(压轴题)高中数学高中数学选修2-3第一章《计数原理》测试(答案解析)

一、选择题
1．设01a <<，2a b +=，随机变量X 的分布列如表：则当()0,1a ∈内增大时（ ）
X a
1
b
P
13
13 13
A ．()D X 增大
B ．()D X 减小
C ．()
D X 先增大后减小
D ．()D X 先减小后增大
2．孔子曰“三人行，必有我师焉．”从数学角度来看，这句话有深刻的哲理，古语说三百六十行，行行出状元，假设有甲、乙、丙三人中每一人，在每一行业中胜过孔圣人的概率为
1%，那么甲、乙、丙三人中至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为（ ）（参考
数据：3600.990.03≈，3600.010≈，30.970.912673≈） A ．0.0027%
B ．99.9973%
C ．0
D ．91.2673%
3．已知ξ的分布列如图所示，设2-5ηξ=，则()=E η（ ）
A ．
12
B ．
13
C ．
23
D ．
32
4．已知随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，则(23)D ξ+=（ ） A ．4
B ．6
C ．8
D ．11
5．已知离散型随机变量X 服从二项分布(),X B n p ，且2EX =，DX q =，则
21p q
+的最小值为（ ） A ．
274
B ．
92
C ．3
D ．4
6．下列命题中真命题是（ ）
（1）在18
3x x 的二项式展开式中，共有4项有理项；
（2）若事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =，则事件A 、B 是相互独立事件；
（3）根据最近10天某医院新增疑似病例数据，“总体均值为2，总体方差为3”，可以推测“最近10天，该医院每天新增疑似病例不超过7人”. A ．（1）（2）
B ．（1）（3）
C ．（2）（3）
D ．（1）（2）（3）
7．已知随机变量,X Y 的分布列如下:
X 3 2 1
P
a
b
c
Y 1
2
3
P
a
b
c
若,,a b c 成等差数列，则下列结论一定成立的是（ ） A ．()()D X Y D >
B ．()()
E X E Y = C ．()()
E X E Y < D ．()()D X Y D =
8．已知随机变量X 服从正态分布2(3,)N σ，且(5)0.8P X <=，则(13)P X <<=（ ） A ．0.8 B ．0.2
C ．0.1
D ．0.3
9．有10件产品，其中3件是次品，从中任取两件，若X 表示取得次品的个数，则P (X <2)
等于 A ．7
15
B ．
815
C ．
1415
D ．1
10．三个元件123,,T T T 正常工作的概率分别为123
,,
234
，且是相互独立的．如图，将23
,T T 两个元件并联后再与1T 元件串联接入电路，则电路不发生故障的概率是（ ）
A ．
1124
B ．
2324
C ．
14
D ．
1732
11．将一枚质地均匀的硬币抛掷四次，设X 为正面向上的次数，则()03P X <<等于（ ） A ．
18
B ．38
C ．
58
D ．
78
12．若随机变量X 的分布列为：
已知随机变量Y aX b =+(,,0)a b R a ∈>，且()10,()4E Y D Y ==，则a 与b 的值为( ) A ．10,3a b ==
B ．3,10a b ==
C ．5,6a b ==
D ．6,5a b ==
二、填空题
13．甲乙两人进行围棋比赛，约定先连胜两局者直接赢得比赛，若赛完5局仍未出现连胜，则判定获胜局数多者贏得比赛.假设每局甲获胜的概率为
2
3，乙获胜的概率为13
，各局比赛结果相互独立，甲在4局以内（含4局）赢得比赛的概率______. 14．已知某人每次投篮投中的概率均为1
3
，计划投中3次则结束投篮，则此人恰好在第5次结束投篮的概率是__________.
