函数专题二(拔高) (2)

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新人教A版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式拔高检测题 (2)

新人教A 版高中数学必修一第二章一元二次函数、方程和不等式拔高检测题 (2)一、单选题1．已知m ，n 是正实数，且1m n +=，则12m n+的最小值是（）. A．3 B．3+C ．92D ．52．已知正数a,b 满足ab ＝10,则a ＋b 的最小值是( ) A ．10B ．25C ．5D．3．设x ，y 均为负数，且1x y +=-，那么1xy xy+有（）. A ．最大值174-B ．最小值174-C ．最大值174D ．最小值1744．已知0a >，0b >，2a b A +=，B =2abC a b=+，则A ，B ，C 的大小关系为（）. A ．A B C ≤≤B ．AC B ≤≤C ．B C A ≤≤D ．C B A ≤≤5．若不等式a 2+b 2+2＞λ（a+b ）对任意正数a ，b 恒成立，实数λ的取值范围是（） A ．B ．（﹣∞，1）C ．（﹣∞，2）D ．（﹣∞，3）6．若,,a b c 为实数，则下列命题错误的是( ) A ．若22ac bc >，则a b > B ．若0a b <<，则22a b < C ．若0a b >>，则11a b< D ．若0a b <<,0c d >>，则ac bd <7．已知a b c >>，下列不等关系一定成立的是（） A ．2ac b ab bc +>+ B ．2ab bc b ac +>+ C ．2ac bc c ab +>+ D ．22a bc b ab +>+8．已知,αβ满足11123αβαβ-≤+≤⎧⎨≤+≤⎩，，则3αβ+的取值范围是( )A ．137αβ≤+≤B ．313αβ+-5≤≤C ．37αβ+-5≤≤D ．1313αβ+≤≤ 9．若0x y <<，则下列不等式不成立的是（） A ．2211x y -<- B ．()22*nn xy n <∈NC ．()2121*n n xyn ++<∈ND ．11y x x>- 10．已知“1a >且1b >”，则与此判断等价的是（） A ．2a b +>且1ab > B ．2a >且0b > C ．0a >且0b >D ．10a ->且10b ->11．若不等式212x mx x m ++>+对满足2m <的所有实数m 恒成立，则实数x 的取值范围是（） A ．22x -<< B ．3x ≥C ．1x ≤D ．1x ≤-或3x ≥12．若关于x 的不等式23ax -＜的解集为5133x x ⎧⎫-<<⎨⎬⎩⎭，则a =（） A ．2- B ．2 C ．3D ．3-二、填空题13．如图，某人在垂直于水平地面ABC 的墙面前的点A 处进行射击训练，已知点A 到墙面的距离为AB ，某目标点P 沿墙面的射击线CM 移动，此人为了准确瞄准目标点P ，需计算由点A 观察点P 的仰角θ的大小（仰角θ为直线AP 与平面ABC 所成角）．若15,25,30AB m AC m BCM ==∠=︒，则tan θ的最大值为_______．14．在等比数列{a n }和等差数列{b n }中，a 1＝b 1>0，a 3＝b 3>0，a 1≠a 3，则a 5与b 5的大小关系为________． 15．已知-13a b <+<，且24a b <-<，那么23a b +的取值范围是_________. 16．有下列四个命题：①若“1xy=,则,x y 互为倒数的逆命题；②面积相等的三角形全等的否命题；③“若m 1≥,则2x 2x m 0-+=有实数解”的逆否命题；④“若A B A =,则A B ⊆”的逆否命题.其中真命题为_____17．设,a b 为正实数，则下列结论：①若221a b -=，则1a b -<；②若111b a-=，则1a b -<；1=，则1a b -<；④若1,1a b ≤≤，则1a b ab -<-.其中正确的有______．18．设直线l ：a 2x ＋4y －a ＝0(a ＞0)，当此直线在x ，y 轴上的截距之和最小时，直线l 的方程为________．三、解答题19．设矩形ABCD （其中AB BC >）的周长为24，如图所示，把它沿对角线AC 对折后，AB 交DC 于点P .设AB x =，求ADP △的最大面积.20．设桌面上有一个由铁丝围成的封闭曲线，周长是2L .回答下面的问题：（1）当封闭曲线为平行四边形时，用直径为L 的圆形纸片是否能完全覆盖这个平行四边形？请说明理由.（2）求证：当封闭曲线是四边形时，正方形的面积最大. 21．关于x 的方程2(1)430m x x m -+--=. (1)求证:方程总有实根.(2)若方程的解集中只含有正整数,求整数m 的值.22．已知函数2*()2,(,)f x ax x c a c N =++∈满足①(1)5f =；②6(2)11f <<．(1)求函数()f x 的解析表达式；（2）若对任意[]1,2x ∈，都有()21f x mx -≥成立，求实数m 的取值范围．23．在一个限速40km /h 的弯道上，甲.乙两辆汽车相向而行，发现情况不对，同时刹车，但还是相碰了.事发后现场测得甲车的刹车距离略超过12m ，乙车的刹车距离略超过10m .又知甲，乙两种车型的刹车距离s m 与车速x km /h 之间分别有如下关系：20.10.01s x x =+甲，20.050.005s x x =+乙.问超速行驶谁应负主要责任?24．为鼓励大学毕业生自主创业，某市出台了相关政策：由政府协调，企业按成本价提供产品给大学毕业生自主销售，成本价与出厂价之间的差价由政府承担．某大学毕业生按照相关政策投资销售一种新型节能灯．已知这种节能灯的成本价为每件10元，出厂价为每件12元，每月的销售量y （单位：件）与销售单价x （单位：元）之间的关系近似满足一次函数：10500y x =-+．（1）设他每月获得的利润为w （单位：元），写出他每月获得的利润w 与销售单价x 的函数关系．（2）相关部门规定，这种节能灯的销售单价不得高于25元．如果他想要每月获得的利润不少于3000元，那么政府每个月为他承担的总差价的取值范围是多少？25．已知命题p ：{}12x x x ∀∈<≤≤，2210x ax -+>恒成立；命题q ：x ∃∈R ，()2110x a x +-+<.（1）若p 是真命题，求a 的取值范围；（2）若p 、q 一真一假，求a 的取值范围. 26．关于x 的方程x 2－2x ＋a ＝0，求a 为何值时： (1)方程一根大于1，一根小于1；(2)方程一个根在(－1,1)内，另一个根在(2,3)内； (3)方程的两个根都大于零？参考答案1．B 【解析】【分析】由题意将所给的代数式进行恒等变形，然后结合均值不等式的结论即可求得最小值. 【详解】由题意可得：()12122333n m m n m n m n m n ⎛⎫+=++=++≥+=+ ⎪⎝⎭当且仅当12m n n m mn +=⎧⎪⎨=⎪⎩时等号成立.据此可得12m n+的最小值是3+故选：B . 【点睛】本题主要考查基本不等式求最值的方法，“1”的灵活巧妙应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 2．D 【解析】【分析】根据基本不等式求最值，即得结果. 【详解】a b +≥=a b ==D .【点睛】本题考查利用基本不等式求最值，考查基本分析求解能力，属基础题. 3．D 【解析】【分析】设a x =-，b y =-，由题意结合均值不等式可得ab 的取值范围，然后结合函数1y x x=+的图像即可确定1xy xy+的性质与最值.【详解】设a x =-，b y =-，则0a >，0b >.由1a b +=≥14ab ≤. 由函数1y x x =+的图像得，当104ab <≤时，1ab ab +在14ab =处取得最小值， 11117444xy ab xy ab ∴+=++=≥，当且仅当12x y ==-时取等号成立. 综上可得，1xy xy +有最小值174. 故选：D .【点睛】本题主要考查对勾函数的应用，基本不等式求最值的方法，等价转化的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 4．D 【解析】【分析】由题意结合均值不等式可比较AB 的大小，然后结合不等式的性质比较BC 的大小即可. 【详解】由于0a >，0b >，故a b +≥，则2a b+≥，即A B ≥，结合02a b +<≤2a b≥+，两边乘以ab 2ab a b ≥+，即B C ≥.据此可得：C B A ≤≤. 故选：D . 【点睛】本题主要考查基本不等式的应用，比较大小的方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.。

中考总复习：函数综合--知识讲解(拔高)

中考总复习：函数综合—知识讲解（拔高）要求：结合书本复习一次、反比例、二次函数1．平面直角坐标系的有关知识平面直角坐标系中各象限和坐标轴上的点的坐标的特征，求点关于坐标轴、坐标原点的对称点的坐标，求线段的长度，几何图形的面积，求某些点的坐标等.2．函数的有关概念求函数自变量的取值范围，求函数值、函数的图象、函数的表示方法．3．函数的图象和性质常见的题目是确定图象的位置，利用函数的图象确定某些字母的取值，利用函数的性质解决某些问题．利用数形结合思想来说明函数值的变化趋势，又能反过来判定函数图象的位置．4．函数的解析式求函数的解析式，求抛物线的顶点坐标、对称轴方程，利用函数的解析式来求某些字母或代数式的值．一次函数、反比例函数和二次函数常与一元一次方程、一元二次方程、三角形的面积、边角关系、圆的切线、圆的有关线段组成综合题．【函数知识网络】【模型梳理】模型一、平面直角坐标系1．相关概念（1）平面直角坐标系（2）象限（3）点的坐标2.各象限内点的坐标的符号特征3.特殊位置点的坐标（1）坐标轴上的点（2）一三或二四象限角平分线上的点的坐标（3）平行于坐标轴的直线上的点的坐标（4）关于x 轴、y 轴、原点对称的点的坐标4.距离（1）平面上一点到x 轴、y 轴、原点的距离（2）坐标轴或平行于坐标轴的直线上两点间的距离（3）平面上任意两点间的距离5.坐标方法的简单应用（1）利用坐标表示地理位置（2）利用坐标表示平移模型诠释：点P(x,y)到坐标轴及原点的距离：（1）点P(x,y)到x 轴的距离等于y ；（2）点P(x,y)到y 轴的距离等于x ；（3）点P(x,y)到原点的距离等于22y x .模型二、函数及其图象1.变量与常量2.函数的概念3.函数的自变量的取值范围4.函数值5.函数的表示方法（解析法、列表法、图象法）6.函数图象模型诠释：由函数解析式画其图像的一般步骤：（1）列表：列表给出自变量与函数的一些对应值；（2）描点：以表中每对对应值为坐标，在坐标平面内描出相应的点；（3）连线：按照自变量由小到大的顺序，把所描各点用平滑的曲线连接起来.模型三、一次函数1.正比例函数的意义2.一次函数的意义3.正比例函数与一次函数的性质4.一次函数的图象与二元一次方程组的关系5.利用一次函数解决实际问题模型诠释：确定一个正比例函数，就是要确定正比例函数定义式kx y =（k ≠0）中的常数k；确定一个一次函数，需要确定一次函数定义式b kx y +=（k ≠0）中的常数k 和b.解这类问题的一般方法是待定系数法.模型四、反比例函数1.反比例函数的概念2.反比例函数的图象及性质3.利用反比例函数解决实际问题模型诠释：反比例函数中反比例系数的几何意义，如下图，过反比例函数)0(≠=k xky 图像上任一点),(y x P 作x 轴、y 轴的垂线PM，PN，垂足为M、N，则所得的矩形PMON 的面积S=PM ∙PN=xy x y =∙.,y xk =∴||k S k xy ==，.模型五、二次函数1.二次函数的概念2.二次函数的图象及性质3.二次函数与一元二次方程的关系4.利用二次函数解决实际问题模型诠释：1、两点间距离公式（当遇到没有思路的问题时，可用此方法拓展思路，以寻求解题方法）如图：点A 坐标为（x 1，y 1），点B 坐标为（x 2，y 2），则AB 间的距离，即线段AB 的长度为()()221221y y x x -+-.2、函数平移规律：左加右减、上加下减.3、二次函数的最值如果自变量的取值范围是全体实数，那么函数在顶点处取得最大值（或最小值），即当abx 2-=时，ab ac y 442-=最值.如果自变量的取值范围是21x x x ≤≤，那么，首先要看ab2-是否在自变量取值范围21x x x ≤≤内，若在此范围内，则当x=a b 2-时，ab ac y 442-=最值；若不在此范围内，则需要考虑函数在21x x x ≤≤范围内的增减性，如果在此范围内，y 随x 的增大而增大，则当2x x =时，c bx ax y ++=222最大，当1x x =时，c bx ax y ++=121最小；如果在此范围内，y 随x 的增大而减小，则当1x x =时，c bx ax y ++=121最大，当2x x =时，c bx ax y ++=222最小.4、抛物线的对称变换①关于x 轴对称2y ax bx c =++关于x 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =---；()2y a x h k =-+关于x 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =---.②关于y 轴对称2y ax bx c =++关于y 轴对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+；()2y a x h k =-+关于y 轴对称后，得到的解析式是()2y a x h k =++.③关于原点对称2y ax bx c =++关于原点对称后，得到的解析式是2y ax bx c =-+-；()2y a x h k =-+关于原点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =-+-.④关于顶点对称2y ax bx c =++关于顶点对称后，得到的解析式是222b y ax bx c a=--+-；()2y a x h k =-+关于顶点对称后，得到的解析式是()2y a x h k =--+．⑤关于点()m n ，对称()2y a x h k =-+关于点()m n ，对称后，得到的解析式是()222y a x h m n k =-+-+-.根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变化，因此a 永远不变．求抛物线的对称图象的表达式时，可以依据题意或方便运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后再写出其对称抛物线的表达式．模型六、函数的应用1.一次函数的实际应用2.反比例函数的实际应用3.二次函数的实际应用模型诠释：分段函数是指自变量在不同的取值范围内，其关系式（或图象）也不同的函数，分段函数的应用题多设计成两种情况以上，解答时需分段讨论.在现实生活中存在着很多需分段计费的实际问题，因此，分段计算的应用题成了近几年中考应用题的一种重要题型.【典型例题】类型一、用函数的概念与性质解题1．在平面直角坐标系中，点A 的坐标是（4，0），点P 是第一象限内的直线y=6－x 上的点，O 是坐标原点（如图所示）：（1）P 点坐标设为(x,y)，写出ΔOPA 的面积S 的关系式；（2）S 与y 具有怎样的函数关系，写出这函数中自变量y 的取值范围；（3）S 与x 具有怎样的函数关系？写出自变量x 的取值范围；（4）如果把x 看作S 的函数时，求这个函数解析式，并写出这函数中自变量取值范围；（5）当S=10时，求P 的坐标；（6）在直线y=6－x 上，求一点P，使ΔPOA 是以OA 为底的等腰三角形.【求真教研组总结】数学从对运动的研究中引出了基本的函数概念，函数的本质就是对应，函数关系就是变量之间的对应关系，是一种特殊的对应关系.函数的概念中，有两个变量，要分清对应关系，哪一个字母是函数，哪一个是自变量.比如“把x看作S的函数”时，对应关系为用S表示x,其中S是自变量，x是函数.举一反三：2x+4x+k-1=0有实数根，k为正整数.【变式】已知关于x的一元二次方程2（1）求k的值；y=2x+4x+k-1的图象向下平移8个单位，（2）当此方程有两个非零的整数根时，将关于x的二次函数2求平移后的图象的解析式；（3）在（2）的条件下，将平移后的二次函数的图象在x轴下方的部分沿x轴翻折，图象的其余部分保持不变，得到一个新的图象，请你结合这个新的图象回答：当直线1y=x+b(b<k)2与此图象有两公共点时，b的取值范围.2．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，点P在BC边上运动，连结DP，过点A作AE⊥DP，垂足为E，设DP=x，AE=y，则能反映y与x之间函数关系的大致图象是()(A)(B)(C)(D)举一反三：【变式】小明骑自行车上学，开始以正常速度匀速行驶，但行至中途自行车出了故障，只好停下来修车.车修好后，因怕耽误上课，他比修车前加快骑车速度继续匀速行驶，下面是行驶路程s(m)关于时间t(min)的函数图象，那么符合这个同学行驶情况的图象大致是().类型二、函数的综合题3．如图，把Rt△ABC 放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B 的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC 沿x 轴向右平移，当点C 落在直线y=2x－6上时，线段BC 扫过的面积为（）A．4B．8C．16D．82A B CO yx【求真教研组总结】运用数形结合、平移变换、动静变化的数学思想方法是解此题的关键，综合性较强.举一反三：【变式】在坐标系中，二次函数2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C .（1）求点A 的坐标；（2）当45ABC ∠=︒时，求m 的值；（3）已知一次函数y kx b =+，点P （n ，0）是x 轴上的一个动点，在（2）的条件下，过点P 垂直于x 轴的直线交这个一次函数的图象于点M ，交二次函数2(3)3(0)y mx m x m =+-->的图象于N .若只有当22n -<<时，点M 位于点N的上方，求这个一次函数的解析式.4．如图，点A在反比例函数的图象上，点B在反比例函数的图象上，AB⊥x轴于点M，且AM：MB=1：2，则k的值为（）A.3B.-6C.2D.6【求真教研组总结】本题考查了反比例函数的比例系数k的几何意义，反比例函数图象上点的坐标特征，三角形的面积，难度中等，得到3：|k|=1：2，是解题的关键．举一反三：【变式】如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90°，AB=BC=4，DE⊥BC于点E，且E是BC中点；动点P从点E出发沿路径ED→DA→AB以每秒1个单位长度的速度向终点B运动；设点P的运动时间为t 秒，△PBC的面积为S，则下列能反映S与t的函数关系的图象是（）A．B．C．D．类型三、函数与几何综合题5．如图，将—矩形OABC 放在直角坐际系中，O 为坐标原点．点A 在y 轴正半轴上．点E 是边AB上的—个动点(不与点A、B 重合)，过点E 的反比例函数(0)ky x x=>的图象与边BC 交于点F.（1）若△OAE、△OCF 的而积分别为S 1、S 2．且S 1＋S 2=2，求k 的值；（2）若OA=2．0C=4．问当点E 运动到什么位置时，四边形OAEF 的面积最大．其最大值为多少?【求真教研组总结】本题属于反比例函数综合题，考查曲线图上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值.6．如图，P 1是反比例函数y=（k＞0）在第一象限图象上的一点，点A 1的坐标为（2，0）．（1）当点P 1的横坐标逐渐增大时，△P 1OA 1的面积将如何变化？（2）若△P 1OA 1与△P 2A 1A 2均为等边三角形，求此反比例函数的解析式及A 2点的坐标．【求真教研组总结】此题综合考查了反比例函数的性质，利用待定系数法求函数的解析式，正三角形的性质等多个知识点．此题难度稍大，综合性比较强，注意对各个知识点的灵活应用．7．如图1，已知矩形ABCD的顶点A与点O重合，AD、AB分别在x轴、y轴上，且AD=2，AB=3；抛物线y=﹣x2+bx+c经过坐标原点O和x轴上另一点E（4，0）（1）当x取何值时，该抛物线取最大值？该抛物线的最大值是多少？（2）将矩形ABCD以每秒1个单位长度的速度从图1所示的位置沿x轴的正方向匀速平行移动，同时一动点P也以相同的速度从点A出发向B匀速移动．设它们运动的时间为t秒（0≤t≤3），直线AB与该抛物线的交点为N（如图2所示）．①当t=时，判断点P是否在直线ME上，并说明理由；②以P、N、C、D为顶点的多边形面积是否可能为5？若有可能，求出此时N点的坐标；若无可能，请说明理由．【求真教研组总结】本题是二次函数的综合题型，其中涉及的知识点有抛物线的顶点坐标的求法、图形的面积求法以及二次函数的应用．在求有关动点问题时要注意分析题意分情况讨论结果．说明：（ⅱ）中的关系式，当t=0和t=3时也适合，（故在阅卷时没有（ⅰ），只有（ⅱ）也可以，不扣分）。

九年级数学中考复习：二次函数拔高专题精讲精练(解析版)

2019-2020学年中考复习：二次函数拔高专题精讲精练（含答案解析）1．如图，点A在x轴上，OA=4，将线段OA绕点O顺时针旋转120°至OB的位置．（1）求点B的坐标；（2）求经过点A．O、B的抛物线的解析式；（3）在此抛物线的对称轴上，是否存在点P，使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由．考点：二次函数综合题；分类讨论。

解答：解：（1）如图，过B点作BC⊥x轴，垂足为C，则∠BCO=90°，∵∠AOB=120°，∴∠BOC=60°，又∵OA=OB=4，∴OC=OB=×4=2，BC=OB•sin60°=4×=2，∴点B的坐标为（﹣2，﹣2）；（2）∵抛物线过原点O和点A．B，∴可设抛物线解析式为y=ax2+bx，将A（4，0），B（﹣2．﹣2）代入，得，解得，∴此抛物线的解析式为y=﹣x2+x（3）存在，如图，抛物线的对称轴是x=2，直线x=2与x轴的交点为D，设点P的坐标为（2，y），①若OB=OP，则22+|y|2=42，解得y=±2，当y=2时，在Rt△POD中，∠PDO=90°，sin∠POD==，∴∠POD=60°，∴∠POB=∠POD+∠AOB=60°+120°=180°，即P、O、B三点在同一直线上，∴y=2不符合题意，舍去，∴点P的坐标为（2，﹣2）②若OB=PB，则42+|y+2|2=42，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），③若OP=BP，则22+|y|2=42+|y+2|2，解得y=﹣2，故点P的坐标为（2，﹣2），综上所述，符合条件的点P只有一个，其坐标为（2，﹣2），2．如图，在平面直角坐标系中放置一直角三角板，其顶点为A（0，1），B（2，0），O（0，0），将此三角板绕原点O逆时针旋转90°，得到△A′B′O．（1）一抛物线经过点A′、B′、B，求该抛物线的解析式；（2）设点P是在第一象限内抛物线上的一动点，是否存在点P，使四边形PB′A′B的面积是△A′B′O面积4倍？若存在，请求出P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）在（2）的条件下，试指出四边形PB′A′B是哪种形状的四边形？并写出四边形PB′A′B 的两条性质．考点：二次函数综合题。

高一函数拔高练习题

高一函数拔高练习题函数作为高中数学的一部分，是一门关键的概念。

在高一的学习中，函数作为数学内容的一个重要组成部分，需要深入理解和掌握。

为了帮助同学们更好地掌握函数的概念和运用，下面将提供一些拔高练习题，希望能对同学们的学习有所帮助。

题目一：给定函数 f(x) = 2x^2 + 3x - 1，求函数的对称轴和顶点坐标。

解析：函数的对称轴可以通过求顶点坐标得出。

首先，通过求导数f'(x) = 4x + 3，令导数等于零，得出 x = -3/4。

将 x = -3/4 代入原函数，可以得出 y = -11/8。

因此，对称轴为直线 x = -3/4，顶点坐标为 (-3/4, -11/8)。

题目二：已知函数 f(x) = |x - 2| + 3，求函数的定义域和值域。

解析：定义域是指函数中自变量x 的取值范围。

对于这个函数来说，绝对值的参数 x - 2 不能小于零。

因此，定义域为 x >= 2。

而值域则是函数中因变量 f(x) 的取值范围。

由于绝对值函数的特点，取值范围是non - negative real numbers，也就是大于等于零的实数集。

题目三：已知函数 f(x) = log₂x，求函数在 x = 8 时的导数值。

解析：对于对数函数求导数的问题，可以利用导数的性质和换底公式来计算。

首先，利用换底公式将底数 2 转换为自然对数的底数 e，log₂x = ln x / ln 2。

然后，对 ln x 进行求导，即 1 / x。

因此，函数 f(x)= log₂x 在 x = 8 时的导数值为 1 / 8。

题目四：已知函数f(x) = sin(x + π/6)，求函数的最小正周期。

解析：对于三角函数的最小正周期的求解，可以通过比较函数中sin 函数的参数x + π/6 与 sin 函数的最小正周期2π 的整数倍的关系来得出。

即x + π/6 = 2πk，其中 k 是任意整数。

如果取 k = 0，则可以得到最小正周期为2π。

二次函数拔高题专项训练(含答案)

2020中考数学二次函数拔高题专项训练（含答案）例题1.（1）如图是二次函数2y ax bx c =++的图象的一部分，图象过点(3,0)A -，对称轴为直线1x =-．给出四个结论：①0c >；②24b ac >；③2b a =-；④0a b c ++=，其中正确结论的序号是________________．（2）抛物线2y ax bx c =++与x 轴交于(2,0)-、1(,0)x ，112x <<，与y 轴正半轴交于(0,2)下方．下列结论：①420a b c -+=；②0a b <<；③20a c +>；④210a b -+>．正确的结论有__________（只填序号）．（3）二次函数2y ax bx c =++的部分图象如图所示．对称轴为1x =，图象过点A ，且930a b c ++=．以下结论：①0abc <；②420a b c -+<；③关于x 不等式220ax ax c -+->的解集：13x -<<；④3c a >-；⑤2(1)(1)0m a m b -+-≥（m 为任意实数）；⑥若点1(,)B m y ，2(2,)C m y -在此函数图象上，则12y y =．其中错误．．的结论是__________．【解析】（1）①②④；（2）①②③④；（3）③④⑤．例题2.（1）如图，以扇形OAB 的顶点O 为原点，半径OB 所在的直线为x 轴，建立平面直角坐标系，点B 的坐标为(2,0)，若抛物线212y x k =+与扇形OAB 的边界总有两个公共点，则实数k 的取值范围是______________．（2）函数y ax b =+（其中a ，b 是整数）的图象与三条抛物线23y x =+，267y x x =++，245y x x =++分别有2、l 、0个交点，则(,)a b =_____________．【解析】（1）122k -＜＜；（2）(2,3)．例题3. 已知如图3-1，二次函数2344y ax ax =++的图象交x 轴于A 、B 两点（A 在B 的左侧），过A 点的直线134y kx k k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭交该二次函数的图象于另一点11)(C x y ,，交y 轴于M ．（1）直接写出A 点坐标，并求该二次函数的解析式；（2）设(1,2)P --，图3-2中连CP 交二次函数的图象于另一点22(,)E x y ，连AE 交y 轴于N ，请你探究OM ON ⋅的值的变化情况，若变化，求其变化范围；若不变，求其值．图3-1 图3-2【解析】（1）∵直线134y kx k k ⎛⎫=+> ⎪⎝⎭过点A ，∴0y =时，03kx k =+，解得：3x =-， ∴(3,0)A -，把点A 的坐标代入2344y ax ax =++，得391204a a -+=，解得：14a =，抛物线的解析式为21344y x x =++；（2）直线PC 解析式为2y ax a =+-，与抛物线21344y x x =++，联立消去y 得：24(1)1140x a x a --+-=，∴1244x x a +=-，12114x x a =-，法一：（表示出直线斜率） ∵1212A AOM ON y y OA OA x x x x ⋅=⋅-- 11221211(3)(+3)(1)(3)44(3)(3)x x x x x x +⨯++=++121(1)(1)16x x =++ 11(114441)162a a =-+-+=， ∴21922OM ON OA ⋅==．法二：（韦达定理表示，此法更容易想到，推荐学生掌握！）直线PC 解析式为2y ax a =+-，与抛物线21344y x x =++，联立消去y 得：24(1)1140x a x a --+-=， ∴1244x x a +=-，12114x x a =-，∵直线11(3)3:A x C yy x =++，∴点M 为1133y x +，即：1133y OM x =+，∵直线22:(3)3yAE y x x =++，∴点N 为2233y x +，即：2233y OM x =+，∴12123333y y OM ON x x ⋅=⋅++， ∴将1244x x a +=-，12114x x a =-代入，求得92OM ON ⋅=．例题4.（1）若实数x ，y 满足条件22260x x y -+=，则222x y x ++的最大值是__________．（2）二次函数22y x ax a =++在12x -≤≤上有最小值4-，则a 的值为__________．【解析】（1）15，；（2）5．例题5.（1）关于x的方程()())x m n x m n --=<的两根为1x 、212()x x x <，则关于实数1x 、2x 、m 、n 的大小关系的判断中，正确的是（） A ．12x m n x <<< B ．12x m x n <<< C ．12m x x n <<<D ．12m x n x <<<（2）函数2|23|y x x =+-图象的草图如图所示，则关于x 的方程2|23|x x a +-=（a 为常数）的根的情况，描述错误．．的是（） A ．方程可能没有实数根B ．方程可能有三个互不相等的实数根C ．若方程只有两个实数根，则a 的取值范围为：0a =D ．若方程有四个实数根，记为1x 、2x 、3x 、4x ，则12344x x x x +++=-（3）关于x 的方程2(2)90ax a x a +++=，有两个不相等的实数根1x 、2x ，且121x x <<，那么实数a 的取值范围是（）A ．211a <-B ．2275a -<<C ．25a >D ．2011a -<<【解析】（1）A ；（2）C ；（3）D ，区间根问题，令2()(2)9f x ax a x a =+++，由题意可知>0∆，2275a -<<，①当0a >时开口向上，(1)0f <，解得无解；②当0a <时开口向下，(1)0f >，2011a -<<．例题6. 如图，抛物线的顶点A 的坐标(0,2)，对称轴为y 轴，且经过点(4,4)-．（1）求抛物线的表达式．（2）若点B 的坐标为(0,4)，P 为抛物线上一点（如图），过点P 作PQ x ⊥轴于点Q ，连接PB ．求证：PQ PB =．（3）若点(2,4)C -，利用（2）的结论.判断抛物线上是否存在一点K ，使K B C △的周长最小？若存在，求出这个最小值，并求此时点K 的坐标；若不存在，请说明理由．【解析】（1）设抛物线表达式为：22y ax =+，又抛物线经过点(4,4)-，∴24(4)2a =⋅-+，∴18a =， ∴抛物线表达式为：2128y x =+．（2）证明：过点B 作BD PQ ⊥于点D ，∵点P 在2128y x =+，故设点P 的坐标为21,28m m ⎛⎫+ ⎪⎝⎭，(0)m <∴2128PQ m =+， ∴点D 的坐标为(,4)m ∴||DB m m ==∴，∴在中，，又，∴．（3）过点C 作轴点E ，交抛物线于点K ，连结KB ，PC ，CQ ，则的周长，又∵，(2,4)C -， ∴，点的坐标为，对于抛物线上不同于点的点，总有的周，又，∴，221124288PD m m =+-=-Rt PDB△2128PB m =+2128PQ m =+PQ PB =CE x ⊥KBC △l KC CB KB =++KB KE =426l CE CB =+=+=K 522⎛⎫- ⎪⎝⎭，K P PCB △l PC PB CB =++′PB PQ =61l PC PQ CB CQ BC CE BC =++>+>+==′∴抛物线上存在点52,2K ⎛⎫- ⎪⎝⎭，使的周长最小，最小值为6．例题7. 如图，已知抛物线(2)(4)8ky x x =+-（k 为常数，且0k >）与x 轴从左至右依次交于A ，B 两点，与y 轴交于点C ，经过点B的直线y b =+与抛物线的另一交点为D ．（1）若点D 的横坐标为5-，求抛物线的函数表达式；（2）在（1）的条件下，设F 为线段BD 上一点（不含端点），连接AF ，一动点M 从点A 出发，沿线段AF 以每秒1个单位的速度运动到F ，再沿线段FD 以每秒2个单位的速度运动到D 后停止．当点F 的坐标是多少时，点M 在整个运动过程中用时最少？（2）(F -；如图，动点M 运动的路径为折线AF FG +，运动时间为12t AF DF AF FG =+=+，所以由垂线段最短可知，AF FG +的长度最小为DK 与x轴之间的垂线段，即AH ，而AH 与抛物线的交点即为所求的F 点，所以(2,F -．KBC △（1）对于每个非零自然数n ，抛物线2211(1)(1)n y x x n n n n +=-+++与x 轴交于n A 、n B 两点，以n n A B 表示这两点间的距离，则112220162016A B A B A B +++…的值是______________．（2）已知实数x 、y 满足2245x x y -+=，则2x y +的最大值为_________．【解析】（1）20162017；（2）92．例题9.（1）若m ，n ()m n <是关于x 的方程2()()0x a x b ---=的两个根，且a b <，则a ，b ，m ，n 的大小关系是（）A ．m a b n <<<B ．a m n b <<<C ．a m b n <<<D ．m a n b <<<（2）若方程2|43|x x m -+=有两个相异的实数解，则m 的取值范围是_____________．（3）已知关于x 的方程2230x x m -+=的一根大于2-且小于1-，另一根大于2且小于3，求m 的取值范围为______________．【解析】（1）A ；（2）0m =或1m >；（3）95m -<<-，由题意得到开口向上，令2()23f x x x m =-+， (2)0f ->，(1)0f -<，(2)0f <，(3)0f >，解得95m -<<-．（1）二次函数223y x =的图像如图所示，点0A 位于坐标原点，1A ，2A ，3A ，…，2012A 在y 轴的正半轴上，1B ，2B ，3B ，…，2012B 在函数223y x =第一象限的图像上，若011A B A △，122A B A △，233A B A △，…，201120122012A B A △都为等边三角形，则201120122012A B A △的边长为____________．（2）已知二次函数2y ax bx c =++满足：（1）a b c <<；（2）0a b c ++=；（3）图象与x 轴有2个交点，且两交点间的距离小于2；则以下结论中正确的有__________．①0a <；②0a b c -+<；③0c >；④20a b ->；⑤124b a -<．【解析】（1）2012；（2）①②③⑤．例题11.已知抛物线2111:12C y x x =-+，点(1,1)F ，（1）若抛物线1C 与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF+=；（2）抛物线1C 上任意一点()P P P x y ,(01)P x <<，连接PF ，并延长交抛物线1C 于点()Q Q Q x y ,，试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由．【解析】（1）根据题意，可得点(0,1)A ，∵(1,1)F ，∴AB//x ，B 轴．得1AF BF ==，112AF BF+=；（2）112PF QF +=成立．设过点F 的直线:l y kx b =+，则有11k b =⋅+，即1b k =-，于是:1l y kx k =+-，由21112y kx k y x x =+-⎧⎪⎨=-+⎪⎩，得2222(1)10y k y k -+++=，此时方程有两个根p y 、q y ，由根系关系定理，112p q p q p qy y y y y y ++==⋅．例题12. 已知抛物线21y ax bx =++经过点(1,3)A 和点(2,1)B ．（1）求此抛物线解析式；（2）点C 、D 分别是x 轴和y 轴上的动点，求四边形ABCD 周长的最小值；（3）过点B 作x 轴的垂线，垂足为E 点．点P 从抛物线的顶点出发，先沿抛物线的对称轴到达F 点，再沿FE 到达E 点，若P 点在对称轴上的运动速度是它在直线FE试确定点F 的位置，使得点P 按照上述要求到达E 点所用的时间最短．（要求：简述确定F 点位置的方法，但不要求证明）【解析】（1）由题意：311421a b a b =++⎧⎨=++⎩，解得24a b =-⎧⎨=⎩，∴抛物线的解析式为2241y x x =-++．（2）点(1,3)A 关于y 轴的对称点A '的坐标是(1,3)-，点(2,1)B 关于x 轴的对称点B '的坐标是(2,1)-．由对称性可知AB BC CD DA AB B C CD DA AB A B ''''+++=+++≥+，由勾股定理可求AB ，5A B ''=．所以，四边形ABCD周长的最小值是5AB A B ''+= （3）确定F 点位置的方法：如图，过点E 作直线EG 使对称轴与直线EG 成45︒角，则EG 与对称轴的交点为所求的F 点．设对称轴与x 轴交于点H ，在Rt HEF △中，由1HE =，90FHE ∠=︒，45EFH ∠=︒，得1HF =．所以点F 的坐标是(1,1)．。

