥是三棱锥P-ABC，其中PA⊥底面ABC，AC⊥BC，PA=AC=2，BC=1，由此能求出在该三棱锥中，最长的棱长．本题考查三棱锥中最长棱长的求法，考查三棱锥性质及其三视图等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查数形结合思想、函数与方程思想，是基础题．7.C解：圆ρ=2sinθ，即ρ2=2ρsinθ，∴圆的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，圆心为（0，1），半径r=1，在A中，ρcosθ=2即x=2，圆心（0，1）到x=2的距离d=2＞r=1，故ρcosθ=2不是圆的切线，故A错误；在B中，ρ=2cosθ是圆，不是直线，故B错误；在C中，ρcosθ=-1即x=-1，圆心（0，1）到x=-1的距离d=1=r=1，故ρcosθ=-1是圆的切线，故C正确；在D中，ρsinθ=-1即y=-1，圆心（0，1）到y=-1的距离d=2＞r=1，故ρsinθ=-1不是圆的切线，故D错误．故选：C．求出圆的直角坐标方程为x2+y2=2y，即x2+（y-1）2=1，圆心为（0，1），半径r=1，由此能求出结果．本题考查圆的切线方程的判断，考查直角坐标方程、参数方程、极坐标方程的互化等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．8.B解：lgE=4.8+1.5M，∴lgE1=4.8+1.5×8=16.8，lgE2=4.8+1.5×7.5=16.05，∴E1=1016.8，E2=1016.05，∴=100.75，∵100.75＞90.75=31.5=3×＞5，∴的值所在的区间为（5，6），故选：B．先把数据代入已知解析式，再利用对数的运算性质即可得出．本题考查了对数的运用以及运算，熟练掌握对数的运算性质是解题的关键．9.4解：作出x，y满足对应的平面区域，由z=x+2y，得y=-x+，平移直线y=-x+，由，解得A（2，1）由图象可知当直线经过点A（2，1）时，直线y=-x+的截距最小，此时z最小，此时z=2+2×1=4．故答案为：4．作出不等式组对应的平面区域，利用z的几何意义即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用，利用数形结合是解决本题的关键．10.3解：双曲线-=1的一个焦点为（2，0），即c=，解得m=3，故答案为：3．由双曲线的焦点坐标可得c的值，进而由双曲线的几何性质列出方程，解可得m的值．本题考查双曲线的标准方程，注意分析a、b的关系．11.-n 2解：等差数列{a n}的公差设为d，等比数列{b n}的公比设为q，a1=-1，b1=2，a3+b2=-1，可得-1+2d+2q=-1，即为d=-q，可取d=-1，可得q=1，则a n=-1-（n-1）=-n；b n=2．故答案为：-n，2．设等差数列的公差为d，等比数列的公比为q，由等差数列和等比数列的通项公式，解方程可得d，q，即可得到所求通项公式，注意答案不唯一．本题考查等差数列和等比数列的通项公式的运用，考查方程思想和运算能力，属于基础题．12.解：菱形ABCD中，，则=•=||×||×cos∠CBD=||×||=×=．故答案为：．根据菱形的对角线互相垂直且平分，利用平面向量的数量积公式计算即可．本题考查了平面向量的数量积计算问题，是基础题．13.解：函数=sinxcos-cosxsin+cosxcos+sinxsin=sinx；∵x∈上∴当x=时，f（x）取得最大值为sin=．故答案为：利用和与差公式化简，根据x在上，结合三角函数的性质可得最大值．本题考查了和与差公式的应用和计算能力．属于基础题．14.（-∞，ln2]解：①若f（x）=，由|f（x）|≤1，可得x2≤1+x2，成立，即有F f（x）=f（x）=，则F f（1）=；②若f（x）=e a-|x|-1，且对任意x∈R，F f（x）=f（x），可得|f（x）|≤1恒成立，即为-1≤e a-|x|-1≤1，即有0≤e a-|x|≤2，可得a-|x|≤ln2，即a≤|x|+ln2，由|x|+ln2的最小值为ln2，则a≤ln2．故答案为：，（-∞，ln2]．