高三数学函数及其表示试题答案及解析

高三数学函数及其表示试题答案及解析
1.设常数，函数，若，则.
【答案】3
【解析】由题意，则，所以.
【考点】函数的定义.
2.设函数则不等式的解集是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】A
【解析】由已知,∴当时，
由得,,解得或.
当，由得,,解得.
综上所述：不等式的解集是.选A.
3.设为不小于2的正整数，对任意，若（其中，，且），则记
，如，.下列关于该映射的命题中，正确的是.
①若，，则
②若，，，且，则
③若，，，，且，，则
④若，，，，且，，则.
【答案】②③④
【解析】当时，所以，.所以
不成立；由即设，所以
即即②正确；由设，可得.所以，所以可得
即③正确.同理根据的含义，可得④正确.
【考点】1.新定义问题.2.整数的余式定理.3.分类的思想.4.建立数式运算解决数学问题.
4.设集合={1，2，3，4，5},对任意和正整数，记，其中，表示
不大于的最大整数，则=，若，则.
【答案】，.
【解析】由已知，==；
观察可知，当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：
==；
=；
=；
当一定时，随的增大而增大，进一步考察如下：
=；
故，综上知，答案为，.
【考点】新定义，取整函数.
5.下列图象表示函数关系y＝f(x)的有________．(填序号)
【答案】①④
【解析】根据函数定义，定义域内任意的一个自变量x的值都有唯一一个y与之对应．
6.已知函数，对任意都有，且是增函数，则
【答案】6
【解析】本题看起来很难，好像没处下手，事实上，我们只要紧紧抓住函数的定义，从的初始值开始，如，首先，否则不合题意，其次若，则
与是增函数矛盾，当然更不可能(理由同上)，因此，，．
【考点】函数的定义与性质．
7.若对任意，，（、）有唯一确定的与之对应，称为关于、的二元函数. 现定义满足下列性质的二元函数为关于实数、的广义“距离”:
（1）非负性:，当且仅当时取等号；
（2）对称性:；
（3）三角形不等式:对任意的实数z均成立.
今给出个二元函数:①；②；③；④.则能够成为关于的、的广义“距离”的函数的所有序号是 .
【答案】（1）
【解析】对于①，f（x，y）=|x-y|≥0满足（1），f（x，y）=|x-y|=f（y，x）=|y-x|满足（2）；
f（x，y）=|x-y|=|（x-z）+（z-y）|≤|x-z|+|z-y|=f（x，z）+f（z，y）满足（3）
故①能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数；对于②不满足（3）；对于③不满足（2）；对于④不满足（1）（2），故答案为①
【考点】1.函数的概念及其构成要素．
8.已知函数且，其中为奇函数, 为偶函数，若不等式
对任意恒成立,则实数的取值范围是 .
【答案】
【解析】∵h（x）为定义在R上的偶函数，g（x）为定义在R上的奇函数∴g（-x）=-g（x），h（-x）=h（x）, 又∵由h（x）+g（x）=2x， h（-x）+g（-x）=h（x）-g（x）=2-x，∴h（x）=
(2x+2−x)，g（x）=(2x−2−x), 不等式2ag（x）+h（2x）≥0在[1，2]上恒成立，化简
为:a(2x−2−x)+(22x+2−2x)≥0，x∈[1，2], ∵1≤x≤2∴2x-2-x＞0,令t=2-x-2x，整理得：
，由t=2-x-2x得
在上单调递增，故意当时，即实数a的取值范围为
.
【考点】1.函数不等式的恒成立问题；2.换元法；3.基本不等式
9.函数的两个零点分别位于区间
A．和内B．和内
C．和内D．和内
【答案】A
【解析】根据解析式，得故，则函数的零点分别位于和内.
【考点】函数的零点定理.
10.已知，其中、为常数，且，若为常数，则的值为 .【答案】.
【解析】，，则
，则有，即
，则有，且，由得到，所以有
，因式分解得
，因为，所以，.
【考点】函数的概念
11.若函数为奇函数，且，则；
.
【答案】；
【解析】试题解析：为奇函数，所以，所以
，
，
，
，.
【考点】1.函数的解析式；2.倒序相加法
12.，求=
【答案】-3
【解析】因为==－1，
所以==－3.
【考点】函数的性质和计算能力.
13.已知A、B、C是直线上的不同三点，O是外一点，向量满足
，记；
（1）求函数的解析式；
（2）求函数的单调区间．
【答案】（1）；（2）单调增区间为．
【解析】（1）利用平面向量基本定理求解；（2）由（1）得解析式，然后利用导数求解单调增
区间.
试题解析：（1）∵，且A、B、C是直线上的不同三点，
∴，
∴；
（2）∵，∴，∵的定义域为，而在上恒正，∴在上为增函数，
即的单调增区间为．
【考点】1.平面向量基本定理；2.利用导数求函数单调区间.
14.已知，则的值等于．
【答案】2014
【解析】令，则所以，，故
【考点】指数式与对数式的互化.
15.已知函数．
（1）若，解不等式；
（2）若，，求实数的取值范围．
【答案】（1）或；（2）.
【解析】本题考查绝对值不等式的解法和不等式的恒成立问题，考查学生的分类讨论思想和转化能力.第一问，利用零点分段法进行求解；第二问，利用函数的单调性求出最小值证明恒成立问题.
试题解析：（1）当时，，而，
解得或. 5分
（2）令，则，
所以当时，有最小值，
只需，解得，所以实数的取值范围为. 10分
【考点】1.绝对值不等式的解法；2.恒成立问题；3.分段函数的最值.
16.式子满足，则称为轮换对称式．给出如下三个式子：①；②；
③是的内角）．
其中，为轮换对称式的个数是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】,，所以，即为轮换对称式；，，，所以，即不是轮换对称式；
同理可得,所以是轮换对称式.
考点:1.新定义题型；2.三角化简.
17.规定记号“”表示一种运算，即：，设函数。