02 C高三第2讲复习函数基本性质拔高版(教师版)

暑期第2讲函数基本性质考点1：一、函数的概念1. 映射设A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对A中的任意一个元素x在B中有一个且仅有一个元素y与x对应，则称f是集合A到集合B的映射，这时称y是x在映射f的作用下的象，记作f(x)，于是y=f(x)x称为y的原象，映射f也可记为：f:A→Bx→f(x)其中A叫做映射f的定义域（函数定义域的推广）．由所有象f(x)构成的集合叫做映射f的值域．通常记作f(A)．将上述定义中集合A、B限制为非空数集，便可以得到函数的概念，如下：2. 函数设集合A是一个非空数集，对A中的任意的数x，按照确定的法则f，都有唯一确定的数y与它对应，则这种对应关系叫做集合A上的一个函数．记作y=f(x)，x∈A 其中x叫做自变量．自变量取值的范围（数集A）叫做这个函数的定义域．如果自变量取值a，则由法则f确定的值y称为函数在a处的函数值，记作y=f(a)所有函数值构成的集合{y|y=f(x) ， x∈A}叫做这个函数的值域．3. 函数的三要素：定义域，值域，对应法则4. 函数的表示法(1)解析法：就是把两个变量的函数关系，用一个等式来表示，这个等式叫做函数的解析表达式，简称解析式；(2)列表法：就是列出表格来表示两个变量的函数关系；(3)图象法：就是用函数图象表示两个变量之间的关系．二、函数的定义域1. 基本函数的定义域(1)分式的分母不应为零；(2)零次或负次指数次幂的底数不为零；(3)偶次方根的被开方数大于或者等于零；(4)对数式的真数大于零； (5)底数大于0且不等于1；(6)f(x)=tan x 的定义域为{x|x ≠kπ+π2 ， k ∈Z}；(7)应用题中要结合实际情况考察定义域． 2. 抽象函数的定义域抽象函数的定义域：在同一对应法则f 下，括号内的作用对象取值范围必须一致，但要注意的是括号内的部分同样作为函数也有它本身的定义域，因此需要两部分求解后取交集．三、函数的解析式1. 换元法求解析式2. 解方程组法求解析式3. 待定系数法求解析式四、函数的值域1. 利用函数单调性2. 模型函数的应用 (1)二次型(2)x +kx (k ＞0)（对勾函数）模型f (x )=x +k x (k ＞0)的性质和图像：①定义域：{x |x ≠0}②值域：(),2,k ⎡-∞-+∞⎣③单调性：在(),,-∞+∞上单调递增；在()(0，上单调递减④奇偶性：奇函数⑤图像：(k＞0)模型：(3)x−kxf(x)=x−k(k＞0)的性质和图像：x①定义域：{x|x≠0}②值域：R③单调性：在(−∞,0)和(0，+∞)上分别单调递增④奇偶性：奇函数⑤图像：3. 分离常数4. 换元（代数换元和三角换元）5. 基本不等式6. 几何法典例精讲【典例1】（2016秋•会宁县校级期末）已知函数f （x ）＝lg [（m 2﹣3m +2）x 2+（m ﹣1）x +1]的定义域为R ，则实数m 的取值范围是 m ＞73或m ≤1 ．【分析】由于f （x ）的定义域为R ，则（m 2﹣3m +2）x 2+（m ﹣1）x +1＞0恒成立，讨论m 2﹣3m +2＝0，和m 2﹣3m +2＞0，且判别式小于0，解出它们，求并集即可．【解答】解：由于f （x ）的定义域为R ，则（m 2﹣3m +2）x 2+（m ﹣1）x +1＞0恒成立，若m 2﹣3m +2＝0，即有m ＝1或2，当m ＝1时，1＞0，恒成立，当m ＝2时，x +1＞0不恒成立．若m 2﹣3m +2＞0，且判别式小于0，即（m ﹣1）2﹣4（m 2﹣3m +2）＜0，即有m ＞2或m ＜1，且m ＞73或m ＜1，则m ＞73或m ＜1，综上，可得，m ＞73或m ≤1，故答案为：m ＞73或m ≤1．【点评】本题考查已知函数的定义域，求参数的范围，考查对数的真数大于0，考查运算能力．【典例2】（2018秋•禅城区校级月考）函数f （x ）=√(1−a 2)x 2+3(1−a)x +6，（1）若f （x ）的定义域为[﹣2，1]，求实数a 的值．（2）若f （x ）的定义域为R ，求实数a 的取值范围．【分析】（1）结合二次函数的性质，得不等式组，解出即可；（2）通过讨论a 的范围，结合二次函数的性质，从而得出结论．【解答】解：（1）由题意得： {1−a 2＜04(1−a 2)−6(1−a)+6=01−a 2+3(1−a)+6=0，解得：a ＝2或a ＝﹣5；（2）由题意得：①当a ＝1时，f （x ）=√6，符合题意，②1﹣a 2＞0时，△＝9（1﹣a ）2﹣24（1﹣a 2）≤0，解得：−115≤a ≤1，③a ＝﹣1时，f （x ）=√6x +6，定义域不是R ，不合题意，综上：a ∈[−115，1]．【点评】本题考查了函数的定义域问题，考查了二次函数的性质，考查了分类讨论思想.【典例3】（2016春•广东期末）已知函数f（x）=ax2+(b+1)x−3x−1．（1）当a＝1，b＝2时，求函数f（x）（x≠1）的值域，（2）当a＝0时，求f（x）＜1时，x的取值范围．【分析】（1）根据分式的性质，利用分子常数化，转化为基本不等式进行求解即可．（2）将分式不等式转化为一元二次不等式，讨论参数b的取值范围进行求解即可．【解答】解：（1）∵当a＝1，b＝2时，f（x）=x2+3x−3x−1=x﹣1+1x−1+5，（x≠1）（1分）当x＞1时，即x﹣1＞0．∴f（x）＝x﹣1+1x−1+5≥2√(x−1)⋅1x−1+5＝2+5＝7 （2分）当且仅当x﹣1=1x−1，即x＝2时取等号3分当x＜1．f（x）＝x﹣1+1x−1+5＝5﹣[﹣（x﹣1）−1x−1]≤﹣2√(1−x)⋅11−x+5＝﹣2+5＝3 4分当且仅当﹣（x﹣1）=−1x−1，即x＝0时取等号所以函数f（x）的值域（﹣∞，3]∪[7，+∞）…（5分）（2）当a＝0时，f（x）=(b+1)x−3x−1＜1，即bx−2x−1＜0，⇔（bx﹣2）（x﹣1）＜0…（7分）①当b＝0时，解集为{x|x＞1}…（8分）②当b＜0时，解集为{x|x＞1或x＜2b}…（9分）③当2b=1，即b＝2，解集为∅…（10分）④当2b ＞1，即0＜b＜2时，解集为{x|1＜x＜2b}；…（11分）⑤当0＜2b ＜1，即b＞2时，解集为{x|2b＜x＜1}；…（12分）【点评】本题主要考查函数值域和不等式的求解，根据分式不等式的性质转化为基本不等式以及一元二次不等式是解决本题的关键．注意要进行分类讨论．【典例4】（2018春•温州期中）已知二次函数f（x）＝ax2+bx+c的图象经过点（﹣2，0），且不等式2x≤f(x)≤12x2+2对一切实数x都成立（I）求函数f（x）的解析式；（Ⅱ）若对任意x∈[﹣1，1]，不等式f（x+t）＜f(x3)恒成立，求实数t的取值范围．【分析】（I）利用f（﹣2）＝0得到一个方程，由4≤f（x）≤4有f（2）＝4得到第二个方程，将系数转化为都用a来表达，在利用恒成立的已知条件，以及转化得到的（4a﹣1）2≤0，求得a值，从而求得解析式．（Ⅱ）法一：二次函数f（x）＝ax2+bx+c（a＞0）在区间[m，n]上恒有f（x）＜0成立，等价于f （m ）＜0且f （n ）＜0，来求解；法二：利用乘积的符号法则和恒成立命题求解，【解答】解：（I ）由题意得：f （﹣2）＝4a ﹣2b +c ＝0①，因为不等式2x ≤f(x)≤12x 2+2对一切实数x 都成立，令x ＝2，得：4≤f （x ）≤4，所以f （2）＝4，即4a +2b +c ＝4② 由①②解得：b ＝1，且c ＝2﹣4a ，所以f （x ）＝ax 2+x +2﹣4a ，由题意得：f （x ）﹣2x ≥0且f(x)−12x 2−2≤0对x ∈R 恒成立，即{ax 2−x +2−4a ≥0③(a −12)x 2+x −4a ≤0对x ∈R 恒成立，对③而言，由a ＞0且△＝1﹣4a （2﹣4a ）≤0，得到（4a ﹣1）2≤0，所以a =14，经检验满足，故函数f （x ）的解析式为f(x)=14x 2+x +1．（Ⅱ）法一：二次函数法，由题意，f(x +t)＜f(x3)对x ∈[﹣1，1]恒成立，可转化为14(x +t)2+(x +t)+1＜14(x3)2+x3+1 对x ∈[﹣1，1]恒成立，整理为8x 2+（18t +24）x +9t 2+36t ＜0对x ∈[﹣1，1]恒成立，令g （x ）＝8x 2+（18t +24）x +9t 2+36t ，则有{g(−1)＜0g(1)＜0，即{9t 2+18t −16＜09t 2+54t +32＜0，解得{−83＜t ＜23−163＜t ＜−23，所以t 的取值范围为−83＜t ＜−23．法二，利用乘积的符号法则和恒成立命题求解，由（1）得到，f(x)=14(x +2)2，f(x +t)＜f(x3)对x ∈[﹣1，1]恒成立，可转化为14(x +t +2)2＜14(x3+2)2对x ∈[﹣1，1]恒成立，得到(x +t +2)2−(x3+2)2＜0对x ∈[﹣1，1]恒成立，平方差公式展开整理，即(4x 3+t +4)⋅(2x 3+t)＜0，即{4x3+t +4＜02x 3+t ＞0或{4x3+t +4＞02x 3+t ＜0对x ∈[﹣1，1]恒成立；即{t ＜(−4x3−4)min t ＞(−2x 3)max ，或{t ＞(−4x3−4)maxt ＜(−2x3)min， {t ＜−163t ＞23，或{t ＞−83t ＜−23，即x ∈Φ或−83＜t ＜−23，所以t 的取值范围为−83＜t ＜−23．【点评】①注意由k ≤f （x ）≤k 得到f （x ）＝k 的结论的使用．②二次函数f （x ）＝ax 2+bx +c （a ＞0）在区间[m ，n ]上恒有f （x ）＜0成立，等价于f （m ）＜0且f （n ）＜0．③乘积的符号法则a •b ＜0等价于a ＞0且b ＜0或者a ＜0且b ＞0；④恒成立的模型A ＞f （x ）恒成立等价于A ＞f （x ）max ，A ＜f （x ）恒成立等价于A ＜f （x ）min ；⑤平方差公式的主动灵活运用．【典例5】（2017秋•雅安期末）据市场调查发现，某种产品在投放市场的30天中，其销售价格P （元）和时间t （t ∈N ）（天）的关系如图所示．（Ⅰ）求销售价格P （元）和时间t （天）的函数关系式；（Ⅱ）若日销售量Q （件）与时间t （天）的函数关系式是Q ＝﹣t +40（0≤t ≤30，t ∈N ），问该产品投放市场第几天时，日销售额y （元）最高，且最高为多少元？【分析】（Ⅰ）通过讨论t 的范围，求出函数的表达式即可；（Ⅱ）先求出函数的表达式，通过讨论t 的范围，求出函数的最大值即可．【解答】解：（I ）①当0≤t ＜20，t ∈N 时，设P ＝at +b ，将（0，20），（20，40）代入，得{20=b 40=20a +b 解得{a =1b =20.所以P ＝t +20（0≤t ＜20，t ∈N ）．…．（3分）②当20≤t ≤30，t ∈N 时，设P ＝at +b ，将（20，40），（30，30）代入，解得{a =−1b =60.所以 P ＝﹣t +60（20≤t ≤30，t ∈N ），…．（6分）综上所述P ={t +20(0≤t ＜20，t ∈N)−t +60(20≤t ≤30，t ∈N).⋯．（7分）（II ）依题意，有y ＝P •Q ，得y ={(t +20)(−t +40)(0≤t ＜20，t ∈N)(−t +60)(−t +40)(20≤t ≤30，t ∈N).⋯．（9分）化简得y ={−t 2+20t +800(0≤t ＜20，t ∈N)t 2−100t +2400(20≤t ≤30，t ∈N).整理得 y ={−(t −10)2+900(0≤t ＜20，t ∈N)(t −50)2−100(20≤t ≤30，t ∈N).⋯．（11分）①当0≤t ＜20，t ∈N 时，由y ＝﹣（t ﹣10）2+900可得，当t ＝10时，y 有最大值900元．…（12分）②当20≤t ≤30，t ∈N 时，由y ＝（t ﹣50）2﹣100可得，当t ＝20时，y 有最大值800元．…．（13分）因为 900＞800，所以在第10天时，日销售额最大，最大值为900元．…．（14分）【点评】本题考查了求函数的表达式问题，考查分段函数，函数的最值问题，是一道中档题．【典例6】（2017秋•邯郸期中）设[x ]表示不大于x 的最大整数，如[1.2]＝1，[−√2]＝﹣2，已知函数f （x ）=[x]lnx+ln(4−x)．（1）求函数f （x ）的定义域；（2）求函数f （x ）的值域．【分析】（1）根据使解析式有意义的原则，可得{x ＞04−x ＞0lnx +ln(4−x)≠0，解得函数f （x ）的定义域；（2）分x ∈（0，2−√3）∪（2−√3，1）时，当x ∈[1，2）时，当x ∈[2，3）时，当x ∈[3，2+√3）∪（2+√3，4）时几中情况结合对数函数的图象和性质，可得函数f （x ）的值域．【解答】解：（1）若使函数f （x ）=[x]lnx+ln(4−x)的解析式有意义，则{x ＞04−x ＞0lnx +ln(4−x)≠0，解得：x ∈（0，2−√3）∪（2−√3，2+√3）∪（2+√3，4）即函数f （x ）的定义域为（0，2−√3）∪（2−√3，2+√3）∪（2+√3，4）（2）当x ∈（0，2−√3）∪（2−√3，1）时，f （x ）=0lnx+ln(4−x)=0恒成立；当x ∈[1，2）时，lnx +ln （4﹣x ）∈[ln 3，ln 4），f （x ）=1lnx+ln(4−x)∈（1ln4，1ln3]；当x ∈[2，3）时，lnx +ln （4﹣x ）∈（ln 3，ln 4]，f （x ）=2lnx+ln(4−x)∈[1ln2，ln √3）；当x ∈[3，2+√3）∪（2+√3，4）时，lnx +ln （4﹣x ）∈（﹣∞，0）∪（0，ln 3]，f （x ）=3lnx+ln(4−x)∈（﹣∞，0）∪[3ln3，+∞）；综上可得：函数f （x ）的值域为（﹣∞，0]∪（1ln4，1ln3]∪[1ln2，ln √3）∪[3ln3，+∞）；【点评】本题考查的知识点是函数的定义域，函数的值域，分类讨论思想，难度中档．考点2：函数的性质一、函数的单调性1. 定义：设函数y=f(x)的定义域为A，区间M⊆A，如果取区间M中任意两个值，x1，x2，改变量△x=x2−x1>0，则当△y=y2−y1>0时，就称函数y=f(x)在区间M上是增函数．则当△y=y2−y1<0时，就称函数y=f(x)在区间M上是增函数．2. 说明：讨论函数单调性必须在其定义域内进行，因此要研究函数单调性必须先求函数的定义域，函数的单调区间是其定义域的子区间；3. 判断函数的单调性的方法有：(1)定义法；(2)利用已知函数的单调性；(3)利用函数的导数判断函数的单调性；(4)复合函数的单调性结论：“同增异减”；(5)奇函数在其对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在其对称的单调区间内具有相反的单调性．(6)在公共定义域内，增函数f(x)+增函数g(x)是增函数；减函数f(x)+减函数g(x)是减函数；增函数f(x)−减函数g(x)是增函数；减函数f(x)−增函数g(x)是减函数．(7)af(x)当a>0时候与g(x)的单调性相同，当a<0时候与g(x)的单调性相反．数的单调性是相反的，如果f(x)是单调函(8)如果f(x)是单调函数且f(x)>0，则f(x)和1f(x)数且f(x)<0，f(x)和1的单调性是相反的．f(x)二、函数的奇偶性1. 定义奇函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x都有f(−x)=−f(x)，则这个函数叫做奇函数．偶函数：设函数y=f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x都有f(−x)=f(x)，则这个函数叫做偶函数．2. 判断函数奇偶性的方法(1)定义法先求函数的定义域，若函数的定义域部关于原点对称，则此函数不具有奇、偶性；若函数定义域关于原点对称；在判断f(x)与f(−x)关系；若f(−x)=f(x)，则f(x)是偶函数；若f(−x)=−f(x)，则f(x)是奇函数．(2)图像法函数图像关于y轴对称⇔函数是偶函数．函数图像关于原点对称⇔函数是奇函数．3. 函数奇偶性的性质(1)若奇函数f(x)的定义域包含0，则f(0)=0．(2)奇函数在对称的单调区间内有相同的单调性，偶函数在对称的单调区间内具有相反的单调性．设f(x)，g(x)的定义域分别是D1，D2，那么在它们的公共定义域D=D1∩D2上：奇±奇=奇，偶±偶=偶，奇×奇=偶（例如y=x sin x是偶函数），偶×偶=偶，奇×偶=奇（例如y= x cos x是奇函数）．三、函数的周期性1. 判断一个函数是否是周期函数要抓住两点：一是对定义域中任意的x恒有f(x+T)=f(x)；二是能找到适合这一等式的非零常数T，一般来说，周期函数的定义域均为无限集．2. 具有周期性的抽象函数：函数y=f(x)满足对定义域内任一实数x（其中a为常数），(1)函数y=f(x)满足f(a+x)=f(a−x)（a>0），若f(x)为奇函数，则其周期为T=4a，若f(x)为偶函数，则其周期为T=2a．(2)函数y=f(x)(x∈R)的图象关于直线x=a和x=b(a<b)都对称，则函数f(x)是以2(b−a)为周期的周期函数．(3)函数y=f(x)(x∈R)的图象关于两点A(a,y0)，B(b,y0)(a<b)都对称，则函数f(x)是以2(b−a)为周期的周期函数．(4)函数y=f(x)(x∈R)的图象关于A(a,y0)和直线x=b(a<b)都对称，则函数f(x)是以4(b−a)为周期的周期函数．(5)关于函数的周期性有如下推广结论：若函数y=f(x)满足如下关系，则f(x)的周期为2T①f(x+T)=−f(x)② f(x+T)=±1f(x)③f(x+T2)=±1+f(x)1−f(x)④f(x+T2)=±1−f(x)1+f(x)四、函数的对称性1. 一个函数f(x)的自对称问题：(1)关于y轴对称⇔f(−x)=f(x)；(2)关于原点对称⇔f(−x)=−f(x)；(3)关于直线x=a对称⇔f(a+x)=f(a−x)或f(x)=f(2a−x)；(4)关于点(a,b)对称⇔f(x)=2b−f(2a−x)或f(a+x)−b=b−f(a−x)．2. 两个函数的互对称问题：(1)y=f(x)与y=−f(x)关于x轴对称．(2)y=f(x)与y=f(−x)关于y轴对称．(3)y=f(x)与y=−f(−x)关于原点对称．(4)y=f(x)与y=2a−f(x)关于y=a轴对称．(5)y=f(x)与y=f(2a−x)关于x=a轴对称．(6)y=f(x)与y=2b−f(2a−x)关于(a,b)对称．对称．(7)函数y=f(a−x)与y=f(x−b)的图像关于直线x=a+b2典例精讲【典例1】（2018秋•大荔县期末）已知函数f(x)=ax+b x 2+1是定义在（﹣1，1）上是奇函数，且f(12)=25．（1）求函数f （x ）的解析式；（2）判断函数f （x ）的单调性，并用定义证明．【分析】（1）根据函数的奇偶性求出b 的值，根据f(12)=25求出a 的值，从而求出f （x ）的解析式即可；（2）根据函数单调性的定义证明即可．【解答】解：（1）由题意可知f （﹣x ）＝﹣f （x ）， ∴−ax+b 1+x 2=−ax+b 1+x 2，∴b ＝0．…（3分）∴f(x)=ax1+x 2，∵f(12)=25，∴a ＝1， ∴f(x)=x1+x 2．…（6分）（2）f （x ）在（﹣1，1）上递增，证明如下：设﹣1＜x 1＜x 2＜1，则：f （x 1）﹣f （x 2）=(x 1−x 2)(1−x 1x 2)1+x 12，∵﹣1＜x 1＜x 2＜1，∴x 1﹣x 2＜0，∴1﹣x 1x 2＞0，1+x 12＞0，1+x 22＞0，∴(x 1−x 2)(1−x 1x 2)1+x 12＜0，所以f （x 1）﹣f （x 2）＜0，即f （x 1）＜f （x 2）．∴f （x ）在（﹣1，1）上是增函数．…（12分）【点评】本题考查了函数的奇偶性、单调性问题，考查根据函数单调性的定义证明函数的单调性问题．【典例2】（2017春•陵川县校级期末）已知函数f （x ）＝log a （1+x ）+log a （3﹣x ）（a ＞0且a ≠1）．（1）求函数f （x ）的定义域；（2）若函数f （x ）的最小值为﹣2，求实数a 的值．【分析】（1）利用对数函数的性质确定函数的定义域．（2）利用复合函数的单调性之间的关系去求值．【解答】解：（1）要使函数有意义则{1+x ＞03−x ＞0⇒−1＜x ＜3⋯（3分）∴函数f （x ）的定义域为（﹣1，3）…（4分）．（2）∵f （x ）＝log a （1+x ）（3﹣x ）=log a (−x 2+2x +3)=log a [−(x −1)2+4]⋯（6分）当0＜a ＜1时，则当x ＝1时，f （x ）有最小值log a 4， ∴log a 4＝﹣2，a ﹣2＝4， ∵0＜a ＜1，∴a =12⋯（9分）当a ＞1时，则当x ＝1时，f （x ）有最大值log a 4，f （x ）无最小值，此时a 无解…（10分），综上知，所求a =12．【点评】本题主要考查对数函数的性质和运算，要求熟练掌握对数函数的图象和性质．【典例3】（2018秋•宝安区期末）设函数f （x ）＝ka x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）是奇函数．（1）求常数k 的值；（2）若a ＞1，试判断函数f （x ）的单调性，并加以证明；（3）若已知f （1）=83，且函数g （x ）＝a 2x +a ﹣2x ﹣2mf （x ）在区间[1，+∞）上的最小值为﹣2，求实数m 的值．【分析】（1）根据函数的奇偶性的性质，建立方程即可求常数k 的值；（2）当a ＞1时，f （x ）在R 上递增．运用单调性的定义证明，注意作差、变形和定符号、下结论几个步骤；（3）根据f （1）=83，求出a ，然后利用函数的最小值建立方程求解m ．【解答】解：（1）∵f （x ）＝ka x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1）是奇函数． ∴f （0）＝0，即k ﹣1＝0，解得k ＝1．（2）∵f （x ）＝a x ﹣a ﹣x （a ＞0且a ≠1），当a ＞1时，f （x ）在R 上递增．理由如下：设m ＜n ，则f （m ）﹣f （n ）＝a m ﹣a ﹣m ﹣（a n ﹣a ﹣n ）＝（a m ﹣a n ）+（a ﹣n ﹣a ﹣m ）＝（a m ﹣a n ）（1+1a m a n ），由于m ＜n ，则0＜a m ＜a n ，即a m ﹣a n ＜0， f （m ）﹣f （n ）＜0，即f （m ）＜f （n ），则当a ＞1时，f （x ）在R 上递增．（3）∵f （1）=83，∴a −1a=83，即3a 2﹣8a ﹣3＝0，解得a ＝3或a =−13（舍去）．∴g （x ）＝32x +3﹣2x ﹣2m （3x ﹣3﹣x ）＝（3x ﹣3﹣x ）2﹣2m （3x ﹣3﹣x ）+2，令t ＝3x ﹣3﹣x ， ∵x ≥1， ∴t ≥f （1）=83，∴（3x ﹣3﹣x ）2﹣2m （3x ﹣3﹣x ）+2＝（t ﹣m ）2+2﹣m 2，当m ≥83时，2﹣m 2＝﹣2，解得m ＝2，不成立舍去．当m ＜83时，（83）2﹣2m ×83+2＝﹣2，解得m =2512，满足条件， ∴m =2512．【点评】本题主要考查函数奇偶性的应用，以及指数函数的性质和运算，考查学生的运算能力，综合性较强．【典例4】（2018秋•黑龙江期末）已知定义域为R 的函数f(x)=b−2x2x +a 是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）用定义证明f （x ）在R 上为减函数；（3）若对于任意t ∈[﹣2，2]，不等式f （t 2﹣2t ）+f （﹣2t 2+k ）＜0恒成立，求k 的取值范围．【分析】（1）根据函数是R 上的奇函数，利用f （0）＝0，即可求出a ，b 的值；（2）根据函数单调性的定义证明f （x ）在R 上为减函数；（3）根据函数单调性和奇偶性的性质，将不等式f （t 2﹣2t ）+f （﹣2t 2+k ）＜0恒成立进行转化，即可求k 的取值范围．【解答】解：（1）∵定义域为R 的函数f(x)=b−2x 2x +a是奇函数．∴f （0）=b−11+a=0，解得b ＝1．由f （﹣1）＝﹣f （1）得1−2−12−1+a=−1−22+a，解得a ＝1，此时f （x ）=1−2x1+2x ，满足f （﹣x ）＝﹣f （x ），即函数f （x ）是奇函数．（2）用定义证明f （x ）在R 上为减函数； ∵f （x ）=1−2x 1+2x=1+21+2x，设x 1＜x 2，f （x 1）﹣f （x 2）=21+2x 1−21+2x 2=2(2x 2−2x 1)(1+2x 1)(1+2x 2)， ∵x 1＜x 2，∴2x 2−2x 1＞0，(1+2x 1)(1+2x 2)＞0， ∴2(2x 2−2x 1)(1+2x 1)(1+2x 2)＞0，∴f （x 1）﹣f （x 2）＞0，及f （x 1）＞f （x 2），∴函数f （x ）在R 上为减函数．（3）由（1）（2）函数为奇函数且为减函数，∴不等式f （t 2﹣2t ）+f （﹣2t 2+k ）＜0恒成立，等价为 f （t 2﹣2t ）＜﹣f （﹣2t 2+k ）＝f （2t 2﹣k ），即t2﹣2t＞2t2﹣k对t∈[﹣2，2]，及k＞t2+2t对t∈[﹣2，2]恒成立，∵y＝t2+2t＝（t+1）2﹣1在t∈[﹣2，2]上的最大值为8，∴k＞8，即k的取值范围是k＞8．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的判断和应用，利用函数的奇偶性和单调性将不等式转化为参数恒成立是解决本题的关键，综合性较强．【典例5】（2017秋•新罗区校级月考）设f（x）是定义在R上的奇函数，且对任意实数x，恒有f（x+2）＝﹣f（x）．当x∈[0，2]时，f（x）＝2x﹣x2．（1）求证：f（x）是周期函数；（2）当x∈[2，4]时，求f（x）的解析式；（3）计算f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 018）的值．【分析】（1）利用关系式求出函数的周期即可．（2）利用函数的周期性以及函数的奇偶性转化求解函数的解析式即可．（3）求出函数一个周期内的函数值的和，然后求解即可．【解答】解：（1）证明：∵f（x+2）＝﹣f（x），∴f（x+4）＝﹣f（x+2）＝f（x）．∴f（x）是周期为4的周期函数．（2）当x∈[﹣2，0]时，﹣x∈[0，2]，由已知得f（﹣x）＝2（﹣x）﹣（﹣x）2＝﹣2x﹣x2，又f（x）是奇函数，∴f（﹣x）＝﹣f（x）＝﹣2x﹣x2，∴f（x）＝x2+2x．又当x∈[2，4]时，x﹣4∈[﹣2，0]，∴f（x﹣4）＝（x﹣4）2+2（x﹣4）．又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（x）＝f（x﹣4）＝（x﹣4）2+2（x﹣4）＝x2﹣6x+8．从而求得x∈[2，4]时，f（x）＝x2﹣6x+8．（3）f（0）＝0，f（2）＝0，f（1）＝1，f（3）＝﹣1．又f（x）是周期为4的周期函数，∴f（0）+f（1）+f（2）+f（3）＝f（4）+f（5）+f（6）+f（7）＝…＝f（2 008）+f（2 009）+f（2 010）+f（2 011）＝f（2 012）+f（2 013）+f（2 014）+f（2 015）＝0．∴f（0）+f（1）+f（2）+…+f（2 018）＝1．【点评】本题考查抽象函数的应用，函数的奇偶性以及函数的周期性的应用，考查计算能力．综合练习1．（2018秋•雨花区校级期中）定义在R 的函数f （x ），已知y ＝f （x +2）是奇函数，当x ＞2时，f （x ）单调递增，若x 1+x 2＞4且（x 1﹣2）•（x 2﹣2）＜0，且f （x 1）+f （x 2）值（） A ．恒大于0 B ．恒小于0 C ．可正可负 D ．可能为0【分析】根据y ＝f （x +2）为奇函数可得y ＝f （x ）关于点（2，0）对称，并由x ＞2时f （x ）单调递增，得出x ＜2时单调递减，并得出x ＞2时，f （x ）图象在x 轴上方，x ＜2时，f （x ）图象在x 轴下方．由（x 1﹣2）•（x 2﹣2）＜0可得出x 1＞2，x 2＜2，再由x 1+x 2＞4即可得出|x 1﹣2|＞|2﹣x 2|，这样根据f （x ）的对称性即可得出f （x 1）+f （x 2）＞0．【解答】解：∵y ＝f （x +2）是奇函数； ∴y ＝f （x ）的图象关于点（2，0）对称； ∵当x ＞2时，f （x ）单调递增； ∴当x ＜2时单调递增； ∵（x 1﹣2）•（x 2﹣2）＜0，不妨设x 1＞2，x 2＜2； ∴由x 1+x 2＞4得，x 1﹣2＞2﹣x 2，即|x 1﹣2|＞|2﹣x 2|；又f （x 1）＞0，f （x 2）＜0；∴结合函数对称性可知f （x 1）+f （x 2）＞0．故选：A ．【点评】考查奇函数的定义，奇函数的图象的对称性，以及图象的平移．2．（2015•河南一模）已知f （x ）为奇函数，当x ∈[0，1]时，f （x ）＝1﹣2|x −12|，当x ∈（﹣∞，﹣1]，f （x ）＝1﹣e ﹣1﹣x ，若关于x 的不等式f （x +m ）＞f （x ）有解，则实数m 的取值范围为（） A ．（﹣1，0）∪（0，+∞） B ．（﹣2，0）∪（0，+∞） C ．（−12−ln 2，﹣1）∪（0，+∞） D ．（−12−ln 2，0）∪（0，+∞）【分析】根据函数的奇偶性求出函数f （x ）的解析式，然后作出函数的图象，对m 进行分类讨论进行求解即可．【解答】解：若x ∈[﹣1，0]，则﹣x ∈[0，1]，则f （﹣x ）＝1﹣2|﹣x −12|＝1﹣2|x +12|， ∵f （x ）是奇函数，∴f （﹣x ）＝1﹣2|x +12|＝﹣f （x ），则f （x ）＝2|x +12|﹣1，x ∈[﹣1，0]，若x ∈[1，+∞），则﹣x ∈（﹣∞，﹣1]，则f （﹣x ）＝1﹣e ﹣1+x ＝﹣f （x ），则f （x ）＝e ﹣1+x ﹣1，x ∈[1，+∞），作出函数f （x ）的图象如图：当m ＞0时，f （x +m ）的图象向左平移，此时f （x +m ）＞f （x ）有解，满足条件．当m ＜0时，f （x +m ）的图象向右平移，当f（x+m）的图象与f（x）在x＞1相切时，f′（x）＝e x﹣1，此时对应直线斜率k＝2，由e x﹣1＝2，即x﹣1＝ln2，得x＝ln2+1．此时y＝e x﹣1﹣1＝e ln2+1﹣1﹣1＝2﹣1＝1，即切点坐标为（1+ln2，1），设直线方程为y＝2（x﹣a）此时1＝2（1+ln2﹣a），即1=1+ln2﹣a，2得a=1+ln2，2+ln2，0＜﹣m＜12得−1−ln2＜m＜0，2综上−1−ln2＜m＜0或m＞02综上m的取值范围是（−1−ln2，0）∪（0，+∞），2故选：D．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，求出函数的解析式以及利用数形结合是解决本题的关键．3．（2018春•汕头期末）已知函数f（x）＝x2+2|x|﹣2018，则使得f（√3x）＞f（x+2）成立的x的取值范围是（）A．（1−√3，√3）B．（﹣∞，1−√3）∪（√3，+∞）C．（1−√3，1+√3）D．（﹣∞，1−√3）∪（1+√3，+∞）【分析】根据题意，由函数奇偶性的定义分析可得函数f（x）为偶函数，当x≥0时，有f（x）＝x2+2x﹣2018，分析可得函数f（x）为增函数，据此可以将原不等式转化为√3|x|＞|x+2|，变形可得：x2﹣2x﹣2＞0，解饿看的x的取值范围，即可得答案．【解答】解：根据题意，函数f（x）＝x2+2|x|﹣2018，有f（﹣x）＝f（x），则函数f（x）为偶函数，当x≥0时，有f（x）＝x2+2x﹣2018，分析可得函数f（x）为增函数，若f（√3x）＞f（x+2），则有√3|x|＞|x+2|，变形可得：x2﹣2x﹣2＞0，解可得：x＜1−√3或x＞1+√3，即x的取值范围：（﹣∞，1−√3）∪（1+√3，+∞）；故选：D．【点评】本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，关键是分析函数f（x）的奇偶性与单调性．4．（2015春•福州校级月考）已知函数f（x）＝log2（|x﹣1|+|x﹣5|﹣a）．（Ⅰ）当a＝5时，求函数f（x）的定义域；（Ⅱ）当函数f（x）的定义域为R时，求实数a的取值范围．【分析】（Ⅰ）问题转化为不等式|x﹣1|+|x﹣5|﹣5＞0成立，通过讨论x的范围，求出不等式的解集，从而求出函数的定义域；（Ⅱ）问题转化为a＜（|x﹣1|+|x﹣5|）min即可，通过绝对值的几何意义求出（|x﹣1|+|x﹣5|）的最小值即可．【解答】解：（Ⅰ）当a＝5时，要使函数f（x）有意义，有不等式|x ﹣1|+|x ﹣5|﹣5＞0成立，﹣①，当x ≤1时，不等式①等价于﹣2x +1＞0，即x ＜12，∴x ＜12；当1＜x ≤5时，不等式①等价于﹣1＞0，即x ∈∅，∴x ∈∅；当x ＞5时，不等式①等价于2x ﹣11＞0，即x ＞112，∴x ＞112；综上函数f （x ）的定义域为（﹣∞，12）∪（112，+∞）．（Ⅱ）∵函数f （x ）的定义域为R ，∴不等式|x ﹣1|+|x ﹣5|﹣a ＞0恒成立， ∴只要a ＜（|x ﹣1|+|x ﹣5|）min 即可，又∵|x ﹣1|+|x ﹣5|≥4（x ＝1或x ＝5时取等号），即a ＜（|x ﹣1|+|x ﹣5|）min ＝4，∴a ＜4． ∴a 的取值范围是（﹣∞，4）．【点评】本题考查绝对值不等式解法、最值求解等基础知识，考查推理论证能力及运算求解能力．5．（2014秋•思明区校级月考）函数f （x ）=x+ax+1x−1•lgx 的值域为（0，+∞）则实数a 的最小值是 ﹣2 ．【分析】由题意，得函数的定义域，讨论x ＞1、0＜x ＜1时，函数解析式的取值范围，从而求出a 的最小值．【解答】解：∵函数f （x ）=x+ax+1x−1•lgx 的值域为（0，+∞），∴函数的定义域是{x |x ＞0，且x ≠1}；当x ＞1时，x ﹣1＞0，lgx ＞0， ∴x +ax +1＞0，∴a ＞﹣（1+1x），令g （x ）＝﹣（1+1x），x ∈（1，+∞），x →+∞时，g （x ）→﹣1，x →1时，g （x ）→﹣2， ∴﹣2＜g （x ）＜﹣1， ∴a ≥﹣1，当0＜x ＜1时，x ﹣1＜0，lgx ＜0， ∴x +ax +1＞0，∴a ＞﹣（1+1x），令h （x ）＝﹣（1+1x），x ∈（0，1），x →0时，g （x ）→﹣∞，x →1时，g （x ）→﹣2， ∴g （x ）＜﹣2， ∴a ≥﹣2，综上，实数a ≥﹣2无最小值．故答案为：﹣2．【点评】本题考查了函数的值域及其应用问题，是易错题．6．（2020春•葫芦岛期末）已知定义域为R 的函数1()x x e bf x e a +-=+是奇函数．（1）求a ，b 的值；（2）若对任意的[0t ∈，1]，不等式22(2)(2)0f t t f t k -+-<恒成立，求k 的取值范围．【分析】（1）根据函数奇偶性的定义和性质建立方程进行求解即可得a ，b 的值．（2）根据条件判断函数的单调性，利用奇偶性和单调性的性质将不等式进行转化求解即可．【解答】解：（1）根据题意，因为函数1()x x e b f x e a +-=+是奇函数，则1(0)0b f a e -==+，解可得1b =，则11()x x e f x e a +-=+，又由f （1）(1)f =--知21111e e e a a --=++得a e =所以，a e =，1b =．（2）由（1）知111112()(1)11x x x x x e e f x e e e e e e +--===-+++，易知()f x 在R 上为增函数，又因()f x 是奇函数，从而不等式：22(2)(2)0f t t f t k -+-<等价于222(2)(2)(2)f t t f t k f k t -<--=-，因()f x 为增函数，由上式推得：2222t t k t -<-，即对一切[0t ∈，1]，有：232t t k -<，令2()32g t t t =-即211()3()33g t t =--，当1t =时，有()max g t g =（1）1=从而1k >．【点评】本题主要考查函数奇偶性和单调性的应用，根据奇函数的定义求出函数的解析式，利用函数奇偶性和单调性的性质进行转化是解决本题的关键．难度中等．7. （2020春•赤峰期末）已知函数1()log (0,1)1a mx f x a a x +=>≠-是奇函数．（1）求实数m 的值；（2）是否存在实数p ，a ，当(,2)x p a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞．若存在，求出实数p ，a ；若不存在，说明理由（3）令函数2()()6(1)5f x g x ax x a=-+--，当[2x ∈，3]时，求函数()g x 的最大值．【分析】（1）根据题意，由函数奇偶性的性质可得有()()0f x f x -+=，即11log log 011a a mx mx x x +-+=---，解可得：1m =±，结合对数的定义验证即可得答案；（2）分类讨论，利用当(,2)x p a ∈-时，函数()f x 的值域是(1,)+∞，可得结论；（3）2()61[2g x ax x x =-++∈，3]且0a >，1a ≠，分类讨论，求出函数()g x 的最大值．【解答】解：（1）根据题意，函数1()log (01a mx f x a x +=>-且1)a ≠是奇函数，则有()()0f x f x -+=，即11log log 011a a mx mx x x +-+=---，解可得：1m =±，当1m =-时，111x x -=--，不合题意，舍去；1m ∴=．（2）由（1）的结论，1()log 1a x f x x +=-，有101x x +>-，解可得1x <-或1x >，即函数的定义域为(-∞，1)(1-⋃，)+∞；分2种情况讨论：①，当21p a <--时，有01a <<．此时()f x 为增函数，此时有1121p a p a +⎧=⎪-⎨⎪-=-⎩，不合题意，舍去；②，当12p a -时，有3a >．此时()f x 为减函数，此时有12121p a a a =⎧⎪-+⎨=⎪--⎩，解得2a =+，1p =，故存在实数2a =+，1p =满足题意．（3）2()()6(1)5f x g x ax x a =-+--，1()log 1a x f x x +=-，2()61[2g x ax x x ∴=-++∈，3]且0a >，1a ≠， ①当32a ，即32a 时，函数()g x 在[2，3]上单调递减，所以()max g x g =（2）413a =-+，②当33a ，即01a <时，函数()g x 在[2，3]上单调递增，所以()max g x g =（3）919a =-+，当312a <<时，函数()g x 在[2，3]a 上单调递增，在3[a ，5]上单调递减，所以39()()1max g x g a a ==+，综上所述，919,0193()1,123413,2max a a g x a aa a ⎧⎪-+<⎪⎪=+<<⎨⎪⎪-+⎪⎩．【点评】本题考查函数的性质，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．。

