多元函数的极限和连续性

第十三章 多元函数的极限和连续性
教学目的：本章在平面点集相关概念基础上建立多元函数及其极限和连
续概念和理论，为学习多元函数微积分学奠定基础。

教学重点难点：多元函数极限和连续概念和理论。

§1、平面点集
一 邻域、点列的极限
定义1 在平面上固定一点()000,M x y ，凡是与0M 的距离小于ε的那些点M 组成的
平面点集，叫做0M 的ε邻域，记为()0,O M ε。

定义2 设(),n n n M x y =，()000,M x y =。

如果对0M 的任何一个ε邻域()0,O M ε，总存在正整数N ，当n N >时，有()0,n M O M ε∈。

就称点列{}n M 收敛，并且收敛于0M ，记为0lim n n M M →∞
=或()()()00,,n n x y x y n →→∞。

性质：（1）()()0000,,,n n n n x y x y x x y y →⇔→→。

（2）若{}n M 收敛，则它只有一个极限，即极限是唯一的。

二 开集、闭集、区域 设E 是一个平面点集。

1． 内点：设0M E ∈，如果存在0M 的一个δ邻域()0,O M δ，使得()0,O M E δ⊂，就
称0M 是E 的内点。

2． 外点：设1M E ∉，若存在1M 的一个η邻域()1,O M η，使()1,O M E η⋂=Φ，就称
1M 是E 的外点。

3． 边界点：设*M 是平面上一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻
域()*,O M ε， 其中既有E 的点，又有非E 中的点，就称*M 是E 的边界点。

E 的边界点全体叫做E 的边界。

4． 开集：如果E 的点都是E 的内点，就称E 是开集。

5． 聚点：设*M 是平面上的一点，它可以属于E ，也可以不属于E ，如果对*M 的任何ε邻
域()*,O M ε， 至少含有E 中一个（不等于*M 的）点，就称*M 是E 的聚点。

性质：设0M 是E 的聚点，则在E 中存在一个点列{}n M 以0M 为极限。

6． 闭集：设E 的所有聚点都在E 内，就称E 是闭集。

7． 区域：设E 是一个开集，并且E 中任何两点1M 和2M 之间都可以用有限条直线段所组
成的折线连接起 来，而这条折线全部含在E 中，就称E 是区域。

一个区域加上它的边界就是一个闭区域。

三 平面点集的几个基本定理
1．矩形套定理：设{},n n n n a x b c y d ≤≤≤≤是矩形序列，其中每一个矩形都
含在前一个矩形中，并且0n n b a -→，0n n d c -→，那么存在唯一的点属于所有的矩形。

2.致密性定理：如果序列(){}
,n n n M x y 有界，那么从其中必能选取收敛的子列。

3.有限覆盖定理：若一开矩形集合{}{},x y αβγδ∆=<<<<覆盖一有界闭
区域。

那么从{}∆ 里，必可选出有限个开矩形，他们也能覆盖这个区域。

4．收敛原理：平面点列{}n M 有极限的充分必要条件是：对任何给定的0ε>，
总存在正整数N ，当,n m N >时，有(),n m r M M ε<。

§2 多元函数的极限和连续
一 多元函数的概念
不论在数学的理论问题中还是在实际问题中，许多量的变化，不只由一个因素决定，
而是由多个因素决定。

例如平行四边行的面积A 由它的相邻两边的长x 和宽y 以及夹角θ所确定,即θsin xy A =;圆柱体体积V 由底半径r 和高h 所决定,即h r V 2
π=。

这些都是多元函数的例子。

一般地，有下面定义：
定义 1 设E 是2
R 的一个子集，R 是实数集，f 是一个规律，如果对E 中的每一点
(,)x y ，通过规律f ，在R 中有唯一的一个u 与此对应，则称f 是定义在E
上的一个二元函数，它在点(,)x y 的函数值是u ，并记此值为(,)f x y ，即
(,)u f x y =。

有时，二元函数可以用空间的一块曲面表示出来，这为研究问题提供了直观想象。

例如，二元函数222y x R x --=
就是一个上半球面，球心在原点，半径为R ，此函数定
义域为满足关系式222R y x ≤+的x ，y 全体，即}|),{(2
22R y x y x D ≤+=。

又如，
xy Z =是马鞍面。

二 多元函数的极限 定义2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数
()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈附近有定义．如果0>∀ε，0>∃δ，当()00,r M M δ<<时，有()f M A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极限。

记为
()0
lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→。

定义的等价叙述1 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈ 附近有定义．如果0>∀ε，0>∃δ，当
0δ<
<时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是二元函数在0M 点的极
限。

记为()0
lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→。

定义的等价叙述2 设E 是2R 的一个开集，A 是一个常数，二元函数()(,)f M f x y =在点()000,M x y E ∈ 附近有定义．如果0>∀ε，0>∃δ，当
000,0x x y y δδ<-<<-<且()()00,,x y x y ≠时，有(,)f x y A ε-<，就称A 是
二元函数在0M 点的极限。

记为()0
lim M M f M A →=或()()0f M A M M →→。

注：（1）和一元函数的情形一样，如果0
lim ()M M f M A →=，则当M 以任何点列
及任何方式趋于0M 时，()f M 的极限是A ；反之，M 以任何方式及任何点列趋于0M 时，
()f M 的极限是A 。