且关于的方程为
恰有四个互不相等的实数根，则的值是（）A．B．C．D．
【答案】D.
【解析】因为规定记号“”表示一种运算，即：，所以=，方程为恰有四个互不相等的实数根，即=恰有四个互不相等的实数根，因为f(x),g(x)=的图象均关于直线x=－2对称，即若－2+x 是方程的根，则－2－x也是方程的根，所以的值是－8，选D。

【考点】本题主要考查函数图象的对称性，对数函数、二次函数图象和性质。

点评：新定义问题，实质是对函数图象的对称性、对数函数、二次函数图象和性质的考查，因为图象关于直线x=－2对称，所以有若－2+x是方程的根，则－2－x也是方程的根。

18.在函数数列{}是等比数列，则函数
的解析式可能为（）
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】因为已知中说明了函数数列{}是等比数列，
那么对于A来说，，那么=2+1,不满足题意。

对于B来说，，那么,不满足是等差数列。

对于C来说，，那么,不符合是等差数列
对于D来说，，那么能成立，都符合，故选D.
【考点】本试题考查了数列的概念知识。

点评：解决该试题的关键是将数列与函数联系起来，分析函数的解析式，理解函数图像的点的坐标就是数列的通项公式，那么结合已知条件逐一的加以判定即可，属于中档题。

19.(13分) 设函数.
（1）当时，求函数在上的最大值；
（2）记函数，若函数有零点，求的取值范围.
【答案】（1）（2）。

【解析】（1）化简函数f（x）的解析式，在[1，m]上求函数的最大值．
（2）函数有零点即对应方程有解，得到m的解析式m=h（x），通过导数符号确定h（x）=lnx-x|x-1|的单调性，由h（x）的单调性确定h（x）的取值范围，即得m的取值范围．
（1）当，时，
∵函数在上单调递增∴
（2）函数的定义域为
函数有零点即方程有解
即有解
令当时
∵
∴函数在上是增函数，∴
当时，
∵
∴函数在上是减函数，∴
∴方程有解时
即函数有零点时的取值范围为[
【考点】本题主要是考查用分类讨论的方法求函数最大值，利用导数求函数值域，及化归与转化的思想方法．
点评：解决该试题的关键是根据函数有零点，转化为有解，那么借助于分离参数的思想，求解等式右边函数的值域即可。