高考数学二轮专题复习第二讲.三角函数拔高难度-讲义

目录一、总论 (2)二、考纲解读 (2)三、命题趋势探究 (2)四、三角函数的图像与性质 (2)五、解答题题型归纳 (5)核心考点1: 三角函数的图像和性质 (5)核心考点2: 解三角形 (10)一、总论三角函数在高考中通常以中低档题型出现,难度不大,但由于三角公式的特殊性,解题中往往也涉及一些小的变换技巧,如果处理得当,往往可以事半功倍,快速而准确地得到正确结论.通常情况下,三角变换应从“角度、函数、常数、次数、结构”等几方面着手解决. 二、考纲解读1.理解正弦、余弦函数在区间[]0,2π的性质（如单调性、最大值和最小值以及与轴的交点等），理解正切函数在区间,22ππ⎛⎫- ⎪⎝⎭的单调性.2.了解函数sin()A x ωϕ+的物理意义，能画出sin()A x ωϕ+的图像，了解参数,,A ωϕ对函数图像的影响.3.了解三角函数是描述周期变化现象的重要函数，会用三角函数解决一些简单实际问题.三、命题趋势探究1.形如sin()A x ωϕ+的函数性质为高考必考内容，可在选择题，填空题中直接考查其周期性、单调性、对称性、最值、图像的平移和伸缩变换、由图像确定解析式等，解答题常与平面向量解三角形相结合，难度为中低档.2.本节知识在高考中出现的频率高，题型比较稳定，考点核心是把所给函数式化成sin()A x ωϕ+的形式，解答关于其图像与性质的问题四、三角函数的图像与性质3.)sin(ϕ+=wx A y 与)0,0)(cos(>>+=w A wx A y ϕ的图像与性质（1）最小正周期：wT π2=. （2）定义域与值域：)sin(ϕ+=wx A y ，）ϕ+=wx A y cos(的定义域为R ，值域为[-A ,A ]. （3）最值假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧-∈+-=+∈+=+;)(22;)Z (22A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧-∈+=+∈=+;)(2;)Z (2A Z k k wx A k k wx 时，函数取得最小值当时，函数取得最大值当ππϕπϕ （4）对称轴与对称中心. 假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈=+=+=±=+∈+=+).0,()sin(0)sin()()sin(1)sin()(2000000x wx y wx Z k k wx xx wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕπϕϕϕππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧+==+∈+=+=+=±=+∈=+).0,()cos(0)cos()(2)cos(1)cos()(000000x wx y wx Z k k wx x x wx y wx Z k k wx 的对称中心为时，，即当的对称轴为时，，即当ϕϕππϕϕϕπϕ 正、余弦曲线的对称轴是相应函数取最大（小）值的位置.正、余弦的对称中心是相应函数与x 轴交点的位置. （5）单调性.假设00>>w A ，. ①对于)sin(ϕ+=wx A y ，⎪⎩⎪⎨⎧⇒∈++∈+⇒∈++-∈+.)](223,22[)](22,22[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx ππππϕππππϕ ②对于）ϕ+=wx A y cos(，⎩⎨⎧⇒∈+∈+⇒∈+-∈+.)](2,2[)](2,2[减区间增区间；Z k k k wx Z k k k wx πππϕπππϕ 五、解答题题型归纳核心考点1: 三角函数的图像和性质1.已知函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω，φ均为正的常数)的最小正周期为π，当x ＝2π3时，函数f (x )取得最小值，则下列结论正确的是( ) A.f (2)<f (－2)<f (0) B.f (0)<f (2)<f (－2) C.f (－2)<f (0)<f (2) D.f (2)<f (0)<f (－2)2.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( )A.11B.9C.7D.53.某同学用“五点法”画函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|<π2在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：(1) f (x )的解析式；(2) 将y ＝f (x )图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y ＝g (x )的图象.若y ＝g (x )图象的一个对称中心为⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0，求θ的最小值.3.解 (1)根据表中已知数据，解得A ＝5，因为y ＝sin x 的对称中心为(k π，0)，k ∈Z .4.已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)(ω>0，|φ|<π2)的部分图象如图，令a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫n π6，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝ .观察规律可知a n 的取值变化以6为周期，且每一个周期内的和为0，又2014＝6×335＋4，5.已知偶函数f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A >0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，△KLM 为等腰直角三角形，∠KML ＝90°，|KL |＝1，则f ⎝ ⎛⎭⎪⎫13的值为 .6.已知函数f (x )＝A cos 2(ωx ＋φ)＋1⎝ ⎛⎭⎪⎫A >0，ω>0，0<φ<π2的最大值为3，f (x )的图象与y 轴交点坐标为(0，2)，其相邻的两条对称轴的距离为2，则f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝ .而f (1)＋f (2)＋f (3)＋f (4)＝8，且周期为4，所以f (1)＋f (2)＋…＋f (2 015)＝503×8＋f (1)＋f (2)＋f (3)＝4 030.]7.已知直线y ＝2与函数f (x )＝2sin 2ωx ＋23sin ωx cos ωx －1(ω＞0)的图象的两相邻交点之间的距离为π.(1)求f (x )的解析式，并求出f (x )的单调递增区间；(2)将函数f (x )的图象向左平移π4个单位得到函数g (x )的图象，求函数g (x )的最大值及g (x )取得最大值时x 的取值集合.则g (x )的最大值为2，此时有(k ∈Z )，8.已知向量a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x 3，cos x 3，b ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫cos x3，3cos x 3，函数f (x )＝a·b .(1)求函数f (x )的单调递增区间；(2)如果△ABC 的三边a ，b ，c 满足b 2＝ac ，且边b 所对的角的大小为x ，试求x 的范围及此时函数f (x )的值域.核心考点2: 解三角形1.如图，在△ABC中，∠A＝30°，BC＝25，D是AB边上的一点，CD＝2，△BCD 的面积为4，则AC的长为.2.在锐角△ABC中，若A＝2B，则ab的范围是(a，b分别为角A，B的对边长)()A.(2，3)B.(3，2)C.(0，2)D.(2，2)B≠0)，∵A＋B＋C＝180°，∴3B＋C＝180°，即C＝180°－3B，∵角C为锐角，∴30°<B<60°，又0°<A＝2B<90°，∴30°<B<45°，3.△ABC中三个内角为A，B，C，若关于x的方程x2－x cos A cos B－cos2C2＝0有一根为1，则△ABC一定是()A.直角三角形B.等腰三角形C.锐角三角形D.钝角三角形整理得：cos(A－B)＝1，又A，B为△ABC内角，∴A＝B，∴三角形为等腰三角形，故选B.]4.已知a，b，c，分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，a＝2，且(2＋b)(sin A －sin B)＝(c－b)sin C，则△ABC面积的最大值为________.－sin B)＝(c－b)sin C，由正弦定理可得(a＋b)(a－b)＝(c－b)c，即b2＋c2－a2＝5.若△ABC的内角满足sin A＋2sin B＝2sin C，则cos C的最小值是________.6.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b，c，已知2(tan A＋tan B)＝tan Acos B＋tan Bcos A.(1)证明：a＋b＝2c；(2)求cos C的最小值.化简得2(sin A cos B ＋sin B cos A )＝sin A ＋sin B ，即2sin(A ＋B )＝sin A ＋sin B ，因为A ＋B ＋C ＝π，所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，从而sin A ＋sin B ＝2sin C ，由正弦定理得a ＋b ＝2c .7.在△ABC 中，a 2＋c 2＝b 2＋2ac .(1)求角B 的大小；(2)求2cos A ＋cos C 的最大值.8.ABC △的内角为A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知cos sin sin cos a b c C B B C=+．（1）求()()sin sin cos cos A B A A A B +++-的最大值；（2）若b =ABC △的面积最大时，求ABC △的周长．A B C C B =+，即sin sin cos sin sin=+，a b C c Bcos sin。

2014年九年级数学同步拔高二次函数解析式(2)

第二讲：如何确定抛物线的解析式-2014年九年级同步拔高一、抛物线c bx ax y ++=2的交点1.例题解析例1.抛物线y =-4(x +2)2+5的顶点坐标是（ , ），与x 轴的交点坐标是（，）, 与y 轴的交点坐标是（，），函数y= x 2－4的顶点坐标是（ , ），图象与x 轴的交点坐标是（，）与y 轴的交点坐标是（，）例2.若直线 y=ax －6与抛物线y=x 2－4x+3只有一个交点，则a 的值为（）2.相应练习1 .抛物线y=x 2－４x ＋5的顶点坐标是（）．直线y=x+2与抛物线y=x2 +2x 的交点坐标为____．2..已知直线y=x 与二次函数y=ax 2 －2x －1的图象的一个交点 M 的横标为1，则a 的值为（）3.知识归纳点睛（1）抛物线c bx ax y ++=2与y 轴交点为(0, ______)，与x 轴的交点是对应一元二次方程_________________的两个实数根.抛物线与x 轴的交点情况可以由对应的一元二次方程的________________判定（2）一次函数()0≠+=k n kx y 的图像l 与二次函数()02≠++=a c bx ax y 的图像G 的交点，由方程组2y kx n y ax bx c=+⎧⎨=++⎩的解的数目来确定：①方程组有两组不同的解时⇔l 与G 有______交点; ②方程组只有______解时⇔l 与G 只有一个交点；③方程组无解时⇔l 与G ______交点.二、根据抛物线上点的坐标确定二次函数表达式例题1、求与x 轴两个交点分别为（-5，0）、(1，0)，且经过点（-4，5）的抛物线的解析式。

相应练习11. 二次函数图象经过点A （－1，0），B （3，0），C （4，10）；求此抛物线的解析式。

2．已知一抛物线与x 轴的交点是A （-2，0）、B （1，0），且经过点C （2，8），求这个二次函数的解析式。

北师大版八年级第4章一次函数应用(图像综合)选择题拔高训练(二)

第4章一次函数应用（图像综合）选择题拔高训练（二）1．如图，一个弹簧不挂重物时长6cm，挂上重物后，在弹性限度内弹簧伸长的长度与所挂重物的质量成正比．弹簧总长y（单位：cm）关于所挂物体质量x（单位：kg）的函数图象如图所示，则图中a的值是（）A．3 B．4 C．5 D．62．鄂尔多斯动物园内的一段线路如图1所示，动物园内有免费的班车，从入口处出发，沿该线路开往大象馆，途中停靠花鸟馆（上下车时间忽略不计），第一班车上午9：20发车，以后每隔10分钟有一班车从入口处发车，且每一班车速度均相同．小聪周末到动物园游玩，上午9点到达入口处，因还没到班车发车时间，于是从入口处出发，沿该线路步行25分钟后到达花鸟馆．离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数关系如图2所示，下列结论错误的是（）A．第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的解析式为y＝200x﹣4000（20≤x ≤38）B．第一班车从入口处到达花鸟馆所需的时间为10分钟C．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，想坐班车到大象馆，则小聪最早能够坐上第四班车D．小聪在花鸟馆游玩40分钟后，如果坐第五班车到大象馆，那么比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟（假设小聪步行速度不变）3．一个容器有进水管和出水管，每分钟的进水量和出水量是两个常数．从某时刻开始4min 内只进水不出水，从第4min到第24min内既进水又出水，从第24min开始只出水不进水，容器内水量y（单位：L）与时间x（单位：min）之间的关系如图所示，则图中a的值是（）A．32 B．34 C．36 D．384．有一个装有水的容器，如图所示，容器内的水面高度是10cm，现向容器内注水，并同时开始计时，在注水过程中，水面高度以每秒0.2cm的速度匀速增加，则容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是（）A．正比例函数关系B．一次函数关系C．二次函数关系D．反比例函数关系5．在“加油向未来”电视节目中，王清和李北进行无人驾驶汽车运送货物表演，王清操控的快车和李北操控的慢车分别从A，B两地同时出发，相向而行．快车到达B地后，停留3秒卸货，然后原路返回A地，慢车到达A地即停运休息，如图表示的是两车之间的距离y（米）与行驶时间x（秒）的函数图象，根据图象信息，计算a、b的值分别为（）A ．39，26B ．39，26.4C ．38，26D ．38，26.46．一条公路旁依次有A ，B ，C 三个村庄，甲乙两人骑自行车分别从A 村、B 村同时出发前往C 村，甲乙之间的距离s （km ）与骑行时间t （h ）之间的函数关系如图所示，下列结论：①A ，B 两村相距10km ； ②出发1.25h 后两人相遇； ③甲每小时比乙多骑行8km ；④相遇后，乙又骑行了15min 或65min 时两人相距2km ．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个7．甲、乙施工队分别从两端修一段长度为380米的公路．在施工过程中，乙队曾因技术改进而停工一天，之后加快了施工进度并与甲队共同按期完成了修路任务．下表是根据每天工程进度绘制而成的．施工时间/天 1 2 3 4 5 6 7 8 9 累计完成施工量/米3570105140160215270325380下列说法错误的是（） A ．甲队每天修路20米B．乙队第一天修路15米C．乙队技术改进后每天修路35米D．前七天甲，乙两队修路长度相等8．甲、乙两队参加了“端午情，龙舟韵”赛龙舟比赛，两队在比赛时的路程s（米）与时间t（秒）之间的函数图象如图所示，请你根据图象判断，下列说法正确的是（）A．乙队率先到达终点B．甲队比乙队多走了126米C．在47.8秒时，两队所走路程相等D．从出发到13.7秒的时间段内，乙队的速度慢9．小涵与阿嘉一起去咖啡店购买同款咖啡豆，咖啡豆每公克的价钱固定，购买时自备容器则结帐金额再减5元．若小涵购买咖啡豆250公克且自备容器，需支付295元；阿嘉购买咖啡豆x公克但没有自备容器，需支付y元，则y与x的关系式为下列何者？（）A．y＝x B．y＝xC．y＝x+5 D．y＝x+510．如图1，甲、乙两人沿湟水河滨水绿道同向而行，甲步行的速度为100米/分，乙骑公共自行车的速度为v米/分，起初甲在乙前a米处，两人同时出发，当乙追上甲时，两人停止前行．设x分钟后甲、乙两人相距y米，y与x的函数关系如图2所示，有以下结论：①图1中a表示为1000；②图1中EF表示为1000﹣200x；③乙的速度为200米/分；④若两人在相距a米处同时相向而行，分钟后相遇．其中正确的结论是（）A．①②B．③④C．①②③D．①③④11．小明参加100m短跑训练，2018年1～4月的训练成绩如下表所示：月份 1 2 3 4 成绩（s）15.6 15.4 15.2 15 体育老师夸奖小明是“田径天才”，请你预测小明5年（60个月）后100m短跑的成绩为（）（温馨提示；目前100m短跑世界纪录为9秒58）A．14.8s B．3.8sC．3s D．预测结果不可靠12．如图是本地区一种产品30天的销售图象，图①是产品日销售量y（单位：件）与时间t （单位：天）的函数关系，图②是一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系，已知日销售利润＝日销售量×一件产品的销售利润．下列结论错误的是（）A．第24天的销售量为300件B．第10天销售一件产品的利润是15元C．第27天的日销售利润是1250元D．第15天与第30天的日销售量相等13．甲、乙两车从A地出发，匀速驶向B地．甲车以80km/h的速度行驶1h后，乙车才沿相同路线行驶．乙车先到达B地并停留1h后，再以原速按原路返回，直至与甲车相遇．在此过程中，两车之间的距离y（km）与乙车行驶时间x（h）之间的函数关系如图所示．下列说法：①乙车的速度是120km/h；②m＝160；③点H的坐标是（7，80）；④n＝7.5．其中说法正确的有（）A．4个B．3个C．2个D．1个14．甲、乙两人在笔直的湖边公路上同起点、同终点、同方向匀速步行2400米，先到终点的人原地休息．已知甲先出发4分钟，在整个步行过程中，甲、乙两人的距离y（米）与甲出发的时间t（分）之间的关系如图所示，下列结论：①甲步行的速度为60米/分；②乙走完全程用了32分钟；③乙用16分钟追上甲；④乙到达终点时，甲离终点还有300米．其中正确的结论有（）A．1个B．2个C．3个D．4个15．甲、乙两人分别从A、B两地同时出发，相向而行，匀速前往B地、A地，两人相遇时停留了4min，又各自按原速前往目的地，甲、乙两人之间的距离y（m）与甲所用时间x （min）之间的函数关系如图所示．有下列说法：①A、B之间的距离为1200m；②乙行走的速度是甲的1.5倍；③b＝960；④a＝34．以上结论正确的有（）A ．①②B ．①②③C ．①③④D ．①②④16．公式L ＝L 0+KP 表示当重力为P 时的物体作用在弹簧上时弹簧的长度，L 0代表弹簧的初始长度，用厘米（cm ）表示，K 表示单位重力物体作用在弹簧上时弹簧拉伸的长度，用厘米（cm ）表示．下面给出的四个公式中，表明这是一个短而硬的弹簧的是（） A ．L ＝10+0.5PB ．L ＝10+5PC ．L ＝80+0.5PD ．L ＝80+5P17．小东家与学校之间是一条笔直的公路，早饭后，小东步行前往学校，途中发现忘带画板，停下给妈妈打电话，妈妈接到电话后，带上画板马上赶往学校，同时小东沿原路返回，两人相遇后，小东立即赶往学校，妈妈沿原路返回16min 到家，再过5min 小东到达学校，小东始终以100m /min 的速度步行，小东和妈妈的距离y （单位：m ）与小东打完电话后的步行时间t （单位：min ）之间的函数关系如图所示，下列四种说法： ①打电话时，小东和妈妈的距离为1400米； ②小东和妈妈相遇后，妈妈回家速度为50m /min ； ③小东打完电话后，经过27min 到达学校； ④小东家离学校的距离为2900m ．其中正确的个数是（）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个18．在一次自行车越野赛中，出发mh 后，小明骑行了25km ，小刚骑行了18km ，此后两人分别以akm /h ，bkm /h 匀速骑行，他们骑行的时间t （单位：h ）与骑行的路程s （单位：km ）之间的函数关系如图，观察图象，下列说法： ①出发mh 内小明的速度比小刚快；②a＝26；③小刚追上小明时离起点43km；④此次越野赛的全程为90km，其中正确的说法有（）A．1个B．2个C．3个D．4个19．小刚家、公交车站、学校在一条笔直的公路旁（小刚家、学校到这条公路的距离忽略不计）一天，小刚从家出发去上学，沿这条公路步行到公交站恰好乘上一辆公交车，公交车沿这条公路匀速行驶，小刚下车时发现还有4分钟上课，于是他沿着这条公路跑步赶到学校（上、下车时间忽略不计），小刚与学校的距离s（单位：米）与他所用的时间t （单位：分钟）之间的函数关系如图所示．已知小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，从上公交车到他到达学校共用10分钟．下列说法：①公交车的速度为400米/分钟；②小刚从家出发5分钟时乘上公交车；③小刚下公交车后跑向学校的速度是100米/分钟；④小刚上课迟到了1分钟．其中正确的个数是（）A．4个B．3个C．2个D．1个20．甲、乙两个草莓采摘园为吸引顾客，在草莓销售价格相同的基础上分别推出优惠方案，甲园：顾客进园需购买门票，采摘的草莓按六折优惠．乙园：顾客进园免门票，采摘草莓超过一定数量后，超过的部分打折销售．活动期间，某顾客的草莓采摘量为xkg，若在甲园采摘需总费用y1元，若在乙园采摘需总费用y2元．y1，y2与x之间的函数图象如图所示，则下列说法中错误的是（）A．甲园的门票费用是60元B．草莓优惠前的销售价格是40元/kgC．乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打五折D．若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园或乙园的总费用相同参考答案1．解：设y与x的函数关系式为y＝kx+b，将点（0，6），（9，10.5）代入上式得，，解得，，即y与x的函数关系式是y＝0.5x+6，当y＝7.5时，7.5＝0.5x+6，得x＝3，即a的值为3，故选：A．2．解：由题意得，可设第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的解析式为：y＝kx+b（k≠0），把（20，0），（38，3600）代入y＝kx+b，得，解得，∴第一班车离入口处的路程y（米）与时间x（分）的函数表达为y＝200x﹣4000（20≤x ≤38）；故选项A不合题意；把y＝2000代入y＝200x﹣4000，解得x＝30，30﹣20＝10（分），∴第一班车从入口处到达花鸟馆所需时间10分钟；故选项B不合题意；设小聪坐上了第n班车，则30﹣25+10（n﹣1）≥40，解得n≥4.5，∴小聪坐上了第5班车，故选项C符合题意；等车的时间为5分钟，坐班车所需时间为：1600÷200＝8（分），步行所需时间：1600÷（2000÷25）＝20（分），20﹣（8+5）＝7（分），∴比他在花鸟馆游玩结束后立即步行到大象馆提前了7分钟．故选项D不合题意．故选：C．3．解：由图象可知，进水的速度为：20÷4＝5（L/min），出水的速度为：5﹣（35﹣20）÷（16﹣4）＝3.75（L/min），第24分钟时的水量为：20+（5﹣3.75）×（24﹣4）＝45（L），a＝24+45÷3.75＝36．故选：C．4．解：设容器内的水面高度为h，注水时间为t，根据题意得：h＝0.2t+10，∴容器注满水之前，容器内的水面高度与对应的注水时间满足的函数关系是一次函数关系．故选：B．5．解：速度和为：24÷（30﹣18）＝2米/秒，由题意得：，解得：b＝26.4，因此慢车速度为：＝0.8米/秒，快车速度为：2﹣0.8＝1.2米/秒，快车返回追至两车距离为24米的时间：（26.4﹣24）÷（1.2﹣0.8）＝6秒，因此a＝33+6＝39秒．故选：B．6．解：由图象可知A村、B村相离10km，故①正确，当1.25h时，甲、乙相距为0km，故在此时相遇，故②正确，当0≤t≤1.25时，易得一次函数的解析式为s＝﹣8t+10，故甲的速度比乙的速度快8km/h．故③正确当1.25≤t≤2时，函数图象经过点（1.25，0）（2，6）设一次函数的解析式为s＝kt+b 代入得，解得∴s＝8t﹣10当s＝2时．得2＝8t﹣10，解得t＝1.5h由1.5﹣1.25＝0.25h＝15min同理当2≤t≤2.5时，设函数解析式为s＝kt+b将点（2，6）（2.5，0）代入得，解得∴s＝﹣12t+30当s＝2时，得2＝﹣12t+30，解得t＝由﹣1.25＝h＝65min故相遇后，乙又骑行了15min或65min时两人相距2km，④正确．故选：D．7．解：由题意可得，甲队每天修路：160﹣140＝20（米），故选项A正确；乙队第一天修路：35﹣20＝15（米），故选项B正确；乙队技术改进后每天修路：215﹣160﹣20＝35（米），故选项C正确；前7天，甲队修路：20×7＝140米，乙队修路：270﹣140＝130米，故选项D错误；故选：D．8．解：A、由函数图象可知，甲走完全程需要82.3秒，乙走完全程需要90.2秒，甲队率先到达终点，本选项错误；B、由函数图象可知，甲、乙两队都走了300米，路程相同，本选项错误；C、由函数图象可知，在47.8秒时，两队所走路程相等，均为174米，本选项正确；D、由函数图象可知，从出发到13.7秒的时间段内，甲队的速度慢，本选项错误；故选：C．9．解：根据题意可得咖啡豆每公克的价钱为：（295+5）÷250＝（元），∴y与x的关系式为：．故选：B．10．解：由图可知，a＝1000，故①正确；乙的速度为：＝300米/分钟，故③错误；图1中，EF表示为1000+100x﹣300x＝1000﹣200x，故②正确；令1000＝300x+100x，得x＝2.5，即两人在相距a米处同时相向而行，2.5分钟后相遇，故④错误；故选：A．11．解：（1）设y＝kx+b依题意得（1分），解答，∴y＝﹣0.2x+15.8．当x＝60时，y＝﹣0.2×60+15.8＝3.8．因为目前100m短跑世界纪录为9秒58，显然答案不符合实际意义，故选：D．12．解：A、根据图①可得第24天的销售量为300件，故正确；B、设当0≤t≤20，一件产品的销售利润z（单位：元）与时间t（单位：天）的函数关系为z＝kx+b，把（0，25），（20，5）代入得：，解得：，∴z＝﹣x+25，当x＝10时，z＝﹣10+25＝15，故正确；C、当24≤t≤30时，设产品日销售量y（单位：件）与时间t（单位；天）的函数关系为y＝k1t+b1，把（30，200），（24，300）代入得：，解得：，∴y＝﹣t+700，当t＝27时，y＝250，∴第27天的日销售利润为；250×5＝1250（元），故C正确；D、当0＜t＜24时，可得y＝t+100，t＝15时，y≠200，故D错误，故选：D．13．解：由图象可知，乙出发时，甲乙相距80km，2小时后，乙车追上甲．则说明乙每小时比甲快40km，则乙的速度为120km/h．①正确；由图象第2﹣6小时，乙由相遇点到达B，用时4小时，每小时比甲快40km，则此时甲乙距离4×40＝160km，则m＝160，②正确；当乙在B休息1h时，甲前进80km，则H点坐标为（7，80），③正确；乙返回时，甲乙相距80km，到两车相遇用时80÷（120+80）＝0.4小时，则n＝6+1+0.4＝7.4，④错误．故选：B．14．解：由图可得，甲步行的速度为：240÷4＝60米/分，故①正确，乙走完全程用的时间为：2400÷（16×60÷12）＝30（分钟），故②错误，乙追上甲用的时间为：16﹣4＝12（分钟），故③错误，乙到达终点时，甲离终点距离是：2400﹣（4+30）×60＝360米，故④错误，故选：A．15．解：①当x＝0时，y＝1200，∴A、B之间的距离为1200m，结论①正确；②乙的速度为1200÷（24﹣4）＝60（m/min），甲的速度为1200÷12﹣60＝40（m/min），60÷40＝1.5，∴乙行走的速度是甲的1.5倍，结论②正确；③b＝（60+40）×（24﹣4﹣12）＝800，结论③错误；④a＝1200÷40+4＝34，结论④正确．故选：D．16．解：∵10＜80，0.5＜5，∴A和B中，L＝10，表示弹簧短；A和C中，K＝0.5，表示弹簧硬，∴A选项表示这是一个短而硬的弹簧．故选：A．17．解：①当t＝0时，y＝1400，∴打电话时，小东和妈妈的距离为1400米，结论①正确；②2400÷（22﹣6）﹣100＝50（m/min），∴小东和妈妈相遇后，妈妈回家的速度为50m/min，结论②正确；③∵t的最大值为27，∴小东打完电话后，经过27min到达学校，结论③正确；④2400+（27﹣22）×100＝2900（m），∴小东家离学校的距离为2900m，结论④正确．综上所述，正确的结论有：①②③④．故选：D．18．解：由图象可知，出发mh内小明的速度比小刚快，故①正确；由图象可得，，解得，，故②正确；小刚追上小明走过的路程是：36×（0.5+0.7）＝36×1.2＝43.2km＞43km，故③错误；此次越野赛的全程是：36×（0.5+2）＝36×2.5＝90km，故④正确；故选：C．19．解：∵小刚从家出发7分钟时与家的距离是1200米，即小刚从家出发7分钟时距离学校3500﹣1200＝2300m，∴公交车的速度为：＝400米/分钟，故①正确；由①知公交车速度为400米/分钟，∴公交车行驶的时间为＝7分钟，∴小刚从家出发乘上公交车是在第12﹣7＝5分钟时，故②正确；∵从上公交车到他到达学校共用10分钟，∴小刚下公交车后跑向学校的速度是＝100米/分钟，故③正确；∵小刚从下车至到达学校所用时间为5+10﹣12＝3分钟，而小刚下车时发现还有4分钟上课，∴小刚下车较上课提前1分钟，故④错误；故选：B．20．解：由图象可得，甲园的门票为60元，故选项A正确；乙园草莓优惠前的销售价格是：200÷5＝40（元/千克），故选项B正确；＝0.5，即乙园超过5kg后，超过的部分价格优惠是打5折，故选项C正确；若顾客采摘12kg草莓，甲园花费为：60+12×40×0.6＝344（元），乙园的花费为：40×5+（12﹣5）×40×0.5＝340（元），∵344＞340，∴若顾客采摘12kg草莓，那么到甲园比到乙园的总费用高，故选项D错误；故选：D．。