15．设离散型随机变量ξ可能取的值为1，2，3，()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），若ξ的数学期望7
()3
E ξ=
，则a b +=_____. 16．随机变量ξ的分布列如下：
若()3
E ξ=
，则()D ξ=__________. 17．随机变量X 服从正态分布()
2
~10,X N σ，()12P X m >=，1(8)0P X n ≤≤=，
则
21
m n
+的最小值为_____． 18．江先生朝九晚五上班，上班通常乘坐公交加步行或乘坐地铁加步行.江先生从家到公交站或地铁站都要步行5分钟.公交车多且路程近一些，但乘坐公交路上经常拥堵，所需时间
（单位：分钟）服从正态分布()
2
33,4N ，下车后从公交站步行到单位要12分钟；乘坐地铁畅通，但路线长且乘客多，所需时间（单位：分钟）服从正态分布()
2
44,2N ，下地铁
后从地铁站步行到单位要5分钟.下列说法：①若8：00出门，则乘坐公交不会迟到；②若8：02出门，则乘坐地铁上班不迟到的可能性更大；③若8：06出门，则乘坐公交上班不迟到的可能性更大；④若8：12出门，则乘坐地铁几乎不可能上班不迟到.从统计的角度认为以上说法中所有合理的序号是__________． 参考数据：若(
)2
~,Z N μσ
，则()0.6826P Z μσμσ-<<+=，
(22)0.9544P Z μσμσ-<<+=，(33)0.9974P Z μσμσ-<<+=.
19．某学校要从5名男生和2名女生中选出2人作为上海世博会志愿者，若用随机变量X 表示选出的志愿者中女生的人数，则数学期望EX 等于__________（结果用最简分数表示）.
20．投到某出版社的稿件，先由两位初审专家进行评审，若能通过两位初审专家的评审，则直接予以利用，若两位初审专家都未予通过，则不予录用，若恰能通过一位初审专家的
评审，则再由第三位专家进行复审，若能通过复审专家的评审，则予以录用，否则不予录
用，设稿件能通过各初审专家评审的概率均为1
2
，复审的稿件能通过评审的概率为
1
3
，若
甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，两人的稿件是否被录用相互独立，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为__________.
三、解答题
21．某生物研究所为研发一种新疫苗，在200只小白鼠身上进行科研对比实验，得到如下统计数据：
现从未注射疫苗的小白鼠中任取1只，取到“感染病毒”的小白鼠的概率为
20
．
（1）能否有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效？
（2）现从感染病毒的小白鼠中任意抽取2只进行病理分析，记注射疫苗的小白鼠只数为X，求X的概率分布和数学期望()
E X．
附：
()
()()()()
2
2,
n ad bc
K n a b c d
a b c d a c b d
-
==+++ ++++
，
22．随着马拉松运动在全国各地逐渐兴起，参与马拉松训练与比赛的人数逐年增加.为此，某市对参加马拉松运动的情况进行了统计调查，其中一项是调查人员从参与马拉松运动的人中随机抽取100人，对其每月参与马拉松运动训练的天数进行统计，得到以下统计表：
平均每月进行训练的天数位于该区间的概率，从该市所有参与马拉松训练的人中随机抽取4个人，求恰好有2个人是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的概率；
（2）依据统计表，用分层抽样的方法从这100个人中抽取20个，再从抽取的20个人中随机抽取4个，Y表示抽取的是“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数，求Y的分
E Y.
布列及数学期望()
23．根据某电子商务平台的调查统计显示，参与调查的1 000位上网购物者的年龄情况如图所示．
（1）已知[30，40），[40，50），[50，60）三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，求,a b的值；
（2）该电子商务平台将年龄在[30，50）内的人群定义为高消费人群，其他年龄段的人群定义为潜在消费人群，为了鼓励潜在消费人群的消费，该平台决定发放代金券，高消费人群每人发放50元的代金券，潜在消费人群每人发放100元的代金券，现采用分层抽样的方式从参与调查的1 000位上网购物者中抽取10人，并在这10人中随机抽取3人进行回访，求此3人获得代金券总和X（单位：元）的分布列与数学期望．
24．将名为《高等代数》、《数学分析》、《概率论》和《复变函数》的4本不同的书随机放入甲、乙、丙、丁4个书包中.