20.满足性质：“对于区间(1,2)上的任意，恒成立”的函数叫Ω函数，则下面四个函数中，属于Ω函数的是()
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】首先分析题目的新定义满足：“对于区间（1，2）上的任意实数x
1，x
2
（x
1
≠x
2
），|f（x
2
）
-f（x
1）|＜|x
2
-x
1
|恒成立”，则称f（x）为优美函数，要求选择Ω函数．故需要对4个选项代入不
等式|f（x
2）-f（x
1
）|＜|x
2
-x
1
|分别验证是否成立即可得到答案
在区间（1，2）上的任意实数x
1，x
2
（x
1
≠x
2
），分别验证下列4个函数．
对于A：f（x）=|x|，|f（x
2）-f（x
1
）|=||x
2
|-|x
1
||=|x
2
-x
1
|（因为故x
1
和x
2
大于0）故对于等于号不
满足，故不成立．
对于C：f(x)=，|f（x
2）-f（x
1
）|=||=||＜|x
2
-x
1
|（因为x
1
，x
2
在区间（1，2）上，
故x
1x
2
大于1）故成立．
对于B：f（x）=2x，|f（x
2）-f（x
1
）|=|2x2-2x1|＜|x
2
-x
1
|．不成立．
对于D：f（x）=x2，|f（x
2）-f（x
1
）|=|x
2
2-x
1
2|=（x
2
+x
1
）|x
2
-x
1
|＞|x
2
-x
1
|不成立,故选C.
【考点】本试题主要考查了新定义的理解和应用问题．涉及到绝对值不等式的应用．属于中档题目。