(完整)二次函数经典拔高题

二次函数经典拔高题1、已知：关于x 的一元二次方程23(1)230mx m x m --+-= ()m 为实数(1) 若方程有两个不相等的实数根，求m 的取值范围；（2）求证：无论m 为何值，方程总有一个固定的根；（3）若m 为整数，且方程的两个根均为正整数，求m 的值.2、已知：如图，抛物线22(0)y ax ax c a =-+≠与y 轴交于点(0,3)C ，与轴交于A 、两点，点A 的坐标为(1,0)-．（1）求抛物线的解析式及顶点D 的坐标；（2）设点P 是在第一象限内抛物线上的一个动点，求使与四边形ACDB 面积相等的四边形ACPB 的点P 的坐标；（3）求APD ∆的面积．3、已知：如图，等边△A BC 中，AB=1，P 是AB 边上一动点，作PE ⊥BC ，垂足为E ；作EF ⊥AC ，垂足为F ；作FQ ⊥AB ，垂足为Q.（1）设BP=x ，AQ=y ，求y 与x 之间的函数关系式；（2）当点P 和点Q 重合时，求线段EF 的长；已知：关于x 的一元二次方程012)1(22=+++-m x m x （1）求证：方程有两个实数根；x B（2）设0<m ，且方程的两个实数根分别为21,x x （其中21x x <），若y 是关于m 的函数，且y ＝1216x x -，求这个函数的解析式；（3）在（2）的条件下，利用函数图象求关于m 的方程02=-+m y 的解．4、已知如图，ABC ∆中，AC BC =，BC 与x 轴平行，点A 在x 轴上，点C 在y 轴上，抛物线254y ax ax =-+经过ABC ∆的三个顶点，（1）求出该抛物线的解析式；（2）若直线7+=kx y 将四边形ACBD 面积平分，求此直线的解析式.5、已知抛物线C ：()112++-=x m x y 的顶点在坐标轴．．．上．（1）求m 的值；（2）0>m 时，抛物线C 向下平移()0>n n 个单位后与抛物线1C ：c bx ax y ++=2关于y 轴对称，且1C 过点()3,n ，求1C 的函数关系式；（3）03<<-m 时，抛物线C 的顶点为M ，且过点()0,1y P ．问在直线1-=x 上是否存在一点Q 使得△QPM 的周长最小，如果存在，求出点Q 的坐标，如果不存在，请说明理由．6、已知关于的一元二次方程．（1）若此一元二次方程有实数根，求m 的取值范围；（2）若关于x 的二次函数和的图象都经过x 轴上的点（n ，0），求m 的值；（3）在（2）的条件下，将二次函数的图象先沿x 轴翻折，再向下平移3个单位，得到一个新的二次函数的图象．请你直接写出二次函数的解析式，并结合函数的图象回答：当x 取何值时，这个新的二次函数的值大于二次函数的值．7、在平面直角坐标系xOy 中，关于y 轴对称的抛物线与x 轴交于A 、B 两点（点A 在点B 的左侧），与y 轴交于点C ，P 是这条抛物线上的一点（点P 不在坐标轴上），且点P 关于直线BC 的对称点在x 轴上，D （0，3）是y 轴上的一点．（1）求抛物线的解析式及点P 的坐标；x 2(2)210m x x +--=21(2)21y m x x =+--22(2)1y m x mx m =++++21(2)21y m x x =+--3y 3y 3y21(2)473m y x m x m -=-+-+-x8、如图，已知二次函数24y ax x c =-+的图象与坐标轴交于点A （-1， 0）和点C （0，-5）．（1）求该二次函数的解析式和它与x 轴的另一个交点B 的坐标。

2三角函数的图像及性质-拔高难度-讲义

三角函数的图像及性质知识讲解一、三角函数的图像和性质1.正弦函数图像和性质1）图像：2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]22x k k ππππ?++，（k Z Î）增函数3[22]22x k k ππππ?+，（k Z Î）减函数5）奇偶性：奇函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴2x k k Zππ=+?，；对称中心(0)k k Z πÎ，，． 2.余弦函数图像和性质1）图像2）定义域：R 3）值域：[11]，- 4）单调性：[22]x k k πππ?+，（k Z Î）增函数 [22]x k k πππ?，（k Z Î）减函数5）奇偶性：偶函数 6）最小正周期：2π7）对称性：对称轴x k k Z π=?，；对称中心(0)2k k Zππ+?，，．3.正切函数图像和性质1）定义域：{|}2x x k k Z ππ??，2）值域：R3）单调性：在()22k k ππππ，-++（k Z Î）增函数．4）奇偶性：奇函数 5）最小正周期：π6）对称性：对称中心(0)2k k Z πÎ，，．二、三角函数的图像变换三角函数的几种变换：1）平移变换：函数sin()(0)y x ϕϕ=+?的图像可以看做将函数sin y x =的图像上的所有的点向左（当0ϕ>时）或向右（当0ϕ<时）平移ϕ个单位而得到．2）周期变换：函数sin()y x ωϕ=+（0ω>且1ω¹）的图像可以看做是把sin()y x ϕ=+的图像上所有的点的横坐标缩短为（当1ω>时）或伸长（当01ω<<时）到原来的1ω倍（纵坐标不变）而得到．3）振幅变换：函数sin()y A x ωϕ=+（0A >且1A ¹）的图像可以看做是将sin()y x ωϕ=+的图像上所有的点的纵坐标伸长（当1A >时）或缩短（当1A <时）到原来的A 倍（横坐标不变）而得到．经典例题一．填空题（共4小题）1．（2015春•建瓯市校级期末）函数f（x）=sin2x+2cos2x﹣，函数g（x）=mcos （2x﹣）﹣2m+3（m＞0），若对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f （x1）=g（x2）成立，则实数m的取值范围是[1，]．【解答】解：∵f（x）=sin2x+（2cos2x﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），当x∈[0，]，2x+∈[，]，∴sin（2x+）∈[1，2]，∴f（x）∈[1，2]．对于g（x）=mcos（2x﹣）﹣2m+3（m＞0），2x﹣∈[﹣，]，mcos（2x﹣）∈[，m]，∴g（x）∈[﹣+3，3﹣m]．由于对所有的x2∈[0，]总存在x1∈[0，]，使得f（x1）=g（x2）成立，可得[﹣+3，3﹣m]⊆[1，2]，故有3﹣m≤2，﹣+3≥1，解得实数m的取值范围是[1，]．故答案为：，．2．（2013秋•滨江区校级期末）关于x的不等式（sinx+1）|sinx﹣m|+≥m对x ∈[0，]恒成立，则实数m的取值范围是（﹣∞，]∪[，+∞）．【解答】解：∵x∈[0，]，∴sinx∈[0，1]，当m＞1时，原不等式可化为：（sinx+1）（m﹣sinx）+≥m，整理得：msinx﹣sin2x﹣sinx+≥0恒成立；令sinx=t（0≤t≤1），g（t）=﹣t2+（m﹣1）t+，要使g（t）=﹣t2+（m﹣1）t+≥0（0≤t≤1）恒成立，必须，即，解得m≥；①当m＜0时，原不等式可化为：（sinx+1）（sinx﹣m）+≥m，整理得：sin2x﹣（m﹣1）sinx﹣2m+≥0，令h（t）=t2﹣（m﹣1）t﹣2m+≥0（0≤t≤1），要使t2﹣（m﹣1）t﹣2m+≥0（0≤t≤1）恒成立，应有，解得：m≤，∴m＜0；②当0≤m≤1时，（sinx+1）|sinx﹣m|+≥m对x∈[0，]恒成立⇔m≤（sinx+1）|sinx﹣m|+恒成立，令t（x）=（sinx+1）|sinx﹣m|+，m≤t（x）min，当sinx=m时，t（x）min=，∴m≤，又0≤m≤1，∴0≤m≤；③由①②③得：m≤或m≥，∴实数m的取值范围是：（﹣∞，]∪[，+∞）．故答案为：（﹣∞，]∪[，+∞）．3．已知x∈R，则函数f（x）=max，的最大值与最小值的和等于1﹣．【解答】解：，作出三个函数在一个周期内的图象如图：则f（x）对应的图象为三个图象中最上面的部分．则由图象可知当x=0时，函数f（x）取得最大值1，当x=时，函数f（x）取得最小值，故最大值和最小值之和为，故答案为：．4．（2011春•东港区校级期末）下列说法：①函数是最小正周期为π的偶函数；②函数可以改写为；③函数的图象关于直线对称；④函数y=tanx的图象的所有的对称中心为（kπ，0），k∈Z；⑤将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位，然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式是；其中所有正确的命题的序号是②③．（请将正确的序号填在横线上）【解答】解：①函数=cos（﹣2x）=sin2x，∵ω=2，∴T==π，又正弦函数为奇函数，∴f（x）为奇函数，则f（x）为周期为π的奇函数，本选项错误；②函数=cos[﹣（+2x）]+1=sin（+2x）+1，本选项正确；③函数=cos[﹣（+2x）]=sin（+2x），令+2x=kπ，（k∈Z）解得x=﹣，∵k=4时，x=，则函数图象关于直线对称，本选项正确；④tan（﹣x）=﹣tanx，因此正切函数是奇函数，因而原点（0，0）是它的对称中心．又因为正切函数的周期是π，所以点（kπ，0）都是它的对称中心．平移坐标系，使原点（0，0）移到（，0）得到y=tan（x+）=﹣cotx，依旧是奇函数，所以在新坐标系中点（kπ，0）也是对称中心，返回原坐标系，这些点的原坐标是（kπ﹣，0）综合到一起就得到对称中心是（k +，0）．（k是整数），本选项错误；⑤将函数y=sin2x的图象先向左平移个单位，得到y=sin2（x+），然后纵坐标不变，横坐标伸长为原来的2倍，所得图象的函数解析式为y=sin2（x+）=sin（x+）≠，本选项错误，则正确选项的序号为：②③．故答案为：②③二．解答题（共14小题）5．（2017秋•天津期末）已知函数．（Ⅰ）求f（x）的单调区间；（Ⅱ）求函数f（x）的对称轴和对称中心．【解答】解：（Ⅰ）函数中，令，得，∴f（x）的单调递增区间为：，，令，得，∴f（x）的单调递减区间为：，；（Ⅱ）令，得，∴f（x）的对称轴方程为：；令，得，∴f（x）的对称中心为：，．（注：单调区间写开区间不扣分；k∈Z不写扣1分）6．（2017秋•双流县校级月考）已知函数f（x）=sin（ωx+），其中ω＞0（1）若对任意x∈R都有f（x）≤f（），求ω的最小值；（2）若函数y=f（x）在区间（，π）上单调递减，求ω的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由对任意x∈R都有f（x）≤f（），知f（x）在x=处取得最大值，∴ω+=+2kπ，k∈Z；解得ω=+k，k∈Z，又∵ω＞0，∴当k=0时，ω的最小值为；（Ⅱ）设t=ωx+，x∈（，π），∴t∈（+，ωx+），由已知（+，ωπ+）⊆[+2kπ，+2kπ]，k∈Z；∴，解得，又ω＞0，，∴＞解得﹣≤k≤，∴k=0，∴ω的取值范围是≤ω≤．7．（2016秋•金华期末）设函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3（Ⅰ）当x∈（0，π）时，求f（x）的单调递减区间；（Ⅱ）若f（x）在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，求cos2θ的值．【解答】解：（Ⅰ）函数f（x）=4sinx（cosx﹣sinx）+3=4sinxcosx﹣4sin2x+3=2sin2x﹣4×+3=2sin2x+2cos2x+1=2sin（2x+）+1，令2kπ+≤2x+≤2kπ+，k∈Z，解得kπ+≤x≤kπ+，k∈Z，又x∈（0，π），所以f（x）的单调递减区间是[，]；（Ⅱ）由f（x）=2sin（2x+）+1在[0，θ]上的值域为[0，2+1]，令x=0，得f（0）=2sin+1=3；令f（x）=2+1，得sin（2x+）=1，解得x=，∴θ＞；令f（x）=0，得sin（2x+）=﹣，∴2x+＜，解得x＜，即θ＜；∴θ∈（，），∴2θ+∈（，）；由2sin（2θ+）+1=0，得sin（2θ+）=﹣，所以cos（2θ+）=﹣=﹣，所以cos2θ=cos[（2θ+）﹣]=cos（2θ+）cos+sin（2θ+）sin=﹣×+（﹣）×=﹣．8．（2017春•长安区校级期中）设函数（1）求f（x）的最小正周期；（2）当，时，求f（x）的最大值和最小值．【解答】解：（1）函数=（cos2xcos﹣sin2xsin）+sin2x=（cos2x﹣sin2x）+=﹣sin2x+；∴f（x）的最小正周期为T==π；（2）当，时，2x∈[，]，∴sin2x∈[，1]，∴﹣sin2x+∈[0，]，即f（x）的最大值为，最小值为0．9．（2018•上海二模）已知函数f（x）=2sin2x+sin（2x+）．（1）求函数f（x）的最小正周期和值域；（2）设A，B，C为△ABC的三个内角，若cosB=，f（A）=2，求sinC的值．【解答】解：（1）∵f（x）=2sin2x+sin（2x+）=1﹣cos2x+sin2xcos+cos2xsin==．∴T=，∵﹣1，∴函数值域为[0，2]；（2）∵A，B，C为△ABC的三个内角，∴由cosB=，得sinB=，又f（A）=2，即，则，∴2A=，得A=．∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=．10．（2017•浙江二模）已知直线x=是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴．（1）求φ；（2）求函数y=f（x）+f（﹣x），x∈（0，）的值域．【解答】解：（1）∵直线x=是函数f（x）=sin（3x+φ）（﹣π＜φ＜0）图象的一条对称轴，∴3•+φ=kπ+，k∈Z，∴φ=﹣，f（x）=sin（3x﹣）．（2）函数y=f（x）+f（﹣x）=sin（3x﹣）+sin[3（﹣x）﹣]=sin（3x﹣）+cos（3x+）=sin3x﹣cos3x+cos3x﹣sin3x=sin3x+cos3x=sin（3x+），∵x∈（0，），∴3x+∈（，），∴sin（3x+）∈（﹣，1]，∴y∈[，）．11．（2018•温州二模）如图，已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）的图象与坐标轴交于点A，B，C（，），直线BC交f（x）的图象于另一点D，O是△ABD的重心．（Ⅰ）求φ；（Ⅱ）求△ACD的外接圆的半径．【解答】解：（Ⅰ）∵O是△ABD的重心，C（﹣，0），∴A（1，0），故函数f（x）的最小正周期为3，即=3，解得ω=，……………………（3分）f（﹣）=sin[×（﹣）+φ]=sin（﹣+φ）=0，∴φ=；……………………（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知f（x）=sin（x+），∴B（0，）且C（﹣，0），∴∠BCO=60°；……………………（8分）∵C（﹣，0）是BD的中点，∴D（﹣1，﹣），……………………（10分）∴AD==；……………………（11分）∴2R===，∴外接圆半径R=．…………………………（14分）12．（2018春•吉林期中）已知定义在区间，上的函数y=f（x）的图象关于直线对称，当，时，函数＞，＞，＜＜，其图象如图所示．（1）求函数y=f（x）在，的表达式；（2）求方程解的集合；（3）求不等式的解集．【解答】解：（1）当，时，函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，＜＜），观察图象易得：A=1，ω=1，，则函数，由函数y=f（x）的图象关于直线对称得，，时，函数f（x）=﹣sinx，∴，，；（2）当，时，由，得或，解得x=0或；当，时，由得，或；∴方程的解集为，，，；（3）不等式，当x∈[﹣，]时，sin（x+）≥，∴≥x+≥，解得≥x≥﹣；当x∈[﹣π，﹣]时，﹣sinx≥，∴﹣≤x≤﹣；综上，不等式的解集为，，．13．（2018•奉贤区二模）某旅游区每年各个月份接待游客的人数近似地满足周期性规律，因而第n个月从事旅游服务工作的人数f（n）可近似地用函数f（n）=Acos（wn+θ）+k来刻画，其中正整数n表示月份且n∈[1，12]，例如n=1表示1月份，A和k是正整数，w＞0，θ∈（0，π）．统计发现，该地区每年各个月份从事旅游服务工作的人数有以下规律：①每年相同的月份，该地区从事旅游服务工作的人数基本相同；②该地区从事旅游服务工作的人数最多的8月份和最少的2月份相差400人；③2月份该地区从事旅游服务工作的人数为100人，随后逐月递增直到8月份达到最多．（1）试根据已知信息，求f（n）的表达式；（2）一般地，当该地区从事旅游服务工作的人数在400或400以上时，该地区也进入了一年中的旅游“旺季”，那么，一年中的哪几个月是该地区的旅游“旺季”？请说明理由．【解答】解：（1）根据题意知，T=12，∴ω==；又，解得，由×2+θ=﹣π+2kπ，k∈Z；解得θ=﹣+2kπ，k∈Z；又θ∈（0，π），∴θ=；∴函数f（n）=200cos（n+）+300；（2）令f（n）=200cos（n+）+300≥400，化简得cos（n+）≥，即﹣+2kπ≤n+≤+2kπ，k∈Z，解得n∈[12k﹣6，12k﹣2]，k∈Z；又n∈[1，12]，∴n∈[6，10]，∴取n=6，7，8，9，10；即一年中6、7、8、9、10月是该地区的旅游“旺季”．14．（2018•徐汇区一模）如图是函数f（x）=Asin（ωx+φ），（A＞0，ω＞0，0＜φ＜）图象的一部分，M、N是它与x轴的两个交点，C、D分别为它的最高点和最低点，E（0，1）是线段MC的中点，（1）若点M的坐标为（﹣1，0），求点C、点N和点D的坐标（2）若点M的坐标为（﹣m，0）（m＞0），=，试确定函数f （x）的解析式．【解答】解：（1）设点C（a，b），由中点坐标公式得，解得a=1，b=2，∴点C（1，2），∴点N（3，0），点D（5，﹣2）；（2）同样由E（0，1）是线段MC的中点，得A=2，由M（﹣m，0），得C（m，2），D（5m，﹣2）；∴•=2m•6m+2×（﹣2）=12m2﹣4，又•=﹣4，∴12m2=，解得m=；由T==8m=2π，解得ω=1，∴φ=；∴函数f（x）的解析式为f（x）=2sin（x+）．15．（2018•江苏模拟）某海警基地码头O的正东方向40海里处有海礁界碑M，过点M且与OM成30°角（即北偏西60°）的直线l在此处的一段为领海与公海的分界线（如图所示），在码头O北偏东60°方向领海海面上的A处发现有一艘疑似走私船（可疑船）停留．基地指挥部决定在测定可疑船的行驶方向后，海警巡逻艇从O处即刻出发，按计算确定方向以可疑船速度的2倍航速前去拦截，假定巡逻艇和可疑船在拦截过程中均未改变航向航速，将在P处恰好截获可疑船．（1）如果O和A相距6海里，求可疑船倍截获的P点的轨迹；（2）若要确保在领海内捕获可疑船（即P不能在公海上），则O、A之间的最大距离是多少海里？【解答】解：（1）由题意知点A（6cos3°，6sin30°），即A（3，3）；设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，即=2，整理得：（x﹣4）2+（y﹣4）2=16．∴走私船能被截获的点的轨迹是以（4，4）为圆心，以4为半径的圆；（2）由题意知，直线l的方程为y=﹣（x﹣40），即x+3y﹣40=0；设|OA|=t，则A（t，t）（t＞0），设走私船能被截获的点为P（x，y），则|OP|=2|AP|，∴=2，整理得：（x﹣t）2+（y﹣t）2=t2，∴走私船能被截获的点的轨迹是以C（t，t）为圆心，以t为半径的圆．若保证在领海内捕获走私船，则圆心C到直线l的距离d≥r；即≥t，整理得t2﹣30t+450≥0，解得t≤15（﹣1）或t≥15（+1）（不合题意，舍去），∴O，A之间的最远距离是15（﹣1）海里．16．（2017秋•宜昌期末）如图为函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，|φ|＜，x∈R）的部分图象．（1）求函数解析式；（2）求函数f（x）的单调递增区间；（3）若方程f（x）=m在，上有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围．【解答】解：（1）由题中的图象知，A=2，，即T=π，所以，根据五点作图法，令，，得到，，因为＜，所以，解析式为．…（5分）（2）令，k∈Z，解得，k∈Z，所以f（x）的单调递增区间为[k，k]，k∈Z．…（9分）（3）由在，上的图象如图知，当，上有两个不同的实根．…（12分）17．（2017春•新余期末）已知函数+cos2x+a（a ∈R，a为常数）．（Ⅰ）求函数的最小正周期；（Ⅱ）求函数的单调递减区间；（Ⅲ）若，时，f（x）的最小值为﹣2，求a的值．【解答】解：（I）∴f（x）的最小正周期，T=（II）因为y=sinx的减区间为：，k∈Z所以即（k∈Z）时，函数f （x）单调递减，故所求区间为，（III），时，，时f（x）取得最小值∴2sin．18．（2017春•新余期末）设=，，=（4sinx，cosx﹣sinx），f（x）=•．（1）求函数f（x）的解析式；（2）已知常数ω＞0，若y=f（ωx）在区间，是增函数，求ω的取值范围；（3）设集合A=，B={x||f（x）﹣m|＜2}，若A⊆B，求实数m 的取值范围．【解答】解：（1）f（x）=sin2•4sinx+（cosx+sinx）•（cosx﹣sinx）=4sinx•+cos2x=2sinx（1+sinx）+1﹣2sin2x=2sinx+1，∴f（x）=2sinx+1．（2）∵f（ωx）=2sinωx+1，ω＞0．由2kπ﹣≤ωx≤2kπ+，得f（ωx）的增区间是，，k∈Z．∵f（ωx）在，上是增函数，∴， ⊆，．∴﹣≥﹣且≤，∴，．（3）由|f（x）﹣m|＜2，得﹣2＜f（x）﹣m＜2，即f（x）﹣2＜m＜f（x）+2．∵A⊆B，∴当≤x≤时，不等式f（x）﹣2＜m＜f（x）+2恒成立，∴f（x）max﹣2＜m＜f（x）min+2，∵f（x）max=f（）=3，f（x）min=f（）=2，∴m∈（1，4）．。

高中数学导数压轴题专题拔高训练 (二)

