高一数学课本知识达标竞赛试题20134
数学竞赛试题高一及答案
数学竞赛试题高一及答案一、选择题（每题5分，共20分）1. 若函数f(x) = 2x^2 + 3x + 1的图像关于直线x = -1/2对称，则下列哪个函数的图像也关于直线x = -1/2对称？A. g(x) = x^2 + 2x + 3B. h(x) = -x^2 + 2x - 3C. i(x) = x^2 - 2x + 3D. j(x) = -x^2 - 2x - 3答案：B2. 已知集合A = {1, 2, 3}，集合B = {2, 3, 4}，则A∪B等于：A. {1, 2, 3, 4}B. {1, 2, 3}C. {2, 3}D. {1, 3, 4}答案：A3. 若方程x^2 - 5x + 6 = 0的两个根为α和β，则α + β的值为：A. 1B. 2C. 3D. 5答案：C4. 函数y = |x - 2| + 3的图像与x轴交点的个数是：A. 0B. 1C. 2D. 3答案：B二、填空题（每题5分，共20分）1. 已知等差数列的前三项依次为2, 5, 8，则该数列的第五项为________。
答案：112. 圆的方程为x^2 + y^2 - 6x - 8y + 25 = 0，则圆心坐标为________。
答案：(3, 4)3. 函数y = sin(x)在区间[0, π]上的最大值为________。
答案：14. 已知三角形的三边长分别为3, 4, 5，则该三角形的面积为________。
答案：6三、解答题（每题15分，共30分）1. 证明：若一个三角形的两边长分别为a和b，且满足a^2 + b^2 =c^2（c为第三边长），则该三角形为直角三角形。
证明：根据勾股定理，若三角形的两边长为a和b，且满足a^2 + b^2 = c^2，则第三边c所对的角θ为直角，即θ = 90°。
因此，该三角形为直角三角形。
2. 解方程：2x^2 - 3x - 2 = 0。
解：首先，我们计算判别式Δ = b^2 - 4ac = (-3)^2 - 4*2*(-2) = 9 + 16 = 25。
任丘一中高一数学竞赛竞赛答案
1 x + 2, 12. (本小题满分15分)已知 f ( x) = 2(1 − x) ⑴求 f2004 (
0 x 1 <x 2
1 2 ，定义 fn ( x) = f ( f (· · · f ( x) · · ·))，n ∈ N∗ . 1 n个 f
2 2
(B) 6种
(C) 8种
(D) 16种
解：设 x − y = 2008，可得( x + y)( x − y) = 2008，又 x + y与 x − y同奇同偶，可知 x + y与 x − y的值分别 为−2、−1004；2、1004；−1004、−2；1004、2；−4、−502；502、4；−502、−4；4、502. 再解出 x和y的 值可知答案为C 4. 已知 f ( x)是定义在R上的不恒为0的函数。如果对于任意的a、b ∈ R都满足 f (ab) = a f (b) + b f (a)， 则函数 f ( x) (A) (A) 是奇函数 (C) 既是奇函数，又是偶函数 (B) 是偶函数 (D) 既不是奇函数，也不是偶函数
2. 函数 f ( x) = log 1 ( x2 − 2 x − 3)的单调递增区间是(A) (A) (−∞, −1) (B) (−∞, 1) (C) (1, +∞) (D) (3, +∞)
解：函数的定义域是(−∞, −1) ∪ (3, +∞)，利用复合函数的单调性可得正确答案为A 3. 把2008表示成两个整数的平方差形式，则不同的表示方法有(C ) (A) 4种
高一数学竞赛试题 第 3 页（共3页）
0}， B = { x|10 x
高一数学必修一竞赛题答案
A B B A A B A B A ． B ． C ． D ． 2014年华容一中高一数学竞赛试题班级 姓名 成绩一．选择题：(每题5分，共40分)1设集合1,,}22{|,{|n n x n n A x x B x =∈=+∈==Z}Z ，则下列图形能表示A 与B 关系的是（ ）A2.设()f x 是定义在R 上单调递减的奇函数．若120x x +>，230x x +>，310x x +>则( C ）A. ()()()1230f x f x f x ++>B. ()()()1230f x f x f x ++=C. ()()()1230f x f x f x ++<D. ()()()123f x f x f x +>3.对函数)0()(2≠++=a c bx ax x f 作)(t h x =的代换，则总不改变函数)(x f 的值域的是（A ）A ．t t h 2log )(= B.2)(t t h = C ．tt h 1)(= D ．t t h 10)(= 4. 已知函数()f x 满足()()()f ab f a f b =+，且(2)f p =，(3)f q =，那么(12)f 等于（ ）BA ． p q +B ． 2p q +C ． 2p q +D ． 2p q +5.设M ，P 是两个非空集合，定义M 与P 的差集为{}P x M x x P M ∉∈=-且，则)(P M M --等于（B ） A. P B. P M ⋂ C. P M ⋃ D. MA.)3,0(B.(1,3)C.(2，32)D.(1，32) 6 如图所示的是某池塘中的浮萍蔓延的面积(2m )与时间t (月)的关系：xa y =，有以下叙述： ① 这个指数函数的底数是2；② 第5个月时，浮萍的面积就会超过230m ； ③ 浮萍从24m 蔓延到212m 需要经过1．5个月； ④ 浮萍每个月增加的面积都相等． 其中正确的是（ ） DA ． ①②③B ． ①②③④C ． ②③④D ． ①② 7．已知0)](log [log log 234=x ，那么21-x等于（ ） CA ． 13 B ．．D ．8. 为提高信息在传输中的抗干扰能力，通常在原信息中按一定的规则加入相关的数据组成传输信息，设定原信息为210a a a ，{}1,0∈i a （2,1,0=i ），传输信息为12100h a a a h ，其中100a a h ⊕=，201a h h ⊕=，⊕运算规则为：000=⊕，110=⊕，101=⊕，011=⊕，例如原信息为111，则传输信息为01111；传输信息在传输过程中受到干扰可能导致接受信息出错，则下列接受信息一定有误的是（C ) t/月A. 11010B.01100C.10111D. 01111二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分）9、设集合{}⎭⎬⎫⎩⎨⎧=+b a b a b a ,,0,,1，则=a b -1 .10已知f (x )=333322x x x x-⎧++⎪⎨+⎪⎩ (,1)(1,)x x ∈-∞∈+∞，f [f (0)]= ___ ______．5211.若方程a x x x =-+-342有三个不相等的实数根，则a= 431--或_ 12.集合2(1){|,1}x a x aMx x aa -++==>，M 中元素的个数为____2______13. 函数f (x )＝ax 3＋bx ＋4(a ，b 不为零)，且f (5)＝10，则f (－5)等于 -2 . 14．已知a ，b ，c ，d 均为正整数，且log a b=32，log c d=54，若a －c=9，则b －d= 93 ．解：a 3=b 2，c 5=d 4，设a=x 2，b=x 3；c=y 4，d=y 5，x 2－y 4=9．(x +y 2)(x －y 2)=9． ∴ x +y 2=9，x －y 2=1，x=5，y 2=4．b －d=53－25=125－32=93．三、解答题（本大题共3小题，各10分，满分30分）15 记函数321)(-=x x f 的定义域为集合A ，函数xk x g 1)(-=在()+∞,0为增函数时k 的取值集合为B,函数42)(2++=x x x h 的值域为集合C .(1) 求集合A, B, C ；(2) 求集合()B C A R ⋃, A ∩(B ∪C )解:(1)由2x －3＞0，得x ＞32，∴ A ＝{x |x ＞32}；…………2分 又由01<-k ，得1<k ，()1,∞-=∴B ,…………4分而()33142)(22≥++=++=x x x x h ，[)+∞=∴,3C …………6分 (2) ()[)+∞=⋃,1B C A R …………9分A ∩(B ∪C )= [)+∞,3…………12分16, 设函数f （x ）=ax 2+bx+1(a ≠0,b ЄR)，若f(-1)=0，且对任意实数x （x ЄR ）不等式f(x)≥0恒成立。
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题一、选择题1. （5分）若一个等差数列的首项为3，公差为4，第10项为多少？A. 37B. 35C. 43D. 412. （5分）已知函数f(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6，求f(2)的值。
