高中数学(文)统考版 复习 课时作业 33二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题

课时作业33 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 [基础达标]
一、选择题
1．已知点(－3，－1)和点(4，－6)在直线3x －2y －a ＝0的两侧，则a 的取值范围为( )
A ．(－24,7)
B ．(－7,24)
C ．(－∞，－7)∪(24，＋∞)
D ．(－∞，－24)∪(7，＋∞)
解析：根据题意知(－9＋2－a )·(12＋12－a )<0，即(a ＋7)(a －24)<0，解得－7<a <24. 答案：B
2．已知实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≤0，x －2y －3≤0，
0≤x ≤4，则该不等式组
表示的平面区域的面积为( )
A.94
B.274
C ．9 D.27
2
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示， 由图象可知该平面区域表示一个三角形(阴影部分)，其面积S ＝1
2×(3＋32)×3＝27
4.故选B 项．
答案：B
3．[2020·洛阳统考]设x ，y
满足约束条件⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y －3≥0，x －y ＋1≥0，
x ≤3，
则z
＝2x ＋y 的最小值与最大值的和为( )
A．7 B．8
C．13 D．14
解析：作出不等式组
⎩
⎨
⎧x＋y－3≥0，
x－y＋1≥0，
x≤3
表示的平面区域，如图中
阴影部分所示，作出直线2x＋y＝0，平移直线2x＋y＝0，当直线经过点A(1,2)时，z＝2x＋y取得最小值4，当经过点B(3,4)时，z＝2x＋y 取得最大值10，故z的最小值与最大值的和为4＋10＝14.故选D.
答案：D
4．[2020·开封测试]已知实数x，y满足约束条件⎩⎪
⎨
⎪⎧x－y＋2≥0，
x＋2y＋2≥0，
x≤1，
则z＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2x－2y的最大值是()
A.
1
32 B.
1
16
C．32 D．64
解析：解法一作出不等式组表示的平面区域中，如图中阴影部分所示，设u＝x－2y，由图知，当u＝x－2y经过点A(1,3)时取得最
小值，即u min＝1－2×3＝－5，此时z＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2x
－2y取得最大值，即z max
＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2
－5＝32，故选C.
解法二作出不等式组表示的平面区域，如图中阴影部分所示，
易知z＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2x
－2y的最大值在区域的顶点处取得，只需求出顶点A，B，
C的坐标分别代入z＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2x
－2y，即可求得最大值．联立得⎩
⎨
⎧x＝1，
x－y＋2＝0，
解得A(1,3)，代入可得z＝32；联立得⎩
⎨
⎧x＝1，
x＋2y＋2＝0，
解得B
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫
1，－
3
2
，代入可得z＝1
16
；联立得⎩
⎨
⎧x－y＋2＝0，
x＋2y＋2＝0，
解得C(－2,0)，代入可得z＝4.通过比较可知，在
点A(1,3)处，z＝
⎝
⎛
⎭
⎪
⎫1
2x
－2y取得最大值32，故选C.