①通过|f（x）|的范围，可得F f（x）=f（x），代入可得所求值；②由题意可得|f（x）|≤1恒成立，运用绝对值不等式的性质和参数分离，以及函数的最值求法，可得a的范围．本题考查分段函数的运用：求函数值和解析式，考查变形能力和转化思想，注意运用参数分离和绝对值不等式的性质，考查运算能力，属于中档题．15.（本题满分为13分）解：（Ⅰ）在△ABC中，由正弦定理可得：c sin A=a sin C，所以：cos B==，又0＜∠B＜π，所以∠ ．…（5分）（Ⅱ）因为△ABC的面积为a2=ac sin，∴c=2，由余弦定理，，所以．所以．…（13分）（Ⅰ）由正弦定理可得cosB=，结合范围0＜∠B＜π，可求B的值．（Ⅱ）利用三角形的面积公式可求c的值，根据余弦定理可求b的值，进而可求cosA的值．本题主要考查了正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．16.（共13分）解：（Ⅰ）由0.05×2+0.08×2+0.10×2+0.12×2+2x=1，可得x=0.15…（3分）（Ⅱ）0.10×2+0.05×2=0.30，即课外阅读时间不小于16个小时的学生样本的频率为0.30.500×0.30=150，所以可估计该校所有学生中，课外阅读时间不小于16个小时的学生人数为150．…（6分）（Ⅲ）课外阅读时间在[10，12）的学生样本的频率为0.08×2=0.16，50×0.16=8，即阅读时间在[10，12）的学生样本人数为8，8名学生为3名女生，5名男生，随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，；；；．所以X的分布列为：故X的期望…（13分）（Ⅰ）利用频率分布直方图，通过概率和为1，即可求解x=0.15．（Ⅱ）利用分布直方图求解即可．（Ⅲ）随机变量X的所有可能取值为0，1，2，3，求出概率得到分布列，然后求解期望．本题考查离散型随机变量的分布列以及期望的求法，频率分布直方图的应用，考查计算能力．17.证明：（Ⅰ）在图1中，，，可得△AEF为等腰直角三角形，AE⊥EF．因为AD∥BC，所以EF⊥BF，EF⊥FC．因为平面ABFE⊥平面EFCD，且两平面交于EF，CF⊂平面CDEF，所以CF⊥平面ABFE．又EG⊂平面ABFE，故CF⊥EG；由G为中点，可知四边形AEFG为正方形，所以AF⊥EG；又AF∩FC=F，所以EG⊥平面AFC．又AC⊂平面AFC，所以AC⊥EG…（4分）解：（II）由（Ⅰ）知：FE，FC，FB两两垂直，如图建立空间直角坐标系F-xyz，设FE=1，则F（0，0，0），C（0，2，0），B（0，0，2），D（1，1，0）．设H是线段BC上一点，则存在∈，使得．因此点，，，，，．由（Ⅰ）知为平面ABFE的法向量，=（0，2，0），因为DH⊄平面ABFE，所以∥平面当且仅当，即（-1，2λ-1，2-2λ）•（0，2，0）=0.解得．所以在线段上存在点使得∥平面，此时．…（9分）（III）设A（1，0，1），E（1，0，0），G（0，0，1）．由（I）可得，是平面的法向量，，，．，，，，，，设平面ACD的法向量为n=（x，y，z），由即令x=1，则y=1，z=1．于是n=（1，1，1）．所以＜，＞．所以二面角D-AC-F的大小为90°…（14分）（Ⅰ）推导出AE⊥EF，EF⊥BF，EF⊥FC，从而CF⊥平面ABFE，进而CF⊥EG，四边形AEFG为正方形，AF⊥EG，由此能证明EG⊥平面AFC，从而AC⊥EG．（II）由FE，FC，FB两两垂直，建立空间直角坐标系F-xyz，由此利用向量法能求出在线段BC上存在一点H，使得DH∥平面ABFE，并能求出的值．（III）求出平面AFC的法向理和平面ACD的法向量，利用向量法能求出二面角D-AC-F的大小．本题考查线线垂直的证明，考查满足线面平行的点是否存在的判断与求法，考查二面角的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．18.解：（Ⅰ）当a=1时，f（x）=xe x-x2-2x，其导数f'（x）=e x（x+1）-2x-2，f'（0）=-1．