A. 0B. 2C. 4D. 83. （5分）在平面直角坐标系中，点A(2,3)和点B(-2,-1)之间的距离是多少？A. 2√5B. 3√2C. 5D. √104. （5分）若一个圆的半径为5，圆心在坐标轴上，且圆上有一点P(3,4)，则这个圆的方程是什么？A. (x-3)^2 + (y-4)^2 = 25B. (x-3)^2 + (y+4)^2 = 25C. (x+3)^2 + (y-4)^2 = 25D. (x+3)^2 + (y+4)^2 = 255. （5分）已知一个等比数列的前三项分别为2, 6, 18，这个等比数列的第5项是多少？A. 54B. 108C. 216D. 486二、填空题6. （5分）若一个等差数列的前5项和为50，公差为2，首项为_______。
7. （5分）在直角坐标系中，直线y = 2x + 3与x轴的交点坐标为_______。
8. （5分）一个圆的周长为20π，那么这个圆的面积是_______。
9. （5分）若函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|，求g(2)的值，结果为_______。
10. （5分）已知一个等比数列的前三项和为30，公比为3，那么第一项是_______。
三、解答题11. （15分）解方程：\( \frac{1}{x-1} + \frac{1}{x-2} =\frac{1}{x-3} \)12. （15分）已知一个等差数列的前10项和为110，公差为5，求首项a1。
13. （15分）在平面直角坐标系中，点A(1,2)、点B(5,6)和点C(3,-1)构成一个三角形ABC，请计算这个三角形的面积。
14. （15分）证明：若n是正整数，且n^2 - 3n + 2能被4整除，则n也能被4整除。
高一数学竞赛试题参考答案
高一数学竞赛试题参考答案一、选择题：（本题共10小题，每题4分，共40分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求的。
）1.[答案] B[解析] 当a ≤0时，B ＝∅，满足B ⊆A ；当a >0时，欲使B ⊆A ，则⎩⎪⎨⎪⎧3－a ≥－43＋a ≤4⇒a ≤1.故选B.2.[答案] C[解析] 由已知ax 2＋ax －3≠0恒成立， 当a ＝0时，－3≠0成立； 当a ≠0时，Δ<0，∴a 2＋12a <0， ∴－12<a <0，综上所述，a ∈(－12,0]．3．C 【解析】 依题意，函数y ＝x 2－ax ＋12存在大于0的最小值，则a >1且a 2－2<0，解得a∈(1，2)，选择C.4．B 【解析】 ∵2＝log 24>log 23>log 22＝1，故f (log 23)＝f (1＋log 23)＝f (2＋log 23)＝f (3＋log 23)＝⎝ ⎛⎭⎪⎫123＋log 23＝124 5．C 【解析】 由f (x －1)＝f (x ＋1)知f (x )是周期为2的偶函数，因为x ∈[0,1]时，f (x )＝x 2，故当x ∈[－1,0]，－x ∈[0,1]时，f (x )＝f (－x )＝(－x )2＝x 2，由周期为2可以画出图象，结合y ＝⎝⎛⎭⎫110x的图象可知，方程f (x )＝⎝⎛⎭⎫110x在x ∈⎣⎡⎦⎤0，103上有三个根，要注意在x ∈⎝⎛⎦⎤3，103内无解． 6.[答案] D[解析] 由题意，DE ⊥平面AGA ′， ∴A ，B ，C 正确，故选D. 7.[答案] B[解析] 设f (x )＝2x －3－x ，因为2x ，－3－x 均为R 上的增函数，所以f (x )＝2x －3－x 是R 上的增函数．又由2x －3－x >2－y －3y ＝2－y －3－(－y )，即f (x )>f (－y )，∴x >－y ，即x ＋y >0.8.[答案] A[解析] m ＝x －1－x ，令t ＝1－x ≥0，则x ＝1－t 2，∴m ＝1－t 2－t ＝－(t ＋12)2＋54≤1，故选A.9.[答案] B[解析] 将f (x )＝x 2＋(a －4)x ＋4－2a 看作是a 的一次函数，记为g (a )＝(x －2)a ＋x 2－4x ＋4. 当a ∈[－1,1]时恒有g (a )>0，只需满足条件⎩⎪⎨⎪⎧ g (1)>0，g (－1)>0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x ＋2>0，x 2－5x ＋6>0，解之得x <1或x >3. 10.[答案] B[解析] 由已知得f (x )＝⎩⎨⎧x 2－2(－1≤x ≤32)，x －x 2(x <－1或x >32)，如图，要使y ＝f (x )－c 与x 轴恰有两个公共点，则－1<c <－34或c ≤－2，应选B.二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共50分）1. 已知函数\( f(x) = x^2 - 4x + 3 \)，求\( f(1) \)的值。
A. -2B. -1C. 0D. 12. 圆的半径为5，圆心到直线的距离为3，求圆与直线的位置关系。
A. 相切B. 相交C. 相离D. 内切3. 集合\( A = \{1, 2, 3\} \)，\( B = \{2, 3, 4\} \)，求\( A \cup B \)。
A. \( \{1, 2, 3, 4\} \)B. \( \{1, 2, 3\} \)C. \( \{2, 3, 4\} \)D. \( \{1, 4\} \)4. 已知等差数列的第1项为2，公差为3，求第5项的值。
A. 14B. 17C. 20D. 235. 已知正弦函数\( y = \sin x \)的周期为2π，求\( y = \sin 2x\)的周期。
A. πB. 2πC. 4πD. 8π6. 已知三角形ABC的三边长分别为3, 4, 5，求三角形ABC的面积。
A. 6B. 9C. 12D. 157. 函数\( g(x) = \frac{1}{x} \)在区间(1, 2)上的单调性是？A. 单调递增B. 单调递减C. 先减后增D. 先增后减8. 已知\( a^2 + b^2 = 13 \)，\( a + b = 5 \)，求ab的值。
A. 12B. 10C. 8D. 69. 已知\( \cos x = \frac{3}{5} \)，\( \sin x \)的值在区间[-1,1]内，求\( \sin x \)的值。
A. \( -\frac{4}{5} \)B. \( \frac{4}{5} \)C. \( -\frac{3}{5} \)D. \( \frac{3}{5} \)10. 已知\( \log_2 8 = 3 \)，求\( \log_{16} 8 \)的值。
A. \( \frac{3}{4} \)B. \( \frac{1}{2} \)C. \( \frac{3}{2} \)D. \( \frac{4}{3} \)二、填空题（每题5分，共30分）11. 已知函数\( h(x) = x^3 - 6x^2 + 11x - 6 \)，求\( h(2) \)的值。
河南省新乡一中2013-2014学年高一数学上学期竞赛试题新人教A版
河南省新乡市新乡县第一中学高一上学期竞赛试题（数学）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共4页．试卷满分150分．考试时间100分钟．第I 卷（选择题，共60分）一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1.已知全集{}12345U =，，，，，集合{}1,3A =，{}3,4,5B =，则集合()U C A B =（ ）A ．{3}B ．{4,5}C ．{3,4,5}D ．{1245}，，，2.若直线过点(1,2)，(4,2+，则此直线的倾斜角是（ ） A.030 B.045 C ．060 D ．090 3.下列各组函数表示同一函数的是（ ）A ．293x y x -=-与3y x =+ B．1y =-与1y x =-C ．00()y x x =≠与10()y x =≠ D ．21,y x x Z =+∈与21,y x x Z =-∈ 4.下列结论正确的是（ ） A ．2030321..<< B ．2030312..<<C ．2031032..<< D ． 0322103..<< 5．若偶函数)(x f 在(]1,-∞-上是增函数，则下列关系式中成立的是（ ）A.3122-()()f f f -<<（）B. 3122-()()f f f <-<（） C. 3212-()()f f f <<-（） D. 3212-()()f f f <-<（）6．(0)a >化简的结果是（ ）A. 12a B. 14a C. 18a D. 38a 7．如图，一个简单空间几何体的三视图其主视图与左视图是边长为 2的正三角形、俯视图轮廓为正方形，则其体积是（ ）.A．3D . 838．