新课改专用2020版高考数学一轮复习课时跟踪检测三十一平面向量的数量积与平面向量应用举例含解析新人教A版

课时跟踪检测(三十一)　平面向量的数量积与平面向量应用举例
一、题点全面练
1．平面向量a ，b 满足|a|＝1，|b|＝，(a ＋2b)·a ＝2，下列说法正确的是( )
1
2A ．a ⊥b B.a 与b 同向C ．a 与b 反向
D ．a 与b 夹角为60°
解析：选B 因为(a ＋2b)·a ＝1＋2××1×cos θ＝2，得cos θ＝1，所以θ＝0°，
1
2则a ，b 同向，故选B.
2．(2018·长春模拟)向量a ，b 均为非零向量，若(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，则a ，b 的夹角为( )
A. B.π6π3C. D ．
2π3
5π6
解析：选B 因为(a －2b)⊥a ，(b －2a)⊥b ，所以(a －2b)·a ＝0，(b －2a)·b ＝0，即a 2－2a·b ＝0，b 2－2a·b ＝0，所以b 2＝a 2，a·b ＝
，cos 〈a ，b 〉＝＝＝.因为〈a ，b 〉∈[0，π]，所以a 2
2a ·b |a ||b |a ·b |a |21
2
〈a ，b 〉＝
.π
3
3.(2019·茂名联考)如图，正六边形ABCDEF 的边长为2，则·
AC ―→
＝( )BD ―→
A ．2 B.3C ．6
D ．12
解析：选C ·＝(＋)·(－)＝(＋)·(2－)＝
AC ―→ BD ―→ AB ―→ BC ―→ AD ―→ AB ―→ AB ―→ BC ―→ BC ―→ AB ―→
2||2＋·－||2＝8＋2×2×－4＝6.
BC ―→ BC ―→ AB ―→ AB ―→
12
4．(2018·贵州黔东南州一模)已知梯形ABCD 中，AB ∥CD ，AB ＝2CD ，且∠DAB ＝90°，AB ＝2，
AD ＝1，若点Q 满足＝2，则·＝( )
AQ ―→ QB ―→ QC ―→ QD ―→
A ．－ B.10
9109C ．－
D ．
139
139
解析：选D 以A 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，AD 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，如图所示，则B (2,0)，C (1,1)，D (0,1)．
又＝2，∴Q ，
AQ ―→ QB ―→
(43，0)
∴＝，＝，
QC ―→ (
－13，1)
QD ―→
(
－43
，1)
∴·＝＋1＝.故选D.
QC ―→ QD ―→ 4
9139
5．(2019·贵阳模拟)如图，在边长为1的正方形组成的网格中，平行四边形ABCD 的顶点D 被阴影遮住，找出D 点的位置，计算·的值为( )
AB ―→ AD ―→
A ．10 B.11C ．12
D ．13
解析：选B 以点A 为坐标原点，建立如图所示的平面直角坐标系，则A (0，0)，
B (4,1)，
C (6,4)，根据四边形ABC
D 为平行四边形，可以得到D (2,3)，所以·＝
AB ―→ AD ―→
(4,1)·(2,3)＝8＋3＝11.故选B.
6．(2018·武汉模拟)在△ABC 中，AC ＝2AB ＝2，∠BAC ＝120°，O 是BC 的中点，M 是AO 上一点，且＝3，则·的值是( )
AO ―→ MO ―→ MB ―→ MC ―→
A ．－
B.－
5356C ．－
D ．－
73
76
解析：选A ∵||2＝
2＝(||2＋||2＋2·)＝(12＋22＋AO ―→ (＋2)
14AB ―→ AC ―→ AB ―→ AC ―→ 14
2×1×2×cos 120°)＝，∴||＝，∴| |＝.∵||2＝||2＋||2－2|
34AO ―→ 32MO ―→ 36BC ―→ AC ―→ AB ―→
|·||·cos 120°＝4＋1－2×2×1×＝7，
∴||＝，||＝，∴·AC ―→ AB ―→ (－12
)
BC ―→ 7OB ―→ 72MB ―→
＝(＋)·(＋)＝(＋)·(－)＝||2－||2＝－MC ―→ MO ―→ OB ―→ MO ―→ OC ―→ MO ―→ OB ―→ MO ―→ OB ―→ MO ―→ OB ―→
336
＝－，故选A.745
3
7．(2018·长春一模)已知在正方形ABCD 中，＝，＝，则在AE ―→ 12AB ―→ AF ―→ 14AD ―→ CE ―→ CF
―→
方向上的投影为________．
解析：设正方形ABCD 的边长为4，建立如图所示的平面直角坐标系，则由已知可得C (4,4)，E (2,0)，F (0,1)，所以＝(－2，－4)，＝(－4，－3)，则CE ―→ CF ―→ CE
―→
在方向上的投影为＝＝4.
CF ―→
·||205
答案：4
8．边长为2的等边△ABC 所在平面内一点M 满足＝＋，则·＝
CM ―→ 13CB ―→ 12CA ―→ MA ―→ MB ―→ ________.
解析：∵·＝2×2×cos ＝2，
CA ―→ CB ―→
π3∴·＝(－)·(－)
MA ―→ MB ―→ CA ―→ CM ―→ CB ―→ CM ―→
＝·(12－13)(23－12
)
＝·－||2－||2＋·13CA ―→ CB ―→ 14CA ―→ 29CB ―→ 16CA ―→ CB
―→ ＝－×22－×22＋＝－.
2314292689答案：－
8
9
9．已知点M ，N 满足||＝||＝3，且|＋|＝2，则M ，N 两点间的距离为
MC ―→ NC ―→ CM ―→ CN ―→
5________．
解析：依题意，得|＋|2＝||2＋||2＋2·＝18＋2·＝20，则
CM ―→ CN ―→ CM ―→ CN ―→ CM ―→ CN ―→ CM ―→ CN ―→
·＝1，CM ―→ CN ―→
故M ，N 两点间的距离为||＝|－|
MN ―→ CN ―→ CM ―→ ＝ ＝＝4.||2＋||2－2·9＋9－2答案：4
10．在等腰直角△ABC 中，∠ABC ＝90°，AB ＝BC ＝2，M ，N 为AC 边上的两个动点(M ，N 不与A ，C 重合)，且满足||＝，则·的取值范围为________．
MN ―→ 2BM ―→ BN ―→。