高中数学导数压轴题专题拔高训练一．选择题（共15小题）1．已知可导函数f（x）（x∈R）满足f′（x）＞f（x），则当a＞0时，f（a）和e a f（0）大小关系为（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．f（a）=e a f（0）D．f（a）≤e a f（0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：设函数f（x）=e2x，则导函数f′（x）=2•e2x，显然满足f'（x）＞f（x），由f（a）=e2a，e a f（0）=e a，比较得出结论．解答：解：由题意知，可设函数f（x）=e2x，则导函数f′（x）=2•e2x，显然满足f'（x）＞f（x），f（a）=e2a，e a f（0）=e a，当a＞0时，显然e2a＞e a ，即f（a）＞e a f（0），故选B．点评：本题考查求复合函数的导数的方法，以及指数函数的单调性，利用构造法求解是我们选择题常用的方法．2．已知函数f（x）=x3+bx2+cx+d在区间[﹣1，2]上是减函数，那么b+c（）A．有最大值B．有最大值﹣C．有最小值D．有最小值﹣考点：利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题．分析：先对函数f（x）求导，然后令导数在[﹣1，2]小于等于0即可求出b+c的关系，得到答案．解答：解：由f（x）在[﹣1，2]上是减函数，知f′（x）=3x2+2bx+c≤0，x∈[﹣1，2]，则⇒15+2b+2c≤0⇒b+c≤﹣．故选B．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负情况之间的关系，即导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．3．对任意的实数a，b，记若F（x）=max{f（x），g（x）}（x∈R），其中奇函数y=f（x）在x=1时有极小值﹣2，y=g（x）是正比例函数，函数y=f（x）（x≥0）与函数y=g（x）的图象如图所示则下列关于函数y=F（x）的说法中，正确的是（）A．y=F（x）为奇函数B．y=F（x）有极大值F（1）且有极小值F（﹣1）C．y=F（x）的最小值为﹣2且最大值为2 D．y=F（x）在（﹣3，0）上不是单调函数考点：利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：在同一个坐标系中作出两函数的图象，横坐标一样时取函数值较大的那一个，如图，由图象可以看出选项的正确与否．解答：解：∵f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，∴f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}的定义域为R，f（x）*g（x）=max{f（x），g（x）}，画出其图象如图中实线部分，由图象可知：y=F（x）的图象不关于原点对称，不为奇函数；故A不正确y=F（x）有极大值F（﹣1）且有极小值F（0）；故B不正确y=F（x）的没有最小值和最大值为，故C不正确y=F（x）在（﹣3，0）上不为单调函数；故D正确故选D．点评：本题考点是函数的最值及其几何意义，本题考查新定义，需要根据题目中所给的新定义作出相应的图象由图象直观观察出函数的最值，对于一些分段类的函数，其最值往往借助图象来解决．本题的关键是读懂函数的图象，属于基础题．4．已知函数f（x）=x3+ax2﹣bx+1（a、b∈R）在区间[﹣1，3]上是减函数，则a+b的最小值是（）A．B．C．2D．3考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：求出f′（x），因为函数在区间[﹣1，3]上是减函数得到f（﹣1）和f（3）都小于0分别列出关于a与b的两个不等式，联立即可解出a的取值范围得到a的最小值，把a的最小值当然①即可求出b的最小值，求出a+b的值即可．解答：解：f′（x）=x2+2ax﹣b，因为函数f（x）在区间[﹣1，3]上是减函数即在区间[﹣1，3]上，f′（x）≤0，得到f′（﹣1）≤0，且f′（3）≤0，代入得1﹣2a﹣b≤0①，且9+6a﹣b≤0②，由①得2a+b≥1③，由②得b﹣6a≥9④，设u=2a+b≥1，v=b﹣6a≤9，假设a+b=mu+nv=m（2a+b）+n（﹣6a+b）=（2m﹣6n）a+（m+n）b，对照系数得：2m﹣6n=1，m+n=1，解得：m=，n=，∴a+b=u+v≥2，则a+b的最小值是2．故选C点评：此题考查学生会利用导数研究函数的单调性，灵活运用不等式的范围求未知数的最值，是一道综合题．5．定义在R上的可导函数f（x），当x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）恒成立，a=f（2），b=f（3），c=（+1）f（），则a，b，c的大小关系为（）A．c＜a＜b B．b＜c＜a C．a＜c＜b D．c＜b＜a考点：利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；导数的概念及应用．分析：根据x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x），可得g（x）=在（1，+∞）上单调增，由于，即可求得结论．解答：解：∵x∈（1，+∞）时，f（x）+f′（x）＜xf′（x）∴f′（x）（x﹣1）﹣f（x）＞0∴[]′＞0∴g（x）=在（1，+∞）上单调增∵∴g（）＜g（2）＜g（3）∴∴∴c＜a＜b故选A．点评：本题考查导数知识的运用，考查函数的单调性，确定函数的单调性是关键．6．设f（x）是定义在R上的可导函数，且满足f′（x）＞f（x），对任意的正数a，下面不等式恒成立的是（）A．f（a）＜e a f（0）B．f（a）＞e a f（0）C．D．考点：利用导数研究函数的单调性；导数的运算．专题：压轴题；导数的概念及应用．分析：根据选项令f（x）=，可以对其进行求导，根据已知条件f′（x）＞f（x），可以证明f（x）为增函数，可以推出f（a）＞f（0），在对选项进行判断；解答：解：∵f（x）是定义在R上的可导函数，∴可以令f（x）=，∴f′（x）==，∵f′（x）＞f（x），e x＞0，∴f′（x）＞0，∴f（x）为增函数，∵正数a＞0，∴f（a）＞f（0），∴＞=f（0），∴f（a）＞e a f（0），故选B．点评：此题主要考查利用导数研究函数单调性，此题要根据已知选项令特殊函数，是一道好题；7．若函数f（x）=x3+a|x2﹣1|，a∈R，则对于不同的实数a，则函数f（x）的单调区间个数不可能是（）A．1个B．2个C．3个D．5个考点：利用导数研究函数的单调性．专题：证明题；压轴题．分析：先令a=0，即可排除A，再将函数化为分段函数，并分段求其导函数，得f′（x），最后利用分类讨论，通过画导函数f′（x）的图象判断函数f（x）的单调区间的个数，排除法得正确判断解答：解：依题意：（1）当a=0时，f（x）=x3，在（﹣∞，+∞）上为增函数，有一个单调区间①当a≠0时，∵f（x）=x3+a|x2﹣1|a∈R∴f（x）=∴f′（x）=（2）当0＜a＜时，∵﹣＜﹣＜0，0＜＜，∴导函数的图象如图1：（其中m为图象与x轴交点的横坐标）∴x∈（﹣∞，0]时，f′（x）＞0，x∈（0，m）时，f′（x）＜0，x∈[m，+∞）时，f′（x）＞0，∴f（x）在x∈（﹣∞，0]时，单调递增，x∈（0，m）时，单调递减，x∈[m，+∞）时，单调递增，有3个单调区间②（3）当a≥3时，∵﹣＜﹣1，＞1，∴导函数的图象如图2：（其中n为x≤﹣1时图象与x轴交点的横坐标）∴x∈（﹣∞，n]时，f′（x）＞0，x∈（n，﹣1]时，f′（x）＜0，x∈（﹣1，0）时，f′（x）＞0，x∈[0，1）时，f′（x）＜0，x∈[1，+∞）时，f′（x）＞0∴函数f（x）在x∈（﹣∞，n]时，单调递增，x∈（n，﹣1]时，单调递减，x∈（﹣1，0）时，单调递增，x∈[0，1）时，单调递减，x∈[1，+∞）时，单调递增，有5个单调区间③由①②③排除A、C、D，故选B点评：本题考查了含绝对值函数的单调区间的判断方法，利用导数研究三次函数单调区间的方法，函数与其导函数图象间的关系，排除法解选择题8．已知函数，那么下面结论正确的是（）A．f（x）在[0，x0]上是减函数B．f（x）在[x0，π]上是减函数C．∃x∈[0，π]，f（x）＞f（x0）D．∀x∈[0，π]，f（x）≥f（x0）考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；压轴题．分析：由函数的解析式f（x）=sinx﹣x可求其导数f′（x）=cosx﹣，又余弦函数在[0，π]上单调递减，判断导数在[x0，π]上的正负，再根据导数跟单调性的关系判断函数的单调性．解答：解：∵f（x）=sinx﹣x∴f′（x）=cosx﹣∵cosx0=，x0∈[0，π]又∵余弦函数y=cosx在区间[0，π]上单调递减∴当x＞x0时，cosx＜cosx0 即cosx＜∴当x＞x0时，f′（x）=cosx﹣＜0∴f（x）=sinx﹣x在[x0，π]上是减函数．故选B．点评：利用导数判断函数的单调性，一定要注意其方法及步骤．（1）确定函数f（x）的定义域；（2）求导数f′（x）；（3）在f（x）的定义域内解不等式f′（x）＞0和f′（x）＜0；（4）写出f（x）的单调区间．9．设，若对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，则实数a的取值范围是（）A．B．C．[1，4]D．考点：利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题；压轴题；转化思想．分析：根据对于任意x1∈[0，1]，总存在x0∈[0，1]，使得g（x0）=f（x1）成立，得到函数f（X）在[0，1]上值域是g（X）在[0，1]上值域的子集，下面利用导数求函数f（x）、g（x）在[0，1]上值域，并列出不等式，解此不等式组即可求得实数a的取值范围解答：解：∵，∴f′（x）=，当x∈[0，1]，f′（x）≥0．∴f（x）在[0，1]上是增函数，∴f（x）的值域A=[0，1]；又∵g（x）=ax+5﹣2a（a＞0）在[0，1]上是增函数，∴g（X）的值域B=[5﹣2a，5﹣a]；根据题意，有A⊆B∴，即．故选A．点评：此题是个中档题．考查利用导数研究函数在闭区间上的最值问题，难点是题意的理解与转化，体现了转化的思想．同时也考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力，10．设函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，则k的取值范围（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：先求导函数f'（x），函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数转化成f'（x）≤0在区间（0，4）上恒成立，讨论k的符号，从而求出所求．解答：解：f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x，∵函数f（x）=kx3+3（k﹣1）x2﹣k2+1在区间（0，4）上是减函数，∴f'（x）=3kx2+6（k﹣1）x≤0在区间（0，4）上恒成立当k=0时，成立k＞0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，即0＜k≤k＜0时，f'（4）=48k+6（k﹣1）×4≤0，f'（0）≤0，k＜0故k的取值范围是k≤故选D．点评：本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减，同时考查了分析与解决问题的综合能力，属于基础题．11．若函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，则实数k的取值范围是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：先求导函数，再进行分类讨论，同时将函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数，转化为f′（x）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内有正也有负，从而可求实数k的取值范围解答：解：求导函数，当k=1时，（k﹣1，k+1）为（0，2），函数在上单调减，在上单调增，满足题意；当k≠1时，∵函数f（x）=2x2﹣lnx在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内不是单调函数∴f′（x ）在其定义域的一个子区间（k﹣1，k+1）内有正也有负∴f′（k﹣1）f′（k+1）＜0∴∴×＜0∴∵k﹣1＞0∴k+1＞0，2k+1＞0，2k+3＞0，∴（2k﹣3）（2k﹣1）＜0，解得综上知，故选D．点评：本题以函数为载体，考查函数的单调性，考查学生分析解决问题的能力，分类讨论，等价转化是关键．12．已知g（x ）为三次函数f（x）=x3+ax2+cx的导函数，则它们的图象可能是（）A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题；压轴题．分析：先求出函数的导函数，然后利用排除法进行判定，以及f′（x）=ax2+2ax+c与x轴交点处，函数取极值可得结论．解答：解：∵f（x）=x3+ax2+cx∴f′（x）=ax2+2ax+c对称轴为x=﹣1可排除选项B与选项C再根据f′（x）=ax2+2ax+c与x轴交点处，函数取极值可知选项D正确故选D．点评：本题主要考查了函数的单调性与导数的关系，解题的关键是原函数图象与导函数图象的关系，属于基础题．13．已知定义在R上的函数f（x）满足f（2）=1，f′（x）为f（x）的导函数．已知y=f′（x）的图象如图所示，若两个正数a，b满足f（2a+b）＞1，则的取值范围是（）A．（B．C．（﹣2，1）D．（﹣∞，﹣2）∪（1，+∞）考点：函数的单调性与导数的关系；简单线性规划．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：先根据导函数的图象判断原函数的单调性，从而确定a、b的范围，最后利用线性规划的方法得到答案．解答：解：由图可知，当x＞0时，导函数f'（x）＜0，原函数单调递减，∵两正数a，b满足f（2a+b）＞1，且f（2）=1，∴2a+b＜2，a＞0，b＞0，画出可行域如图．k=表示点Q（2，1）与点P（x，y）连线的斜率，当P点在A（1，0）时，k最大，最大值为：；当P点在B（0，2）时，k最小，最小值为：．k的取值范围是（﹣，1）．故选A．点评：本题主要考查函数的单调性与其导函数的正负之间的关系，即当导函数大于0时原函数单调递增，当导函数小于0时原函数单调递减．14．已知f（x）是定义在R上的奇函数，且f（1）=0，f′（x）是f（x）的导函数，当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，则不等式f（x）＞0的解集为（）D．{x|﹣1＜x＜1，且x≠0} A．{x|x＜﹣1或x＞1} B．{x|x＜﹣1或0＜x＜1} C．{x|﹣1＜x＜0或0＜x＜1}考点：函数的单调性与导数的关系；其他不等式的解法．专题：计算题；压轴题．分析：由已知当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，可判断函数g（x）=为减函数，由已知f（x）是定义在R上的奇函数，可证明g（x）为（﹣∞，0）∪（0，+∞）上的偶函数，根据函数g（x）在（0，+∞）上的单调性和奇偶性，模拟g（x）的图象，而不等式f（x）＞0等价于x•g（x）＞0，数形结合解不等式组即可解答：解：设g（x）=，则g（x）的导数为g′（x）=，∵当x＞0时总有xf′（x）＜f（x）成立，即当x＞0时，g′（x）恒小于0，∴当x＞0时，函数g（x）=为减函数，又∵g（﹣x）====g（x）∴函数g（x）为定义域上的偶函数又∵g（1）==0∴函数g（x）的图象性质类似如图：数形结合可得不等式f（x）＞0⇔x•g（x）＞0⇔或⇔0＜x＜1或x＜﹣1故选B点评：本题主要考查了利用导数判断函数的单调性，并由函数的奇偶性和单调性解不等式，属于综合题．15．已知函数f（x）的定义域为[﹣2，+∞），部分对应值如下表．f′（x）为f（x）的导函数，函数y=f′（x）的图象如下图所示．若两正数a，b满足f（2a+b）＜1，则的取值范围是（）X ﹣2 0 4f（x） 1 ﹣1 1A．B．C．D．考点：函数的单调性与导数的关系．专题：计算题；压轴题；数形结合．分析：由导函数的图象得到导函数的符号，利用导函数的符号与函数单调性的关系得到f（x）的单调性，结合函数的单调性求出不等式的解即a，b的关系，画出关于a，b的不等式表示的平面区域，给函数与几何意义，结合图象求出其取值范围．解答：解：由导函数的图形知，x∈（﹣2，0）时，f′（x）＜0；x∈（0，+∞）时，f′（x）＞0∴f（x）在（﹣2，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增；∵f（2a+b）＜1∴﹣2＜2a+b＜4∵a＞0，b＞0∴a，b满足的可行域为表示点（a，b）与（﹣3，﹣3）连线的斜率的2倍由图知当点为（2．，0）时斜率最小，当点为（0，4）时斜率最大所以的取值范围为故选A点评：利用导函数求函数的单调性问题，应该先判断出导函数的符号，当导函数大于0对应函数单调递增；当导函数小于0，对应函数单调递减．二．解答题（共15小题）16．已知m∈R，函数f（x）=x2﹣m x，g（x）=lnx．（1）当x∈[1，2]时，如果函数f（x）的最大值为f（1），求m的取值范围；（2）若对有意义的任意x，不等式f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围；（3）当m在什么范围内取值时，方程f（x）=g（x）分别无实根？只有一实根？有两个不同实根？考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题．分析：（1）本问题求出函数的最值代入已知最大值为f（1），即可解得参数m的值，（2）本题恒成立问题转化为函数的最值来解答，具体方法是由f（x）＞g（x）等价于x2﹣mx＞lnx，即，构造出函数，利用导数工具可以求解．（3）我们对本题可以这样处理，想根据函数y=x2，y=mx，y=lnx的图象的增减性，判断猜测出参数m取值时分别对应方程的根的情况，然后来证明这个结论．证明时可利用新构造的函数h（x）=f（x）﹣g（x），利用导数以及函数的单调性，求出函数的最值来判断根x0的性质以辨别是否存在这个根．解答：解：（1）函数f（x）=x2﹣mx的图象开口向上，函数在x=1或x=2处取得最大值，则f（1）≥f（2），1﹣m≥4﹣2m，得：m≥3．（2）f（x）＞g（x）等价于x2﹣mx＞lnx，其中x＞0，即：由，令，得，当x=1时t′（x）=0，当x∈（0，1）时t′（x）＜0；当x∈（1，+∞）时t′（x）＞0，m＜t（x）min=t（1）=1，∴m＜1．（3）设h（x）=f（x）﹣g（x）=x2﹣mx﹣lnx，其中x＞0．观察得当m=1时，方程f（x）=g（x）即为：x2﹣x﹣lnx=0的一个根为x=1．猜测当m＜1，m=1，m＞1时方程分别无根，只有一个根，有且只有两个根．证明：∵h′（x）==0，等价于2x2﹣mx﹣1=0此方程有且只有一个正根为，且当x∈（0，x0）时，h′（x）＜0；当x∈（x0，+∞）时，h′（x）＞0，函数只有一个极值h（x）min=h（x0）=x02﹣mx0﹣lnx0．1°当m＜1时，由（2）得f（x）＞g（x）恒成立，方程无解．2°当m=1时，x0=1，h（x）min=h（1）=0，则h（x）≥h（x）min=0，当且仅当x=1时，h（x）=0，此时只有一个根x=1．3°当m＞1时，，关于m在（1，+∞）上递增，∴x0∈（1，+∞）时lnx0＞0，∵m＞1⇒1＜m2⇒8＜8m2⇒m2+8＜9m2⇒⇒⇒⇒x0＜m．∴h（x）min=h（x0）=x02﹣mx0﹣lnx0=x0（x0﹣m）﹣lnx0＜0．证毕点评：本题考查二次函数在定区间上的最值问题，函数类型简单，是一个二次函数，第一问的设计很容易，后面两问的综合性较强，对学生的逻辑思维能力，运算能力有很好的锻炼价值，本题第二小题是一个恒成立的问题，求参数的范围，一般转化最值问题来求解，本题第三问也是构造函数来解答，转化为利用导数研究新构造的函数的单调性求出函数的最值，结合最值来判断根的存在与否．本题对运算能力有一定的要求，解题时一定要严谨．考查的思想方法有分类讨论，构造函数等方法思想．17．设函数h（x）=x2，φ（x）=2elnx（e为自然对数的底）．（1）求函数F（x）=h（x）﹣φ（x）的极值；（2）若存在常数k和b，使得函数f（x）和g（x）对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，则称直线l：y=kx+b为函数f（x）和g（x）的“隔离直线”．试问：函数h（x）和φ（x）是否存在“隔离直线”？若存在，求出“隔离直线”方程；若不存在，请说明理由．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；压轴题；新定义；数形结合；转化思想．分析：（1）根据所给的函数，对函数求导，使得导函数等于0，验证可能的极值点两侧导函数的符合相反，得到函数存在极值．（2）由题意知若存在隔离直线，则对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，两个函数的图象有公共点，设出直线的方程，根据函数的恒成立得到k的值，求出函数的极大值，得到结论．解答：解：（1）∵F（x）=h（x）﹣φ（x）=x2﹣2elnx（x＞0）∴当x=时，F′（x）=0，当0＜x＜时，F′（x）＜0，当x＞时，F′（x）＜0∴F（x）在处取得极小值0．（2）由（1）知当x＞0时，h（x）≥φ（x），若存在隔离直线，则对其定义域内的任意实数x分别满足f（x）≥kx+b和g（x）≤kx+b，∵两个函数的图象有公共点，∴隔离直线必过（，e）设直线的方程是y﹣e=k（x﹣）∴h（x）≥kx+e﹣k恒成立，∴△≤0∴k=2令G（x）=φ（x）﹣2x+e对函数求导有当x＞时，F′（x）＜0，当0＜x＜时，F′（x）＜0∴当时有G（x）的极大值为0，也就是最大值为0．从而G（x）≤0，即恒成立．故函数h（x）和φ（x）存在唯一的“隔离直线”．点评：本题考查导数在最大值与最小值问题中的应用，求解本题关键是根据导数研究出函数的单调性，由最值的定义得出函数的最值，本题中第一小题是求出函数的极值，第二小题是一个求函数的最值的问题，此类题运算量较大，转化灵活，解题时极易因为变形与运算出错，故做题时要认真仔细．18．函数f（x）=x2+bln（x+1）﹣2x，b∈R．（1）当b=1时，求曲线f（x）在点（0，f（0））处的切线方程；（2）当时，求函数f（x）在（﹣1，1]上的最大值；（ln2≈0.69）（3）设g（x）=f（x）+2x，若b≥2，求证：对任意x1，x2∈（﹣1，+∞），且x1≥x2，都有g（x1）﹣g（x2）≥2（x1﹣x2）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究曲线上某点切线方程．专题：压轴题．分析：（1）把b=1代入解析式，使得解析式具体，对于函数求导利用导函数的几何意义即可求的；（2）把代入解析式，由函数求导得导函数，求出函数在定义域上的极值，在与区间端点值进行比较大小，进而求得函数在区间上的最值；（3）由于g（x）=f（x）+2x，由函数解析式求导得其导函数，利用导函数得到函数在区间上的单调性，进而得到要证明的不等式．解答：解：（1）当b=1时，f（x）=x2+ln（x+1）﹣2x定义域为（﹣1，+∞），，f′（0）=﹣1，又f（0）=0，故有直线的方程可知：曲线f（x）在点（0，f（0））出的切线方程为：y=﹣x，（2）当b=，求导得：，由f′（x）=0⇒，当x变化时，f′（x），f（x）的变化情况如下表：由上表可知：，，，所以，所以函数f（x）在（﹣1，1]上的最大值为：，（3）证明：∵f（x）=x2+bln（x+1）﹣2x∴=0．当且仅当2（x+1）=，即：b=2，且x=0时取等号，∴b≥2时，函数f（x）在（﹣1，+∞）内单调递增，从而对于任意x1，x2∈（﹣1，+∞）且x1≥x2，有f（x1）＞f（x2），即g（x1）﹣2x1≥g（x2）﹣2x2∴g（x1）﹣g（x2）≥2（x1﹣x2）点评：此题考查了利用导数求函数在闭区间上的最值，还考查了导数的几何含义进而求出曲线上任意一点处的切线方程，还考查了利用均值不等式求解函数的最值．19．已知函数f（x）=ax+lnx，a∈R．（1）当a=﹣1时，求f（x）的最大值；（2）求证：；（3）对f（x）图象上的任意不同两点P1（x1，x2），P（x2，y2）（0＜x1＜x2），证明f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：综合题；压轴题；转化思想．分析：（1）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，易求得f′（x），且f′（x）＞0时，函数f（x）单调递增，f′（x）＜0时，函数f（x）单调递减；故可求得f（x）的最大值．（2）由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，∴lnx≤x﹣1，当取时，可得；把以上各式相加，可得证明．（3）直线P1P2的斜率k由P1，P2两点坐标可表示为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号；可得+＜﹣1，整理可得＜，同理，由，得；所以P1P2的斜率，在x∈（x1，x2）上，有，可得结论．解答：解：（1）当a=﹣1时，f（x）=﹣x+lnx，∴，且x∈（0，1）时，f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；x∈（1，+∞）时，f′（x）＜0，函数f（x）单调递减．故当x=1时，f（x）取最大值f（1）=﹣1．（2）由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，∴lnx≤x﹣1，取，可得；以上各式相加得：ln（n+1）＜1+++…+（n∈N+）（3）直线P1P2的斜率为；由（1）知﹣x+lnx≤﹣1，当且仅当x=1时取等号，∴，同理，由，可得；故P1P2的斜率，又在x∈（x1，x2）上，，所以f（x）图象上存在点P0（x0，y0），满足x1＜x0＜x2，且f（x）图象上以P0为切点的切线与直线P1P2平行．点评：本题综合考查了利用导数研究曲线上过某点的切线方程，利用导数研究函数的单调区间以及根据函数的增减性得到函数的最值问题，也考查了利用函数证明不等式的问题，是较难的题目．20．已知函数（Ⅰ）若函数在区间（）（其中m＞0）上存在极值，求实数m的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求实数k的取值范围；（Ⅲ）求证：[（n+1）!]2＞（n+1）•e n﹣2（n∈N*）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的极值．专题：计算题；证明题；压轴题．分析：（Ⅰ）求出函数的极值，在探讨函数在区间（m，m+）（其中a＞0）上存在极值，寻找关于m的不等式，求出实数m的取值范围；（Ⅱ）如果当x≥1时，不等式恒成立，求出f（x）在x≥1时的最小值，把k分离出来，转化为求k的范围．（Ⅲ）借助于（Ⅱ）的结论根据叠加法证明不等式．解答：解：（Ⅰ）因为函数所以f′（x）=﹣．极值点为f′（x）=0解得x=1故m＜1＜m+，解得＜m＜1．即答案为＜m＜1．（Ⅱ）如果当x≥1时，f′（x）=﹣≤0故f（x）递碱．故f（x）≥f（1）=1又不等式恒成立，所以恒成立，所以k≤2证明：（Ⅲ）由（Ⅱ）知：恒成立，即令x=n（n+1），则所以，，，…．叠加得：ln[1×22×32×…n2×（n+1）]×=则1×22×32×…n2×（n+1）＞e n﹣2，所以：[（n+1）!]2＞（n+1）•e n﹣2（n∈N*）．点评：此题主要考查应用导数研究函数的极值最值问题，有关恒成立的问题一般采取分离参数，转化为求函数的最值问题，体现了转化的思想方法，证明数列不等式，借助函数的单调性或恒成立问题加以证明．属难题．21．设函数．（p是实数，e是自然对数的底数）（1）若直线l与函数f（x），g（x）的图象都相切，且与函数f（x）的图象相切于点（1，0），求p的值；（2）若f（x）在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；（3）若在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立，求p的取值范围．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：计算题；综合题；压轴题．分析：（1）由“函数f（x）的图象相切于点（1，0）求得切线l的方程，再由“l与g（x）图象相切”得到（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e=0由判别式求解即可．（2）求导f’（x）=，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f’（x）≥0恒成立”，再转化为“p≥=恒成立”，由最值法求解．同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f’（x）≤0恒成立”，再转化为“p≤=恒成立”，由最值法求解，最后两个结果取并集．（3）因为“在[1，e]上至少存在一点x0，使得f（x0）＞g（x0）成立”，要转化为“f（x）max＞g（x）min”解决，易知g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]，①当p≤0时，f（x）在[1，e]上递减；②当p≥1时，f（x）在[1，e]上递增；③当0＜p＜1时，两者作差比较．解答：解：（1）∵f′（x）=p+，∴f’（1）=2（p﹣1），设直线l：y=2（p﹣1）（x﹣1），∵l与g（x）图象相切，∴y=2（p﹣1）（x﹣1），得（p﹣1）（x﹣1）=，即（p﹣1）x2﹣（p﹣1）x﹣e=0，y=当p=1时，方程无解；当p≠1时由△=（p﹣1）2﹣4（p﹣1）（﹣e）=0，得p=1﹣4e，综上，p=1﹣4e（2）f’（x）=，要使“f（x）为单调增函数”，转化为“f’（x）≥0恒成立”，即p≥=恒成立，又，所以当p≥1时，f（x）在（0，+∞）为单调增函数．同理，要使“f（x）为单调减函数”，转化为“f’（x）≤0恒成立，再转化为“p≤=恒成立”，又，所以当p≤0时，f（x）在（0，+∞）为单调减函数．综上所述，f（x）在（0，+∞）为单调函数，p的取值范围为p≥1或p≤0（3）因g（x）=在[1，e]上为减函数，所以g（x）∈[2，2e]①当p≤0时，由（1）知f（x）在[1，e]上递减⇒f（x）max=f（1）=0＜2，不合题意②当p≥1时，由（1）知f（x）在[1，e]上递增，f（1）＜2，又g（x）在[1，e]上为减函数，故只需f（x）max＞g（x）min，x∈[1，e]，即：f（e）=p（e﹣）﹣2lne＞2⇒p＞．③当0＜p＜1时，因x﹣≥0，x∈[1，e]所以f（x）=p（x﹣）﹣2lnx≤（x﹣）﹣2lnx＜2，不合题意综上，p的取值范围为（，+∞）点评：本题主要考查用导数法研究函数的单调性，基本思路是：当函数为增函数时，导数大于等于零；当函数为减函数时，导数小于等于零，已知单调性求参数的范围往往转化为求相应函数的最值问题．22．设函数．（1）试判断当x＞0，g（x）与f（x）的大小关系；（2）求证：（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3（n∈N*）；（3）设A（x1，y1）、B（x2，y2）（x1＜x2）是函数y=g（x）的图象上的两点，且g′（x0）=（其中g′（x）为g（x）的导函数），证明：x0∈（x1，x2）．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（1）欲求g（x）与f（x）的大小关系只需判断F（x）=g（x）﹣f（x）的正负，利用导数研究函数F（x）的最小值，使最小值与0比较即可；（2）由（1）知令x=n（n+1）（n∈N*），则，从而可证得结论；（3）根据，于是，，然后证明，等价于x1lnx2﹣x1lnx1﹣x2+x1＜0，令h（x）=xlnx2﹣xlnx1﹣x2+x，利用导数研究最小值与0比较，对于同理可证，即可证得结论．解答：（1）解：设F（x）=g（x）﹣f（x）（x＞0）则F′（x）=﹣由F′（x）=0得x=3当0＜x＜3时，F′（x）＜0；当x＞3时，F′（x）＞0∴x=3时，F（x）取得最小值为F（3）=ln3﹣1＞0∴F′（x）＞0即g（x）＞f（x）…（5分）（2）证明：由（1）知令x=n（n+1）（n∈N*），则…（7分）∴ln（1+1•2）+ln（1+2•3）+…+ln[1+n（n+1）]＞（2﹣）+（2﹣）+…+[2﹣]=2n﹣3[++…+]=2n﹣3（1﹣）＞2n﹣3∴（1+1•2）（1+2•3）…[1+n（n+1）]＞e2n﹣3…（10分）（3）证明：，于是，，以下证明等价于x1lnx2﹣x1lnx1﹣x2+x1＜0．令h（x）=xlnx2﹣xlnx1﹣x2+x …（12分）则h'（x）=lnx2﹣lnx1，在上，h'（x）＞0所以h（x）在（0，x2]上为增函数当x1＜x2时h（x1）＜h（x2）=0，即x1lnx2﹣x1lnx1﹣x2+x1＜0从而x0＞x1，得到证明．对于同理可证．所以x0∈（x1，x2）．…（16分）点评：本题主要考查了利用导数研究函数的最值，以及利用导数证明不等式，同时考查了转化的思想，以及考查计算能力，属于难题．23．已知函数f（x）=（x2﹣3x+3）e x的定义域为[﹣2，t]，其中常数t＞﹣2，e为自然对数的底数．（1）若函数f（x）是增函数，求实数t的取值范围；（2）求证：f（t）＞13e﹣2；（3）设f'（x）表示函数f（x）的导函数，，求函数g（x）在区间（﹣2，t）内的零点个数．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用．专题：综合题；压轴题；探究型；数形结合；分类讨论；转化思想．分析：（1）若函数f（x）是增函数，则必要导数f'（x）≥0，由此不等式即可解出实数t的取值范围；（2）由题意求证f（t）＞13e﹣2，可解出函数f（x）在区间[﹣2，+∞）上的最小值，由此最小值与13e﹣2作比较即可证明此不等式；（3）由题意先解出的解析式，由所得的解析式，及零点判定定理知，可研究此函数在区间（﹣2，t）两个端点值的符号及区间内函数最值的符号，由定理判断出零点个数即可解答：解：（1）f（x）=（x2﹣3x+3）e x，f'（x）=（x2﹣x）e x=x（x﹣1）e x，…（1分）f'（x）≥0⇔x≥1或x≤0，…（2分）若函数f（x）是定义域[﹣2，t]上的增函数，知t的取值范围是（﹣2，0]．…（4分）（2）由（1）知函数f（x）的增区间为[﹣2，0]与[1，+∞），减区间为[0，1]，从而函数f（x）在区间[﹣2，+∞）上有唯一的极小值f（1）=e，…（6分）但f（﹣2）=13e﹣2＜e（∵，故函数f（x）在区间[﹣2，+∞）上的最小值为f（﹣2）=13e﹣2，…（8分）因为t＞﹣2，所以f（t）＞f（﹣2）=13e﹣2．…（9分）（3）函数g（x）的图象是开口向上、对称轴为的抛物线，且，，．函数g（x）在区间（﹣2，t）内有两个零点；…（9分）当﹣2＜t≤1时，g（﹣2）＞0，g（t）≤0，又由可知，函数g（x）在区间（﹣2，t）内只有一个零点；…（11分）当t≥4时，g（﹣2）＜0，g（t）＞0，可知，函数g（x）在区间（﹣2，t）内只有一个零点．…（13分）综上，当1＜t＜4时，函数g（x）在区间（﹣2，t）内有两个零点；当﹣2＜t≤1或t≥4时，函数g（x）在区间（﹣2，t）内只有一个零点．（14分）点评：本题考查导数在最值问题中的运用，利用导数研究单调性，再利用单调性求最值，这是导数的重要运用，解答本题，第一小题关键是理解导数与函数单调性的关系，第二小题关键是将证明不等式问题转化为利用导数解出函数的最值，从而证明不等式，第三题解题的关键是理解零点定理及函数区间内函数最值的判断，本题考查了转化的思想分类讨论思想等，由于本题运算量较大，易因运算导致错误，解题时要严谨24．已知函数f（x）=（a﹣1）lnx+ax2．（1）讨论函数y=f（x）的单调性；（2）求证：+++…+＞（n≥2，n∈N+）；（3）当a=0时，求证：f（x）≤﹣．考点：导数在最大值、最小值问题中的应用；利用导数研究函数的单调性．专题：压轴题；导数的综合应用．分析：（1）先求导得f′（x），通过对a分类讨论即可得出；（2）利用（1）的结论，取a=时，当x＞1时，f（x）单调递增，f（x）＞f（1），从而得出x2＞lnx＞0，取倒数得，令x=k，再利用放缩和裂项求和即可得出；（3）要证⇔⇔（xlnx）min≥，利用导数分别求出其极值即最值即可证明．解答：解：（1）f（x）=（a﹣1）lnx+ax2，定义域为（0，+∞）．∵．当a≥1时，f'（x）＞0，故f（x）在（0，+∞）单调递增；当a≤0时，f'（x）＜0，故f（x）在（0，+∞）单调递减；当0＜a＜1时，令f'（x）=0，解得．则当时，f'（x）＜0；时，f'（x）＞0．故f（x）在单调递减，在单调递增．（2）当时，，由（1）知，时，y=f（x）递增，所以x＞1时，∵x＞1，∴x2＞lnx＞0，∴，，（3）就是要证，即需证．令g（x）=xlnx，则由g'（x）=lnx+1=0，得，当时g（x）递增，当时g（x）递减，所以g（x）的最小值为．设，。