给定下列四个命题：①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行，那么这两个平面相互平行；俯视图②若一个平面经过另一个平面的垂线，那么这两个平面相互垂直； ③垂直于同一直线的两条直线相互平行；④若两个平面垂直，那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中为真命题的是（ ）.A. ①和②B. ②和③C. ③和④D. ②和④9.如果轴截面为正方形的圆柱的侧面积是4π，那么圆柱的体积等于 （ ） A π B 2π C 4π D 8π10．设函数1()ln (0),3f x x x x =->则()y f x = A. 在区间1(,1),(1,)e e 内均有零点 C ．在区间1(,1)e 内有零点，在区间(1,)e 内无零点B. 在区间1(,1),(1,)e e 内均无零点 D ．在区间1(,1)e内无零点，在区间(1,)e 内有零点11.已知函数2()lg()f x ax x a =-+定义域为R ，则实数a 的取值范围是（ ）A ．11(,)22-B ．11(,)(,)22-∞-+∞C ．1(,)2+∞ D ．11(,][,)22-∞-+∞12.已知三棱锥ABC S -中，底面ABC 为边长等于2的等边三角形，SA 垂直于底面ABC ，3=SA ，那么直线AB 与平面SBC 所成角的正弦值为（ ） A.43 B.45 C.47 D. 43第Ⅱ卷 （非选择题，共90分）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上． 13.设)(x f 在R 上是偶函数，若当0>x 时,有)1(log )(2+=x x f ，则=-)7(f ．14.设1(1)()3(1)x x f x x x +≥⎧=⎨-<⎩，则5(())2-f f 的值为 .15．4219432log 2log 3log -⋅= .16．已知函数2()2(1)2f x x a x =+-+在区间(,4)-∞上是减函数，则a 的取值范围是 .三、解答题：本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．SCBA(17)（本小题满分10分）已知集合{}{}{}37,210,A x x B x x C x x a =≤≤=<<=<． （1）求B A ；（2）求B A C R )(；（3）若A C ⊆，求a 的取值范围． (18)（本小题满分12分）设函数2211)(xx x f -+=．（1） 求)(x f 的定义域； （2） 判断)(x f 的奇偶性；（3） 求证：)()1(x f xf -=． (19)（本小题满分12分）如图，在底面为平行四边形的四棱锥P ABCD -中，AB AC ⊥，PA ⊥平面ABCD ，且PA AB =，点E 是PD 的中点.（Ⅰ）求证：AC PB ⊥；（Ⅱ）求证：//PB 平面AEC ； （Ⅲ）求二面角E AC B --的大小. (20)（本小题满分12分）（本小题12分）已知函数2421x x y --=的定义域为A ，函数)1(log 2+-=a x y 的定义域为B.（1）若B A ⊆，求实数a 的取值范围；（2）若φ=B A ，求实数a 的取值范围．(21)（本小题满分12分）如图，在三棱锥P ABC -中，,E F 分别为,AC BC 的中点． （1）求证：//EF 平面PAB ；（2）若平面PAC ⊥平面ABC ，且PA PC =，90ABC ∠=︒，求证：平面PEF ⊥平面PBC ．(22)（本小题满分12分） 已知函数62252)(12-⋅-=+x xx f ，其中[0,3]x ∈， （1）求()f x 的最大值和最小值；（2）若实数a 满足：()0f x a -≥恒成立，求a 的取值范围．河南省新乡市新乡县第一中学高一上学期竞赛试题数学答案一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．P A C EBF二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分． 13．3； 14．132； 15．32； 16．(3,⎤-∞-⎦ 三、解答题：本大题共6小题，共70分． 17．（本小题满分10分）（1）B A {}210x x =<< ……………………………３分（2）{}37或R C A x x x =<> ……………………４分B AC R )({}23710或x x x =<<<< ……………………………６分 （3）7a ≥ …………………………………1０分 18．（本小题满分12分） (1)由210-≠x可得1≠±x ， ……………………3分所以函数的定义域为：()()()1111,,,-∞--+∞；……………………4分（2）因为22221111()()()()+-+-===---x x f x f x x x，……………………7分 所以函数()f x 为偶函数；……………………8分（3）因为22222211111111111()()()()+++====----x x x f f x x x x x，……………………11分 所以 )()1(x f xf -= ． .……………………12分 19. （本小题满分12分）（Ⅰ）PA ⊥平面ABCD ，∴ AB 是PB 在平面ABCD 上的射影， 又AB ⊥AC ，AC ⊂平面ABCD ， ∴AC ⊥PB.（Ⅱ）连接BD ，与AC 相交与O ，连接EO ， ABCD 是平行四边形 ∴O 是BD 的中点题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案DACBDABDBDCD又E 是PD 的中点， ∴EO PB.又PB ⊄平面AEC ，EO ⊂平面AEC ， ∴PB //平面AEC ，（Ⅲ）如图，取AD 的中点F ，连EF ，FO ，则EF 是△PAD 的中位线， ∴EF //PA 又PA ⊥平面ABCD ， ∴EF ⊥平面ABCD同理FO 是△ADC 的中位线，∴FO //AB ∴FO ⊥AC 由三垂线定理可知∴∠EOF 是二面角E －AC －D 的平面角. 又FO ＝12AB ＝12PA ＝EF 。
2013年吴川一中第四届高一数学竞赛试题及答案
2013年吴川一中第四届“步青杯”数学邀请赛初赛试题(高一)说明：(1)全卷满分150分，共20小题； (2)时间：90分钟；(3)必须将所有答案写在答题卷上.一、选择题：共10小题，每小题5分，共50分. 1．已知集合{1)0}A x =-≥，{1}B x x =>，则()A B =R ð( ).(A){1} (B){0,1} (C)(0,1) (D)∅2．已知m 和n 是两条不同的直线，α和β是两个不重合的平面，那么下面给出的条件中一 定能推出m ⊥β的是( ).(A)⊥αβ，且m ⊂α (B)m ⊥n ，且n ∥β (C)⊥αβ，且m ∥α (D)m ∥n ，且n ⊥β3．已知点()P a b ，(0ab ≠)是圆O ：222x y r +=内一点，直线l 的方程为20ax by r ++=，那么直线l 与圆O 的位置关系是( ).(A)相离 (B)相切 (C)相交 (D)不确定 4．如图，已知圆柱的轴截面11ABB A 是正方形，C 是圆柱下底 面弧AB 的中点，1C 是圆柱上底面弧11A B 的中点，那么异面 直线1AC 与BC 所成角的正切值为( ).(B)1(D)2 5．函数x y a log =(0>a 且1≠a )的图象经过点)1,2(-，函数x b y =(0>b 且1≠b )的图象经 过点)2,1(，则下列关系式中正确的是( ).(A)22b a > (B)b a 22> (C)b a )21()21(> (D)2121b a >6．某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出7名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩(满分l00分)的茎叶图如图， 其中甲班学生的平均分是85，乙班学生成绩的中位数 是83．则x y +的值为( ).(A)7 (B)8 (C)9 (D)10AB1A 1C 1B7．定义某种运算∆，a b ∆的运算原理如右图所示. 设()(0)(2)f x x x x =∆∆-∆.则(1)f =( ). (A)2 (B)1 (C)0 (D)1-8．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为(A)(B)3-1- 9．设点(1,0)A ，(2,1)B ，如果直线1ax by += 与线段AB 有一个公共点，且1a <，则2a b + 的最小值为(A)1 (B)2 (C)3 (D)410．定义在()1,1- 上的函数()()⎪⎪⎭⎫⎝⎛--=-xy y x f y f x f 1，且()f x 在()1,0-上单调递减，若()20112012(),(),020122013p f Q f R f ===；则P ，Q ，R 的大小关系为( ). (A)R ＞Q ＞P (B) R ＞P ＞Q (C) P ＞R ＞Q (D)Q ＞P ＞R二、填空题：共6小题，每小题5分，共30分.11．已知圆22:(1)1C x y -+=与直线:210l x y -+=相交于A 、B 两点，则|AB|= . 