点评：解决该试题的关键需要对题目概念做认真分析再做题。

21.若函数的零点与函数的零点之差的绝对值不超过，则可以是（）A．B．C．D．
【答案】C
【解析】因为选项A中，函数的零点为x=0,选项B中，零点为x=,选项C中，零点为，选项
D中，零点为x=1,那么可知函数的零点在（0,1）之间，那么可知选C.
22.函数为偶函数，则实数
【答案】4
【解析】因为恒成立，即恒成立，
.
23.下列四组中表示相等函数的是( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为同一函数要求定义域和对应法则相同即可，那么选项A，C中定义域不同，选项D
中对应法则不同，故选B
24.对于定义域为的函数，如果同时满足以下三条：①对任意的，总有；
②；③若，都有成立，则称函数为理想函数．
(1) 若函数为理想函数，求的值；
(2)判断函数是否为理想函数，并予以证明；
(3) 若函数为理想函数，假定，使得，且，求证：．【答案】（1）．（2）理想函数．
【解析】本题考查函数值的求法，解题时要认真审题，注意挖掘题设的中的隐含条件，注意性质
的灵活运用．
（1）取x
1=x
2
=0可得f（0）≥f（0）+f（0）⇒f（0）≤0，由此可求出f（0）的值．
（2）g（x）=2x-1在[0，1]满足条件①g（x）≥0，也满足条件②g（1）=1．若x1≥0，x2≥0，
x 1+x
2
≤1，满足条件③，收此知故g（x）理想函数．
（3）由条件③知，任给m、n∈[0，1]，当m＜n时，由m＜n知n-m∈[0，1]，f（n）=f（n-
m+m）≥f（n-m）+f（m）≥f（m）．由此能够推导出f（x
0）=x
25.设为整数(十进制)的各位数上的数字的平方之和,比如,记,
,则等于( ).
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
；；
8次一个循环，所以= .
26.在平面直角坐标系中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点，若函数图象恰经过n个格点，则
称函数为n阶格点函数，已知函数：①；②；③；④；⑤
；⑥.其中为一阶格点函数的序号为
【答案】②⑥
【解析】∵对于y=x2，不妨令x=0，1，2，3，…，y=0，1，4，9，…故函数y=x2有无数个格点，排除①；同理可排除③，对于④，令x=1，可得y=2，令x=-1，可得y=-2，故可排除④；对于
y=lnx，当且仅当横坐标x=1时，纵坐标y才是整数0，故②为一阶格点函数；⑤对于
,没有一个格点.可排除⑤.对于y=cosx，只有x取整数0时，纵坐标y才能取到整数，是1，故⑥为一阶格点函数；故答案为：②⑥.
27.定义一个对应法则，现有点与点，点是线段
上一动点，按定义的对应法则.当点在线段上从点开始运动到点结束时，点的对应点所经过的路线长度为______.
【答案】
【解析】由题意知的方程为：x+y=4,设，则
从而有，易知，
不难得出,,
则点的对应点M所经过的路线长度为.
28.已知函数在处取到极值
（1）求的解析式；
（2）设函数，若对任意的，总存在，使得，求实数
的取值范围.
【答案】（1）（2）
【解析】(1)根据建立关于m,n的两个方程，解出m,n的值.
（2）读懂题意是解决本题的关键，本小题的条件对任意的，总存在，使得的实质就是在上的最小值不小于在上的最小值，所以转
化为利用导数求最值问题解决即可.
解：(1) 2分
由在处取到极值2，故即
解得m=4,n=1,经检验，此时在处取得极值，故= 4分
(2)由(1)知，故在（-1，1）上单调递增，
由故的值域为[-2，2] 6分
从面，依题意有
函数的定义域为，
①当时，函数在[1,e]上单调递增，其最小值为合题意· 9分
②当时，函数在上有，单调递减，在上有，单调递增，所以函数
最小值为
由，得，从而知符合题意 11分
③当时，显然函数在上单调递减，
其最小值为，不合题意
综上所述，的取值范围为 13分
29.同时具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数。

”的一个函数是
A．B．
C．D．
【答案】D
【解析】解：因为具有性质：“①最小正周期为；②图象关于直线对称；③在上是增函数。

”的一个函数是，选D
30.对于实数，称为取整函数或高斯函数，亦即是不超过的最大整数.例如：.直角坐标平面内，若满足，则的取值范围是．
【答案】
【解析】解：由[x-1]2+[y-1]2=4，得 [x-1]=±2， [y-1]=0 或 [x-1]=0， [y-1]=±2 然后得到可行域
x2+y2看作可行域内点到坐标原点距离的平方．AO2=1，BO2=5此时x2+y2∈[1，5）．CO2=10，DO2=20，
此时x2+y2∈[10，20）．
所以x2+y2∈[1，5）∪[10，20）．
31.定义区间的长度为,已知函数的定义域为,值域为,则区间长度的最大值为_______.
【答案】
【解析】函数在（0,1）上递减，在（1，递增。

由图象特点得当时，区间度最大；所以区间长度的最大值为
32.已知函数,
，若函数有唯一零点，函数有唯一零点，则有（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】因为，
，所以；同理
33.函数，其中是常数，其图像是一条直线，称这个函数为线性函数，而对于非线性可导函数，在已知点附近一点的函数值可以用下面方法求其近似代替值，
，利用这一方法，对于实数，取的值为4，则m的近似代替值是。

用到的函数可以是。

【答案】2.0005，（答案不唯一）
【解析】解：因为根据新定义可知，得到m 的近似代替值为2.0005用到的函数可以是
34.已知函数的导函数是，，设是方程
的两根，则的取值范围是。