（1）求4本书恰好放在4个不同书包中的概率；
E X.（2）随机变量X表示放在丙书包中书的本数，求X的概率分布和数学期望() 25．复旦大学附属华山医院感染科主任医师张文宏在接受媒体采访时谈到：通过救治研究发现，目前对于新冠肺炎最有用的“特效药”还是免疫力．而人的免疫力与体质息息相关，一般来讲，体质好，免疫力就强．复学已有一段时间，某医院到学校调查高二学生的体质健康情况，随机抽取12名高二学生进行体质健康测试，测试成绩（百分制）如下：65，78，90，86，52，87，72，86，87，98，88，86．根据此年龄段学生体质健康标准，成绩不低于80的为优良．
（1）将频率视为概率，根据样本估计总体的思想，在该学校全体高二学生中任选3人进行体质健康测试，求至少有1人成绩是“优良”的概率；
（2）从抽取的12人中随机选取3人，记X表示成绩“优良”的人数，求X的分布列和期望．
26．在湖北新冠疫情严重期间，我市响应国家号召，召集医务志愿者组成医疗队驰援湖北.某医院有2名女医生，3名男医生，3名女护士，1名男护士报名参加，医院计划从医生和护士中各选2名参加医疗队.
（1）求选出的4名志愿全是女性的选派方法数；
（2）记X为选出的4名选手中男性的人数，求X的概率分布和数学期望.
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一、选择题 1．B 解析：B 【分析】
先求出()E X ，利用方差的定义建立()()2
2=
13
D X a -，利用二次函数单调性判断出()D X 的变化.
【详解】
由题意：()1111333
E X a b =⨯
+⨯+⨯， ∵2a b +=，∴()1E X =.
∴()()()()()2
22
221111=111123333
D X a b a b -⨯
+-⨯+-⨯=+-⨯ 又2a b +=，∴2b a =-，
∴()()
()()2
2
2
2122=2=
21=1333
D X a b a a a +-⨯-+- ∴当01a <<时，()()2
2=13
D X a -单调递减，即当()0,1a ∈内增大时()D X 减小. 故选：B
2．B
解析：B 【分析】
先求出一个人在所有行业中都不能胜过孔圣人的概率，再求出三个人在所有行业中都不能胜任孔圣人的概率，用1减去此概率即为所求. 【详解】
一个人三百六十行全都不如孔圣人的概率为3600.990.03≈，三个人三百六十行都不如孔圣人的概率为30.030.000027=，所以至少一人在至少一行业中胜过孔圣人的概率为
10.0000270.99997399.9973%-==．
故选：B ． 【点睛】
本题考查相互独立事件的概率乘法公式，考查至多至少问题用对立事件解决的方法，属于中档题.
3．C
解析：C 【分析】
根据分布列的性质，求得1
3m =，由期望的公式，可得17()6E ξ=，再根据
()()5E E ηξ=-，即可求解.
【详解】
由题意，根据分布列的性质，可得
1111663
m +++=，解得1
3m =，
所以随机变量ξ的期望为111117
()123466336
E ξ=⨯+⨯+⨯+⨯=， 又由2-5ηξ=，可得172()2563
E η=⨯-=. 故选：C. 【点睛】
本题主要考查了随机变量的期望的计算，其中解答中熟记分布列的性质和期望的计算公式是解答的关键，着重考查了计算能力.
4．C
解析：C 【分析】
由已知条件求得()2D ξ=，再由2(23)2()D D ξξ+=⨯，即可求解. 【详解】
由题意，随机变量ξ服从正态分布(1,2)N ，可得()2D ξ=， 所以2(23)2()8D D ξξ+=⨯=. 故选：C . 【点睛】
本题主要考查了正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义，其中解答中熟记方差的求法是解答的关键，着重考查了计算能力.
5．B
解析：B 【分析】
根据二项分布的均值与方差公式,可得,p q 的等量关系.利用“1”的代换,结合基本不等式即可求得
21
p q
+的最小值. 【详解】
离散型随机变量X 服从二项分布(),X
B n p ,且2EX =,DX q =
由二项分布的均值与方差公式可得()21np
q np p =⎧⎨
=-⎩, 化简可得22p q +=,即12
q
p +=
由基本不等式化简可得
21p q
+ 221p q q p ⎛⎫=+ ⎪⎛⎫+ ⎪⎝
⎝⎭⎭
25259
22q p p q ≥+=
++= 即
21p q +的最小值为92
故选:B 【点睛】
本题考查了二项分布的简单应用,均值与方差的求法,利用“1”的代换结合基本不等式求最值,属于中档题.