12．执行如图所示的程序框图，若输入2x =， 则输出y 的值为 .13．已知定点(0,2),(2,0)M N -，直线:220l kx y k --+=(k 为常数). 若点,M N 到直线l 的距离相等，则实数k 的 值是 .14．圆柱形容器内部盛有高度为8cm 的水，若放入三个相同的球 (球的半径与圆柱的底面半径相同)后，水恰好淹没最上面的球 (如图所示)，则球的半径是 cm ．(球的体积：343V R =π). 15．李先生准备2012年底从银行贷款200000元购买一套住房.银行规定，从次年年初开始按年利率为6%计算利息，且按复利计算(即上一年 的本利和为下一年的本金)，第10年年底一次还清.则第10年年 底李先生需还款 元.(精确到1元，参考数据：101.06 1.790848≈).16．已知集合2012{|22}A x x a a a ==+⨯+⨯，其中{0,1,2}(0,1,2)i a i ∈=，且20a ≠， 则集合A 中所有元素之和是_________.三、解答题：共4小题，其中第17、18小题，每小题15分，第19、20小题，每小题20分，共70分. 17．(本题满分15分)假设关于某设备的使用年限x 和所支出的维修费用y (万元)有如下的统计资料：若由数据知y 对x (I)求线性回归方程y bx a =+；(II)估计使用年限为10年时，维修费用是多少？参考公式：1221()ni ii nii x ynx yb xn x ==-=-∑∑，a y bx =-.18．(本题满分15分)如图，矩形ABCD 的两条对角线相交于点(2,0)M ，AB 边所在直线的方程为360x y --=，点(1,1)T -在AD边所在直线上.(I)求AD 边所在直线的方程；(II)求矩形ABCD 外接圆的方程；(III)若圆心在直线2x =-上的圆P 过点(2,0)N -， 且与矩形ABCD 的外接圆外切，求圆P 的方程.ABCA 1B 1C 1DEF19．(本题满分20分)如图，在直三棱柱111ABC A B C -中，1111AB AC =，D E ，分别是棱1BC CC ，上的点(点D 不同于点C )，且AD DE F ⊥，为11B C 的中点．求证： (I)平面ADE ⊥平面11BCC B ； (II)直线1//A F 平面ADE ．20．(本题满分20分)已知定义在R 上的函数()f x 同时满足： ①对任意x ∈R ，都有(1)()f x f x +=-， ②当(0,1]x ∈时，()f x x =，试解决下列问题： (I)求在(2,4]x ∈时，()f x 的表达式；(II)若关于x 的方程()2f x x m =+在(2,4]上有实数解，求实数m 的取值范围； (III)若对任意(,4]x ∈-∞，关于x 的不等式()2f x x m >+恒成立，求实数m 的取值范 围.2013年吴川一中第三届“步青杯”数学邀请赛初赛参考答案及评分标准(高一)一．选择题：1～5 BDACC 6～10 BDDAB1．B 可得{0A x x ==或1}x ≥，{1}B x x =≤R ð，∴(){0,1}AB =R ð.2．D 可得A 错；B 正确；在C 中，可得直线m 与β平行、相交(含垂直)或在β上， 知C 错；在D 中，m 可与β平行或相交(含垂直)，知D 错.3．A 由点P 在圆O 内，有222a b r +<，∴22r d r r =>=，故选A.4．C 设1C 在平面ABC 上的投影为D ，有//AD CB ，且1C D AD ⊥，设12AB AA ==，有AD =11tan C D C AD AD ∠===5．C 由1log 2a -=得12a =，而12b =，即2b =，可知只有b a )21()21(>正确.6．B 由题意得1(702803902890562)857x ⨯+⨯+⨯+++++++=，有5x =， 而乙班学生成绩的中位数是83，得3y =，∴8x y +=.7．D 由所给的框图知,,b a ba b a a b≥⎧∆=⎨<⎩，而(1)(01)1(21)011011f =∆∆-∆=∆-=-=-.8．D 由所给的三视图知该几何体的直观图如图所示，其体积21120143(222sin120)31336023V =π-=π- 9．A 由1AB k =得线段AB 的方程为1(12)y x x =-≤≤，由11y x x by =-⎧⎨+=⎩得 ()10a b x b +--=，令()()1f x a b x b =+--，则函数()f x 在[1,2]有一个零点，∴(1)(2)0f f ≤，即(1)(21)0a a b -+-≤，又1a <， ∴210a b +-≥，即21a b +≥.10．B 取0,0x y ==得(0)0f =，取0,x y x ==有(0)()()f f x f x -=-，即()()f x f x -=-，()f x 为奇函数，由()f x 在(1,0)-上单调递减，知它在(1,1)-上单调递减，由20122011020132012>>得Q P R <<.二．填空题：11 12．23 13．1或13 14．4 15．358170 16．9911圆心(1,0)到直线l 的距离d ==，∴AB ===12．23 输入2x =时，5y =，258->(否)，则5x =；11y =，5118->(否)， 则11x =；23y =，11238->(是)，∴输出23y =.13．1或13直线l 经过定点(2,2)Q ，若点M 、N 到直线l 的距离相等，有直线//MN l 或直线l 经过MN 的中点(1,1)-，而1MN k =，∴1k =或1220k k ---+=，即1k =或13k =.14．4 设圆柱的底面及球的半径均为r ，由放入球前、后水的体积不变得2233486323r r r r r π=π-π=π，∴4r =.15．358170 第1年年底的本利和为：200000(16%)+，第2年年底的本利和为：2200000(16%)+，第3年年底的本利和为：3200000(16%)+……∴第10年年底的本利和为：1010200000(16%)200000 1.06358170+=⨯≈元. 16．99 ∵20a ≠，当21a =时，0124x a a =+⨯+，有4,5,6,7,8,9,10x =； 当22a =时，0128x a a =+⨯+，有8,9,10,11,12,13,14x =； ∴{4,5,,13,14}A =，其和为(414)11992+⨯=.三．解答题：17．解：(I)可得4,3x y ==，………………………………………………………………2分51213243546570i ii x y==⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=∑，………………………………………4分522222212345690ii x==++++=∑，………………………………………………………6分∴27054319054b -⨯⨯==-⨯，3141a y bx =-=-⨯=-，…………………………………9分故1y x =-；…………………………………………………………………………………10分 (II)当10x =时，9y =.………………………………………………………………………14分 18．解：(I)因为AB 边所在直线的方程为360x y --=，且AD 与AB 垂直， ∴直线AD 的斜率为3-，又因为点(1,1)T -在直线AD 上，∴AD 边所在直线的方程为13(1)y x -=-+，即320x y ++=.………………………4分(II)由360320x y x y --=⎧⎨++=⎩，解得点A 的坐标为(0,2)-…………………………………………6分∵矩形ABCD 两条对角线的交点为(2,0)M ，知M 为矩形ABCD 外接圆的圆心.又AM ==8分从而矩形ABCD 外接圆的方程为22(2)8x y -+=；……………………………………9分(III)设圆心(2,)P b -，由题意知PM PN =+，…………………………………10分=b =+b =圆P 的半径r ==14分∴圆P 的方程为22(2)(18x y ++=或22(2)(18x y ++=.……………15分19．【证明】(I)∵111ABC A B C -是直三棱柱，∴1CC ⊥平面ABC .…………………………2分 又∵AD ⊂平面ABC ，∴1CC AD ⊥.………………………………………………………4分又∵1AD DE CC DE ⊥⊂，，平面111BCC B CC DE E =，，∴AD ⊥平面11BCC B . ……6分又∵AD ⊂平面ADE ，∴平面ADE ⊥平面11BCC B .………………………………………8分 (II)∵1111A B AC =，F 为11B C 的中点，∴111A F B C ⊥.………………………………………10分 又∵1CC ⊥平面111A B C ，且1A F ⊂平面111A B C ，∴11CC A F ⊥.…………………………13分又∵111 CC B C ⊂，平面11BCC B ，1111CC B C C =，∴1A F ⊥平面111A B C .