又因为f（0）=0，所以曲线y=f（x）在点（0，f（0））处的切线方程为y=-x；（Ⅱ）根据题意，当x＞0时，“曲线y=f（x）在直线y=-x的上方”等价于“axe x-x2-2x＞-x恒成立”，又由x＞0，则axe x-x2-2x＞-x⇒ae x-x-1＞0⇒a＞，则原问题等价于a＞恒成立；设g（x）=，则g′（x）=-，又由x＞0，则g′（x）＜0，则函数g（x）在区间（0，+∞）上递减，又由g（0）==1，则有＜1，若a＞恒成立，必有a≥1，即a的取值范围为[1，+∞）．（Ⅰ）根据题意，求出函数的导数，由导数的几何意义可得切线的斜率，求出切点的坐标，由直线的点斜式方程分析可得答案；（Ⅱ）根据题意，原问题可以转化为a＞恒成立，设g（x）=，求出g（x）的导数，由函数的导数与函数单调性的关系分析可得其最大值，分析可得答案．本题考查利用导数分析函数的切线方程以及最值，涉及函数恒成立问题，注意将恒成立问题转化为最值问题．19.解：（Ⅰ）由椭圆方程椭圆：过点P（2，1），可得a2=8．所以c2=a2-2=8-2=6，所以椭圆C的方程为+=1，离心率e==，（Ⅱ）直线AB与直线OP平行．证明如下：设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），由得（4k2+1）x2+8k（1-2k）x+16k2-16k-4=0，∴2x1=，∴x1=同理x2=，所以x1-x2=-，由y1=kx1-2k+1，y2=-kx1+2k+1有y1-y2=k（x1+x2）-4k=-，因为A在第四象限，所以k≠0，且A不在直线OP上．∴k AB==，又k OP=，故k AB=k OP，所以直线AB与直线OP平行．（Ⅰ）将点P代入椭圆方程，求出a，结合离心率公式即可求得椭圆的离心率；（Ⅱ）设直线PA：y-1=k（x-2），PB：y-1=-k（x-2），设点A的坐标为（x1，y1），B（x2，y2），分别求出x1-x2，y1-y2，根据斜率公式，以及两直线的位置关系与斜率的关系本题考查椭圆的简单性质，考查了直线与椭圆位置关系的应用，训练了斜率和直线平行的关系，是中档题．20.（共14分）解：（Ⅰ）由于数列{a n}∈Ω（2），即d=2，a1=1．由已知有|a2|=|a1+d|=|1+2|=3，所以a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，将a2=±3代入得a3的所有可能取值为-5，-1，1，5．…（4分）证明：（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列：若{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．①当n=1时，a1=0•d+1，因此n=1时结论成立．②假设当n=k（k∈N*）时结论成立，即存在整数m0，使得a k=m0d0±1成立．当n=k+1时，|a n+1|=|m0d0±1+d0|=|（m0+1）d0±1|，a k+1=（m0+1）d±1，或a k+1=-（m0+1）±1，所以当n=k+1时结论也成立．由①②可知，若数列{a n}∈Ω（d）对任意n∈N*，a n具有md±1（m∈Z）的形式．由于a n具有md±1（m∈Z）的形式，以及d≥2，可得a n不是d的整数倍．故取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项…（9分）（Ⅲ）由|a n+1|=|a n+d|，可得：=，所以有=+2a n d+d2，=+2a n-1d+d2，，…=，以上各式相加可得，即A n=-，同理B n=-，当|a n+1|≤|b n+1|时，有，∵d∈N*，∴≤，∴≤-，∴A n≤B n．…（14分）（Ⅰ）推导出d=2，a1=1，a2=±3，|a3|=|a2+d|=|a2+2|，由此能求出a3的所有可能取值．（Ⅱ）先应用数学归纳法证明数列{a n}∈Ω（d），则a n具有md±1，（m∈Z）的形式．由此能证明取整数k=d，则整数k均不是数列{a n}中的项．（Ⅲ）由|a n+1|=|a n+d|，得：=，从而=+2a n d+d2，由此利用累加法得，从而A n=-，同理B n=-，由此能证明A n≤B n．本题考查数列的第3项的所有可能取值的求法，考查数列不等式的证明，考查数学归纳法、不等式性质等基础知识，考查运算求解能力，是难题．。