2021年九年级中考函数专题拔高篇

函数拔高专题一、选择题）1.如图，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且对称轴为x=1，点B坐标为(−1,0).则下面的四个结论：①2a+b=0；②4a−2b+c<0；③b2−4ac>0；④当y<0时，x<−1或x>2.其中正确的有()A. 4个B. 3个C. 2个D. 1个2.二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图所示，下列结论：①abc>0；②2a+b=0；③m为任意实数，则a+b>am2+bm；④a−b+c>0；⑤若ax12+bx1=ax22+bx2，且x1≠x2，则x1+x2=2.其中正确的有()A. ①②③B. ②④C. ②⑤D. ②③⑤3.二次函数y=ax2+bx的图象如图所示，若一元二次方程ax2+bx+m=0有实数根，则m的取值范围是()A. m≤3B. m≥3C. m≥−3D. m≤−34.如图，在边长为2的正方形ABCD中剪去一个边长为1的小正方形EFGC，动点P从点A出发，沿A→E→F→G→C→B的路线，绕多边形的边匀速运动到点B时停止，则△ABP的面积S随着时间t变化的函数图象大致是()A. B. C. D.5.如图，△ABC和△DEF都是边长为2的等边三角形，它们的边BC，EF在同一条直线l上，点C，E重合．现将△ABC在直线l向右移动，直至点B与F重合时停止移动．在此过程中，设点C移动的距离为x，两个三角形重叠部分的面积为y，则y随x变化的函数图象大致为()A. B.C. D.6.如图，平行于x轴的直线与函数y=k1x (k1>0,x>0)，y=k2x(k2>0,x>0)的图象分别相交于A，B两点，点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点，若△ABC的面积为4，则k1−k2的值为()A. 8B. −8C. 4D. −4二、填空题7.如图，在平面直角坐标系中，矩形OABC的顶点A、C分别在x轴的负半轴、y轴的正半轴上，点B在第二象限．将矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，BC与OD相交于点M.若经过点M的反比例函数y=kx(x<0)的图象交AB于点N，S矩形OABC=32，tan∠DOE=12，则BN的长为______．8.如图，A，B是反比例函数y=kx图象上的两点，过点A作AC⊥y轴，垂足为C，AC交OB于点D.若D为OB的中点，△AOD的面积为3，则k的值为______．9.如图，菱形ABCD顶点A在函数y=3x (x>0)的图象上，函数y=kx(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称，且经过点B、D两点，若AB=2，∠BAD=30°，则k=______．10.如图，矩形ABCD的两个顶点A，B分别落在x，y轴上，顶点C，D位于第一象限，且OA=3，OB=2，对角线AC，BD交于点G，若曲线y=kx(x>0)的经过点C，G，则k=．11.如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，C(0,−3)，CD=3AD，点A在反比例函数y=kx图象上，且y轴平分∠ACB，求k=______．三、解答题12.如图，在平面直角坐标系中，直线AB与y轴交于点B(0,7)，在第二象限内的图象相交于点A(−1,a)．与反比例函数y=−8x(1)求直线AB的解析式；(2)将直线AB向下平移9个单位后与反比例函数的图象交于点C和点E，与y轴交于点D，求△ACD的面积；(3)设直线CD的解析式为y=mx+n，根据图象直接写出不等式mx+n≤−8的解集．x13.已知抛物线y=ax2+bx+3经过点A(1,0)和点B(−3,0)，与y轴交于点C，点P为第二象限内抛物线上的动点．(1)抛物线的解析式为______，抛物线的顶点坐标为______；(2)如图1，连接OP交BC于点D，当S△CPD：S△BPD=1：2时，请求出点D的坐标；(3)如图2，点E的坐标为(0,−1)，点G为x轴负半轴上的一点，∠OGE=15°，连接PE，若∠PEG=2∠OGE，请求出点P的坐标；(4)如图3，是否存在点P，使四边形BOCP的面积为8？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(其中x>0)图象上的一点，在x轴正半轴上有14.如图，A为反比例函数y=kx一点B，OB=4.连接OA、AB，且OA=AB=2√10．(1)求k的值；(x>0)的图象于点C．(2)过点B作BC⊥OB，交反比例函数y=kx①连接AC，求△ABC的面积；②在图上连接OC交AB于点D，求AD的值．BD15.如图，在平面直角坐标系中，二次函数的图象交坐标轴于A(−1,0)，B(4,0)，C(0,−4)三点，点P是直线BC下方抛物线上一动点．(1)求这个二次函数的解析式；(2)是否存在点P，使△POC是以OC为底边的等腰三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，请说明理由；(3)动点P运动到什么位置时，△PBC面积最大，求出此时P点坐标和△PBC的最大面积．答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，=1，得2a+b=0，故①正确；∴−b2a当x=−2时，y=4a−2b+c<0，故②正确；该函数图象与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，故③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，点B坐标为(−1,0)，∴点A(3,0)，∴当y<0时，x<−1或x>3，故④错误；故选：B．根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．2.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a>0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①错误；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c>am2+bm+c，即a+b>am2+bm，所以③错误；∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧，而对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在(−1,0)的右侧∴当x=−1时，y<0，∴a−b+c<0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1−ax22−bx2=0，∴a(x1+x2)(x1−x2)+b(x1−x2)=0，∴(x1−x2)[a(x1+x2)+b]=0，而x1≠x2，∴a(x1+x2)+b=0，即x1+x2=−b，a∵b=−2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．=1，得到b=−2a>0，即2a+b=0，由根据抛物线开口方向得a<0，由抛物线对称轴为直线x=−b2a抛物线与y轴的交点位置得到c>0，所以abc<0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c>am2+bm+c，即a+b>am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在(−1,0)的右侧，则当x=−1时，y<0，所以a−b+c<0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移，项，再分解因式得到(x1−x2)[a(x1+x2)+b]=0，而x1≠x2，则a(x1+x2)+b=0，即x1+x2=−ba然后把b=−2a代入计算得到x1+x2=2．本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a 共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由Δ决定，Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ= b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．结合图象可得y≥−3，即ax2+bx≥−3，由ax2+bx+m=0可得ax2+bx=−m，则有−m≥−3，即可解决问题，也可以利用一元二次方程根的判别式求解．【解答】解：由图可知：y≥−3，即ax2+bx≥−3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=−m，∴当−m≥−3时，方程有实数根，即m≤3．故选A．4.【答案】B【解析】解：①当点P在AE上运动时，S=12×AB×AP=12×2×t=t；②当点P在EF上运动时，S=12×1×2=1；③当点P在FG上运动时，S=12×2×(t−1)=t−1；④当点P在GC上运动时，同理S=2；⑤当点P在BC上运动时，同理可得：函数的表达式为一次函数，图象为线段；故选：B．用面积公式计算出点P在线段运动的函数表达式，即可求解．本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．5.【答案】A【解析】解：如图1所示：当0<x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH=√32EJ=√32x，∴y=12EJ⋅GH=√34x2．当x=2时，y=√3，且抛物线的开口向上．如图2所示：2<x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．同理，△FGJ为等边三角形．而FJ=4−x，∴y=12FJ⋅GH=√34(4−x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．分为0<x≤2、2<x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵AB//x轴，∴A，B两点纵坐标相同．设A(a,ℎ)，B(b,ℎ)，则aℎ=k1，bℎ=k2．∵S△ABC=12AB⋅y A=12(a−b)ℎ=12(aℎ−bℎ)=12(k1−k2)=4，∴k1−k2=8．故选：A．设A(a,ℎ)，B(b,ℎ)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出aℎ=k1，bℎ=k2.根据三角形的面积公式得到S△ABC=12AB⋅y A=12(a−b)ℎ=12(aℎ−bℎ)=12(k1−k2)=4，求出k1−k2=8．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．7.【答案】3【解析】解：∵S矩形OABC=32，∴AB⋅BC=32，∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，∴AB=DE，OD=OA，在Rt△ODE中，tan∠DOE=DEOD =12，即OD=2DE，∴DE⋅2DE=32，解得DE=4，∴AB=4，OA=8，在Rt△OCM中，∵tan∠COM=MCOC =12，而OC=AB=4，∴MC=2，∴M(−2,4)，把M(−2,4)代入y=kx得k=−2×4=−8，∴反比例函数解析式为y=−8x，当x=−8时，y=−8−8=1，则N(−8,1)，∴BN=4−1=3．故答案为3．利用矩形的面积公式得到AB⋅BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到tan∠DOE=DEOD =12，所以DE⋅2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2，则M(−2,4)，易得反比例函数解析式为y=−8x，然后确定N点坐标，最后计算BN的长．本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形．8.【答案】8【解析】解：设点D坐标为(a,b)，∵点D为OB的中点，∴点B的坐标为(2a,2b)，∴k=4ab，又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，∴A的坐标为(4a,b)，∴AD=4a−a=3a，∵△AOD的面积为3，∴1×3a×b=3，2∴ab=2，∴k=4ab=4×2=8．故答案为：8先设点D坐标为(a,b)，得出点B的坐标为(2a,2b)，A的坐标为(4a,b)，再根据△AOD的面积为3，列出关系式求得k的值．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为3列出关系式是解题的关键．9.【答案】6+2√3【解析】【分析】本题考查了反比例图象上点的坐标特征，菱形的性质，含30度角的直角三角形，关键是确定A点在第一象限的角平分线上．连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．【解答】解：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称，∵函数y=kx∴O、A、C三点在同一直线上，且∠COE=45°，∴OE=AE，不妨设OE=AE=a，则A(a,a)，(x>0)的图象上，∵点A在反比例函数y=3x∴a2=3，∴a=√3，∴AE=OE=√3，∵∠BAD=30°，∠BAD=15°，∴∠OAF=∠CAD=12∵∠OAE=∠AOE=45°，∴∠EAF=30°，又AE=√3，AF=2EF，∴Rt△AEF中，AF=2，EF=1，∵AB=AD=2，AE//DG，∴EF=EG=1，DG=2AE=2√3，∴OG=OE+EG=√3+1，∴D(√3+1,2√3)，则k=2√3(√3+1)=6+2√3．故答案为：6+2√3．10.【答案】72【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、三角形相似的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解．分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，则CE//GF，设C(m.n)，利用矩形的性质可得AG=CG，根据平行线得性质则可求得G点横坐标，且可求得G(3+m2,12n)，根据反比例函数系数k=xy，得到mn=3+m2×12n，求得m=1，作CH⊥y轴于H，通过证得△AOB∽△BHC，求得CE，得出C得坐标(1,72)，可求得k．【解答】解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，∴CE//GF，设C(m.n)，∵四边形ABCD是矩形，∴AG=CG，∴GF=12CE，EF=12(3−m)，∴OF=12(3−m)+m=32+12m，∴G(3+m2,12 n)，∵曲线y=kx(x>0)经过点C、G，∴mn=3+m2×12n，解得m=1，作CH⊥y轴于H，∴CH=1，∵∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABO=90°，∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBH，∵∠AOB=∠BHC=90°，∴△AOB∽△BHC，∴BHOA =CHOB，即BH3=12，∴BH=32，∴OH=32+2=72，∴C(1,72)，∴k=1×72=72；故答案为72．11.【答案】4√77【解析】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求A的坐标，依据A在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．要求k的值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD=3AD和C(0,−3)可以求出A 的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C(0,−3)，∴OC=3，又∠ADE=∠ODC，∠AED=∠COD，∴△ADE∽△CDO，∴AECO =DEOD=ADCD=13，∴AE=1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO=OD，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBD=∠CDO，∵∠AEB=∠COD=90°，∴△ABE～DCO，∴AEOD =BEOC，设DE=n，则BO=OD=3n，BE=7n，∴13n =7n3，∴n=√77，∴OE=4n=4√77，∴A(4√77,1)，∴k=4√77×1=4√77．故答案为：4√77．12.【答案】解：(1))∵点A(−1,a)在反比例函数y=−8x的图象上，∴a=−8−1=8，∴A(−1,8)，∵点B(0,7)，∴设直线AB的解析式为y=kx+7，∵直线AB过点A(−1,8)，∴8=−k+7，解得k=−1，∴直线AB的解析式为y=−x+7；(2)∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y=−x−2，∴D(0,−2)，∴BD=7+2=9，联立{y=−x−2y=−8x，解得{x=−4y=2或{x=2y=−4，∴C(−4,2)，E(2,−4)，连接AC，则△CBD的面积=12×9×4=18，由平行线间的距离处处相等可得△ACD与△CDB面积相等，∴△ACD的面积为18．(3)∵C(−4,2)，E(2,−4)，∴不等式mx+n≤−8x的解集是：−4<x<0或x>2．【解析】(1)将点A(−1,a)代入反比例函数y=−8x求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式；(2)根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=−x−2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E 的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB 面积相等；(3)根据图象即可求得．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．13.【答案】解：(1)y=−x2−2x+3；(−1,4)(2)∵OB=OC，∴∠CBO=45°，∵S△CPD：S△BPD=1：2，∴BD=23BC=23×3√2=2√2，y D=BDsin∠CBO=2，则点D(−1,2)；(3)如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°，∴∠OHE=45°，∴OH=OE=1，则直线HE的表达式为：y=−x−1…②，联立①②并解得：x=−1±√172(舍去正值)，故点P(−1−√172,√17−12)；(4)不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y=x+3，设点P(x,−x2−2x+3)，点H(x,x+3)，则S四边形BOCP =S△OBC+S△PBC=12×3×3+12(−x2−2x+3−x−3)×3=8，整理得：3x2+9x+7=0，解得：△<0，故方程无解，则不存在满足条件的点P.【解析】解：(1)函数的表达式为：y=a(x−1)(x+3)=a(x2+2x−3)，即：−3a=3，解得：a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3…①，顶点坐标为(−1,4)；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．(1)函数的表达式为：y=a(x−1)(x+3)=a(x2+2x−3)，即可求解；(2)S△CPD：S△BPD=1：2，则BD=23BC=23×3√2=2√2，即可求解；(3)∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°，则∠OHE=45°，故OH=OE=1，即可求解；(4)利用S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=8，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．14.【答案】解：(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA=AB，AH⊥OB，∴OH=BH=12OB=2，∴AH=√OA2−OH2=√40−4=6，∴点A的坐标为(2,6)．∵A为反比例函数y=kx图象上的一点，∴k=2×6=12；(2)①∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数y=12x上，∴BC=124=3．∵AH⊥OB，∴AH//BC，∴点A到BC的距离=BH=2，∴S△ABC=12×3×2=3；②∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数y=12x上，∴BC=124=3．∵AH//BC，OH=BH，∴MH=12BC=32，∴AM=AH−MH=92．∵AM//BC，∴△ADM∽△BDC，∴ADDB =AMBC=32．【解析】(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k 值；(2)①由三角形面积公式可求解；②由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM//BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出ADDB的值．本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点A的坐标；(2)②利用相似三角形的性质求出ADDB的值．15.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得{a−b+c=016a+4b+c=0c=−4，解得{a=1b=−3c=−4，∴抛物线解析式为y=x2−3x−4；(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C(0,−4)，∴D(0,−2)，∴P点纵坐标为−2，代入抛物线解析式可得x2−3x−4=−2，解得x=3−√172(小于0，舍去)或x=3+√172，∴存在满足条件的P点，其坐标为(3+√172,−2)；(3)∵点P在抛物线上，∴可设P(t,t2−3t−4)，过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B(4,0)，C(0,−4)，∴直线BC解析式为y=x−4，∴F(t,t−4)，∴PF=(t−4)−(t2−3t−4)=−t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=12PF⋅OE+12PF⋅BE=12PF⋅(OE+BE)=12PF⋅OB=12(−t2+4t)×4=−2(t−2)2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2−3t−4=−6，∴当P点坐标为(2,−6)时，△PBC的最大面积为8．【解析】【试题解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出P点的位置是解题的关键，在(3)中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；(3)过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．。

(word完整版)函数全章拔高

1. 已知函数在R上是增函数，若，则有（）．A. B.C. D.2. 定义域在上的偶函数在[0，7]上是增函数，在上是减函数，又，则（）．A. 在上是增函数且最大值6B. 在上是减函数且最大值6C. 在上是增函数且最小值6D. 在上是减函数且最小值63．函数在区间上是单调函数的条件是（）．A. B. C. D.4. 函数的定义域为（）A. B. Ｃ. Ｄ.5. 函数的单调递减区间是（）A. B. C. D.6. 设是上的任意函数，则下列叙述正确的是( )A. 是奇函数B. 是奇函数C. 是偶函数D. 是偶函数7. 已知函数，则不等式的解集是（）A． B．{x|x≤1}C． D．8. 实数满足，则的最大值是（）A．23 B．21 C．19 D． 17．9. 设，则函数的值域是______.10. 设是定义在上的函数且,在区间上,其中.若,则的值为______.11．已知函数的图象与函数的图象恰有两个交点,则实数的取值范围是______.12. 关于函数，有下列四个结论：①当时，函数在区间上单调递增；②当时，函数在区间上单调递减；③对于任意，必有成立；④对于任意，必有成立．其中正确的论断序号是______．（将全部正确结论的序号都填上）13. 已知函数f(x)=-x2+2ax-a2+1(1)若函数f(x)在区间[0，2]上是单调的，求实数a取值范围；(2)当x[-1，1]时，求函数f(x)的最大值g(a)，并画出最大值函数y=g(a)的图象．14. 已知实数，将函数f(x)=ax2-2x+1在区间[1，3]上的最大值和最小值分别表示为a的函数M(a)，N(a)，令g(a)=M(a)-N(a).(1)求g(a)的表达式；(2)判断函数g(a)在区间上的单调性，并求出g(a)的最小值．15．已知函数的定义域是，且满足,,如果对于,都有．（1）求；（2）解不等式．答案与解析【答案与解析】 1. 【答案】A【解析】因为、，所以、，即2. 【答案】B【解析】因为函数是偶函数，所以函数在关于轴对称的区间上单调性是相反的，所以函数在上是减函数．当时，，即函数在上的最大值为6．3. 【答案】D【解析】对称轴在区间的外面即可．4. 【答案】A【解析】要使式子有意义，须，解得或．5. 【答案】C【解析】先画出的图象，然后把轴下方的部分关于轴翻折上去，就得的图象，由图象知单调递减区间是．6. 【答案】D【解析】令，则，所以它不是奇函数，故A选项不对；同理选项B、C都不对，只有选项D正确．7. 【答案】C【解析】由题意得不等式等价于（1）或（2），解不等式组（1）得x＜－1；解不等式组（2）得．因此原不等式的解集是，选C项．8. 【答案】19【解析】 C ．．故当时，取得最大值19．9. 【答案】10. 【答案】.【解析】∵是定义在上的函数且,∴,即①.又∵,,∴②.联立①②,解得,.∴.11．【答案】【解析】解法一：∵函数的图像直线恒过定点,且,,,∴,,,由图像可知.解法二:函数当时当时,,综上函数,做出函数的图象(蓝线),要使函数与有两个不同的交点,则直线必须在四边形区域ABCD内(和直线平行的直线除外,如图,则此时当直线经过,,综上实数的取值范围是且,即或.12. 【答案】②③④13. 【解析】(1)(2)当a≤-1时，f(x)的最大值为f(-1)=-a2-2a当-1＜a＜1时，f(x)的最大值为f(a)=1当a≥1时，f(x)的最大值为f(1)=-a2+2a所以14. 【解析】(1)f(x)的对称轴为：，分以下两种情况讨论；①当M(a)=f(3)=9a-5，②当，M(a)=f(1)=a-1，综上，(2)当单调递减，当单调递增15. 【解析】（1）令，则（2），则．。

函数专题二(拔高)

答案和解析1.【答案】B【解析】解：∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，=1，得2a+b=0，故①正确；∴−b2a当x=−2时，y=4a−2b+c<0，故②正确；该函数图象与x轴有两个交点，则b2−4ac>0，故③正确；∵二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为x=1，点B坐标为(−1,0)，∴点A(3,0)，∴当y<0时，x<−1或x>3，故④错误；故选：B．根据二次函数的图象和二次函数的性质，可以判断各个小题中的结论是否成立，从而可以解答本题．本题考查二次函数图象与系数的关系、抛物线与x轴的交点，解答本题的关键是明确题意，利用二次函数的性质和数形结合的思想解答．2.【答案】C【解析】解：∵抛物线开口向下，∴a<0，=1，∵抛物线对称轴为直线x=−b2a∴b=−2a>0，即2a+b=0，所以②正确；∵抛物线与y轴的交点在x轴上方，∴c>0，∴abc<0，所以①错误；∵抛物线对称轴为直线x=1，∴函数的最大值为a+b+c，∴当m≠1时，a+b+c>am2+bm+c，即a+b>am2+bm，所以③错误；∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧，而对称轴为直线x=1，∴抛物线与x轴的另一个交点在(−1,0)的右侧∴当x=−1时，y<0，∴a−b+c<0，所以④错误；∵ax12+bx1=ax22+bx2，∴ax12+bx1−ax22−bx2=0，∴a(x1+x2)(x1−x2)+b(x1−x2)=0，∴(x1−x2)[a(x1+x2)+b]=0，而x1≠x2，∴a(x1+x2)+b=0，即x1+x2=−b，a∵b=−2a，∴x1+x2=2，所以⑤正确．综上所述，正确的有②⑤．故选：C．=1，得到b=−2a>0，根据抛物线开口方向得a<0，由抛物线对称轴为直线x=−b2a即2a+b=0，由抛物线与y轴的交点位置得到c>0，所以abc<0；根据二次函数的性质得当x=1时，函数有最大值a+b+c，则当m≠1时，a+b+c>am2+bm+c，即a+b>am2+bm；根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的另一个交点在(−1,0)的右侧，则当x=−1时，y<0，所以a−b+c<0；把ax12+bx1=ax22+bx2先移项，再分解因式得到(x1−x2)[a(x1+x2)+b]=0，而x1≠x2，则a(x1+x2)+b=0，即x1+x2=−b，然后把b=−2a代入计算得到x1+x2=2．a本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)，二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a>0时，抛物线开口向上；当a<0时，抛物线开口向下；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置，当a与b同号时(即ab>0)，对称轴在y轴左侧；当a与b异号时(即ab<0)，对称轴在y轴右侧；常数项c决定抛物线与y轴交点．抛物线与y轴交于(0,c)；抛物线与x轴交点个数由Δ决定，Δ=b2−4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点；Δ=b2−4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；Δ=b2−4ac<0时，抛物线与x轴没有交点．3.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查抛物线与一元二次方程之间的关系、解一元一次不等式等知识，利用数形结合的思想是解决本题的关键．结合图象可得y≥−3，即ax2+bx≥−3，由ax2+bx+ m=0可得ax2+bx=−m，则有−m≥−3，即可解决问题，也可以利用一元二次方程根的判别式求解．【解答】解：由图可知：y≥−3，即ax2+bx≥−3，∵ax2+bx+m=0，∴ax2+bx=−m，∴当−m≥−3时，方程有实数根，即m≤3．故选A．4.【答案】B【解析】解：①当点P在AE上运动时，S=12×AB×AP=12×2×t=t；②当点P在EF上运动时，S=12×1×2=1；③当点P在FG上运动时，S=12×2×(t−1)=t−1；④当点P在GC上运动时，同理S=2；⑤当点P在BC上运动时，同理可得：函数的表达式为一次函数，图象为线段；故选：B．用面积公式计算出点P在线段运动的函数表达式，即可求解．本题是运动型综合题，解题关键是深刻理解动点的函数图象，了解图象中关键点所代表的实际意义，理解动点的完整运动过程．5.【答案】A【解析】解：如图1所示：当0<x≤2时，过点G作GH⊥BF于H．∵△ABC和△DEF均为等边三角形，∴△GEJ为等边三角形．∴GH=√32EJ=√32x，∴y=12EJ⋅GH=√34x2．当x=2时，y=√3，且抛物线的开口向上．如图2所示：2<x≤4时，过点G作GH⊥BF于H．同理，△FGJ为等边三角形．而FJ=4−x，∴y=12FJ⋅GH=√34(4−x)2，函数图象为抛物线的一部分，且抛物线开口向上．故选：A．分为0<x≤2、2<x≤4两种情况，然后依据等边三角形的性质和三角形的面积公式可求得y与x的函数关系式，于是可求得问题的答案．本题主要考查的是动点问题的函数图象，求得函数的解析式是解题的关键．6.【答案】A【解析】解：∵AB//x轴，∴A，B两点纵坐标相同．设A(a,ℎ)，B(b,ℎ)，则aℎ=k1，bℎ=k2．∵S△ABC=12AB⋅y A=12(a−b)ℎ=12(aℎ−bℎ)=12(k1−k2)=4，∴k1−k2=8．故选：A．设A(a,ℎ)，B(b,ℎ)，根据反比例函数图象上点的坐标特征得出aℎ=k1，bℎ=k2.根据三角形的面积公式得到S△ABC=12AB⋅y A=12(a−b)ℎ=12(aℎ−bℎ)=12(k1−k2)=4，求出k1−k2=8．本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，点在函数的图象上，则点的坐标满足函数的解析式．也考查了三角形的面积．7.【答案】3【解析】解：∵S矩形OABC=32，∴AB⋅BC=32，∵矩形OABC绕点O顺时针旋转，使点B落在y轴上，得到矩形ODEF，∴AB=DE，OD=OA，在Rt△ODE中，tan∠DOE=DEOD =12，即OD=2DE，∴DE⋅2DE=32，解得DE=4，∴AB=4，OA=8，在Rt△OCM中，∵tan∠COM=MCOC =12，而OC=AB=4，∴MC=2，∴M(−2,4)，把M(−2,4)代入y=kx得k=−2×4=−8，∴反比例函数解析式为y=−8x，当x=−8时，y=−8−8=1，则N(−8,1)，∴BN=4−1=3．故答案为3．利用矩形的面积公式得到AB⋅BC=32，再根据旋转的性质得AB=DE，OD=OA，接着利用正切的定义得到tan∠DOE=DEOD =12，所以DE⋅2DE=32，解得DE=4，于是得到AB=4，OA=8，同样在Rt△OCM中利用正切定义得到MC=2，则M(−2,4)，易得反比例函数解析式为y=−8x，然后确定N点坐标，最后计算BN的长．本题考查了旋转图形的坐标：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标．常见的是旋转特殊角度如：30°，45°，60°，90°，180°.也考查了反比例函数图象上点的坐标特征和解直角三角形．8.【答案】8【解析】解：设点D坐标为(a,b)，∵点D为OB的中点，∴点B的坐标为(2a,2b)，∴k=4ab，又∵AC⊥y轴，A在反比例函数图象上，∴A的坐标为(4a,b)，∴AD=4a−a=3a，∵△AOD的面积为3，∴1×3a×b=3，2∴ab=2，∴k=4ab=4×2=8．故答案为：8先设点D坐标为(a,b)，得出点B的坐标为(2a,2b)，A的坐标为(4a,b)，再根据△AOD 的面积为3，列出关系式求得k的值．本题主要考查了反比例函数系数k的几何意义，以及运用待定系数法求反比例函数解析式，根据△AOD的面积为3列出关系式是解题的关键．9.【答案】6+2√3【解析】【分析】本题考查了反比例图象上点的坐标特征，菱形的性质，含30度角的直角三角形，关键是确定A点在第一象限的角平分线上．连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x轴于点G，得O、A、C在第一象限的角平分线上，求得A点坐标，进而求得D点坐标，便可求得结果．【解答】解：连接OC，AC，过A作AE⊥x轴于点E，延长DA与x轴交于点F，过点D作DG⊥x 轴于点G，(k>3,x>0)的图象关于直线AC对称，∵函数y=kx∴O、A、C三点在同一直线上，且∠COE=45°，∴OE=AE，不妨设OE=AE=a，则A(a,a)，∵点A在反比例函数y=3x(x>0)的图象上，∴a2=3，∴a=√3，∴AE=OE=√3，∵∠BAD=30°，∴∠OAF=∠CAD=12∠BAD=15°，∵∠OAE=∠AOE=45°，∴∠EAF=30°，又AE=√3，AF=2EF，∴Rt△AEF中，AF=2，EF=1，∵AB=AD=2，AE//DG，∴EF=EG=1，DG=2AE=2√3，∴OG=OE+EG=√3+1，∴D(√3+1,2√3)，则k=2√3(√3+1)=6+2√3．故答案为：6+2√3．10.【答案】72【解析】【分析】本题考查了矩形的性质、三角形相似的判定和性质以及反比例函数k的几何意义，涉及的知识点较多，注意理清解题思路，分步求解．分别过C、G两点作x轴的垂线，交x 轴于点E、F，则CE//GF，设C(m.n)，利用矩形的性质可得AG=CG，根据平行线得性质则可求得G点横坐标，且可求得G(3+m2,12n)，根据反比例函数系数k=xy，得到mn=3+m 2×12n，求得m=1，作CH⊥y轴于H，通过证得△AOB∽△BHC，求得CE，得出C得坐标(1,72)，可求得k．【解答】解：如图，分别过C、G两点作x轴的垂线，交x轴于点E、F，∴CE//GF，设C(m.n)，∵四边形ABCD是矩形，∴AG=CG，∴GF=12CE，EF=12(3−m)，∴OF=12(3−m)+m=32+12m，∴G(3+m2,12 n)，∵曲线y=kx(x>0)经过点C、G，∴mn=3+m2×12n，解得m=1，作CH⊥y轴于H，∴CH=1，∵∠ABC=90°，∴∠CBH+∠ABO=90°，∵∠OAB+∠ABO=90°，∴∠OAB=∠CBH，∵∠AOB=∠BHC=90°，∴△AOB∽△BHC，∴BHOA =CHOB，即BH3=12，∴BH=32，∴OH=32+2=72，∴C(1,72)，∴k=1×72=72；故答案为72．11.【答案】4√77【解析】【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，综合利用相似三角形的性质，全等三角形的性质求A的坐标，依据A在反比例函数的图象上的点，根据坐标求出k的值．综合性较强，注意转化思想方法的应用．要求k的值，通常可求A的坐标，可作x轴的垂线，构造相似三角形，利用CD=3AD和C(0,−3)可以求出A的纵坐标，再利用三角形相似，设未知数，由相似三角形对应边成比例，列出方程，求出待定未知数，从而确定点A的坐标，进而确定k的值．【解答】解：过A作AE⊥x轴，垂足为E，∵C(0,−3)，∴OC=3，又∠ADE=∠ODC，∠AED=∠COD，∴△ADE∽△CDO，∴AECO =DEOD=ADCD=13，∴AE=1；又∵y轴平分∠ACB，CO⊥BD，∴BO=OD，∵∠ABC=90°，∴∠ABD+∠CBD=∠ABD+∠BAE=90°，∴∠BAE=∠CBD=∠CDO，∵∠AEB=∠COD=90°，∴△ABE～DCO，∴AEOD =BEOC，设DE=n，则BO=OD=3n，BE=7n，∴13n =7n3，∴n=√77，∴OE=4n=4√77，∴A(4√77,1)，∴k=4√77×1=4√77．故答案为：4√77．12.【答案】解：(1))∵点A(−1,a)在反比例函数y=−8x的图象上，∴a=−8−1=8，∴A(−1,8)，∵点B(0,7)，∴设直线AB的解析式为y=kx+7，∵直线AB过点A(−1,8)，∴8=−k+7，解得k=−1，∴直线AB的解析式为y=−x+7；(2)∵将直线AB向下平移9个单位后得到直线CD的解析式为y=−x−2，∴D(0,−2)，∴BD=7+2=9，联立{y=−x−2y=−8x，解得{x=−4y=2或{x=2y=−4，∴C(−4,2)，E(2,−4)，连接AC，则△CBD的面积=12×9×4=18，由平行线间的距离处处相等可得△ACD与△CDB面积相等，∴△ACD的面积为18．(3)∵C(−4,2)，E(2,−4)，∴不等式mx+n≤−8x的解集是：−4<x<0或x>2．【解析】(1)将点A(−1,a)代入反比例函数y=−8x求出a的值，确定出A的坐标，再根据待定系数法确定出一次函数的解析式；(2)根据直线的平移规律得出直线CD的解析式为y=−x−2，从而求得D的坐标，联立方程求得交点C、E的坐标，根据三角形面积公式求得△CDB的面积，然后由同底等高的两三角形面积相等可得△ACD与△CDB面积相等；(3)根据图象即可求得．此题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积求法，以及一次函数图象与几何变换，熟练掌握待定系数法是解题的关键．13.【答案】解：(1)y=−x2−2x+3；(−1,4)(2)∵OB=OC，∴∠CBO=45°，∵S△CPD：S△BPD=1：2，∴BD=23BC=23×3√2=2√2，y D=BDsin∠CBO=2，则点D(−1,2)；(3)如图2，设直线PE交x轴于点H，∵∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°，∴∠OHE=45°，∴OH=OE=1，则直线HE的表达式为：y=−x−1…②，联立①②并解得：x=−1±√172(舍去正值)，故点P(−1−√172,√17−12)；(4)不存在，理由：连接BC，过点P作y轴的平行线交BC于点H，直线BC的表达式为：y=x+3，设点P(x,−x2−2x+3)，点H(x,x+3)，则S四边形BOCP =S△OBC+S△PBC=12×3×3+12(−x2−2x+3−x−3)×3=8，整理得：3x2+9x+7=0，解得：△<0，故方程无解，则不存在满足条件的点P.【解析】解：(1)函数的表达式为：y=a(x−1)(x+3)=a(x2+2x−3)，即：−3a=3，解得：a=−1，故抛物线的表达式为：y=−x2−2x+3…①，顶点坐标为(−1,4)；(2)见答案；(3)见答案；(4)见答案．(1)函数的表达式为：y=a(x−1)(x+3)=a(x2+2x−3)，即可求解；(2)S△CPD：S△BPD=1：2，则BD=23BC=23×3√2=2√2，即可求解；(3)∠OGE=15°，∠PEG=2∠OGE=30°，则∠OHE=45°，故OH=OE=1，即可求解；(4)利用S四边形BOCP=S△OBC+S△PBC=8，即可求解．本题考查的是二次函数综合运用，涉及到一次函数、一元二次方程应用、图象的面积计算等，难度不大．14.【答案】解：(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，如图所示．∵OA=AB，AH⊥OB，∴OH=BH=12OB=2，∴AH=√OA2−OH2=√40−4=6，∴点A的坐标为(2,6)．∵A为反比例函数y=kx图象上的一点，∴k=2×6=12；(2)①∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数y=12x上，∴BC=124=3．∵AH⊥OB，∴AH//BC，∴点A到BC的距离=BH=2，∴S△ABC=12×3×2=3；②∵BC⊥x轴，OB=4，点C在反比例函数y=12x上，∴BC=124=3．∵AH//BC，OH=BH，∴MH=12BC=32，∴AM=AH−MH=92．∵AM//BC，∴△ADM∽△BDC，∴ADDB =AMBC=32．【解析】(1)过点A作AH⊥x轴，垂足为点H，AH交OC于点M，利用等腰三角形的性质可得出DH的长，利用勾股定理可得出AH的长，进而可得出点A的坐标，再利用反比例函数图象上点的坐标特征即可求出k值；(2)①由三角形面积公式可求解；②由OB的长，利用反比例函数图象上点的坐标特征可得出BC的长，利用三角形中位线定理可求出MH的长，进而可得出AM的长，由AM//BC可得出△ADM∽△BDC，利用相似三角形的性质即可求出ADDB的值．本题是反比例函数综合题，考查了反比例函数图象上点的坐标特征、等腰三角形的性质、勾股定理以及相似三角形的判定与性质，解题的关键是：(1)利用等腰三角形的性质及勾股定理，求出点A的坐标；(2)②利用相似三角形的性质求出ADDB的值．15.【答案】解：(1)设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，把A、B、C三点坐标代入可得{a−b+c=016a+4b+c=0c=−4，解得{a=1b=−3c=−4，∴抛物线解析式为y=x2−3x−4；(2)作OC的垂直平分线DP，交OC于点D，交BC下方抛物线于点P，如图1，∴PO=PC，此时P点即为满足条件的点，∵C(0,−4)，∴D(0,−2)，∴P点纵坐标为−2，代入抛物线解析式可得x2−3x−4=−2，解得x=3−√172(小于0，舍去)或x=3+√172，∴存在满足条件的P点，其坐标为(3+√172,−2)；(3)∵点P在抛物线上，∴可设P(t,t2−3t−4)，过P作PE⊥x轴于点E，交直线BC于点F，如图2，∵B(4,0)，C(0,−4)，∴直线BC解析式为y=x−4，∴F(t,t−4)，∴PF=(t−4)−(t2−3t−4)=−t2+4t，∴S△PBC=S△PFC+S△PFB=12PF⋅OE+12PF⋅BE=12PF⋅(OE+BE)=12PF⋅OB=12(−t2+4t)×4=−2(t−2)2+8，∴当t=2时，S△PBC最大值为8，此时t2−3t−4=−6，∴当P点坐标为(2,−6)时，△PBC的最大面积为8．【解析】【试题解析】本题为二次函数的综合应用，涉及待定系数法、等腰三角形的性质、二次函数的性质、三角形的面积、方程思想等知识．在(1)中注意待定系数法的应用，在(2)中确定出P点的位置是解题的关键，在(3)中用P点坐标表示出△PBC的面积是解题的关键．本题考查知识点较多，综合性较强，难度适中．(1)由A、B、C三点的坐标，利用待定系数法可求得抛物线解析式；(2)由题意可知点P在线段OC的垂直平分线上，则可求得P点纵坐标，代入抛物线解析式可求得P点坐标；(3)过P作PE⊥x轴，交x轴于点E，交直线BC于点F，用P点坐标可表示出PF的长，则可表示出△PBC的面积，利用二次函数的性质可求得△PBC面积的最大值及P点的坐标．。