………………16分由(I)知，AD ⊥平面11BCC B ，∴1A F ∥AD .……………………………………………18分 又∵AD ⊂平面1, ADE A F ∉平面ADE ，∴直线1//A F 平面ADE .……………………20分 20．解：(I)∵对任意x R ∈，都有(1)()f x f x +=-，∴(2)()f x f x +=， 又(0,1]x ∈时，()f x x =∴当(2,3]x ∈时，2(0,1]x -∈，()(2)2f x f x x =-=- ………………………………3分 当(3,4]x ∈时，1(2,3]x -∈，()(1)[(1)2]3f x f x x x =--=---=-∴(2,4]x ∈时，2,23()3,34x x f x x x -<≤⎧=⎨-<≤⎩ ………………………………………………6分(II)设关于x 的方程()2f x x m =+在(2,4]上的实数解为0x则0002223x x m x -=+⎧⎨<≤⎩或0003234x x m x -=+⎧⎨<≤⎩…………………………………………………8分∴00223x m x =--⎧⎨<≤⎩或001334m x x ⎧=-⎪⎨⎪<≤⎩，∴54m -≤<-或96m -≤<-；……………………12分(III)设(2,22],1x k k k ∈+≤，同(I)，当(2,21]x k k ∈+时，()2f x x k =-(21,22]x k k ∈++时，()21f x k x =+-，∴()2f x x m >+都成立时， ……………14分①(2,21]x k k ∈+时，22x k x m ->+都成立∴2m x k <--都成立，∴14m k <--都成立，又1k ≤∴5m <-……………………………………………………………………………………16分 ②(21,22]x k k ∈++时，212k x x m +->+都成立 ∴321m x k <-++都成立，∴45m k <--都成立，又1k ≤ ∴9m <-∴由①②可得9m <-，即m 的取值范围是(,9)-∞-.……………………………………20分。
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题一、选择题1、若A={3，4，5}，B={1，2}，f为集合A到集合B的映射，则这样的映射f的个数为（）A、8个B、6个C、9个D、12个2、已知I=R，A={x||x－a|≤2}，B={x||x－1|≥3}且A∩B= ，则实数a的取值范围是（）A、0≤a≤2B、0<a<2C、0≤a≤1D、0<a<13、已知函数，则它的定义域是（）A、[-2,0)∪(0,2]B、C、D、(0,2]4、函数f(x)是定义在R上的奇函数，且在（－∞，0）上递增，n=f(a2+a+1)，则m，n的大小关系是（）A、m>nB、m<nC、a>0时，m>nD、不能确定5、设a、b、c 分别是方程的实数根，则（）A、a>b>cB、b>a>cC、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、b>c>aD、c>a>b6、已知奇函数f(x)和偶函数g(x)满足f(x)＋g(x)=a x－a－x＋2，且g(b)=a，则f(2)=（）A、a2B、2C、D、7、数的大小顺序为（）A、a>b>cB、a<b<cC、a<c<bD、c<a<b8、如果甲的身高数或体重数至少有一项比乙大，则称甲不亚于乙，在100个小伙子中如果某人不亚于其它99人，就称它为棒小伙子，那么，100个小伙子中的棒小伙子最多可能有（）A、1个B、2个C、50个D、100个[答案]二、填空题9、如果质数p、q满足关系式3p＋5q=31，那么= ___________．10、非空集合则具备这样性质的集合s共有______个．11、若，则a0＋a2＋a4＋a6=______．12、一个学校中有2001个学生，每人都学习法语或西班牙语，其中学习西班牙语的学生数在总人数中所占的比例介于80%与85%之间；学习法语的学生数在总人数中所占的比例介于30%与40%之间，设两门都学的学生数的最小值为m，最大值为M，则M－m的值为_____________．[答案]三、解答题13、设－1≤x≤0，求函数y=2x＋2－3×4x的最大值及最小值．[解答]14、已知A={x|x2－7x＋10≤0}，B={x|x2＋ax＋b<0}，且A∩B≠,A∪B={x||x－3|<4≤2x}，写出集合s={x|x=a＋b}．[解答]15、设其中a i∈N(i=1,2,3,4,5)，a1<a2<a3 <a4<a5，且A∩B={a1,a4},a1+a4=10,又A∪B元素之和为224，求A．[解答]16、函数f(n)是定义在正整数集上，并取非负整数值，且对所有m，n，有f(m＋n)－f(m)－f(n)=0或1，以及f(2)=0，f(3)>0，f(9999)=3333，求f(1982)．[解答]。
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)
2014—2015学年度高一数学竞赛试题(含答案)2014-2015学年度高一数学竞赛试题一．选择题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
在每个小题给出的四个选项中，只有一个正确的答案。
1.已知集合$M=\{x|x+3<0\}$，$N=\{x|x\leq -3\}$，则集合$M\cap N$=（）A。
$\{x|x0\}$ D。
$\{x|x\leq -3\}$2.已知$\alpha+\beta=\frac{\pi}{4}$，则$(1-\tan\alpha)(1-\tan\beta)$等于（）A。
2 B。
$-\frac{2}{3}$ C。
1 D。
$-\frac{1}{3}$3.设奇函数$f(x)$在$(0,+\infty)$上为增函数，且$f(1)=0$，则不等式$f(x)-f(-x)<0$的解集为（）A。
$(-\infty,-1)\cup (0,1)$ B。
$(-1,0)\cup (1,+\infty)$ C。
$(-\infty,-1)\cup (1,+\infty)$ D。
$(0,1)$4.函数$f(x)=\ln|x-1|-x+3$的零点个数为（）A。
3 B。
2 C。
1 D。
05.已知函数$f(x)=\begin{cases}1/x。
& x\geq 4 \\ 2.&x<4\end{cases}$，则$f(\log_2 5)$=（）A。
$-\frac{11}{23}$ B。
$\frac{1}{23}$ C。
$\frac{11}{23}$ D。
$\frac{19}{23}$二．填空题：本大题共5小题，每小题6分，共30分。
将正确的答案写在题中横线上。
6.已知$0\leq x\leq \frac{\pi}{2}$，则函数$f(x)=4\sqrt{2}\sin x\cos x+\cos^2 x$的值域是\line(5,0){80}。
7.已知：$a,b,c$都不等于0，且$\frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c}=\frac{1}{a+b+c}$，则$\max\{m,n\}=$\line(5,0){80}，$\min\{m,n\}=$\line(5,0){80}。
高一数学竞赛试题-内含答案
2012-2013第一学期 高一数学竞赛试题第I 卷一、选择题（本大题共10小题，每小题5分，满分50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将答案填在后面的表格中）． 1．集合11{|,},{|,}2442k k M x x k Z N x x k Z ==+∈==+∈，则（ ） A 、M N = B 、M N ⊆ C 、N M ⊆ D 、MN =∅2．如果函数f (x )的定义域为[－1,1]，那么函数f (x 2－1)的定义域是（ ）A 、[0，2]B 、[－1,1]C 、[－2，2]D 、[－2，2]3．若两条直线260ax y ++=与2(1)(1)0x a y a +-+-=平行，则a 的取值集合是（ ）A 、 {}1,2-B 、 {}1-C 、{}2D 、23⎧⎫⎨⎬⎩⎭4．已知两个球的表面积之比为1∶9，则这两个球的半径之比为（ ） A 、1∶3 B 、 1∶3 C 、1∶9 D 、 1∶815．下列命题：(1)平行于同一平面的两直线平行; (2)垂直于同一平面的两直线平行; (3)平行于同一直线的两平面平行; (4)垂直于同一直线的两平面平行;其中正确的有 ( ) A 、(1) (2)和(4) B 、(2)和(4) C 、(2) (3)和(4) D 、(3)和(4) 6．下列函数中，在R 上单调递增的是（ ）A 、y x =B 、2log y x =C 、13y x = D 、0.5xy =7．若函数()log (01)a f x x a =<<在区间]2,[a a 上的最大值是最小值的3倍，则a 的值为( )A 、42 B 、22 C 、41 D 、218．