6．D
解析：D 【分析】
对三个命题分别判断真假，即可得出结论. 【详解】
对于（1），18
的二项展开式的通项为181
5163621818r
r
r
r r
C x x C x ---⎛⎫⎛⎫⋅⋅=⋅ ⎪ ⎪⎝⎭
⎝⎭
， 当0r =、6、12、18时，为有理项，共有4个有理项，故（1）正确； 对于（2），事件A 、B 满足()0.15P A =，()0.60P B =，()0.09P AB =， 所以()()()0.150.600.09P AB P A P B =⨯==，满足A 、B 为相互独立事件，故（2）正确；
对于（3），当总体平均数是2，若有一个数据超过7，则方差就接近于3， 所以，总体均值为2，总体方差为3时，没有数据超过7，故（3）正确. 故选：D. 【点睛】
本题考查命题真假的判断，考查分析法与基本运算能力，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.
7．D
解析：D 【分析】
,,a b c 成等差数列，即2b a c =+，结合1a b c ++=，计算出
()()()(), ,,E E Y D X X D Y ，由此判断出正确结论.
【详解】
由于,,a b c 成等差数列，故2b a c =+①，另根据分布列的知识可知1a b c ++=②.由
①②得12
,33
b c a =
=-. 所以()224
3232333
E X a b c a a a =++=+
+-=+， ()228
2332333
E Y a b c a a a ⎛⎫=++=++-=- ⎪⎝⎭，
由于484224333a a a ⎛⎫
+--=-+ ⎪⎝⎭
正负无法确定，故()() ,E X E Y 大小无法比较. ()222
444322212333D X a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⋅+--⋅+--⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222
5211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， ()2
2
2
888122232333D Y a a a b a c ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+⋅+-+⋅+-+⋅ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭
222
5211222233333a a a a a ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫
=-⋅+-⋅++- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭
， 故()()D X Y D =. 故选D. 【点睛】
本小题主要考查根据随机变量分布列计算数学期望和方差，考查等差中项的性质，考查运算求解能力，属于中档题.
8．D
解析：D 【分析】
由已知条件可知数据对应的正态曲线的对称轴为X=3,根据正态曲线的对称性可得结果. 【详解】
随机变量X 服从正态分布2
(3,)N σ，
则曲线的对称轴为X=3,
由(5)0.8P X <=可得P(X≤1)=P(X≥5)=0.2， 则(13)P X <<=12(15)P X <<=1
2
(1-0.2-0.2)=0.3 故选D 【点睛】
本题考查根据正态曲线的对称性求在给定区间上的概率，求解的关键是把所求区间用已知区间表示，并根据对称性求解，考查数形结合的应用，属于基础题.
9．C
解析：C
【分析】
根据超几何分布的概率公式计算各种可能的概率，得出结果 【详解】
由题意，知X 取0，1，2，X 服从超几何分布， 它取每个值的概率都符合等可能事件的概率公式，
即P(X ＝0)＝27210715C C =，P(X ＝1)＝11732
10
715C C C =⋅，P(X ＝2)＝232101
15C C =， 于是P(X<2)＝P(X ＝0)＋P(X ＝1)＝7714
151515
+= 故选C 【点睛】
本题主要考查了运用超几何分布求概率，分别求出满足题意的情况，然后相加，属于中档题．
10．A
解析：A 【分析】
若电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 【详解】
记1T 正常工作为事件A 记2T 正常工作为事件B 记3T 正常工作为事件C 则()12P A =
，()23P B =，()34
P C = 电路不发生故障，则满足1T 正常工作，23T T ，至少有一个正常工作 则23T T ，至少有一个正常工作，概率为
()
12311
11113412
P P BC ⎛⎫⎛⎫=-=--⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
则电路不发生故障的概率1111121224
P =⨯= 故选A 【点睛】
本题主要考查了概率知识及实际应用能力，考查了相互独立事件同时发生的概率的计算，关键是确定不发生故障时满足的条件．
11．C
解析：C 【解析】
分析：先确定随机变量得取法1
2X =，，再根据独立重复试验求概率.
详解：因为1424
4411(1)(),(2)(),22
P x C P x C ====
所以1424
44411105(03)(1)(2)()(),2228
P x P x P x C C <<==+==+=
= 选C.