高考复习高分套路系列——函数专题2

第七讲二次函数与幂函数【套路秘籍】1．幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α是常数．(2)常见的五种幂函数的图象和性质比较R R{x|x≥0}{x|x≠0}（1）二次函数解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n)．零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点．(2)二次函数图像R R【套路修炼】考向一幂函数概念及性质【例1】已知幂函数223(22)n nf x n n x －＝＋－(n ∈Z)的图象关于y 轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n 的值为________．【答案】 1【解析】由于f (x )为幂函数，所以n 2＋2n －2＝1，解得n ＝1或n ＝－3，经检验只有n ＝1符合题意．【举一反三】1．已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 2+2m−3是幂函数，且其图象与两坐标轴都没有交点，则实数m =() A ．−1 B ．2 C ．3 D ．2或−1【答案】A【解析】∵函数f(x)=(m 2−m −1)x m2+2m−3是幂函数，∴m 2−m −1=1，解得：m =2或m =−1，m =2时，f(x)=x ，其图象与两坐标轴有交点不合题意，m =−1时，f(x)=1x 4，其图象与两坐标轴都没有交点，符合题意，故m =−1，故选：A ． 2．已知函数f （x ）=(3m 2−2m )x m 是幂函数，若f （x ）为增函数，则m 等于（） A ．−13 B ．−1 C ．1D ．−13或1【答案】C，【解析】函数f（x）=（3m2-2m）x m是幂函数，则3m2-2m=1，解得m=1或m=-13又f（x）为增函数，则m=1满足条件，即m的值为1．故选：C．3．已知幂函数f(x)=xα的图像过点(2,√2)，则下列说法正确的是（）A．f(x)是奇函数，且在(0,+∞)上单调递增B．f(x)是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减C．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递增D．f(x)既不是奇函数也不是偶函数，且在(0,+∞)上单调递减【答案】C，故f（x）=√x，【解析】∵幂函数y＝xα的图象过点（2，√2），∴√2=2α，解得α=12故f（x）既不是奇函数也不是偶函数，且在（0，+∞）上是增函数，故选：C．，3}，则使函数y=xα的定义域为R且为奇函数的所有α的值为（）4．设α∈{−1，1，12，1 C．−1，3 D．1，3A．−1，1，3 B．12【答案】D【解析】当α＝﹣1时，函数的定义域为{x|x≠0}，不满足定义域为R；当α＝1时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；函数的定义域为{x|x≥0}，不满足定义域为R；当α=12当α＝3时，函数y＝xα的定义域为R且为奇函数，满足要求；故选：D．考向二图像问题,1,3}时，幂函数y=xα的图象不可能经过的象限是【例2】（1）当α∈{−1,12A．第二象限 B．第三象限 C．第三、四象限 D．第二、四象限（2）在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x≥0），g（x）＝log a x的图象可能是（）A． B．C． D．【答案】（1）D （2）D【解析】（1）因为y=x−1经过第一、三象限；y=x12经过第一象限；y=x1经过第一、三象限；y=x3经过第一、三象限；所以不可能经过的象限是第二、四象限，选D.（2）∵实数a＞0且a≠1，∴函数f（x）＝x a（x＞0）是上增函数，故排除A；∴当a＞1时，在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是下凹增函数，g（x）＝log a x的是增函数，观察四个选项，没有符合条件选项；当0＜a＜1时，∴在同一直角坐标系中，函数f（x）＝x a（x＞0）是增函数，g（x）＝log a x是减函数，由此排除B和C，符合条件的选项只有D．故选：D．【举一反三】1．如图表示的是四个幂函数在同一坐标系中第一象限内的图象，则幂函数y=x 12的图象可能是（）A．① B．② C．③ D．④【答案】D【解析】幂函数y=x12为增函数，且增加的速度比价缓慢，只有④符合．故选：D．2．下图给出四个幂函数的图象，则图象与函数的大致对应是（）①②③④A．①y=x 13，②y=x2，③y=x12，④y=x−1B．①y=x3，②y=x2，③y=x 12，④y=x−1C．①y=x2，②y=x3y=x3，③y=x−1，④y=x 1 2D．①y=x 13，②y=x12，③y=x2，④y=x−1【答案】B【解析】②的图象关于y 轴对称，②应为偶函数，故排除选项Ｃ，Ｄ，①由图象知，在第一象限内，图象下凸，递增的较快，所以幂函数的指数大于1，故排除Ａ故选：Ｂ．3．在同一直角坐标系中，函数f(x)=x a (x ≥0)，g(x)=log a x (a >0,且a ≠1)的图象可能是（）．A ．B ．C ．D ．【答案】D【解析】对于A 项，对数函数过（1,0）点，但是幂函数不过（0,1）点，所以A 项不满足要求；对于B 项，幂函数a >1，对数函数0<a <1，所以B 项不满足要求；对于C 项，幂函数要求0<a <1，而对数函数要求，a >1，所以C 项不满足要求；对于D 项，幂函数与对数函数都要求0<a <1，所以D 项满足要求；故选D. 4．如图是幂函数y ＝x m 和y ＝x n 在第一象限内的图象，则( )A ．－1<n<0,0<m<1B ．n<－1,0<m<1C ．－1<n<0，m>1D ．n<－1，m>1 【答案】B【解析】由题图知，y =x m 在[0,+∞)上是增函数，y =x n 在(0,+∞)上为减函数，∴m >0,n <0，又当x >1时，y =x m 的图象在y =x 的下方，y =x n的图象在y =x −1的下方，∴m <1,n <−1，从而0<m <1,n <−1，故选B.考向三比较大小【例3】设a =(35)25,b =(25)35,c =(25)25，则a,b,c 的大小关系是 A ．a >c >b B ．a >b >c C ．c >a >b D ．b >c >a【答案】A【解析】对于函数y =(25)x ，在(0,+∞)上是减函数，∵35>25，∴(25)35<(25)25，即b <c ；对于函数y =x 25，在(0,+∞)上是增函数，∵35>25，∴(35)25>(25)25，即a >c ．从而b <c <a ．故A 正确．【举一反三】1.已知点(m,9)在幂函数f(x)=(m −2)x n的图象上，设a =f(m − 13),b =f(ln 13)， c =f(√22) 则a,b,c 的大小关系为（） A ．a <c <b B ．b <c <a C ．c <a <b D ．b <a <c【答案】A【解析】由f(x)=(m −2)x n 为幂函数得m −2=1,m =3, 因为点(3,9)在幂函数f(x)上，所以3n =9，n =2,即f(x)=x 2，因为a =f (m − 13)=f (3− 13),b =f (ln 13)=f (ln3),又3− 13<√22<1<ln3,所以a <c <b ，选A.2．设a =20.3，b =30.2，c =70.1，则a 、b 、c 的大小关系为（） A ．a <c <b B ．c <a <b C ．a <b <c D ．c <b <a【答案】B【解析】由题意得：a =20.3=√2310=√810，b =30.2=√3210=√910，c =70.1=√710y =√x 10在(0,+∞)上是增函数且9>8>7∴b >a >c 本题正确选项：B 3.．已知a =(√2)125，b =925，c =4log 4e 2，则下列结论成立的是（） A ．a <b <c B ．c <b <a C ．b <a <c D ．a <c <b 【答案】A【解析】a =265=6415，b =345=8115，∵64<81，∴6415<8115，即a <b ，c =e 2>4>3>345=b ，故a <b <c ，选A .考向四二次函数解析式【例4】 (1)已知二次函数f (x )＝x 2－bx ＋c 满足f (0)＝3，对∀x ∈R ，都有f (1＋x )＝f (1－x )成立，则f (x )的解析式为________________．(2)已知二次函数f (x )与x 轴的两个交点坐标为(0,0)和(－2,0)且有最小值－1，则f (x )＝________. (3)已知二次函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R ，a ≠0)，x ∈R ，若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，则f (x )＝________.【答案】（1）f (x )＝x 2－2x ＋3 （2）x 2＋2x （3）x 2＋2x ＋1【解析】（1）由f (0)＝3，得c ＝3，又f (1＋x )＝f (1－x )，∴函数f (x )的图象关于直线x ＝1对称，∴b2＝1，∴b ＝2，∴f (x )＝x 2－2x ＋3.（2）设函数的解析式为f (x )＝ax (x ＋2)(a ≠0)，所以f (x )＝ax 2＋2ax ，由4a ×0－4a24a＝－1，得a ＝1，所以f (x )＝x 2＋2x .（3）设函数f (x )的解析式为f (x )＝a (x ＋1)2＝ax 2＋2ax ＋a (a ≠0)，又f (x )＝ax 2＋bx ＋1，所以a ＝1，故f (x )＝x 2＋2x ＋1.【举一反三】1.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，则f (x )＝________. 【答案】 x 2－4x ＋3【解析】因为f (2－x )＝f (2＋x )对任意x ∈R 恒成立，所以f (x )图象的对称轴为直线x ＝2.又因为f (x )的图象被x 轴截得的线段长为2，所以f (x )＝0的两根为1和3.设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)，又f (x )的图象过点(4,3)，所以3a ＝3，即a ＝1，所以f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.2.已知二次函数f (x )满足f (2)＝－1，f (－1)＝－1，且f (x )的最大值是8，试确定此二次函数的解析式．【答案】f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.【解析】设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)．由题意得⎩⎪⎨⎪⎧4a ＋2b ＋c ＝－1，a －b ＋c ＝－1，4ac －b 24a ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝4，c ＝7.∴所求二次函数的解析式为f (x )＝－4x 2＋4x ＋7.3.已知二次函数f (x )的图象经过点(4,3)，它在x 轴上截得的线段长为2，并且对任意x ∈R ，都有f (2－x )＝f (2＋x )，求f (x )的解析式．【答案】f (x )＝x 2－4x ＋3.【解析】∵f (2－x )＝f (2＋x )对x ∈R 恒成立，∴f (x )的对称轴为x ＝2. 又∵f (x )图象被x 轴截得的线段长为2，∴f (x )＝0的两根为1和3. 【套路总结】1. 求二次函数解析式的方法设f (x )的解析式为f (x )＝a (x －1)(x －3)(a ≠0)．又∵f (x )的图象过点(4,3)，∴3a ＝3，a ＝1.∴所求f (x )的解析式为f (x )＝(x －1)(x －3)，即f (x )＝x 2－4x ＋3.4.已知二次函数f (x )＝x 2＋2bx ＋c (b ，c ∈R)．(1)若f (x )≤0的解集为{x |－1≤x ≤1}，求实数b ，c 的值；(2)若f (x )满足f (1)＝0，且关于x 的方程f (x )＋x ＋b ＝0的两个实数根分别在区间(－3，－2)，(0,1)内，求实数b 的取值范围．【答案】⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57 【解析】(1)设x 1，x 2是方程f (x )＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－2b ，x 1x 2＝c ，即⎩⎪⎨⎪⎧－2b ＝0，c ＝－1.所以b ＝0，c ＝－1.(2)由题，知f (1)＝1＋2b ＋c ＝0，所以c ＝－1－2b .记g (x )＝f (x )＋x ＋b ＝x 2＋(2b ＋1)x ＋b ＋c ＝x 2＋(2b ＋1)x －b －1，则⎩⎪⎨⎪⎧g (－3)＝5－7b >0，g (－2)＝1－5b <0，g (0)＝－1－b <0，g (1)＝b ＋1>0⇒15<b <57，即实数b 的取值范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫15，57. 考向五二次函数的性质【例5】（1）设二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，且f (m )≤f (0)，则实数m 的取值范围是________．（2）函数f (x )＝ax 2＋(a －3)x ＋1在区间[－1，＋∞)上是递减的，则实数a 的取值范围是________ （3）已知函数f (x )＝ax 2＋2ax ＋1在区间[－1,2]上有最大值4，求实数a 的值．【答案】（1）[0,2] （2）[－3,0] （3）38或－3【解析】（1）二次函数f (x )＝ax 2－2ax ＋c 在区间[0,1]上单调递减，则a ≠0，又由－－2a 2a＝1得图象的对称轴是直线x ＝1，所以a >0.所以函数的图象开口向上，且在[1,2]上单调递增，f (0)＝f (2)，则当f (m )≤f (0)时，有0≤m ≤2. （2）当a ＝0时，f (x )＝－3x ＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意．当a ≠0时，f (x )的对称轴为x ＝3－a2a ，由f (x )在[－1，＋∞)上单调递减，知⎩⎪⎨⎪⎧a <0，3－a2a≤－1，解得－3≤a <0.综上，a 的取值范围为[－3,0]．（3）f (x )＝a (x ＋1)2＋1－a .(1)当a ＝0时，函数f (x )在区间[－1,2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；(2)当a >0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是增函数，最大值为f (2)＝8a ＋1＝4，解得a ＝38；(3)当a <0时，函数f (x )在区间[－1,2]上是减函数，最大值为f (－1)＝1－a ＝4，解得a ＝－3. 综上可知，a 的值为38或－3.【举一反三】1．已知函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ，x ∈[0,1]有最大值2，则a ＝________. 【答案】 2或－1【解析】函数f (x )＝－x 2＋2ax ＋1－a ＝－(x －a )2＋a 2－a ＋1，其图象的对称轴方程为x ＝a .当a <0时，f (x )max ＝f (0)＝1－a ，所以1－a ＝2，所以a ＝－1；当0≤a ≤1时，f (x )max ＝f (a )＝a 2－a ＋1，所以a 2－a ＋1＝2，所以a 2－a －1＝0，所以a ＝1±52(舍去)；当a >1时，f (x )max ＝f (1)＝a ，所以a ＝2.综上可知，a ＝－1或a ＝2.2．已知函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，那么f (2)的取值范围是______．【答案】 [7，＋∞)【解析】函数f (x )＝x 2－(a －1)x ＋5在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1上为增函数，由于其图象(抛物线)开口向上，所以其对称轴x ＝a －12或与直线x ＝12重合或位于直线x ＝12的左侧，即应有a －12≤12，解得a ≤2，所以f (2)＝4－(a －1)×2＋5≥7，即f (2)≥7.3．若函数φ(x )＝x 2＋m |x －1|在[0，＋∞)上单调递增，则实数m 的取值范围是__________．【答案】 [－2,0]【解析】当0≤x <1时，φ(x )＝x 2－mx ＋m ，此时φ(x )单调递增，则m2≤0，即m ≤0；当x ≥1时，φ(x )＝x 2＋mx －m ，此时φ(x )单调递增，则－m2≤1，即m ≥－2.综上，实数m 的取值范围是[－2,0]．考向六二次函数恒成立【例6】 (1)已知二次函数f (x )满足f (x ＋1)－f (x )＝2x ，且f (0)＝1，若不等式f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，则实数m 的取值范围为____________．(2)函数f (x )＝a 2x＋3a x－2(a >1)，若在区间[－1,1]上f (x )≤8恒成立，则a 的最大值为________．【答案】（1） (－∞，－1) （2）2【解析】（1）设f (x )＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)，由f (0)＝1，得c ＝1，又f (x ＋1)－f (x )＝2x ，得2ax ＋a ＋b ＝2x ，所以a ＝1，b ＝－1，所以f (x )＝x 2－x ＋1.f (x )>2x ＋m 在区间[－1,1]上恒成立，即x 2－3x ＋1－m >0在[－1,1]上恒成立，令g (x )＝x 2－3x ＋1－m ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322－54－m ，x ∈[－1,1]，g (x )在[－1,1]上单调递减，所以g (x )min ＝g (1)＝1－3＋1－m >0，所以m <－1.（2）令a x ＝t ，因为a >1，x ∈[－1,1]，所以1a≤t ≤a ，原函数化为g (t )＝t 2＋3t －2，t ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a ，显然g (t )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤1a ，a 上单调递增，所以f (x )≤8恒成立，即g (t )max ＝g (a )≤8恒成立，所以有a 2＋3a －2≤8，解得－5≤a ≤2，又a >1，所以1<a ≤2，所以a 的最大值为2.1.已知函数f (x )＝ax 2＋bx ＋1(a ，b ∈R)，x ∈R.(1)若函数f (x )的最小值为f (－1)＝0，求f (x )的解析式，并写出单调区间； (2)在(1)的条件下，f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，试求k 的范围．【答案】【解析】(1)由题意得f (－1)＝a －b ＋1＝0，a ≠0，且－b2a ＝－1，∴a ＝1，b ＝2.∴f (x )＝x 2＋2x ＋1，单调减区间为(－∞，－1]，单调增区间为[－1，＋∞)．(2)解法一：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1>k 在区间[－3，－1]上恒成立．设g (x )＝x 2＋x ＋1，x ∈[－3，－1]，则g (x )在[－3，－1]上递减．∴g (x )min ＝g (－1)＝1. ∴k <1，即k 的取值范围为(－∞，1)．解法二：f (x )>x ＋k 在区间[－3，－1]上恒成立，转化为x 2＋x ＋1－k >0在区间[－3，－1]上恒成立，设g (x )＝x 2＋x ＋1－k ，则g (x )在[－3，－1]上单调递减，∴g (－1)>0，得k <1.2.设函数f (x )＝ax 2－2x ＋2，对于满足1<x <4的一切x 值都有f (x )>0，则实数a 的取值范围为________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【解析】由题意得a >2x －2x 2对1<x <4恒成立，又2x －2x 2＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x －122＋12，14<1x <1，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －2x 2max ＝12，∴a >12.3.已知函数f (x )＝x 2＋mx －1，若对于任意x ∈[m ，m ＋1]，都有f (x )<0成立，则实数m 的取值范围是____________．【答案】 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－22，0 【解析】因为函数图象开口向上，所以根据题意只需满足⎩⎪⎨⎪⎧f (m )＝m 2＋m 2－1<0，f (m ＋1)＝(m ＋1)2＋m (m ＋1)－1<0，解得－22<m <0. 考向七二次函数根的分布【例7】一元二次方程02)12(2=-+-+a x a x 的一根比1大，另一根比－1小，则实数a 的取值范围是．【答案】203a <<【解析】记2()(21)2f x x a x a =+-+-，由已知得，(1)0,(1)0,f f <⎧⎨-<⎩解得203a <<．【举一反三】1.已知关于x 的方程11()()2042x x a -+=在区间[]1,0-上有实数根，则实数a 的取值范围是．【答案】[]1,0-【解析】当0a =时，方程为1()202x -+=，解得1x =-，符合；当0a ≠时，记2()2f m am m =-+，其中1()2x m =．当[1,0]x ∈-时，1()[1,2]2x m =∈，所以题目条件等价于函数2()2f m am m =-+在区间[1,2]内有零点．当0a >时有函数对称轴102x a =>，若180a ∆=-=，即18a =，此时21()28f m m m =-+的零点为4m =，不符合．因为(2)40f a =>，180a ∆=->，即18a <，所以可知对称轴142x a=>，画图可知此时()f m 在区间[1,2]内无零点．当0a <时有函数对称轴102x a=<，此时180a ∆=->恒成立．因为(2)40f a =<，所以有(1)10f a =+≥，解得1a ≥-．所以此时10a -≤<．综上可得，10a -≤≤．2.若方程210x mx -+=的两实根分别为,αβ，且012αβ<<<<，则m 的取值范围是．【答案】5(2,)2【解析】因为关于x 的方程012=+-mx x 的两个根为,αβ，且012αβ<<<<则满足(1)020(2)0520<-<⎧⎧∴⎨⎨>->⎩⎩f m f m ，这样可以解得m 的范围5(2,)2． 3.已知二次函数()2f x x bx c =++的两个零点分别在区间()2,1--和()1,0-内，则()3f 的取值范围是（）A ．()12,20B ．()12,18C ．()18,20D ．()8,18 【答案】A【解析】由题意得()()()20420{10{1000f b c f b c f c ->-+>-<⇒-+<>>，可行域如图三角形内部（不包括三角形边界，其中三角形三顶点为()()()2,0,1,0,3,2A B C ）：，而()393f b c =++，所以直线()393f b c =++过C 取最大值20，过B 点取最小值12，()3f 的取值范围是()12,20，选A ．4.已知函数()42f x x x x =-+，存在3210x x x >>≥，使得()()()123f x f x f x ==，则()123x x f x ⋅⋅的取值范围是__________．【答案】()64,81【解析】根据题意，()222,442{ 6,4x x x f x x x x x x x -≥=-+=-+<，由图象可知，126,x x +=()()()1231116x x f x x x f x ∴⋅⋅=⋅-⋅ ()()2111166x x x x =⋅-⋅-+= ()22116x x -+=()22139x ⎡⎤--+⎣⎦，()()21123,398,9x x <<∴--+∈，()()12364,81x x f x ∴⋅⋅∈，故答案为()64,81．【套路运用】1．已知函数f(x)=(m −1)2x m2−4m+2是在(0,+∞)上单调递增的幂函数，则m =( )A ．0或4B ．0或2C ．0D ．2 【答案】C【解析】∵f （x ）是幂函数，∴（m ﹣1）2＝1，得m ＝0，或m ＝2，∵f （x ）在（0，+∞）上单调递增，∴m 2﹣4m +2＞0，则当m ＝0时，2＞0成立，当m ＝2时，4﹣8+2＝﹣2，不成立，故选C ． 2．已知幂函数f （x ）=x a （a 是常数），则（） A ．f(x)的定义域为RB ．f(x)在(0,+∞)上单调递增C ．f(x)的图象一定经过点(1,1)D ．f(x)的图象有可能经过点(1,−1)【答案】C【解析】（1）对于A ，幂函数f （x ）=x a 的定义域与a 有关，不一定为R ，A 错误；（2）对于B ，a ＞0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递增，a ＜0时，幂函数f （x ）=x a 在（0，+∞）上单调递减，B 错误；（3）对于C，幂函数f（x）=x a的图象过定点（1，1），C正确；（4）对于D，幂函数f（x）=x a的图象一定不过第四象限，D错误．故选：C．3．如图所示的曲线是幂函数y=xα在第一象限的图象，已知α∈{−4,−14,14,4}，相应曲线C1,C2,C3,C4对应的α值依次为（）A．−4，−14，14，4 B．4，14，−14，−4 C．−14，−4，4，14D．4，14，−4，−14【答案】B【解析】结合幂函数的单调性及图象，易知曲线C1,C2,C3,C4对应的α值依次为4，14，−14，−4．故选B．4．函数y=2|x|−x2(x∈R)的图象为( )A． B． C． D．【答案】A【解析】由于函数y=2|x|﹣x2（x∈R）是偶函数，图象关于y轴对称，故排除B、D．再由x=0时，函数值y=1，可得图象过点（0，1），故排除C，从而得到应选A，故选：A．5．已知函数g（x）=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象经过定点M，若幂函数f（x）=xα的图象过点M，则α的值等于（）A．﹣1 B．12C．2 D．3【答案】B【解析】∵y=log a（x﹣3）+2（a＞0，a≠1）的图象过定点M，∴M（4，2），∵点M（4，2）也在幂函数f（x）=xα的图象上，∴f（4）=4α=2，解得α=12，故选：B．6．已知幂函数y=x n在第一象限内的图象如图所示，则曲线C1、C2、C3、C4的n值可能依次为A ．–2，–12，12，2B ．2，12，–12，–2C ．–12，–2，2，12D ．2，12，–2，–12 【答案】B【解析】由图象可知：C 1的指数n>1，C 2的指数0<n<1，C 3，C 4的指数小于0，且C 3的指数大于C 4的指数．据此可得，只有B 选项符合题意．故选B ．7．幂函数y =x n 是奇函数，但图象不与坐标轴相交，则n 的值可以是 A ．3 B ．1 C ．0 D ．–1 【答案】D【解析】根据幂函数的性质判断出幂函数y =x n 是奇函数时，指数n 为奇数；幂函数y =x n 的图象与两坐标轴不相交时，幂函数的指数n 小于0，对照选项，只有D 正确．故选D ． 8．在函数y =1x 2,y =2x 2,y =x 2+x,y =3x 中，幂函数的个数为 A ．0 B ．1 C ．2 D ．3 【答案】B【解析】显然，根据幂函数定义可知，只有y =1x 2=x −2是幂函数，故选B ． 9．已知函数y =x a ,y =x b ,y =c x 的图象如图所示，则a,b,c 的大小关系为（）A ．c <b <aB ．a <b <cC ．c <a <bD ．a <c <b 【答案】A【解析】由图像可知，a >1,b =12,0<c <12，得a >b >c ，故答案为：A.10．当α∈{−1,12,3}时，幂函数y =x α的图象不可能经过的象限是 A ．第二象限 B ．第三象限C ．第四象限 D ．第二、四象限【答案】D【解析】y =x −1的图象经过第一、三象限，y =x 12的图象经过第一象限，y =x 的图象经过第一、三象限，y =x 3的图象经过第一、三象限．故选D ．11．已知正实数a,b,c 满足log a 2=2，log 3b =13，c 6=172，则a,b,c 的大小关系是（）A ．a <b <cB ．a <c <bC ．c <b <aD ．b <a <c【答案】B【解析】由题得a 2=2,∴a 6=8,b =313,∴b 6=32=9, 因为8<172<9,a,b,c 都是正数，所以a <c <b .故选：B12．已知幂函数f （x ）=x a的图象经过点（2，√2），则函数f （x ）为（） A ．奇函数且在(0,+∞)上单调递增 B ．偶函数且在(0,+∞)上单调递减 C ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递增 D ．非奇非偶函数且在(0,+∞)上单调递减【答案】C【解析】∵幂函数f （x ）=x a 的图象经过点（2，√2），∴2a =√2，解得a=12，∴函数f （x ）=x 12，∴函数f （x ）是非奇非偶函数且在（0，+∞）上单调递增．故选：C ． 13．已知函数y =x m2−5m+4（m ∈Z ）为偶函数且在区间（0，+∞）上单调递减，则m=（）A ．2或3B ．3C ．2D ．1 【答案】A【解析】幂函数y =x m2−5m+4为偶函数，且在(0,+∞)递减，∴m 2−5m +4<0，且m 2−5m +4是偶数，由m 2−5m +4<0得1<m <4，又由题设m 是整数，故m 的值可能为2或3，验证知m =2或者3时，都能保证m 2−5m +4是偶数，故m =2或者3即所求．故选：A 14．已知函数f (x )为偶函数，当x >0时，f (x )=x 2−3x ，则（） A ．f (tan70∘)>f (1.4)>f (−1.5) B ．f (tan70∘)>f (−1.5)>f (1.4) C ．f (1.4)>f (tan70∘)>f (−1.5) D ．f (−1.5)>f (1.4)>f (tan70∘)【答案】A【解析】当x >0时，f (x )=(x −1.5)2−1.52，tan70∘−1.5>tan60∘−1.5≈0.232，又函数f (x )为偶函数，所以f (−1.5)=f (1.5)，1.5−1.4=0.1，根据二次函数的对称性以及单调性，所以f (tan70∘)>f (1.4)>f (−1.5).故选A15．已知函数f (x )=x 2+mx +1在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数,则实数m 的取值范围是( ) A ．[−2,2] B ．(−∞,−2] C ．[2,+∞) D ．R【答案】A【解析】由题意，函数f (x )=x 2+mx +1表示开口向上，且对称轴的方程为x =−m2，要使得函数f (x )在区间(−∞,−1]上是减函数,在区间[1,+∞)上是增函数, 则−1≤−m2≤1，解得−2≤m ≤2，故选A.16．幂函数f(x)=(m 2−2m +1)x 2m−1在(0,+∞)上为增函数，则实数m 的值为____________．【答案】2【解析】由函数f(x)=(m 2−2m +1)x 2m−1是幂函数，则m 2−2m +1=1，解得m =0或m =2；当m =0时，f(x)=x −1，在(0,+∞)上为减函数，不合题意；当m =2时，f(x)=x 3，在(0,+∞)上为增函数，满足题意．故答案为：2．17. 已知函数f(x)=(m 2−m −1)x m 是幂函数，且f(x)在(0,+∞)上单调递增，则实数m =________. 【答案】2【解析】∵幂函数f （x ）＝（m 2﹣m ﹣1）x m在区间（0，+∞）上单调递增， ∴{m 2−m −1=1m ＞0，解得m ＝2或-1（舍）．故答案为：2．18．已知幂函数f(x)=(k 2−2k −7)x k−1在(0,+∞)上是减函数，则实数k 的值为__________．【答案】-2【解析】因为函数f(x)=(k 2−2k −7)x k−1是幂函数，所以k 2−2k −7=1，即(k +2)(k −4)=0，解得k =−2或k =4，当k =−2时，f(x)=x −3，满足在(0,+∞)上是减函数，当k =4时，f(x)=x 3，在(0,+∞)上是增函数，所以k =−2，故答案是：−2. 19．若f(x)=(m −1)2x m 是幂函数且在(0,+∞)单调递增，则实数m =_______. 【答案】2【解析】f(x)=(m −1)2x m 为幂函数，所以(m −1)2=1，解得m =0或2.当m =0时，f (x )=x 0=1，在(0,+∞)不单调递增，舍去；当m =2时，f(x)=x 2，在(0,+∞)单调递增成立.故答案为：m =2. 20．已知幂函数f （x ）=（m 3–m +1）x12(1−8m−m 2)的图象与x 轴和y 轴都无交点．（1）求f （x ）的解析式；（2）解不等式f （x +1）>f （x –2）．【答案】（1）f （x ）=x –4；（2）{x |x <12，x ≠0}．【解析】（1）因为f （x ）是幂函数，所以m 3–m+1=1，解得m ∈{0，±1}，又f （x ）的图象与x 轴和y 轴都无交点，经检验，只有当m=1时符合题意，所以m=1，此时f （x ）=x –4；（2）f （x ）=x –4是偶函数且在（0，+∞）递减，所以要使f （x+1）>f （x –2）成立，只需|x+1|<|x –2|，解得x<12，又f （x ）的定义域为{x|x ≠0}，所以不等式的解集为{x|x<12，x ≠0}． 21．已知幂函数y =f （x ）=x −2m2−m+3，其中m ∈[–2，2]，m ∈Z ，①定区间（0，+∞）的增函数；②对任意的x ∈R ，都有f （–x ）+f （x ）=0；求同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）的解析式，并求x ∈[0，3]时，f （x ）的值域．【答案】f (x )=x 3；[0,27]. 【解析】∵幂函数y =f （x ）=x −2m2−m+3在区间（0，+∞）为增函数，∴–2m 2–m +3>0，即2m 2+m –3<0，解得m ∈（−32，1），又∵m ∈Z ，∴m =–1或m =0，当m =–1时，y =f （x ）=x 2为偶函数，不满足f （–x ）+f （x ）=0；当m =0时，y =f （x ）=x 3为奇函数，满足f （–x ）+f （x ）=0． ∴同时满足①、②两个条件的幂函数f （x ）=x 3，当x ∈[0，3]时，f （x ）∈[0，27]，即函数f （x ）的值域为[0，27]． 22．已知函数f(x)=(a 2−2a −2)log a x 是对数函数．（1）若函数g(x)=log a (x +1)+log a (3−x)，讨论函数g(x)的单调性；（2）在（1）的条件下，若x ∈[13,2]，不等式g(x)−m +3≤0的解集非空，求实数m 的取值范围．【答案】（1）见解析；（2）[4,+∞)．【解析】（1）由题意可知{a 2−2a −2=1a >0且a ≠1 ，解得a =3（负值舍去），所以f(x)=log 3x ．因为g(x)=log a (x +1)+log a (3−x)，所以{x +1>03−x >0 ，即{x >−1x <3，即−1<x <3，故g(x)的定义域为{x|−1<x <3}．由于g(x)=log 3(x +1)+log 3(3−x)=log 3(−x 2+2x +3)，令u(x)=−x 2+2x +3(−1<x <3)，则由对称轴x =1可知，u(x)在(−1,1)上单调递增，在(1,3)上单调递减；因为y =log 3u 在(0,+∞)上单调递增，所以函数g(x)的单调递增区间为(−1,1)，单调递减区间为(1,3)．（2）因为不等式g(x)−m +3≤0的解集非空，所以m −3≥g(x)min ,x ∈[13,2]，由（1）知，当x ∈[13,2]时，函数g(x)的单调递增区间为[13,1]，单调递减区间为(1,2]，因为g(13)=log 3329,g(2)=1，所以g(x)min =1，所以m −3≥1，即m ≥4，故实数m 的取值范围为[4,+∞)． 23．设二次函数f (x )=x 2+bx +c ，b ，c ∈R ．（1）若f (x )满足：对任意的x ∈R ，均有f (−x )≠−f (x )，求c 的取值范围；（2）若f (x )在(0，1)上与x 轴有两个不同的交点，求c 2+(1+b )c 的取值范围．【答案】(1) (0,+∞) (2) (0,116)【解析】（1）∵f (−x )+f (x )= (−x )2+b (−x )+c +x 2 +bx +c =2(x 2+c )≠0恒成立，所以，方程x 2+c =0无实数解所以，c 取值范围为(0,+∞)（2）设f (x )=0的两根为x 1，x 2，且0<x 1<x 2<1，则f (x )=(x −x 1)(x −x 2)，所以c 2+(1+b )c =c (1+b +c ) =f (0)f (1)=(0−x 1)(0−x 2)(1−x 1)(1−x 2)=x 1x 2(1−x 1)(1−x 2)=(−x 12+x 1)(−x 22+x 2)=[−(x 1−12)2+14] [−(x 2−12)2+14]≤116.又因为x 1，x 2不能同时取到12，所以c 2+(1+b )c 取值范围为(0,116)． 24. 已知函数f(x)=x 2−2(a −1)x +4.（Ⅰ）若f(x)为偶函数，求f(x)在[−1,2]上的值域；（Ⅱ）若f(x)在区间(−∞,2]上是减函数，求f(x)在[1,a ]上的最大值. 【答案】（Ⅰ）[4,8]；（Ⅱ）7-2a【解析】（Ⅰ）因为函数f (x )为偶函数，故f (−x )=f (x )，得a =1.f (x )=x 2+4，因为−1≤x ≤2，所以4≤f (x )≤8,故值域为：[4,8].（Ⅱ）若f (x )在区间(−∞,2]上是减函数，则函数对称轴x =a −1≥2,a ≥3因为1<a −1<a ，所以x ∈[1,a −1]时，函数f (x )递减，[a −1,a ]时，函数f (x )递增，故当x ∈[1,a ]时，f (x )max {f (1),f (a )} ，∴f(1)=7−2a,f(a)=−a 2+2a +4， f(1)−f(a)=(7−2a)−(−a 2+2a +4)=a 2−4a +3=(a −2)2−1 由于a ≥3∴f(1)≥f(a) ，故f (x )在[1,a ]上的最大值为7-2a .25．已知函数f (x )＝x 2＋(2a －1)x －3.(1)当a ＝2，x ∈[－2,3]时，求函数f (x )的值域； (2)若函数f (x )在[－1,3]上的最大值为1，求实数a 的值．【答案】（1）⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. （2）a ＝－13或－1 【解析】(1)当a ＝2时，f (x )＝x 2＋3x －3，x ∈[－2,3]，函数图象的对称轴为x ＝－32∈[－2,3]，∴f (x )min ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫－32＝94－92－3＝－214，f (x )max ＝f (3)＝15，∴f (x )的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－214，15. (2)函数图象的对称轴为直线x ＝－2a －12.①当－2a －12≤1，即a ≥－12时，f (x )max ＝f (3)＝6a ＋3，∴6a ＋3＝1，即a ＝－13，满足题意；②当－2a －12>1，即a <－12时，f (x )max ＝f (－1)＝－2a －1，∴－2a －1＝1，即a ＝－1，满足题意．综上可知，a ＝－13或－1.26.设函数f (x )＝x 2－2x ＋2，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，求函数f (x )的最小值．【答案】见解析【解析】 f (x )＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，x ∈[t ，t ＋1]，t ∈R ，函数图象的对称轴为x ＝1. 当t ＋1≤1，即t ≤0时，函数图象如图(1)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为减函数，所以最小值为f (t ＋1)＝t 2＋1；当t <1<t ＋1，即0<t <1时，函数图象如图(2)所示，在对称轴x ＝1处取得最小值，最小值为f (1)＝1；当t ≥1时，函数图象如图(3)所示，函数f (x )在区间[t ，t ＋1]上为增函数，所以最小值为f (t )＝t 2－2t ＋2.综上可知，f (x )min ＝⎩⎪⎨⎪⎧ t 2＋1，t ≤0，1，0<t <1，t 2－2t ＋2，t ≥1.。