若直线()()084123=+-++y a x a 和直线()()07425=-++-y a x a 相互垂直, 则a 值为 （ ）A 、0B 、1C 、10或D 、 10-或9．已知定义在实数集上的偶函数()x f y =在区间（0，+∞）上是增函数，那么⎪⎭⎫⎝⎛=31πf y ，()1223+=x f y 和⎪⎭⎫ ⎝⎛=41log 23f y之间的大小关系为 ( )A 、 y 1 < y 3 < y 2B 、y 1 <y 2< y 3C 、y 3 <y 1 <y 2D 、y 3 <y 2 <y 110．如图,ABC S -是正三棱锥且侧棱长为a ，F E ,分别是SC SA ,上的动点，则三角形BEF 的周长的最小值为a 2侧棱SC SA ,的夹角为 （ ）A 、300B 、600C 、200D 、 900题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，满分20分）． 11．若()()()f a b f a f b +=⋅，且(1)2f =，则(2)(3)(2009)...(1)(2)(2008)f f f f f f +++=． 12．已知()f x 是奇函数，且当0x >时，()1f x x =+，则(1)f -的值为 ．13．把一坐标纸折叠一次，使得点(0，2)与（－2，0）重合，且点（2004，2005）与点（m ，n ）重合，则m －n 的值为 ．14．如图-①，一个圆锥形容器的高为a ，内装有一定量的水.如果将容器倒置，这时所形成的圆锥的高恰为2a （如图-②），则图2-①中的水面高度为 ．第Ⅱ卷（解答题 满分80分）三．解答题（本大题共6小题，满分80分．解答应写出文字说明．证明过程或演算步骤）． 15．（12分）若}06|{},065|{2=-==+-=ax x B x x x A ,且A ∪B=A,求由实数a 组成的集合C ．①②aS AC BEF16．（10分）已知直线1l ：310x y --=，2l ：30x y +-=，求： （1）直线1l 与2l 的交点P 的坐标；（2）过点P 且与1l 垂直的直线方程．17．（14分） 已知函数2()2(1)421f x m x mx m =+++-（1） 当m 取何值时，函数的图象与x 轴有两个零点；（2） 如果函数至少有一个零点在原点的右侧，求m 的取值范围．18．(14分)某厂生产某种零件，每个零件的成本为40元，出厂单价定为60元．该厂为鼓励销售商订购，决定当一次订购量超过100个时，每多订购一个，订购的全部零件 的出厂单价就降低0.02元，但实际出厂单价不能低于51元． （1）当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为51元?（2）设一次订购量为x 个，零件的实际出厂单价为P 元，写出函数()P f x =的表达式； （3）当销售商一次订购500个零件时，该厂获得的利润是多少元?如果订购1000个，利润又是多少元?(工厂售出一个零件的利润=实际出厂单价-单件成本)19．（本小题15分）如图所示，在四棱锥P ABCD -中,AB ⊥平面PAD , // AB CD ,PD AD =, E 是PB 的中点，F 是DC 上的点且AB DF 21=, PH 为PAD ∆中AD 边上的高．（1）证明：PH ⊥平面ABCD ；（2）若1, 2, 1PH A D F C ===，求三棱锥E BCF -的体积；（3）证明：EF ⊥平面PAB ．20．（本小题15分）函数2()1ax b f x x +=+是定义在(,)-∞+∞上的奇函数，且12()25f =． （1）求实数,a b ，并确定函数()f x 的解析式； （2）用定义证明()f x 在(1,1)-上是增函数；（3）写出()f x 的单调减区间，并判断()f x 有无最大值或最小值？如有，写出最大值或最小值．（本小问不需说明理由）高一数学竞赛参考答案一、选择题：本大题主要考查基础知识和基本运算．共10小题，每小题5分，满分50分．题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案BDBABCACAA二、填空题：本大题主要考查基础知识和基本运算．共4小题，每小题5分，满分20分．11.4016 12. -2 13. -1 14. 37(1)2a -三、解答题15. 解:3,2,0652==∴=+-x x x x ,即}3,2{=A ……………(2分)A B A =⋃故B 是单元素集合}3{},2{或Φ=B ……………….(6分) 当}2{=B ,由062=-a 得3=a 当}3{=B ,由063=-a 得2=a 当Φ=B ,由06=-ax 得0=a所以由实数a 形成的集合为}3,2,0{=C ……….(12分) 16. 解：(1)解方程组得交点P(1,2) ………. (6分) (2)直线方程x+3y-7=0 ………………. (10分)17.（1）函数()f x 的图象与x 轴有两个零点，即方程22(1)4210m x mx m +++-=有两个不相等的实根，∴2168(1)(21)02(1)0m m m m ⎧∆=-+->⎨+≠⎩得1m <且1m ≠-∴ 当1m <时，函数()f x 的图象与x 轴有两个零点。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题5分，共30分）1. 若a，b，c是三角形的三边长，且满足a² + b² = c²，那么这个三角形是：A. 锐角三角形B. 直角三角形C. 钝角三角形D. 不能确定2. 函数f(x) = 2x³ - 3x² + 1在区间[-1,2]上的最大值是：A. 1B. 7C. 9D. 无法确定3. 已知集合A = {1, 2, 3}，B = {2, 3, 4}，求A∪B的元素个数：A. 3B. 4C. 5D. 64. 等差数列的首项a₁ = 3，公差d = 2，第10项a₁₀的值是：A. 23B. 25C. 27D. 295. 圆的方程为(x - 2)² + (y - 3)² = 9，圆心到直线x + 2y - 7= 0的距离是：A. 2B. 3C. 4D. 56. 已知函数y = |x| + 1的图像与直线y = kx平行，那么k的值是：A. 1B. -1C. 0D. 无法确定二、填空题（每题4分，共20分）7. 若二次函数y = ax² + bx + c的顶点坐标为(-1, -4)，则a =_______。
8. 已知等比数列的首项为2，公比为3，第5项的值为 _______。
9. 一个正六边形的内角和为 _______。
10. 若直线y = 2x + b与曲线y = x² - 3x相切，则b = _______。
11. 圆的方程为x² + y² = 25，圆上一点P(4,3)到圆心的距离是_______。
三、解答题（每题25分，共50分）12. 已知直线l₁：2x - 3y + 6 = 0与直线l₂：x + y - 2 = 0相交于点M，求点M的坐标。
13. 已知函数f(x) = x³ - 3x + 2，求证：对于任意的x > 0，都有f(x) > x。
高一数学竞赛试题
高一数学竞赛试题一、单选题1．若集合A ＝{－2，－1，0，1}，B ＝{x |x 2＋2x <0}，则A ∩B ＝( )A ．{－1}B ．{－1，0}C ．{－2，－1，0}D ．{－1，0，1} 2．对于任意0a >且1a ≠，函数()log (1)3a f x x =-+的图象必经过点（ ） A ．（4，2） B ．（2，4） C ．（2，3） D ．（3，2） 3．在ABC 中､角A ，B 均为锐角，cos sin A B >，则C ∠是（ ）A ．直角B ．锐角C ．钝角D ．不确定4．设函数f (x )=cos (x +3π)，则下列结论错误的是 A ．f(x)的一个周期为−2π B ．y=f(x)的图像关于直线x=83π对称 C ．f(x+π)的一个零点为x=6π D ．f(x)在(2π,π)单调递减 5．下列说法正确的是（ ）A ．若0a b >>，则b b m a a m+<+ B ．若a b >，则22ac bc >C ．若0a b >>，则11a b b a +>+ D ．若,R a b ∈，则2a b +6．函数2||2x y x e =-在[]–2,2的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ． 7．已知0.22a -=，ln3b =，0.2log 3c =，则（ ）A ．b c a <<B ．a c b <<C ．c a b <<D ．c b a << 8．若关于x 的方程(||)1x x a +=有三个不同的实数解，则实数a 的可能取值（ ） A ．－5B ．－2C ．2D ．3二、多选题9．下列命题正确的是( )A ．长度等于半径的弦所对的圆心角为1弧度B ．若tan α≥0，则k π≤α<π2 ＋k π(k ∈Z )C ．若角α的终边过点P (3k ，4k )(k ≠0)，则sin α＝45D ．当2k π<α<π4＋2k π(k ∈Z )时，sin α<cos α 10．