点睛：n 次独立重复试验事件A 恰好发生k 次得概率为(1)
k
k
n k
n C p p --.
其中p 为1次试验种A 发生得概率.
12．C
解析：C 【解析】 分析:
详解：由随机变量X 的分布列可知，m 10.20.8=-=， ∴()00.210.80.8E X =⨯+⨯=，()10.20.80.16D X =⨯⨯=，
∴()()()()2
b 10?4E Y aE X D Y a D X =+===， ∴20.8a b 10? 0.164a +==， ∴5,6a b == 故选C
点睛：本题考查了随机变量的数学期望及其方差，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
二、填空题
13．【分析】设表示第k 局甲获胜表示第k 局乙获胜甲在4局以内（含4局）赢得比赛结果有：求出每种结果的概率相加即可求出结论；【详解】用A 表示甲在4局以内（含4局）赢得比赛表示第k 局甲获胜表示第k 局乙获胜则故
解析：56
81
【分析】
设k A 表示“第k 局甲获胜”， k B 表示“第k 局乙获胜”， 甲在4局以内（含4局）赢得比赛结果有：12A A ，123B A A ，1234A B A A ，求出每种结果的概率相加，即可求出结论； 【详解】
用A 表示“甲在4局以内（含4局）赢得比赛”，
k A 表示“第k 局甲获胜”， k B 表示“第k 局乙获胜”，
则2()3k P A =
，1
()3
k P B =，1,2,3,4,5k =. 121231234()()()()P A P A A P B A A P A B A A =++
121231234()()()()()()()()()()=++P A P A P A P B P A P A P A P B P A P A
222
21.221256()33333381⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+⨯+⨯⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭P A .
故答案为：56
81
【点睛】
本题考查事件的独立性的概念，审清题意，细心计算，属于中档题.
14．【分析】第五次结束投篮则前四次有两次投中且第五次投中根据独立重复试验的知识处理即可【详解】解：依题意恰好在第五次结束投篮则前四次有两次投中且第五次投中所以概率为：故答案为：【点睛】本题考查独立重复试 解析：
881
【分析】
第五次结束投篮，则前四次有两次投中，且第五次投中，根据独立重复试验的知识处理即可． 【详解】
解：依题意，恰好在第五次结束投篮， 则前四次有两次投中，且第五次投中， 所以概率为：2
2241118()(1)33381
p C =⨯⨯-⨯=．
故答案为：8
81
． 【点睛】
本题考查独立重复试验的知识，利用了二项分布求概率的公式．
15．【分析】要求的值就是要将与求出两个未知数建立出两个方程即可由概率之和为1得到一个方程由得到第二个方程建立方程组从而得到结果【详解】解：离散随机变量可能取的值为123（）故的数学期望①而且②①②联立方
解析：1
6
【分析】
要求+a b 的值，就是要将a 与b 求出。

两个未知数，建立出两个方程即可，由概率之和为1得到一个方程，由7
()3
E ξ=得到第二个方程，建立方程组，从而得到结果。

【详解】
解：离散随机变量ξ可能取的值为1,2,3，
()P k ak b ξ==+（1,2,3k =），
故ξ的数学期望7
()()2(2)3(3)3
E a b a b a b ξ=+++++=①， 而且()(2)(3)1a b a b a b +++++=②
①②联立方程组，()(2)(3)17()2(2)3(3)3a b a b a b a b a b a b +++++=⎧⎪
⎨+++++=⎪⎩
解得：160
a b ⎧
=⎪
⎨⎪=⎩
所以，1
6
a b +=. 【点睛】
本题考查了概率与数学期望的问题，解题的关键是熟记公式11()n n E X x p x p =+
+。

16．【分析】利用概率之和为以及数学期望列方程组解出和的值最后利用方差的计算公式可求出的值【详解】由题意可得解得因此故答案为【点睛】本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算解题时要注意概
解析：5
9
【分析】
利用概率之和为1以及数学期望列方程组解出a 和c 的值，最后利用方差的计算公式可求出
()D ξ的值．
【详解】