【答案】
【解析】
35.若函数在［－1，2］上的最大值为4，最小值为m，且函数在
上是增函数，则a＝＿＿＿＿.
【答案】
【解析】当时，有，此时，此时为减函数，
不合题意.若，则，故，检验知符合题意
36.已知是奇函数，且.若，则 .
【答案】 -1
【解析】是奇函数，则，所以.
37.已知分别是函数
的两个极值点，且,,则的取值范围是（）
A．B．C．D．
【答案】D
【解析】解：∵函数f(x)="1" /3 x3+1/ 2 ax2+2bx
∴f′（x）=x 2+ax+2b
又∵∈（0，1），∈（1，2），
∴ f′(0)=2b＞0
f′(1)=1+a+2b＜0
f′(2)=4+2a+2b＞0 其对应的平面区域如下图所示：
由图可得：当x=-3，y=1时，b-2 /a-1 取最小值1/ 4 ；
当x=-1，y=0时，b-2 /a-1 取最大值1；
38.定义行列式运算： ,将函数的图像向右平移m个单位（m），所的图像对应的函数为奇函数，则m的最小值是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】根据行列式运算的定义，可得 f(x)= cosx -sinx=2（sinx-cosx）=2sin（x-），∵图象向右平移m（m＞0）个单位所得y=2sin（x-m-）图象对应的函数为奇函数，∴所得的函数是一个y=-2sinx的形式，∴函数需要向右平移个单位，故选C
39.（本小题满分12分）
设函数，曲线在点（2，（2））处的切线方程为
（Ⅰ）求的解析式；
（Ⅱ）若对一切恒成立，求的取值范围；
（Ⅲ）证明：曲线上任一点处的切线与直线和直线所围成的三角形面积为一值，并求此定值。

【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）或
（Ⅲ）
【解析】(I)根据点2处的导数值为和点.即可建立关于a,b 的方程求出a,b的值，进而确定f(x)的解析式。

（II）不等式恒成立问题转化为,然后利用导数求出f(x)的最大值，进而再解关于t的不等式即可。

(III)设任一点（x
0,y
）,然后利用导数求出其斜率，进而求出其切线方程，然后把面积表示出来，
即可确定面积为定值。

40.在函数概念的发展过程中，德国数学家狄利克雷（Dirichlet，1805——1859）功不可没。

19
世纪，狄利克雷定义了一个“奇怪的函数”：，这个函数后来被称为狄利克雷
函数。

下面对此函数性质的描述中不正确的是：（）
A．它没有单调性B．它是周期函数，且没有最小正周期
C．它是偶函数D．它有函数图像
【答案】D
【解析】解：利用函数的性质，我们可以知道，函数具有单调性，也是周期函数，且没有最小正
周期，并且符合偶函数的定义，则排除法，只有不成立。

41.令.如果对，满足为整数，则称k为“好数”，
那么区间[l，2012]内所有的“好数”的和M=________.
【答案】2026
【解析】对任意正整数，有
．若为“好数”，则，从而必有．令，解得．所以内所有“好数”的和为
42.设函数在及上有定义对雅定的正数M,定义函数则称函数为
的“孪生函数”.若给定函数，则的值为（）
A．2B．1C．D．
【答案】B
【解析】由题设, 则当或时,;
当时, .∴.
43.已知函数满足="1" 且，则=_________
【答案】1023
【解析】。

44.已知函数①；②；③；④.其中对于定义域内的任
意一个都存在唯一个成立的函数是．（写出所有满足条件的函数的序号）【答案】③
【解析】对函数，因为，所以对任意，有，①不符合；
对函数，因为，所以对任意，有，②不符合；
对函数，任意，有，使得，③符合；
对函数，任意，有，使得，
此时不唯一，④不符合
45.若函数的值域是定义域的子集，那么叫做“集中函数”，则下列函数：
可以称为“集中函数”的是____________（请把符合条件的序号全部填在横线上）.
【答案】①
【解析】定义域是[0,+∞)时，
（x=1时，取等号）
于是f(x)的值域是，（1）满足；
定义域是（0，+∞）值域是
（-∞，+∞）；（2）不满足；
（3）.当
时，，所以f(x)的值域是
；(3不满足；
（4）当时，
当时，，所以f(x)的值域是。