已知函数)123f x =，则（ ） A ．()17f = B ．()225f x x x =+C ．()f x 的最小值为258- D ．()f x 的图象与x 轴只有1个交点 11．命题“x R ∀∈，则2x <”的一个必要不充分条件是（ ）A ．1x <B ．3x <C ．3x >D ．5x ≤12．设a ＞0，b ＞0，a ＋b ＝1，则下列说法正确的是（ ）A ．41a b +的最小值为9B ．222a b +的最小值为23CD三、填空题 13.函数()f x =______.14． 3log 5lg5lg321-+=____________ 15．223(8)--⨯ __． 16．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧log 2x ，x >0，3x ，x ≤0，关于x 的方程f (x )＋x －a ＝0有且只有一个实根，则实数a 的取值范围是________．四、解答题17．已知集合{}1A x x =≥，集合{}33,B x a x a a R =-≤≤+∈.（1）当4a =时，求A B ；（2）若B A ⊆，求实数a 的取值范围.18．已知α为第三象限角，且3sin cos tan()22()sin tan(2)2f ππαααπαπαπα⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=⎛⎫+- ⎪⎝⎭.（1）化简()f α；（2）若()f α=，求cos()πα+的值.19．已知函数2()21f x x ax =+-，[1,1]x ∈-.（1）若12a =，求函数()f x 的最值； （2）若a ∈R ，记函数()f x 的最小值为()g a ，求()g a 关于a 的函数解析式.20．已知某公司生产某产品的年固定成本为100万元，每生产1千件需另投入27万元，设该公司一年内生产该产品x 千件（025x <≤）并全部销售完，每千件的销售收入为()R x （单位：万元），且21108(010),3()17557(1025).x x R x x x x ⎧-<≤⎪⎪=⎨⎪-++<≤⎪⎩（1）写出年利润()f x （单位：万元）关于年产量x （单位：千件）的函数解析式；（2）当年产量为多少千件时，该公司在这一产品的生产中所获年利润最大？（注：年利润=年销售收入-年总成本）21．已知函数()y f x =的图像与()log (0a g x x a =>，且1)a ≠的图像关于x 轴对称，且()g x 的图像过点(9,2).(1)求函数()f x 的解析式；(2)若(31)(5)f x f x ->-+成立，求实数x 的取值范围.22．已知函数f(x)＝log a(2＋3x)－log a(2－3x)(a>0，a≠1).(1)求函数f(x)的定义域；(2)判断f(x)的奇偶性，并证明；(3)当0<a<1时，求关于x的不等式f(x)≥0的解集．。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案题一：某数列的前n项和为Sn，已知Sn=(2n+1)(n+2)，求该数列的通项表达式。
解答一：设该数列的通项为an，则该数列的前n项和可表示为Sn=∑an。
根据已知得，Sn=(2n+1)(n+2)。
我们可以尝试寻找数列项an之间的关系，进而求得通项表达式。
由于Sn是前n项和，所以我们可以利用数学归纳法得到两个基础式子：当n=1时，S1=∑a1，代入已知条件得到S1=(3)(2)=6；当n=2时，S2=∑(a1+a2)，代入已知条件得到S2=(5)(4)=20。
通过观察可以发现，S2=2×S1+8，这是一个重要的线索。
我们可以推测，Sn可能与Sn-1之间存在一种类似的关系，即Sn=2×Sn-1+C，其中C为常数。
接下来，我们来进行数学归纳法的假设和证明：假设Sn=2×Sn-1+C成立，即前n项和Sn与前n-1项和Sn-1之间存在关系。
则我们可以推导得到Sn+1=2×Sn+C'，其中C'为常数。
根据已知条件进行计算：Sn+1=(2(n+1)+1)(n+1+2)=(2n+3)(n+3)=2n²+9n+9；由假设得，Sn=2×Sn-1+C，带入Sn+1的计算结果，得到Sn+1=2(2×Sn-1+C)+C'=4×Sn-1+3C+C'，其中3C+C'为新的常数。
比较Sn+1和Sn的关系，可得到4×Sn-1+3C+C'=2n²+9n+9，由此可以推断，3C+C'=9，即C'=9-3C。
综上所述，我们已经推导出两个重要的关系式：Sn=2×Sn-1+CC'=9-3C我们再通过计算已知条件的S1和S2进行迭代计算，得到：C=6，C'=9-3(6)=-9因此，该数列的通项表达式为an=2×an-1+6，其中a1=6。
高一数学竞赛试题及答案
高一数学竞赛试题及答案一、选择题（每题4分，共20分）1. 若一个等差数列的首项为3，公差为5，那么它的第n项可以表示为：A. 3 + 5(n-1)B. 3 + 5nC. 5 + 3(n-1)D. 5 + 3n2. 下列哪个分数可以化简为1/2？A. 3/6B. 5/10C. 7/14D. 9/183. 已知函数f(x) = x^2 - 6x + 9，求f(x)的最小值。
A. -36B. -9C. 0D. 94. 若a, b, c是等比数列，且a + b + c = 0，那么b^2的值是：A. a^2 + c^2B. -a^2 - c^2C. acD. -ac5. 一个圆的半径是5cm，求这个圆的面积（圆周率取3.14）。
A. 78.5平方厘米B. 157平方厘米C. 200平方厘米D. 314平方厘米二、填空题（每题5分，共20分）6. 一个等比数列的前三项分别是2, 6, 18，那么它的第四项是_______。
7. 函数g(x) = |2x - 3| + |x + 1|的最小值是_______。
8. 已知一个直角三角形的两条直角边长分别为3cm和4cm，那么它的斜边长（根据勾股定理）是_______。
9. 一个圆的周长是12π，那么这个圆的直径是_______。
三、解答题（每题10分，共60分）10. 已知等差数列的前n项和为S_n = n^2 + 2n，求这个等差数列的前三项。
11. 求解方程：\(\frac{1}{x-1} + \frac{2}{x-2} = 3\)。
12. 一个圆与直线y = 2x + 3相交于点P，圆心坐标为(1, 0)，且半径为2。
求点P的坐标。
13. 证明：若a, b, c, d是正整数，且满足a^2 + b^2 = c^2 + d^2，则a + b = c + d。
14. 一个等差数列的前10项和为110，且第10项是第2项的3倍，求这个等差数列的公差和首项。
高一数学竞赛答案一、选择题答案1. A2. D3. D4. B5. B二、填空题答案6. 547. 28. 59. 6三、解答题答案10. 首项为2，公差为4，前三项为2，6，10。
高一数学竞赛试题及答案201314
高一数学竞赛试题本卷满分为120分，考试时间为100分钟一、选择题：本大题共8小题，每小题6分，共48分。
1．已知集合{,,()},,,M a b a b a R b R =-+∈∈，集合{1,0,1}P =-，映射:f x x →表示把集合M 中的元素x 映射到集合P 中仍为x ，则以,a b 为坐标的点组成的集合S 有元素（ ）个A ．2B ．4C ．6D ．82D 为△ABC 的边AB 的中点，P 为△ABC 内一点，且满足,25AP AD BC =+u u u r u u u r u u u r ，则APD ABC S S =△△（ ） A. 35 B. 25C.15 D. 3103. 设a ，b 是夹角为30°的异面直线，则满足条件“α⊆a ，β⊆b ，且βα⊥”的平面α，β （ ） A. 不存在 B. 有且只有一对 C. 有且只有两对 D. 有无数对4．已知α是函数 ()log 2008,(1)a f x x x a =->的一个零点，β是函数()2008x g x xa =-的一个零点，则αβ的值为（ ）A ．1B ．2008C ．22008 D ．40165．函数()f x 的定义域为D ，若满足①()f x 在D 内是单调函数，②存在[,],m n D ⊆使()f x 在[,]m n 上的值域为11[,]22m n ，那么就称()y f x =为“好函数”。
现有()log (),x a f x a k =+(0,1)a a >≠是“好函数”，则k 的取值范围是（ ） A ．(0,)+∞ B ．1(,)4-∞ C ．1(0,)4 D ．1(0,]46．若⎪⎭⎫⎝⎛∈3,0πα，则αsin log 33等于（ ）A ．αsin B ．αsin 1 C ．αsin - D ．αcos 1-7．如图，一个棱长为a 的立方体内有1个大球和8个小球， 大球与立方体的六个面都相切，每个小球与大球外切 且与共顶点的三个面也相切，现在把立方体的每个角 都截去一个三棱锥，截面都为正三角形并与小球相切，变成一个新的立体图形，则原立方体的每条棱还剩余（ ）。
高一数学课本知识达标竞赛试题20134
