初三下数学课件(湘教版)-直线与圆的位置关系

16．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AC＝8，AB＝10，⊙O 与 AB、AC 分 别相切于 D、E 两点，连接 BO 并延长交 AC 于点 P，且 AP＝2，求⊙O 的 半径．
解：连接 OE、OD，则 OE⊥AC，OD⊥AB，BC＝ AB2－AC2＝ 102－82＝ 6，PC＝AC－AP＝8－2＝6，∴PC＝BC，∴△BCP 为等腰直角三角形，令 OE＝r，则 PE＝r，AE＝AD＝r＋2，OP＝ 2r，OB＝6 2－ 2r；BD＝10 －(r＋2)＝8－r，在 Rt△BOD 中，OB2＝BD2＋OD2，∴(6 2－ 2r)2＝(8－ r)2＋r2，解得 r＝1，∴⊙O 的半径为 1.
会进行与三角形内切圆有关的计算或证明 【例 2】如图，AC 是矩形 ABCD 的对角线，⊙O 是△ABC 的内切圆，现将 矩形 ABCD 按如图所示的方式折叠，使点 D 与点 O 重合，折痕为 FG.点 F、 G 分别在边 AD、BC 上，连结 OG、DG.若 OG⊥DG，且⊙O 的半径长为 1， 则下列结论不成立的是( A ) A．CD＋DF＝4 B．CD－DF＝2 3－3 C．BC＋AB＝2 3＋4 D．BC－AB＝2
13．如图，△ABC 的内心在 x 轴上，点 B 的坐标是(2,0)，点 C 的坐标是(0， －2)，点 A 的坐标是(－3，b)，反比例函数 y＝xk(x＜0)的图象经过点 A，则 k＝ －15 .
14．如图，点 P 为△ABC 的内心，延长 AP 交△ABC 的外接圆⊙O 于 D， 在 AC 延长线上有一点 E，满足 AD2＝AB·AE，求证：DE 是⊙O 的切线．
(2)解：连接 OF，则 OF⊥BC，∴Rt△BOF∽Rt△BCO，∴BBOF＝BBOC，∵在 Rt△BOC 中，BO＝6cm，CO＝8cm，∴BC＝ 62＋82＝10cm，∴B6F＝160， ∴BF＝3.6cm，∵AB、BC、CD 分别与⊙O 相切于 E、F、G，∴BE＝BF ＝3.6cm，CG＝CF.∵CF＝BC－BF＝10－3.6＝6.4cm，∴CG＝CF＝6.4 cm.
证明：连接 DC、DO 并延长交⊙O 于 F，连结 AF.∵AD2＝AB·AE，∠BAD ＝∠DAE，∴△BAD∽△DAE，∴∠ADB＝∠E.又∵∠ADB＝∠ACB，∴ ∠ACB＝∠E，∴BC∥DE，∴∠CDE＝∠BCD＝∠BAD＝∠DAC，又∵∠ CAF＝∠CDF，∴∠FDE＝∠CDE＋∠CAF＝∠DAC＋∠CAF＝∠DAF＝ 90°，即 FD⊥DE，故 DE 是⊙O 的切线．
AB1C1D1，B1C1 交 CD 于点 E，AB＝ 3，则四边形 AB1ED 的内切圆半径为
(B) 3－1
A. 2
3－ 3 B. 2
3－1 C. 3
3－ 3 D. 3
11．Rt△ABC 中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8，则△ABC 的内切圆半径 r ＝ 2. 12．为了测量一个圆形铁环的半径，某同学采用如右所示方法：将铁环平放 在水平桌面上，用一个锐角为 30°的三角板和一把刻度尺，按照如图所示的 方法得到相关数据，进而可求得铁环的半径．若测得 PA＝5cm，则铁环的 半径是 5 3 cm.