（4）不满足。

46.函数的定义域为A，若且当时，总有，则称为单函数。

例如，函数是单函数。

下列命题：
①函数是单函数；
②若为单函数，，则
③若为单函数，则对于任意，它至多有一个原象；
④函数在A上具有单调性，则一定是单函数。

其中为真命题的是。

（写出所有真命题的序号）
【答案】②③④
【解析】略
47.直角坐标系中横坐标、纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好经过个格点，则称函数为阶格点函数.下列函数：
①；②；③；④其中是一阶格点函数的
有（填上所有满足题意的序号）．
【答案】①②④
【解析】略
48.定义：对于定义域为的函数，如果存在，使得成立，称函数在
上是“”函数。

已知下列函数：①；②；③()；④
，其中属于“”函数的序号是．（写出所有满足要求的函数的序号）
【答案】③
【解析】略
49.函数与;在同一直角坐标系第一象限中的图像可能是（）
【答案】B
【解析】对于A:由知此时，若应有，不符合，A错误；
对于B:图像符合；对于C: 由知的图像不符合，C错误；
对于D:的图像不符合，D错误；故选B
50.下列图象中不能表示函数的图象的是（）
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】D不是函数，因为一个能求得2个值与对应，不符合函数定义；故选D
51.在平面直角坐标系中，横纵坐标均为整数的点称为格点，如果函数的图象恰好通过
个格点，则称函数为阶格点函数.对下列4个函数：
①；②；③；④.
其中是一阶格点函数的有( )
A．①③B．②③C．③④D．①④
【答案】D
【解析】只通过一个格点（0，0）；
通过无数个格点,例如（0，1）、（-1，3）、(-2，9)等等；
通过无数个格点,例如（1，0）、（2，-1）、(4，-2)等等；
只通过一个格点（3，5）。

所以D正确。

52.在下列从A到B的对应： (1)A＝R，B＝R，对应法则f：x→y＝x2； (2) A＝R，B＝R，对应法则f：x→y＝； (3)A＝(0，+∞)，B＝{y|y≠0}，对应法则f：x→y＝±；(4)A＝N*，B＝{－1，1}，对应法则f：x→y＝(－1)x其中是函数的有．（只填写序号）
【答案】(1)(4)
【解析】函数的现代定义是：一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。

据此对照选项，（2）A中x=3，没有对应元素y；（3）A中元素的对应元素不唯一，故是函数的只有（1）（4）.
【考点】对应、函数的概念。

点评：简单题，关键是理解函数的定义。

一般地，给定非空数集A,B,按照某个对应法则f，使得A中任一元素x，都有B中唯一确定的y与之对应，那么从集合A到集合B的这个对应，叫做从集合A到集合B的一个函数。

53.如图所示，阴影部分的面积是的函数. 则该函数的图象是：（）
【答案】A
【解析】阴影部分的面积随着的增大而减小，所以函数是减函数；排除A和C;又因为阴影
部分下宽上窄，所以开始随着的增大，减少的快，随后，随着的增大，减少的幅度逐渐变小。

故选A.
54.设函数与的定义域是,函数是一个偶函数，是一个奇函数，且
，则等于( )
A．B．C．D．
【答案】A
【解析】因为函数是偶函数，是奇函数，所以由
.(1)+(2)得：
，所以故选A
55.若函数满足：“对于区间（1,2）上的任意实数，恒成立”，则称为完美函数．给出以下四个函数
①②③④
其中是完美函数的序号是
【答案】①③
【解析】略
56.已知函数
【答案】
【解析】略
57.下列三个函数：①；②；③中，奇函数的个数（）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C
【解析】略
58.设集合A＝B＝，从A到B的映射，
则在映射下B中的元素（1，1）对应的A中元素为（）。