高一数学课本知识达标竞赛试题（考试时间45分钟 满分100分）一、填空题（每小题4分，共40分）1、 设A=)3,1(-，B=［2，4］，则A B= 。
2、 在下列结论中，正确的有（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；（3）若a 和b 都是单位向量，则b a =；（4）两个相等向量的模相等。
3、 在等比数列}{n a 中，已知,6,475==a a 则9a =4、 计算：)425tan(325cos 625sinπππ-++= 。
5、 函数x xy lg 21+-=的定义域为 。
6、 函数223.0x y -=的值域7、 函数)42sin(3π+-=x y 的单调减区间 。
8、 不等式21sin ≥x 的解集为 。
9、 化简： 10cos 170cos 110cos 10sin 212---= 。
10、计算：)10tan 31(50sin += 。
二、解答题（每题6分，共60分）11、学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛。
已知两项都参加的有6名同学。
两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？12、已知),3,2(),7,0(),1,6(---C B A 试确定∆ABC 的形状。
13、求证：函数1)(3+-=x x f 在区间](0,∞-上是单调减函数。
14、已知数列{}n a 的通项公式为11++=n n a n ，求前n 项的和。
15、用αsin 表示α3sin 。
16、在等差数列{}n a 中，已知)(,q p p S q S q p ≠==，求q p S +的值。
17、证明公式：N M MN a a a log log )(log +=。
18、已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为 5的等差数列，且最小角为120，问它是几边形？19、证明万能公式：2tan 12tan2sin 2ααα+=。
2013年福建高一数学竞赛试题
2013年福建省高一数学竞赛试题参考答案及评分标准（考试时间：5月12日上午8：30－11：00）一、选择题（每小题6分,共36分） 1．已知集合{}1A x x x Z =-≤∈,{}21B y y x x R ==-+∈，,则A B ⋂的非空真子集有（ D ）A ．31个B ．30个C ．15个D ．14个【解答】由条件知,{}2101234A =--，，，，，，,(]1B =-∞，,{}2101A B ⋂=--，，，。
∴ A B ⋂的非空真子集有42214-=个。
2．给出下列四个命题：① 若平面α内有不在一条直线上的三个点到平面β的距离相等,则αβ∥。
② 三个平面可以把空间分成七个部分。
③ 正方体1111ABCD A BC D -中与对角线1DB 成异面直线的棱共有5条。
④ 若一条直线和平面内无数条直线没有公共点,则这条直线和这个平面平行。
其中假．命题的个数为（ C ） A ． 1个 B ．2个 C ．3个 D ．4个 【解答】易知,命题②为真命题,①、③、④为假命题3．设方程31log ()03x x -=与141log ()04x x -=的根分别为1x ,2x ,则（ A ）A ．1201x x <<B ．121x x =C ．1212x x <<D ．122x x ≥ 【解答】易知12x =是方程141log ()04x x -=的根,即212x =。
设31()log ()3x f x x =-,则1(1)003f =-<,31(2)log 209f =->。
∴ 112x <<,1201x x <<。
4．函数1111()1232013f x x x x x =++++++++图像的对称中心是（ B ）A ．(10060)-，B ．(10070)-，C ．(10060)，D ．(10070)， 【解答】设1111()(1007)1006100510051006g x f x x x x x =-=++++--++。
人教A版数学必修一届高一(上)数学竞赛题.doc
班级： 学号： |||得||||||||||||||||||||||||||||超|||||||||||||||||||||||||||||||||过|||||||||||||||||||||||||||此|||||||||||||||||||||密||||||||||||||||||||封|||||||||||||||||||||||||||||线||||||||||||||||||||||||2013届高一（上）数学竞赛题（时间：120分钟，满分：150分）一、选择题（每小题5分，共60分）1.已知集合M={y|y=-2x+1,x ∈R},N={y|y=x-2, x ∈R}，那么M ∩N=A.(1,-1)B.{(1,-1)}C.{y|y=-1}D.R2.下列判断中正确的个数是(1)对于函数y=f(x)和区间D ，若存在两个数x 1,x 2∈D ，当x 1<x 2时，有f(x 1)>f(x 2)，则函数f(x)在区间D 上是减函数；（2）函数y=x1在(-∞,0)∪(0,+∞)上是减函数；（3）若函数f(x)在[a,b]上是增函数，那么对于任意的x 1,x 2∈[a,b](x 1≠x 2)，都有0)()(2121>--x x x f x f ； （4）如果f(x)是定义在R 上的偶函数，那么它在R 上不可能是增函数。
其中正确的个数是A.0个B.1个C.2个D.3个3.下列结论正确的是A.偶函数的图像一定与y 轴相交B.奇函数y=f(x)的图像一定过原点C.奇函数y=f(x)在x=0处有定义,则 f(0)=0D.图像过原点的奇函数必是单调函数。
4.下列函数是指数函数的是A.y=xB.y=x 2C.y=2xD.y=log 2x5.函数y=x1在区间[1，+∞）上A ．有最大值为1，有最小值为0；B ．无最大值，有最小值为1；C ．有最大值1，无最小值；D ．既无最大值也无最小值。
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高一数学课本知识达标竞赛试题2013.4
（考试时间45分钟 满分100分）
一、填空题（每小题4分，共40分）
1、 设A=)3,1(-，B=［2，4］，则A B= 。
2、 在下列结论中，正确的有
（1）若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；
（2）模相等的两个平行向量是相等的向量；
（3）若和都是单位向量，则=；
（4）两个相等向量的模相等。
3、 在等比数列}{n a 中，已知,6,475==a a 则9a =
4、 计算：)425tan(325cos 625sin
πππ-++= 。
5、 函数x x
y lg 21+-=的定义域为 。
6、 函数2
23.0x y -=的值域
7、 函数)42sin(3π+
-=x y 的单调减区间 。
8、 不等式2
1sin ≥x 的解集为 。
9、 化简： 10cos 170cos 110cos 10sin 212---= 。
10、计算：)10tan 31(50sin += 。
二、解答题（每题6分，共60分）
11、学校举办了排球赛，某班45名同学中有12名同学参赛，后来又举办了田径赛，这个班有20名同学参赛。
已知两项都参加的有6名同学。
两项比赛中，这个班共有多少名同学没有参加过比赛？
12、已知),3,2(),7,0(),1,6(---C B A 试确定∆ABC 的形状。
13、求证：函数1)(3
+-=x x f 在区间](0,∞-上是单调减函数。
14、已知数列{}n a 的通项公式为11++=
n n a n ，求前n 项的和。
15、用αsin 表示α3sin 。
16、在等差数列{}n a 中，已知)(,q p p S q S q p ≠==，求q p S +的值。
17、证明公式：N M MN a a a log log )(log +=。
18、已知一个凸多边形各个内角的度数组成公差为 5的等差数列，且最小角为 120，问它是几边形？
19、证明万能公式：2
tan 12tan 2sin 2α
α
α+=。
20、已知在∆ABC 中，BC ，CA ，AB 的长分别为a ，b ，c ，试证明：B c C b a cos cos +=。
参考答案：
填空题：
1、)3,2[
2、（4）
3、9
4、0
5、（0，2）
6、（0，0.09]
7、)8,8(π
ππ
π+-k k 8、]
652,62[π
πππ++k k 9、1- 10、1
解答题：
11、45-（12+20-6）=19（人）
12、∆Rt
13、利用定义证（过程略）
14、11-+=n S n
15、ααα3sin 4sin 33sin -=
16、)(q p S q p +-=+
17、将对数转换成指数形式（过程略）。
18、n=9或16（舍）
19、2
tan 12tan 22cos 2sin 2cos 2sin 2sin 222
α
α
α
αααα+=+=
20、证明略。