北京市东城区高三一模数学(理)试题及答案

东城区2010-2011学年度综合练习（一）高三数学 （理科）学校_____________班级_______________姓名______________考号___________ 本试卷分第Ⅰ卷和第Ⅱ卷两部分，第Ⅰ卷1至2页，第Ⅱ卷3至5页，共150分。

考试时长120分钟。

考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效。

考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。

第Ⅰ卷（选择题 共40分）一、本大题共8小题，每小题5分，共40分。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

（1）“2x >”是“24x >”的（A ）充分非必要条件 （B ）必要非充分条件 （C ）充要条件 （D ）既不充分也不必要条件（2）已知数列{}n a 为等差数列，且12a =，2313a a +=，那么则456a a a ++等于（A ）40 （B ）42 （C ）43 （D ）45（3）已知函数()f x 对任意的x ∈R 有()()0f x f x +-=，且当0x >时，()ln(1)f x x =+，则函数()f x 的大致图像为（A ）（B ）（C ） （D ） （4）已知平面上不重合的四点P ，A ，B ，C 满足0PA PB PC ++=u u u r u u u r u u u r ，且AB AC mAP +=u u u r u u u r u u u r，那么实数m 的值为（A ）2 （B ）3 （C ）4 （D ）5（5）若右边的程序框图输出的S 是126，则条件①可为 A ．5n ≤ B ．6n ≤ C ．7n ≤ D ．8n ≤（6）已知(,)2απ∈π,1tan()47απ+=,那么ααcos sin +的值为 （A ）51- （B ）57（C ）57-（D ）43 （7）已知函数31)21()(x x f x-=，那么在下列区间中含有函数)(x f 零点的是（A ）)31,0( （B ）)21,31( （C ）)32,21( （D ）)1,32(（8）空间点到平面的距离定义如下：过空间一点作平面的垂线，这个点和垂足之间的距离叫做这个点到这个平面的距离．已知平面α，β，γ两两互相垂直，点A ∈α，点A 到β，γ的距离都是3，点P 是α上的动点，满足P 到β的距离是到P 到点A 距离的2倍，则点P 的轨迹上的点到γ的距离的最小值是（A ） 33- （B ）323- （C ）36- （D ）340 50 60 70 80 90 体重(kg) 频率A第Ⅱ卷（共110分）二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。

（9）如果2(i)(1i)m m ++是实数,那么实数m = ． （10）已知曲线C 的参数方程为2cos ,sin x y θθ=+⎧⎨=⎩（θ为参数），则曲线上C 的点到直线3440x y -+=的距离的最大值为 ．（11）从某地高中男生中随机抽取100名同学，将他们的体重（单位：kg ）数据绘制成频率分布直方图（如图）．由图中数据可知体重的平均值为 kg ；若要从体重在[ 60 , 70），[70 ，80) , [80 , 90]三组内的男生中，用分层抽样的方法选取12人参加一项活动，再从这12人选两人当正负队长，则这两人身高不在同一组内的概率为 ．（12）如图，已知圆O 的半径为3，从圆O 外一点A 引切线ABC ，圆心O 到AC 的距离为22，3AB =，则切线的长为 ．（13）过抛物线22(0)y px p =>的焦点作倾斜角为60o 的直线，与抛物线分别交于A ，B 两点（点A 在x 轴上方），AF BF= ．（14）已知数列{}n a 满足：11a =，22a =，33a =，44a =，55a =，且当n ≥5时，1121n n a a a a +=-L ，若数列{}n b 满足对任意*N n ∈，有2221212n n n b a a a a a a =----L L ，则b 5= ；当n ≥5时，=n b ．三、解答题：本大题共6小题，共80分。