由题意可得()11313a c E a c ξ⎧++=⎪⎪⎨⎪=-+=⎪⎩
，解得16
12a c ⎧=⎪⎪⎨⎪=
⎪⎩，
因此，()222
11111151013633329D ξ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--⨯+-⨯+-⨯= ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭⎝⎭，故答案为59． 【点睛】
本题考查随机分布列的性质以及随机变量的数学期望和方差的计算，解题时要注意概率之和为1这个隐含条件，其次就是熟悉随机变量数学期望和方差的公式，考查计算能力，属于中等题．
17．【分析】根据正态分布的对称性得到再利用均值不等式计算的最小值【详解】随机变量服从正态分布∴由得又∴且则当且仅当即时等号成立∴的最小值为故答案为【点睛】本题考查了正态分布的计算均值不等式的运用综合性较
解析：6+
【分析】
根据正态分布的对称性，得到12m n +=，再利用均值不等式计算21
m n
+的最小值. 【详解】
随机变量X 服从正态分布210(),X N σ～，∴1(10)2
P X ≥=， 由1(8)0P X n ≤≤=，得1(10)2P X n ≤≤=， 又()12P X m >=， ∴1
2
m n +=，且0m >，0n >，
则
2121(22)m n m n m n ⎛⎫
+=++= ⎪⎝⎭6626=+=+
当且仅当42n m m n =，即m =，n =
∴
21
m n
+的最小值为6+．
故答案为6+． 【点睛】
本题考查了正态分布的计算，均值不等式的运用，综合性较强，需要同学们熟练掌握各个知识点.
18．③④【分析】利用正态分布对每一个说法求解其发生的概率逐项分析选出正确的选项【详解】解：①若8：00出门江先生乘坐公交因为从家到车站要5分钟下车步行到公司要12分钟并且乘公交车所需时间服从正态分布故当
解析：③④ 【分析】
利用正态分布对每一个说法求解其发生的概率，逐项分析，选出正确的选项. 【详解】
解：①若8：00出门，江先生乘坐公交，
因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交车所需时间服从正态分
布()
2
33,4N ，
故当满足().().1P 21Z 45109974
P Z 450001322
-<<-≥=
==时，江先生
仍旧有可能迟到，只不过发生的概率较小，故①错误； ②若8：02出门，江先生乘坐公交，
因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交所需时间服从正态分布
()
233,4N ，
故当满足()
()().1P 25Z 41P Z 41P 25Z 41097722
-<<≤=+<<=时，江
先生乘公交不会迟到；
若8：02出门，江先生乘坐地铁，
因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分
布()
2
44,2N ，
故当满足()
()().1P 40Z 48P Z 48P 40Z 48097722
-<<≤=
+<<=时，
江先生乘地铁不会迟到；
此时两种上班方式，江先生不迟到的概率相当，故②错误； ③若8：06出门，江先生乘坐公交上班；
因为从家到车站要5分钟，下车步行到公司要12分钟，并且乘公交所需时间服从正态分布
()
233,4N ，
故当满足()
()().1P 29Z 37P Z 37P 29Z 37084132
-<<≤=+<<=时，
江先生乘地铁不会迟到； 若8：06出门，江先生乘坐地铁，
因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分
布()
2
44,2N ，
故当满足().1
P Z 44052
≤=
=时，江先生乘地铁不会迟到， 此时两种上班方式，显然江先生公交上班不迟到的可能性更大，故③正确； ④若8：12出门，江先生乘坐地铁上班，
因为从家到车站要5分钟，下地铁步行到公司要5分钟，并且乘地铁所需时间服从正态分
布()
2
44,2N ，
故当满足()
().1P 38Z 50P Z 38000132
-<<≤==时，江先生乘地铁不会迟
到，
此时不迟到的可能性极小，故江先生乘坐地铁几乎不可能上班不迟到，故④正确； 综上：③④正确. 【点睛】
本题考查了正态分布的实际应用，解题的关键是熟知正态曲线是关于x μ=对称，在正态曲线下方和x 轴上方范围内的区域面积为1等正态密度曲线图象的特征.