A．（1，3）B．（1，1）C．D．
【答案】C
【解析】本题考查映射的概念，对应关系的含义及解方程组.
在映射下中的元素（1，1）对应的A中元素为则按照对应法则
，中与对应的元素为所以应有，解方程组得
故选C
59.已知函数，分别由下表给出
则的值为；当时，．
【答案】1 , 1
【解析】略
60.设函数
A．B．C．D．2
【答案】C
【解析】本题考查定积分的运算
，则
故选C
61.已知函数，满足，则的大小关系是（）
A．B．C．D．不能确定
【答案】B
【解析】本题考查导数的运算和应用，函数的单调性及应用.
,又所以则函数是增函数；所以故选B
62.．函数的定义域为集合，函数的定义域为集合，则A．B．C．D．
【答案】A
【解析】本题考查函数的定义域、不等式的解法.
由得，解得；
由知，解得；
在数轴上分别作出这两个集合，以其公共部分如阴影部分所示，即.
故正确答案为A
63.已知函数，，那么集合中元素的个数为（）A．1B．0C．1或0D．1或2
【答案】C
【解析】略
64.（本小题满分15分）
已知函数的图象在上连续不断，定义：，
其中，表示函数在上的最小值，表示函数在上的最大值．若存在最小正整数，使得对任意的成立，则称函数为
上的“阶收缩函数”．
（1）若，，试写出的表达式；
（2）已知函数，，试判断是否为上的“阶收缩函数”，如果是，求出
对应的；如果不是，请说明理由；
（3）已知，函数是上的2阶收缩函数，求的取值范围.
【答案】（1）
（2）
（3）
【解析】略
65.某学校要招开学生代表大会，规定各班每10人推选一名代表，当各班人数除以10的余数大
于6时再增选一名代表.那么，各班可推选代表人数与该班人数之间的函数关系用取整函数y
＝[x]（[x]表示不大于x的最大整数）可以表示为（）
A．y＝[]B．y＝[]C．y＝[]D．y＝[]
【答案】A
【解析】略
3＋233，则f(2)＋f(4)＋f(8)＋…＋f(28)的值等于_______
66.已知f(3x)＝4xlog
2
【答案】2010
【解析】略
67.设集合A和集合B都是实数集R，映射f：A→B是把集合A中的元素x对应到集合B中的元
素x3－x＋1，则在映射f下象1的原象所组成的集合是
()
A．{1}B．{0}
C．{0，－1,1}D．{0,1,2}
【答案】C
【解析】略
68.若函数满足：“对于区间(1,2)上的任意实数，恒成立”，
则称为完美函数.给出以下四个函数
①②③④
其中是完美函数的是（）
A．①B．②③C．①③D．②③④
【答案】C
【解析】略
69.若函数的值域是其定义域的子集，那么叫做“集中函数”，则下列函数：
①，②
③，④
可以称为“集中函数”的是
【答案】1
【解析】略
70.已知定义域为的函数满足①，
②，若成等差数列，则的值为．
【答案】2或3
【解析】略
71.下列各组函数是同一函数的是（）
A．与y＝1B．y＝|x－1|与y＝
C．y＝|x|＋|x－1|与y＝2x－1D．y＝与y＝x
【答案】D
【解析】略
72.下列函数中，同时具有性质：(1)图象过点(0，1)；(2)在区间上是减函数；(3)是偶函数.这样的函数可以是
【答案】C
【解析】略
73.设偶函数f(x)满足f(x)="2x-4" (x0），则为（）
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】略
74.函数，k是的小数点后第n位数，，的值等于（）
A．1B．2C．4D．6
【答案】B
【解析】略
75.下列函数哪个与函数相同
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】略
76.图中的图象所表示的函数的解析式为( )
A．(0≤x≤2)
B．(0≤x≤2)
C．(0≤x≤2)
D．(0≤x≤2)
【答案】B
【解析】略
77.（本题满分12分）
已知定义域为的函数同时满足以下三个条件：
①对任意的，总有；②；③若且，则有
成立，则称为“友谊函数”.
（Ⅰ）若已知为“友谊函数”，求的值；
（Ⅱ）函数在区间上是否为“友谊函数”？并给出理由；
（Ⅲ）已知为“友谊函数”，且，求证:.
【答案】（Ⅰ）
（Ⅱ）满足条件①﹑②﹑③所以为友谊函数
（Ⅲ）
【解析】解：（Ⅰ）取得,又由，得………………2分（Ⅱ）显然在上满足①②，若，且，则有
故满足条件①﹑②﹑③所以为友谊函数. ………………7分
（Ⅲ）因为，则0＜＜１，
所以. ………………12分
78.在直角坐标系中横纵坐标为整数的点称为“格点”，如果函数的图像恰好通过个格点，则称函数为k阶格点函数，下列函数中“一阶格点”函数有
①②
③④
A．②③B．①③C．①④D．②④
【答案】B
【解析】略
79.在平面直角坐标系中,横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，如果函数的图象恰好通过
个整点，则称函数为阶整点函数。