解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

（15）（本小题共13分）在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c 分，且满足2cos cos c b Ba A-=． （Ⅰ）求角A 的大小；（Ⅱ）若25a =，求△ABC 面积的最大值．（16）（本小题共14分）已知四棱锥P ABCD -的底面是菱形．60BCD ∠=o，2AB PB PD ===，3PC =，AC 与BD 交于O 点，E ，H 分别为PA ，OC 的中点．（Ⅰ）求证：EC ∥平面BDE ； （Ⅱ）求证：PH ⊥平面ABCD ；（Ⅲ）求直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值．（17）（本小题共13分）甲、乙、丙三人参加了一家公司的招聘面试，面试合格者可正式签约，甲表示只要面试合格就签约.乙、丙则约定：两人面试都合格就一同签约，否则两人都不签约.设甲面试合格的概率为，乙、丙面试合格的概率都是，且面试是否合格互不影响．（Ⅰ）求至少有1人面试合格的概率； （Ⅱ）求签约人数的分布列和数学期望．OECABDPH（18）（本小题共13分）已知函数2()ln ,()xx f x x x g x e e==-． （Ⅰ）求函数()f x 在区间[1,3]上的最小值；（Ⅱ）证明：对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．(19) （本小题共13分）已知椭圆22221(0)y x a b a b+=>>的离心率为22，且两个焦点和短轴的一个端点是一个等腰三角形的顶点．斜率为(0)k k ≠的直线l 过椭圆的上焦点且与椭圆相交于P ，Q 两点，线段PQ 的垂直平分线与y 轴相交于点(0,)M m ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）求的取值范围；（Ⅲ）试用表示△MPQ 的面积，并求面积的最大值．(20) （本小题共14分）对于)2(≥∈n n *N ，定义一个如下数阵：⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫⎝⎛=nn n n n n nn a a a a a a a a a A ΛΛΛΛΛΛΛ212222111211 其中对任意的n i ≤≤1，n j ≤≤1，当i 能整除j 时，1=ij a ；当i 不能整除j 时，0=ij a ．设nj j j ni ij a a a a j t +++==∑=Λ211)(．（Ⅰ）当6=n 时，试写出数阵66A 并计算∑=61)(j j t ；（Ⅱ）若][x 表示不超过x 的最大整数，求证：∑=n j j t 1)(∑==ni in1][；（Ⅲ）若∑==nj j t n n f 1)(1)(，dx x n g n ⎰=11)(，求证：()1()()1g n f n g n -<<+．东城区2010-2011学年度综合练习（一） 高三数学参考答案 （理科）一、选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）（1）B （2）B （3）A （4）C （5）C （6）B （7）B （8）C 二、填空题（本大题共6小题，每小题5分，共30分）（9） 1- （10）3 （11）5.6432（12）15 （13）3（14）65 n -70注：两个空的填空题第一个空填对得2分，第二个空填对得3分． 三、解答题（本大题共6小题，共80分） （15）（共13分） 解：（Ⅰ）因为2cos cos c b Ba A-=， 所以(2)cos cos c b A a B -⋅=⋅由正弦定理，得(2sin sin )cos sin cos C B A A B -⋅=⋅． 整理得2sin cos sin cos sin cos C A B A A B ⋅-⋅=⋅． 所以2sin cos sin()sin C A A B C ⋅=+=． 在△ABC 中，sin 0C ≠． 所以1cos 2A =，3A π∠=．（Ⅱ）由余弦定理2221cos 22b c a A bc +-==，a = 所以2220220b c bc bc +-=≥-所以20bc ≤，当且仅当b c =时取“=” ．所以三角形的面积1sin 2S bc A =≤．所以三角形面积的最大值为．（16）（共14分）（Ⅰ）证明：因为E ，O 分别为PA ，AC 的中点， 所以EO ∥PC ．又EO ⊂平面BDE ,PC ⊄平面BDE ． 所以PC ∥平面BDE ． （Ⅱ）证明：连结OP ， 因为PB PD =，所以OP BD ⊥．在菱形ABCD 中，BD AC ⊥， 又因为OP AC O =I ， 所以BD ⊥平面PAC ． 又PH ⊂平面PAC ， 所以BD ⊥PH ．在直角三角形POB 中，1OB =，2PB =， 所以3OP =又3PC =，H 为OC 的中点， 所以PH OC ⊥． 又因为BD OC O =I 所以PH ⊥平面ABCD ．（Ⅲ）解：过点O 作OZ ∥PH ，所以OZ ⊥平面ABCD ．如图，以O 为原点，OA ，OB ，OZ 所在直线为,,x y z 轴，建立空间直角坐标系． 