19．【解析】X 的可能取值为012P(X ＝0)＝＝P(X ＝1)＝＝P(X ＝2)＝＝∴E(X)＝×0＋×1＋×2＝
解析：4
7
【解析】
X 的可能取值为0,1,2，
P(X ＝0)＝2527C C ＝1021，P(X ＝1)＝11
5227
C C C ＝10
21，
P(X ＝2)＝2227
C C ＝1
21，
∴E(X)＝
1021×0＋1021×1＋121×2＝47
. 20．【分析】计算出每人的稿件能被录用的概率然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果【详解】记事件甲的稿件被录用则因此甲乙两人分别向该出版社投稿篇则两人中恰有人的稿件被录用的概率为故答案为：【点睛】思路点 解析：
3572
【分析】
计算出每人的稿件能被录用的概率，然后利用独立重复试验的概率公式可求得结果. 【详解】
记事件:A 甲的稿件被录用，则()2
2
12111522312
P A C ⎛⎫⎛⎫=+⋅⋅= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,
因此，甲、乙两人分别向该出版社投稿1篇，则两人中恰有1人的稿件被录用的概率为
125735121272P C =⋅⋅=. 故答案为：3572
. 【点睛】
思路点睛：独立重复试验概率求法的三个步骤：
（1）判断：依据n 次独立重复试验的特征，判断所给试验是否为独立重复试验； （2）分拆：判断所求事件是否需要分拆；
（3）计算：就每个事件依据n 次独立重复试验的概率公式求解，最后利用互斥事件概率加
法公式计算.
三、解答题
21．（1）有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效；（2）概率分布见解析，77()110
E X =． 【分析】
（1）根据题中条件，先得出x ，y ，z ，w ，由公式求出2K ，结合临界值表，即可得出结果；
（2）根据题意，得到X 的所有可能取值为0，1，2；分别求出对应的概率，即可得出分布列，以及期望. 【详解】
（1）由条件知65x =，100y =，35z =，100w =，
()2
2200353565651810.828100100100100
K ⨯⨯-⨯=
=>⨯⨯⨯，
所以有99.9%的把握认为注射此种疫苗有效．… （2）由题意，X 的所有可能取值为0，1，2．
2652100C 208(0)495C P X ===，116535
2100C C 91(1)198C P X ===，2352
100
C 119(2)990C P X ===， 所以X 的概率分布为
数学期望()012495198990110
E X =⨯+⨯+⨯=
． 【点睛】
本题主要考查独立性检验的基本思想，考查离散型随机变量的分布列与期望，属于常考题型. 22．（1）13235000
；（2）分布列见解析，()65E Y =
【分析】
（1）设随机抽取4个人，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为X ，则
3~4,10X B ⎛⎫
⎪⎝⎭
，再根据二项分布的概率公式即可得解；
（2）抽取的20个人中，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为6人，而Y 的所有可能取值为0，1，2，3，4，然后根据超几何分布的概率公式逐一求得每个Y 的取值所对应的概率即可得分布列，进而求得数学期望. 【详解】
（1）随机抽取1人，平均每月进行训练的天数不少于20天的概率为303
10010
P =
=， 设随机抽取4个人，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为X ，则
3~4,10X B ⎛⎫ ⎪⎝⎭
，
∴22
24
371323(2)10105000
P X C ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.
（2）从这100个人中抽取20个人中，“平均每月进行训练的天数不少于20天”的人数为
3
20610
⨯
=人， 随机变量Y 的所有可能取值为0，1，2，3，4，
046144201001(0)4845C C P Y C ===，136144202184(1)4845C C P Y C ===，226144
2091
(2)323
C C P Y C ===，
3161442056(3)969C C P Y C ===，406144
201
(4)323
C C P Y C ===， ∴Y 的分布列为
数学期望()012344845484532396932348455
E Y =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯==. 【点睛】
本题考查二项分布、超几何分布、离散型随机变量的分布列和数学期望，考查学生对数据的分析与处理能力，属于中档题. 23．（1）0.035,0.025；（2）见解析 【分析】
（1）根据题意[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列，列出方程组，即可求解；
（2）利用分层抽样的方法，从中取出三人，得出三人所获得代金券的总和X 的取值，求得相应的概率，列出分布列，利用期望的公式，即可求解. 【详解】
（1）由题意知[)[)[)30,40,40,50,50,60三个年龄段的上网购物者人数成等差数列， 所以(0.0150.0150.010)101
20.015
a b b a ++++⨯=⎧⎨
=+⎩，解得0.035,0.025a b ==.