7．(滨州中考)若等腰直角三角形的外接圆半径的长为 2，则其内切圆半径的
长为( B )
A. 2
B．2 2－2
C．2－ 2
D. 2－2
8．如图所示，⊙O 是△ABC 的内切圆，分别切 AB、BC、CA 于 D、E、 F.若 AB＝5，BC＝7，AC＝8.求 AD、CF、BE 的长．
解：设 AD＝x，CF＝y，BE＝z.∵AB、AC、BC 都与⊙O 相切，∴AD＝AF，
CF＝CE，BD＝BE，∴xy＋＋zy＝＝78 x＋z＝5
，解得xy＝＝53 z＝2
.答：AD、CF、BE 的长
分别为 3、5、2.
9．三角形的周长为 10，面积为 S，内切圆的半径为 r，那么 r∶S 等于( B )
A．5∶1
B．1∶5
C．10∶1
D．1∶10
10．(遵义中考)将正方形 ABCD 绕点 A 按逆时针方向旋转 30°，得正方形
5．如图，点 O 是△ABC 的内切圆的圆心．若∠BAC＝80°，则∠BOC＝( A )
A．130° C．100°
B．120° D．90°
6．如图所示，直线 a、b、c 表示三条交叉的公路，现要建一个货物中转站， 要求它到三条公路的距离相等，则可供选择的地址有( D )
A．一处 C．三处
B．二处 D．四处
【解题分析】 设⊙O 与 BC 的切点为 M，连接 MO 并延长 MO 交 AD 于 点 N，证明△OMG≌△GCD，得到 OM＝GC＝1，CD＝GM＝BC－BM－ GC＝BC－2.设 AB＝a，BC＝b，AC＝c，⊙O 的半径为 r，⊙O 是 Rt△ABC 的内切圆可得 r＝12(a＋b－c)，所以 c＝a＋b－2.在 Rt△ABC 中，利用勾股 定理求得 a1＝1＋ 3，a2＝1－ 3(舍去)，从而求出 a、b 的值，所以 BC＋ AB＝2 3＋4，BC－AB＝2，再设 DF＝x，在 Rt△ONF 中，FN＝3＋ 3－ 1－x＝2＋ 3－x，OF＝x，ON＝1＋ 3－1＝ 3，由勾股定理可得(2＋ 3－ x)2＋( 3)2＝x2，解得 x＝4－ 3，从而得到 CD－DF＝ 3＋1－(4－ 3)＝2 3 －3，CD＋DF＝ 3＋1＋4－ 3＝5.即可解答．
1．△ABC 中的周长为 10，若△ABC 的内切圆半径为 2，则△ABC 的面积
为 10 . 3
2．(大庆中考)边长为 1 的正三角形的内切圆半径为 6 .
3．已知 O 为△ABC 的内心，且∠BOC＝130°，则∠A＝ 80° .
4．如图，在 Rt△ABC 中，∠C＝90°，∠B＝70°，△ABC 的内切圆⊙O 与 边 AB、BC、CA 分别相切于点 D、E、F，则∠DEF 的度数为 80° .
15．如图，AB、BC、CD 分别与⊙O 相切于 E、F、G.且 AB∥CD，BO＝ 6cm，CO＝8cm.
(1)求证：BO⊥CO； (2)求 BE 和 CG 的长．
(1)证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°，∵AB、BC、CD 分别与 ⊙O 相切于 E、F、G，∴BO 平分∠ABC，CO 平分∠DCB，∴∠OBC＝12∠ ABC，∠OCB＝12∠DCB，∴∠OBC＋∠OCB＝12(∠ABC＋∠DCB)＝12×180° ＝90°，∴∠BOC＝90°，∴BO⊥CO；
会画三角形的内切圆
【例 1】如图是油路管道的一部分，延伸外围的支路恰好构成一个直角三角
形，两直角边分别为 3 m 和 4 m．按照输油中心 O 到三条支路的距离相等
来连接管道，则 O 到三条支路的管道总长(计算时视管道为线，中心 O 为点)
是( B )
A．2 m
B．3 m
C．4 m
D．6 m
【解题分析】 以 O 为圆心以 OE 长为半径作圆，切三边于 D、E、F，根 据切线长定理可知 AF＝AD，CF＝CE，BD＝BE，由勾股定理可求得 AB ＝5 m，从而可得 CE＋CF＝3＋4－5＝2，所以 CE＝1，根据正方形性质可 知，OE＝1，所以