(新)高一数学培优拔高讲义第二讲

看人生峰高处，唯有磨难多正果。

-1 -B. g f(2)C.g f(3)D.g[f(4)]C.D.(1) y(』；(3) yx xyx 3变式：1.求下列函数的定义域:f(x)(x 2)(x 1)；(2)【知识方法导航】1. 函数及其表示方法：函数；函数的三要素；区间；映射；函数的表示方法；分段函数；复合函数。

2. 求函数定义域的方法：交集法；整体转化法；定义法。

3. 求函数解析式的方法：待定系数法；代入法、换元法(或配凑法)；方程(组)法(消参法、赋值法)。

【题型策略导航】1.判断下列各组中的两个函数是同一函数的为()⑴ y i__3)(x 5)， y x 5 ； ⑵ y i 、x 1、x 1， y ?. (x 1)(x 1):⑶ f (x) x ， g(x) . x 2x 3⑷ f (x) V x 4~x 3， F (x) x ~1 ；5) f i (x) (*'2x 5)2， f 2(x) 2x 5A ⑴、⑵B ⑵、⑶C ⑷ D⑶、⑸ 变式：1.下列两个函数是同一函数的是()■ 2 2A 、 f (x) (x 1)与 f(x) (- x 1) B> f (x) x 1 与 f (x) | x 1|c 、f (x)J (x 1)2与 f(x) |x 1| x 1,x 1D 、 f(x) |x11与f(x)1 x,x 12.已知集合 P x0 x 4 ， Q x 0 x2，卜列不表示从P 到Q的映射疋A f :x y 2xB .f : x1y 空x C. f :xy|xD f : x y 丘3.已知x, y 在映射 f 作用下的象是 x y, xy .①求 2,3在f 作用下的象②若在 f 作用下的象是(2, 3)，求它的原象4. 设f ,g 都是由A 到A 的映射，其对应法则如下表(从上到下)原象1 2 3 4 象3 4 2 1原象1 2 3 4 象4 3 2 1表一映射f 的对应法则表二映射g 的对应法则 2.求下列函数的定义域:x 8 . 3 x ； (3) f (x)x 1已知函数f(x) a 2x 23(a 1)x 1的定义域为 R ，求实数a 的取值范围若函数y 、, 2"2ax a1的定义域为R ，则a 的取值范围为 ____________________________八 1 A 、 a B 、33.已知f(x)的定义域为［0,1］，则f(x 21)的定义域为 __________________变式：1.若函数y f(x)的定义域是［0,2］，则函数g(x) 空卫的定义域是()x 1A ［0,1］B 、［0,1)C 、［0,1)卩(1,4］D 、(0,1)2.已知函数f (x)的定义域是［a,b ］,b a 0，则函数g(x) f(x) f ( x)的定义域是 ____________________3. 函数f(x)的定义域为［丄，2］，则函数f( x 1)的定义域为2 4. 函数f(x 21)的定义域为［2,1)，则f(x)的定义域为 _________________4. f (x)是二次函数，且 f(x) f (2x) 5x 26x 8，求f (x)的解析式变式：1.设二次函数f(x)满足f(x 2) f( x 2)，且图像在y 轴上的截距为1，被x 轴截得的线段长为 2.2，求 f (x)2. 已知二次函数 f (x)满足f(2x 1) 4x 26x 5，求f (x)3. 已知函数f(x) x ，g(x)为一次函数，且一次项系数为正，若f ［g(x)］ 4x 20x 25，求g(x)的解析式4. 已知二次函数 f (x)满足f (x 2) f (2 x)且f (x) 0的两根平方和为10,图像过(0,3)点。

函数拔高题及答案解析

函数拔高题副标题一、单选题（本大题共8小题，共38.0分）1. 函数f(x)是定义在R 上的偶函数且在[0,+∞)上减函数，f(−2)=1，则不等式f(x −1)<1的解集( )A. {x|x >3}B. {x|x <−1}C. {x|−1<x <3}D. {x|x >3或x <−1}2. 函数f(x)=√−x +1x+3的定义域为( )A. (−3,0]B. (−3,1]C. (−∞,−3)∪(−3,0]D. (−∞,−3)∪(−3,1]3. 已知a >2，关于x 的不等式ax 2−(2+a)x +2>0的解集为( )A. {x|x <2a ，或x >1} B. {x|2a <x <1} C. {x|x <1，或x >2a }D. {x|1<x <2a }4. 设x ∈R ，则“0<x <2”是“x 3<8”的( )A. 充分而不必要条件B. 必要而不充分条件C. 充要条件D. 既不充分也不必要条件5. 函数y =√x 2+4x−5的单调递增区间是( )A. (−∞,−5)B. (−∞,−2)C. (−2,+∞)D. (1,+∞)6. 已知函数y =f(x)+x 是偶函数，且f(2)=1，则f(−2)= ( )A. 2B. 3C. 4D. 57. 若函数f(x)=x(2x−1)(x+a)为奇函数，则a = ( )A. 12B. 23C. 34D. 18. 若偶函数f(x)在(−∞,0]上是增函数，则下列关系式中成立的是 ( )A. f(−32)<f(−1)<f(2) B. f(−1)<f(−32)<f(2)二、单空题（本大题共19小题，共79.0分）9.“f(0)=0”是“函数f(x)是R上的奇函数”的______条件．(填写“充分不必要”、“必要不充分”、“充要”、“既不充分也不必要”)10.若f(x)是偶函数，且当x∈[0,+∞)时，f(x)=x−1，则不等式f(x−1)>1的解集是______ ．11.若集合A={x|a+1≤x≤2a−1}是B={x|x2−3x−10≤0}的子集，则a的取值范围是．12.若函数f(x)=√x，g(x)=1x−1，则f(x)+g(x)的定义域为______ ．13.已知函数f(x)=−x2+3x+4的定义域为[−2,2]，则f(x)的值域为______．14.已知x<6，求，x2+4x+4x−6的最大值______ ．15.已知偶函数f(x)在区间[0,+∞)上单调增加，则满足f(2x−1)<f(13)的x取值范围是______．16.a∈R，则a2+2√a2+1的最小值是______，此时a=______．17.不等式(m−1)x2−2x+1>0的解集为R，则实数m的取值范围是______．18.已知x，y均为正实数，且y=x+1x−1，则x+y的最小值是______．19.设函数f(x)={−x, x≤0x2, x>0，若f(α)=9，则α=______ ．20.已知函数f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值，则a=_______．21.已知函数y=2x，x∈[1,2]，则此函数的值域是______ ．22.定义在R上的奇函数f(x)在[0,+∞)上的图象如图所示，则不等式x⋅f(x)≥0的解集是______ ．23.不等式1x <12的解集是______．24.函数f(x)=x+4x ，x∈[12,4]的值域为______ ．25.已知函数y=f(x)是定义在实数集R上的偶函数，若f(x)在区间(0,+∞)上是严格增f(x)26.若正数a，b满足：1a +1b=1，则a+4b的最小值为．27.函数y=2√x2+2的最小值是．三、解答题（本大题共5小题，共54.0分）28.已知函数f(x)=ax−2(a∈R)．(1)当a=1时，证明：函数f(x)在(2,+∞)上是严格减函数；(2)求不等式f(x)>1．29.解关于x的不等式(ax−1)(x−1)>0(a∈R)．30.已知f(x)=x+ax2+bx+1是定义在[−1,1]上的奇函数．(1)求f(x)的解析式；(2)判断并证明f(x)的单调性；(3)解不等式：f(x)−f(1−x)<0．31.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且当x≤0时，f(x)=x2+2x．(1)现已画出函数f(x)在y轴左侧的图像，请补全函数f(x)的图像，并根据图像写出函数f(x)(x∈R)的单调递增区间；(2)写出函数f(x)(x∈R)的值域；(3)求出函数f(x)(x∈R)的解析式．32.若函数f(x)为奇函数，当x≥0时，f(x)=2x2−4x．(2)若函数f(x)在区间[−1,a−2]上单调递减，求实数a的取值范围．答案和解析1.【答案】D【解析】【分析】根据函数奇偶性和单调性之间的关系，即可得到结论．本题主要考查不等式的解法，利用函数的奇偶性和单调性之间的关系是解决本题的关键，综合考查函数性质的应用．【解答】解：因为f(x)是定义在R 上的偶函数且在[0,+∞)上减函数，f(−2)=1，根据偶函数的对称性可知，f(x)在(−∞,0)上单调递增，且f(2)=1，由f(x −1)<1可得|x −1|>2，解可得，x >3或x <−1．故选：D ．2.【答案】C【解析】【分析】本题考查函数的定义域及其求法，是基础题．由根式内部的代数式大于等于0，分式的分母不为0联立不等式组求解．【解答】解：由{−x ≥0x +3≠0，解得x ≤0且x ≠−3．∴函数f(x)=√−x +1x+3的定义域为(−∞,−3)∪(−3,0]．故选：C ．3.【答案】A<1，【解析】解：已知a>2，∴0<2a关于x的不等式ax2−(2+a)x+2>0，即(ax−2)(x−1)>0，，或x>1，解得x<2a故选：A．由题意解一元二次不等式，求得x的范围．本题主要考查一元二次不等式的解法，属于中档题．4.【答案】A【解析】解：解x3<8得：x<2，故0<x<2是x<2的充分不必要条件，故选：A．解不等式，根据集合的包含关系以及充分必要条件的定义判断即可．本题考查了充分必要条件，考查集合的包含关系，是一道基础题．5.【答案】A【解析】解：由x2+4x−5>0，解得x<−5或x>1，令t=x2+4x−5，其图象是开口向上的抛物线，且对称轴方程为x=−2，则t=x2+4x−5在(−∞,−5)上单调递减且恒大于0，的单调递增区间是(−∞,−5)．由复合函数的单调性可知，y=√x2+4x−5故选：A．由分式的分母中根式内部的代数式大于0求得函数的定义域，再求出函数t=x2+4x−5的减区间得答案．本题主要考查了复合函数的单调性以及单调区间的求法．对应复合函数的单调性，一要注意先确定函数的定义域，二要利用复合函数与内层函数和外层函数单调性之间的关系进行判断，判断的依据是“同增异减”，是中档题．6.【答案】D【分析】本题考查了函数的奇偶性的应用，属于基础题．利用偶函数的性质可得f(−2)−2=f(2)+2，即可求得f(−2)的值．【解答】解：∵y=f(x)+x是偶函数，∴f(x)+x=f(−x)−x，当x=2时，f(2)+2=f(−2)−2，又f(2)=1，∴f(−2)=5．故选D．7.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了函数的奇偶性．根据奇函数的性质可知f(−x)=−f(x)，根据该性质列等式解方程即可得出．【解答】解：解法一：由函数f(x)=x(2x−1)(x+a)为奇函数，可得f(−x)=−f(x)，所以−x(−2x−1)(−x+a)=−x(2x−1)(x+a)，所以−x(2x−1)(x+a)=−x(−2x−1)(−x+a)，化简得2(2a−1)·x2=0恒成立，所以2a−1=0，即a=12．故选A．解法二：要使函数f(x)=x(2x−1)(x+a)有意义，则2x−1≠0且x+a≠0，解得x≠12且x≠−a，因为f(x)为奇函数，所以f(x)的定义域关于原点对称，所以a=12．故选A．8.【答案】D【解析】本题考查函数单调性的应用、函数奇偶性的应用、奇偶性与单调性的综合等基础知识，考查运算求解能力．利用函数的奇偶性与单调性比较大小即可．【解答】解：因为f(x)为偶函数，所以f(2)=f(−2)，又因为f(x)在(−∞,0]上是增函数，且−2<−32<−1，所以f(−2)<f(−32)<f(−1)，即f(2)<f(−32)<f(−1)，故选D ．9.【答案】必要不充分【解析】解：函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，如y =x 2；反之，当f(x) 是定义在R 上的奇函数时， ∴f(x)+f(−x)=0， ∴f(0)+f(0)=0， ∴f(0)=0.，故前者不能推出后者，后者能推出前者，所以“f(0)=0”是“函数f(x)是R 上的奇函数”的必要不充分条件．故答案为：必要不充分．函数值等于0，不能判定函数的奇偶性，函数f(x)是R 上的奇函数，一定使得在x =0处的函数值等于0，得到答案．本题主要考查了函数奇偶性的判断，以及必要条件、充分条件与充要条件的判断，属于基础题．10.【答案】(−∞,−1)∪(3,+∞)【解析】解：根据题意，当x ∈[0,+∞)时，f(x)=x −1，则当x ∈[0,+∞)时，f(x)>1，即x >2又函数f(x)是偶函数，则f(x)>1的解集为(−∞,−2)∪(2,+∞) 对于f(x −1)>1，则有x −1>2或x −1<−2，故答案为：(−∞,−1)∪(3,+∞)．根据题意，由函数的解析式分析当x ∈[0,+∞)时，f(x)>1的解集，结合函数的奇偶性可得f(x)>1在R 上的解集，据此利用换元法分析f(x −1)>1，即可得答案．本题考查函数的奇偶性与单调性的综合应用，涉及不等式的解法，属于基础题．11.【答案】{a|a ≤3}【解析】【分析】本题考查集合的子集，分类讨论的数学思想等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力，属于中档题．由题意分类讨论集合A 为空集和非空集合两种情况确定实数a 的取值范围即可．【解答】解：当a +1>2a −1，即a <2时，集合A 为空集，满足题意，当集合A 不为空集时，则a ≥2，由于集合B ={x|−2≤x ≤5}，此时应满足：{a +1≥−22a −1≤5，即{a ≥−3a ≤3，解得：−3≤a ≤3，故2≤a ≤3；综上可得，实数a 的取值范围是{a|a ≤3}．故答案为：{a|a ≤3}．12.【答案】[0,1)∪(1,+∞)【解析】解：由函数f(x)=√x ，g(x)=1x−1，得{x ≥0x −1≠0，解得x ≥0且x ≠1；所以f(x)+g(x)的定义域为[0,1)∪(1,+∞)．故答案为：[0,1)∪(1,+∞)．根据函数f(x)、g(x)的解析式，列出使解析式有意义的不等式组，求出解集即可．本题考查了利用函数解析式求定义域的应用问题，是基础题．13.【答案】[−6,254]【解析】解：∵f(x)=−x 2+3x +4=−(x −32)2+254，对称轴是x =32，开口向下， ∵函数的定义域为[−2,2]，∴函数f(x)在[−2,32)递增，在(32,2]递减， ∴f(x)max =f(32)=254，f(x)min =f(−2)=−6，则f(x)的值域为[−6,254]，故答案为：[−6,254].先求出函数的对称轴，得到函数的单调区间，从而求出函数f(x)的值域即可．本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，熟练掌握二次函数的性质是解题的关键，本题是一道基础题．14.【答案】0【解析】解：由x 2+4x+4x−6=(x−6)2+16(x−6)+64x−6=(x −6)+64x−6+16，∵x <6，∴=−[(6−x)+646−x ]≤−2√(6−x)×646−x =−16，当且仅当x =−2时，取等号； ∴由x 2+4x+4x−6=(x−6)2+16(x−6)+64x−6=(x −6)+64x−6+16≤0．即x 2+4x+4x−6的最大值为0．故答案为：0．利用分离常数法，结合基本不等式即可求解最大值．本题主要考查函数最值的求解，掌握分离常数法，构造符合基本不等式的性质是解决本题的关键．属于基础题．15.【答案】(13,23)【解析】解：如图所示：∵f(2x −1)<f(13)∴−13<2x −1<13，即13<x <23．故答案为：(13,23)本题采用画图的形式解题比较直观．本题考查函数的奇偶性的应用．关键是利用了偶函数关于y 轴对称的性质．16.【答案】2 0【解析】解：2√a 2+1=2√a 2+1=√a 2+1√a 2+1，令√a 2+1=t ，(t ≥1)，∴y =t +1t，在[1,+∞)上为增函数，∴t =1时，该函数取得最小值为2，此时a =0．故答案为：2，0．首先，讲所给式子化简为√a 2+1+√a 2+1，然后，换元，利用函数的单调性进行求解即可．本题重点考查了函数的单调性、换元法在求解函数最值中的应用等知识，属于中档题．17.【答案】(2,+∞)【解析】解：①当m −1=0，即m =1时，则−2x +1>0不恒成立， ②当m −1≠0，即m ≠1时，则{m −1>0△=4−4(m −1)<0，解得m >2，综上所述，m 的取值范围为(2,+∞)．故答案为：(2,+∞)．若m −1=0，即m =1时，不满足条件，若m −1≠0，即m ≠1，若不等式解集是R ，则对应的函数的图象开口朝上，且与x 轴没有交点，得到关于m 的不等式组，可得到m 的取值范围．本题考查二次函数的性质，不等式恒成立问题，是函数和不等式的综合应用，属于基础题．18.【答案】2√2+2【解析】解：x ，y 均为正实数，且y =x+1x−1，则：x +y =x +x+1x−1=x −1+1+1+2x−1=x −1+2x−1+2≥2√2+2，、当且仅当x =√2+1时，等号成立，故答案为：2√2+2．直接利用关系式的变换和基本不等式的应用求出结果．本题考查的知识要点：函数关系式的变换，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．19.【答案】−9或3【解析】解：由题意可得{α≤0−α=9或{α>0α2=9∴α=−9或α=3 故答案为：−9或3根据分段函数的解析式，结合f(α)=9，即可求得α的值．本题考查分段函数，解题的关键是正确理解分段函数的意义，正确列出等式．20.【答案】36【解析】解：由题设函数f(x)=4x +ax (x >0,a >0)在x =3时取得最小值， ∵x ∈(0,+∞)，∴得x =3必定是函数f(x)=4x +ax (x >0,a >0)的极值点， ∴f′(3)=0， f′(x)=4−ax 2，即4−a32=0，解得a =36．故答案为：36．由题设函数f(x)=4x+ax(x>0,a>0)在x=3时取得最小值，可得f′(3)=0，解此方程即可得出a的值．本题考查利用导数求函数的最值及利用导数求函数的极值，解题的关键是理解“函数在x=3时取得最小值”，将其转化为x=3处的导数为0等量关系．21.【答案】[1,2]【解析】解：由1≤x≤2，得12≤1x≤1，∴2x∈[1,2]．即函数y=2x,x∈[1,2]的值域为[1,2]．故答案为：[1,2]．由已知结合反比例函数的单调性求得1x的范围，进一步可函数值域．本题考查函数值域的求法，考查反比例函数的单调性，是基础题．22.【答案】[−3,3]【解析】解：根据奇函数的性质画出f(x)的图象，当x≥0时，f(x)≥0，∴0≤x≤3，当x<0时，f(x)≤0，∴−3≤x<0，∴不等式xf(x)≥0的解集为[−3,3]，故答案为：[−3,3]．由f(x)是奇函数得函数图象关于原点对称，可画出y轴左侧的图象，利用两因式异号相乘得正，得出f(x)的正负，由图象可求出x的范围得结果．本题主要考查函数奇偶性的性质以及函数图象的应用．奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于y轴对称．23.【答案】(−∞,0)∪(2,+∞)【解析】解：当x>0时，去分母得：x>2，所以原不等式的解集为：(2,+∞)；当x<0时，去分母得：x<2，所以原不等式的解集为：(−∞,0)，综上，原不等式的解集为：(−∞,0)∪(2,+∞)．故答案为：(−∞,0)∪(2,+∞)根据x大于0和x小于0分两种情况考虑，当x大于0时，去分母得到不等式的解集，与x大于0求出交集即为原不等式的解集；当x小于0时，去分母得到不等式的解集，与x小于0求出交集即为原不等式的解集，综上，得到所有满足题意的x的范围即为原不等式的解集．此题考查了其他不等式的解法，考查了分类讨论的数学思想，是一道基础题．学生做题时注意在不等式两边都乘以或除以同一个负数时，不等号要改变．24.【答案】[4,172]【解析】解：∵f(x)=x+4x 在[12,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，且f(12)=172,f(2)=4,f(4)=5，∴f(x)在[12,4]上的最大值为172，最小值为4，∴f(x)的值域为[4,172]．故答案为：[4,172]．可看出f(x)在[12,2]上单调递减，在(2,4]上单调递增，这样即可求出f(x)在[12,4]上的最大值和最小值，从而得出f(x)的值域．本题考查了函数值域的定义及求法，函数f(x)=x+4x的单调性，根据函数单调性求函数值域的方法，考查了计算能力，属于基础题．25.【答案】(−∞,−2]∪(0，2]【解析】解：因为y =f(x)是定义在实数集R 上的偶函数，f(x)在区间(0,+∞)上是严格增函数，且f(2)=0，所以f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=f(2)=0，所以在(−∞,−2]∪[2,+∞)上f(x)≥0，在(−2,0)∪(0,2)上f(x)<0，因为不等式f(x)x≤0，所以{f(x)≥0x <0或{f(x)≤0x >0，即x =−2或x =2或{x <−2或x >2x <0或{−2<x <0或0<x <2x >0，解得x ≤−2或0<x ≤2，即不等式f(x)x≤0的解集为(−∞,−2]∪(0，2]．故答案为：(−∞,−2]∪(0，2]．根据题意可得f(x)在(−∞,0)上单调递减，且f(−2)=0，利用单调性即可得出在(−∞,−2]∪[2,+∞)上f(x)≥0，在(−2,0)∪(0,2)上f(x)<0，将不等式合理转化即可求得解集．本题考查了函数的奇偶性与单调性的综合，属于中档题．26.【答案】9【解析】【分析】本题考查了“乘1法”与基本不等式的性质，属于基础题．利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．【解答】解：正数a ，b 满足：1a +1b =1，则a +4b =(a +4b)(1a+1b)=5+4b a +a b≥5+2√4b a⋅ab=9，当且仅当4ba =ab 且1a +1b =1，即b =32，a =3时取等号，故答案为：927.【答案】3√22【解析】【分析】本题考查利用函数的单调性求最值，属于中档题．先变形然后换元利用函数单调性求解即可．【解答】解：函数y=2√x2+2=2√x2+2=√x2+21√x2+2令t=√x2+2，t≥√2，函数为f(t)=t+1t，易知在[√2,+∞)上函数单调递增，当t=√2即x=0时，函数取得最小值，最小值为3√22．故答案为3√22．28.【答案】证明：(1)a=1，f(x)=1x−2，设2<x1<x2，则f(x1)−f(x2)=1x1−2∖−1x2−2−1x2−2=x2−x1(x1−2)(x2−2)>0，所以f(x1)>f(x2)，函数f(x)在(2,+∞)上是严格减函数；解：(2)f(x)=ax−2>1，化简得，x−(a+2)x−2<0，当a>0时，2<x<a+2，当a=0时，x不存在，当a<0时，2+a<x<2，综上，a>0时，{x|2>x<a+2}，当a=0时，x不存在，当a<0时，{x|2+a<x<2}．【解析】(1)把1a=1代入f(x)，设2<x1<x2，利用作差法比较f(x1)与f(x2)的大小即可判断，(2)已知不等式化简得，x−(a+2)x−2<0，然后讨论a+2与2的大小，进行求解．本题主要考查了函数单调性的判断及分式不等式的求解，体现了分类讨论思想的应用．29.【答案】解：当a=0时，不等式为x−1<0，解得x<1；当a≠0时，不等式化为a(x−1a)(x−1)>0，若a<0，则不等式化为(x−1a )(x−1)<0，且1a<1，解得1a<x<1；若a>0，则不等式化为(x−1a)(x−1)>0；当a=1时，1a=1，不等式化为(x−1)2>0，解得x≠−1；当0<a<1时，1a >1，解不等式得x<1，或x>1a；当a>1时，1a <1，解不等式得x<1a，或x>1；综上，a<0时，不等式的解集是(1a,1)；a=0时，不等式的解集是(−∞,1)；0<a≤1时，不等式的解集是(−∞,1)∪(1a,+∞)；a>1时，不等式的解集是(−∞,1a)∪(1，+∞)．【解析】讨论a与0的大小，将不等式进行因式分解，然后讨论两根的大小，即可求出不等式的解集．本题主要考查了含有字母系数的不等式求解问题，解题的关键是确定讨论的标准，属于中档题．30.【答案】解：(1)∵f(x)=x+ax2+bx+1是定义在[−1,1]上的奇函数，∴f(0)=0，即0+a0+0+1=0，∴a=0．又∵f(−1)=−f(1)，∴−12−b =−12+b，∴b=0，经检验符合题意；∴f(x)=xx2+1;(2)函数f(x)在[−1,1]上为增函数．证明如下：任取x1,x2，且−1≤x1<x2≤1，f(x1)−f(x2)=x1x12+1−x2x22+1，=(x1−x2)(1−x1x2) (x12+1)(x22+1)∵−1≤x1<x2≤1，∴1−x1x2>0，x1−x2<0．∴f(x1)−f(x2)<0，即f(x1)<f(x2)，∴f(x)为[−1,1]上的增函数;(3)∵f(x)−f(1−x)<0，即f(x)<f(1−x)，∴{−1≤x≤1−1≤1−x≤1 x<1−x，解得0≤x<12，∴不等式解集为：{x|0≤x<12}.【解析】本题考查奇函数的性质的应用，以及函数单调性的判断与证明，解题的关键是掌握函数单调性的定义证明步骤：取值，作差，变形，定号下结论，属于中档题．(1)根据f(0)=0可得a=0，又f(−1)=−f(1)可得b=0，即可得到解析式；(2)利用函数单调性的定义证明即可;(3)根据函数的定义域及单调性即可得到关于x的不等式组，解得即可．31.【答案】解：(1)函数f(x)的图象补充完整后，图象如下图所示：由图可得，递增区间为(−1,0)，(1,+∞)；(2)结合函数的图象可得，当x=1或x=−1时，函数取得最小值为−1，函数没有最大值，故函数的值域为[−1,+∞)；(3)当x>0时，−x<0，再根据x ≤0时，f(x)=x 2+2x ，可得f(−x)=(−x)2+2(−x)=x 2−2x ，再根据函数f(x)为偶函数，可得f(x)=x 2−2x ，∴函数f (x )的解析式为f(x)={x 2+2x,x ≤0x 2−2x,x >0．【解析】本题考查函数图象的作法、函数解析式的确定与函数的单调性，考查了学生的计算能力，培养了学生分析问题与解决问题的能力．(1)根据偶函数的图象关于y 轴对称，可作出f(x)的图象，由图象可得f(x)的单调递增区间；(2)结合函数的图象可得值域．(3)令x >0，则−x <0，根据条件可得f(−x)=x 2−2x ，利用函数f(x)是定义在R 上的偶函数，可得f(x)=f(−x)=x 2−2x ，从而可得函数f(x)的解析式．32.【答案】解：(1)当x <0时，−x >0，f(−x)=2x 2+4x.由f(x)是奇函数，得f(x)=−f(−x)=−2x 2−4x. 所以f(x)={2x 2−4x,x ≥0−2x 2−4x,x <0. 根据奇函数的图象关于原点对称这一性质即可补全函数f(x)的图象，如图．不等式xf(x)>0，当x >0时，f(x)>0，则x >2；当x <0时，f(x)<0，则x <−2.综上，不等式的解集为(−∞,−2)∪(2,+∞)．(2)由图象可知，函数f(x)的单调递减区间是[−1,1].要使f(x)在[−1,a −2]上单调递减，则{a −2>−1a −2≤1，解得1<a ≤3，所以实数a 的取值范围是(1,3]．第21页，共21页【解析】(1)根据奇函数的图象关于原点对称这一性质即可补全函数f(x)的图象，并由f(x)是奇函数，得出f(x)在R 上的表达式，注意结果写成分段函数的形式．对xf(x)>0分类讨论：{x >0f(x)>0或{x <0f(x)<0，再通过图象直接解出不等式． (2)结合图象及已知条件求a 的取值范围，注意区间[−1,a −2]的隐含条件为−1<a −2．。

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