（2）利用分层抽样从样本中抽取10人，其中属于高消费人群的为6人属于潜在消费人群的为4人，从中取出三人，并计算三人所获得代金券的总和X ， 则X 的所有可能取值为：150,200,250,300，
32166433101011
(150),(200)62C C C P X P X C C ======，
12364433101031
(250),(300)1030
C C C P X P
X C C ======，
∴X 的分布列为
()150200250300210621030
E X =⨯+⨯+⨯+⨯=.
【点睛】
本题主要考查了离散型随机变量的分布列及数学期望的求解，对于求离散型随机变量概率分布列问题首先要清楚离散型随机变量的可能取值，计算得出概率，列出离散型随机变量概率分布列，最后按照数学期望公式计算出数学期望，其中列出离散型随机变量概率分布列及计算数学期望是理科高考数学必考问题. 24．（1）3
32
；（2）分布列见解析，1. 【分析】
（1）将4本不同的书随机放入甲、乙、丙、丁4个书包中，有44256=种不同放法，而4本书恰好放在4个不同书包中有4
424A =种，然后利用古典概型概率公式求解即可； （2）由题可知X 的可能取值为0，1，2，3，4，然后把每一个对应的概率求出，即可列出分布列，由分布列求出数学期望. 【详解】
（1）将4本不同的书放入编号为1，2，3，4的四个抽屉中，共有44256=种不同放法，记“4本书恰好放在四个不同抽屉中”为事件A ， 则事件A 包含4
424A =个基本事件， ∴()243
25632
P A =
=， ∴4本书恰好放在四个不同抽屉中的概率为332
. （2）X 的可能取值为0，1，2，3，4，
()44381
04256
P X ===
， ()1344
327
1464C P X ⨯===， ()2244327
24128C P X ⨯===
， ()34433
3464C P X ⨯===
， ()4441
44256
C P X ===
， ∴X 的分布列为：
∴()0123412566412864256
E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】
此题考查了古典概型的概率，离散型随机变量的分布列，考查了分析问题的能力和计算能力，属于中档题. 25．（1）26
27
（2）见解析，2 【分析】
（1）从该社区中任选1人，成绩是“优良”的概率为2
3
，由此能求出在该社区老人中任选三人，至少有1人成绩是‘优良’的概率．
（2）由题意得ξ的可能取值为0，1，2，3，分别求出相应的概率，由此能求出ξ的分布列和期望． 【详解】
解：（1）抽取的12人中成绩是优良的频率为
23
， 故从该校全体高二学生中任选1人，成绩是“优良”的概率是
23
， 设“在该校全体高二学生中任选3人，至少有1人成绩优良”为事件A ，
则()3
3
212611132727P A C ⎛⎫=-⨯-=-= ⎪⎝⎭
． （2）由题意可知，X 的可能取值为0，1，2，3，
()3431241
022055C P X C ====，
()12843124812
122055C C P X C ====，
()218431211228
222055C C P X C ====，
()383125614
122055
C P X C ====，
所以X 的分布列为
0123255555555
EX =⨯
+⨯+⨯+⨯=． 【点睛】
本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，解题时要认真审题，注意排列组合知识的合理运用，属于中档题． 26．（1）3（2）详见解析
【分析】
（1）选出的4名志愿全是女性，则从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有23C 选法，根据乘法原理可得答案.
（2）由题意有X 的取值可能为0,1,2,3，再分别计算出X 取各个值的概率，列出分布列，求出期望即可.
【详解】
解：（1）从2名女医生选2人有22C 种选法，从3名女护士选2人有2
3C 选法
则选出的4名志愿全是女性有22233C C ⋅=种不同的选法.
所以选出的4名志愿全是女性的选派方法数有3种，
（2）X 的取值可能为0,1,2,3
()222322541020
C C P X C C ===， ()11221132323122547120
C C C C C C P X C C +===， ()22111133323122549220
C C C C C C P X C C +===， ()21133122543320C C C P X C C ===， 列表如下：
∴()01232020202010
E X =⨯
+⨯+⨯+⨯=. 【点睛】 本题考查组合问题和求概率分布列以及数学期望，求概率分布列先要弄清楚随机变量的取值情况，准确求出其对应的概率时关键，属于中档题.。