可得，3,0,0)A ，(0,1,0)B ，(3,0,0)C ，33()22P -，33)44E ． 所以(3,1,0)AB =u u u r ，333(,0,)22AP =-u u u r ， 533()4CE =u u u r ．设(,,)x y z =n 是平面PAB 的一个法向量，则00AB AP ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩u u u r u u u r n n ，即30333022x y x z ⎧+=⎪⎨-+=⎪⎩， OECDB A PH令1x =，则(1,3,3)=n ． 设直线CE 与平面PAB 所成的角为θ，可得4sin cos ,7n CE ==u u u r θ〈〉．所以直线CE 与平面PAB 所成角的正弦值为47． （17）（共13分）解：（Ⅰ）用A ，B ，C 分别表示事件甲、乙、丙面试合格.由题意知A ，B ，C 相互独立，且.至少有1人面试合格的概率是（Ⅱ）的可能取值为0，1，2，3.＝＝==∴的分布列是123的期望（18）（共13分）（Ⅰ）解：由()ln f x x x =，可得()ln 1f x x '=+．当1(0,),()0,()x f x f x e'∈<单调递减， 当1(,),()0,()x f x f x e'∈+∞>单调递增. 所以函数()f x 在区间[1,3]上单调递增， 又(1)0f =，所以函数()f x 在区间[1,3]上的最小值为0．（Ⅱ）证明：由（Ⅰ）可知()ln ((0,))f x x x x =∈+∞在1x e=时取得最小值， 又11()f ee =-， 可知1()f m e ≥-．由2()x x g x e e =-，可得1'()x xg x e-=．所以当(0,1),'()0,()x g x g x ∈>单调递增， 当(1,),'()0,()x g x g x ∈+∞<单调递减. 所以函数()(0)g x x >在1x =时取得最大值，又1(1)g e=-， 可知1()g n e≤-， 所以对任意,(0,)m n ∈+∞，都有()()f m g n ≥成立．（19）（共13分）解：（Ⅰ）依题意可得，22=a c ，c b =， 又222c b a +=，可得1,b a == 所以椭圆方程为2212y x +=． （Ⅱ）设直线l 的方程为1y kx =+， 由221,1,2y kx y x =+⎧⎪⎨+=⎪⎩可得22(2)210k x kx ++-=． 设1122(,),(,)P x y Q x y ， 则12222k x x k -+=+，12212x x k =-+． 可得121224()22y y k x x k +=++=+． 设线段PQ 中点为N ，则点N 的坐标为222(,)22k k k -++， 由题意有1-=⋅k k MN ， 可得222212m k k kk -+⋅=-+． 可得212m k =+， 又0k ≠， 所以102m <<． （Ⅲ）设椭圆上焦点为F ， 则1212MPQ S FM x x ∆=⋅⋅-. 12x x -==由212m k =+，可得212k m+=．所以12x x -== 又1FM m =-，所以MPQ S ∆=所以△MPQ 的面积为3)1(2m m -（210<<m ）． 设3)1()(m m m f -=，则)41()1()('2m m m f --=． 可知)(m f 在区间)41,0(单调递增，在区间)21,41(单调递减． 所以，当41=m 时，)(m f 有最大值6427)41(=f ． 所以，当41=m 时，△MPQ 的面积有最大值863．（20）（共1４分）（Ⅰ）解：依题意可得，⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛=10000001000000100010010010101011111166A ． 14423221)(61=+++++=∑=j j t ．（Ⅱ）解：由题意可知，)(j t 是数阵nn A 的第j 列的和，因此∑=n j j t 1)(是数阵nn A所有数的和．而数阵nn A 所有数的和也可以考虑按行相加．对任意的n i ≤≤1，不超过n 的倍数有i 1，i 2，…，i i n ][． 因此数阵nn A 的第i 行中有][i n 个１，其余是0，即第i 行的和为][i n ． 所以∑=n j j t 1)(∑==n i in 1][． （Ⅲ）证明：由][x 的定义可知，i n i n i n ≤<-][1， 所以∑∑∑===≤<-n i n i n i in i n n i n 111][．所以∑∑==≤<-n i ni i n f i 111)(11．考查定积分dx xn⎰11， 将区间],1[n 分成1-n 等分，则dx x n ⎰11的不足近似值为∑=n i i 21， dx x n ⎰11的过剩近似值为∑-=111n i i． 所以∑=n i i 21dx x n ⎰<11∑-=<111n i i． 所以111-∑=ni i )(n g <∑=<n i i 11．所以<-1)(n g ∑=<-ni n f i 1)(11<≤∑=n i i 111)(+n g ．所以()1()()1g n f n g n -<<+．。