但若M 在某一点列或沿某一曲线0M →时，()f M 的极限为A ，还
不能肯定()f M 在0M 的极限是A 。

所以说，这里的“或”要比一元函数的情形复杂得多，下面举例说明。

例：设二元函数2
2),(y x xy
y x f +=
，讨论在点)0,0(的的二重极限。

例：设二元函数2
22),(y
x y
x y x f +=，讨论在点)0,0(的二重极限是否存在。

例：20,
0(,)1,
x y y f x y ⎧≤=⎪=⎨
⎪⎩或其它
，讨论该函数的二重极限是否存在。

二元函数的极限较一元函数的极限而言，要复杂得多，特别是自变量的变化趋势，较
之一元函数要复杂。

例：22lim
y xy x y
x y x +-+∞
→∞→。

例：① x xy y x sin lim
0→→② )ln()(lim 2222200y x y x y x ++→→③ )
(22)(lim y x y x e y x +-∞→∞→+
例：求3
32
2),(y
x y x y x f +=在（０，０）点的极限，若用极坐标替换则为
?0sin cos sin cos lim 33220=+→θθθθr r （注意：θθ3
3sin cos +在4
7πθ=时为０，此时无界）。

例：（极坐标法再举例）：设二元函数2
22),(y x y
x y x f +=，讨论在点)0,0(的二重
极限．
证明二元极限不存在的方法．
基本思想：根据重极限定义，若重极限存在，则它沿任何路径的极限都应存在且相等，故若１）某个特殊路径的极限不存在；２）或某两个特殊路径的极限不等；３）或用极坐标法说明极限与辐角有关． 例：2
2),(y
x xy
y x f +=
在)0,0(的二重极限不存在． 三 二元函数的连续性
定义3 设()f M 在0M 点有定义，如果0
0lim ()()M M f M f M →=，则称()f M 在0
M 点连续．
“
δε-语言”描述：()00,0,,M M εδδ∀>∃><当0<r ，有
0()()f M f M ε-<。

如果f 在开集E 内每一点连续，则称f 在E 内连续，或称f 是E 内的连续函数。

例：求函数()
22tan u x y =+的不连续点。

四 有界闭区域上连续函数的性质
有界性定理 若(),f x y 再有界闭区域D --上连续，则它在D --
上有界。

一致连续性定理 若(),f x y 再有界闭区域D --上连续，则它在D --
上一致连续。

最大值最小值定理 若(),f x y 再有界闭区域D --上连续，则它在D --
上必有最大值和最小值。

零点存在定理 设D 是n
R 中的一个区域，0P 和1P 是D 内任意两点，f 是D 内的连
续函数，如果0)(0>P f ，0)(1<P f ，则在D 内任何一条连结10,P P 的折线上，至少存在一点s P ，使0)(=s P f 。

五 二重极限和二次极限
在极限),(lim 0
y x f y y x x →→中，两个自变量同时以任何方式趋于00,y x ，这种极限也叫做重
极限（二重极限）．此外，我们还要讨论当y x ,先后相继地趋于0x 与0y 时),(y x f 的极限．这种极限称为累次极限（二次极限），其定义如下：
若对任一固定的y ，当0x x →时，),(y x f 的极限存在：)(),(lim 0
y y x f x x ϕ=→,而)
(y ϕ在0y y →时的极限也存在并等于A ，亦即A y y y =→)(lim
ϕ，那么称A 为),(y x f 先对x ，
再对y 的二次极限，记为 A y x f x x y y =→→),(lim lim 0
0． 同样可定义先y 后x 的二次极限：),(lim lim 0
0y x f y y x x →→．
上述两类极限统称为累次极限。

注意：二次极限（累次极限）与二重极限（重极限）没有什么必然的联系。

例：（二重极限存在，但两个二次极限不存在）．设
⎪⎩⎪⎨
⎧
==≠≠+=0000,01sin
1sin ),(y or x y x x y y x y x f 由y x y x f +≤),( 得0),(lim 0
0=→→y x f y x （两边夹）;y
y 1
sin
lim 0
→不存在知),(y x f 的累次极限不存在。

例：（两个二次极限存在且相等，但二重极限不存在）。

设 2
2),(y x xy
y x f +=
，
)0,0(),(≠y x
由0),(lim lim ),(lim lim 0
00
0==→→→→y x f y x f x y y x 知两个二次极限存在且相等。

但由
前面知),(lim 0
y x f y x →→ 不存在。

例：（两个二次极限存在，但不相等）。

设 2
22
2),(y
x y x y x f +-， )0,0(),(≠y x 则
1
),(lim lim 0
0=→→y x f y x ，
1
),(lim lim 0
0-=→→y x f x y ;
),(lim lim ),(lim lim 0
00
0y x f y x f x y y x →→→→≠ （不可交换）
上面诸例说明：二次极限存在与否和二重极限存在与否，二者之间没有一定的
关系。

但在某些条件下，它们之间会有一些联系。

定理1 设（1）二重极限A y x f y y x x =→→),(lim 0
；（2）0,y y y ≠∀，)(),(lim 0
y y x f x x ϕ=→。

则
A y x f y x x y y y y ==→→→),(lim lim )(lim 0
00
ϕ。

（定理1说明：在重极限与一个累次极限都存在时，它们必相等。

但并不意味着
另一累次极限存在）。

推论1 设（1） A y x f y y x x =→→),(lim 0
；（2）0,y y y ≠∀，),(lim 0
y x f x x →存在；（3）
0,x x x ≠∀，),(lim 0
y x f y y → 存在；则),(lim lim 0
0y x f x x y y →→，),(lim lim 0
0y x f y y x x →→都存
在，并且等于二重极限),(lim 0
0y x f y y x x →→。

推论 2 若累次极限),(lim lim 0
0y x f y y x x →→与),(lim lim 0
0y x f x x y y →→存在但不相等，则重极限
),(lim 0
0y x f y y x x →→必不存在（可用于否定重极限的存在性）。

例：求函数()()
22
2
2
2
,x y f x y x y x y =
+-在()0,0的二次极限和二重极限。

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