有下列函数：①；②③④，
其中是一阶整点函数的是________________________________．
【答案】①④
【解析】略
80.定义一种新运算“”如下：当时，;当时，,对于函数
（“· ”和“”仍为通常的乘法和减法运算）,把的图像按向量
平移后得到的图像，若是奇函数，则____________．
【答案】
【解析】略
81.为了保证信息安全传输，有一种称为秘密密钥密码系统，其加密、解密原理如下图：现在加密密钥为，明文密文密文明文.如上所示，明文“4”通过加密加密后得到“3”再发送，接受方通过解密钥解密得明文“4”，问若接受方接到密文为“4”，则解密后得明文是______________________.
【答案】12
【解析】略
82.定义两种运算：则函数的解析式为（）
A．
B．
C．
D．
【答案】C
【解析】本题考查函数的解析式的求法
由得
又得；
则
即
故正确答案C
83.已知函数的图像如右图所示，则其函数解析式可能是（）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】略
84.函数在区间内的图象是
【答案】D
【解析】函数。

85.将函数的图象按向量平移得到函数的图象，则（）
A．B．C．D．
【答案】A.
【解析】以函数y=2的图像为参照系，函数的图象向上平移了1个单位，函数的
图象向左平移了一个单位，因此，只需把函数的图象向下平移一个单位，再向左平移一
个单位，即可得到函数的图象，选A.
86.如图1，当参数时，连续函数的图像分别对应曲线和 , 则( )
A．B．
C．D．
【答案】B
【解析】易知，故可排除C,D,再取特殊值，结合图像可得，故选B.
87.设与是定义在同一区间上的两个函数，若对任意的，都有，则称和在上是“密切函数”，称为“密切区间”，设与在上是“密切函数”，则它的“密切区间”可以是（）
A．B．C．D．
【答案】C
【解析】解：因为与在上是“密切函数”
则，即，即，
化简得，因为的，即与轴没有交点，由开口向上得到
恒成立；所以由，解得，所以它的“密切区间”为，故答案
为C．
【考点】1、新定义的概念；2、绝对值不等式的解法．
88.定义域为实数集的函数,若对任意两个不相等的实数，都有
，则称函数为“函数”，现给出如下函数：
①②③④
其中为“函数”的有（）
A．①②B．③④C．②③D．①②③
【答案】C
【解析】解：对于任意给定的不等实数，不等式恒成立
不等式等价由为恒成立
即函数是定义在上的增函数。