答案：C
5．[2020·湖北襄阳一模]清明节，某学校准备租赁A，B两种型号的客车安排900名学生到烈士陵园为英烈扫墓，已知A，B两种客车的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 200元/辆和1 800元/辆，学校为节约成本，要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则总租金的最小值为()
A．27 000元B．27 080元
C．27 600元D．28 000元
解析：设租用A，B两种型号的客车分别为x辆、y辆，所用的租金总数为z元，则z＝1 200x＋1 800y，其中x，y满足不等式组
⎩⎪
⎨
⎪⎧36x＋60y≥900，
x＋y≤21，
y－x≤7
(x，y∈N)，即
⎩⎪
⎨
⎪⎧3x＋5y≥75，
x＋y≤21，
y－x≤7
(x，y∈N)，
作出⎩⎪⎨⎪
⎧
3x ＋5y ≥75，x ＋y ≤21，
y －x ≤7
表示的平面区域如图中阴影部分所示，又x ，
y ∈N ，所以由图象易知，z ＝1 200x ＋1 800y 取得最小值的最优解为(5,12)，将(5,12)代入z ＝1 200x ＋1 800y ，得z ＝27 600，故总租金的最小值为27 600元．故选C 项． 答案：C
6．[2020·安徽宿州一中月考]已知关于x ，y 的不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y >3，mx －y ＋3≥0，x (x －2)≤0
表示的平面区域构成一个锐角三角形，则实数m
的取值范围是( )
A ．(0，12) B.(1
2，1) C.(13，1
2) D ．(0,1)
解析：由题意易知，直线mx －y ＋3＝0过定点(0,3)．作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．易知边界点A (0,3)，B (2,1)，C (2,2m ＋3)，过点A 分别作AC 1⊥BC 于点C 1，作AC 2⊥AB ，交BC 于点C 2，数形结合可知，当点C 与C 1(2,3)重合或与C 2(2,5)重合时，△ABC 为直角三角形；当点C 位于B ，C 1之间或在C 1C 2的延长线上时，△ABC 为钝角三角形；当点C 位于C 1，C 2之间时，△ABC 为锐角三角形；当点C 在C 1B 的延长线上时，不能构成三角形，所以3<2m ＋3<5，解得0<m <1.故选D 项．
答案：D
7．[2020·北京八十中学月考]不等式组
⎩⎪
⎨
⎪⎧x＋y≥1，
x－2y≤4
的解集记为D，若∀(x，y)∈D，则()
A．x＋2y≥－2 B．x＋2y≥2
C．x－2y≥－2 D．x－2y≥2
解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示．设z ＝x＋2y，作出直线l0：x＋2y＝0，易知z的最小值为0，无最大值．所以根据题意知，∀(x，y)∈D，x＋2y≥0恒成立，故x＋2y≥－2恒成立．故选A项．
答案：A
8．[2020·湖北黄石模拟]若点(x，kx－2)满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧x≥1，
x－y≤0，
x＋y≤4，
则k
的取值范围为()
A．(－∞，－1]∪[2，＋∞) B．[2,5]
C．(－∞，－7]∪[2，＋∞) D．[－7,2]
解析：作出可行域如图中阴影部分所示．联立
⎩
⎨
⎧x＝1，
x＋y＝4，
解得⎩
⎨
⎧x＝1，
y＝3，
所以点P的坐标为(1,3)．联立
⎩
⎨
⎧x－y＝0，
x＋y＝4，
解得
⎩
⎨
⎧x＝2，
y＝2，所以点N的坐标为(2,2)．因为直线y＝kx－2恒过点(0，－2)，所以
k1＝
2－(－2)
2－0
＝2，k2＝
3－(－2)
1－0
＝5，观察图象可知，当直线y＝kx－2在直线y＝k1x－2和直线y＝k2x－2之间(包括与两条直线重合)时，才会满足题意，因此可得2≤k≤5.故选B项．
答案：B
9．[2020·河北保定摸底]已知实数x，y满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧x－2y≤0，
2x＋y－10≤0，
x≥1，
设
向量a＝(y－2x，m)，b＝(1，－1)，若a∥b，则m的最大值为() A．－6 B．6
C．1 D．－1
解析：因为a＝(y－2x，m)，b＝(1，－1)，a∥b，所以m＝2x－y，作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线2x－y＝0，并平移，结合图象易知，m＝2x－y取得最大值的最优解为(4,2)，所以m的最大值为6.故选B项．
答案：B
10．[2020·山西太原一中检测]已知实数x，y满足|x|＋|y|≤1，则z＝2|x|－|y|的最大值为()
A．5 B．4
C．3 D．2
解析：令|x|＝a，|y|＝b，则
⎩⎪
⎨
⎪⎧a＋b≤1，
a≥0，
b≥0，
且z＝2a－b.作出可行
域如图中阴影部分所示，作出直线b＝2a，并平移，由图知，当平移后的直线过点(1,0)时，z取得最大值，且z max＝2×1－0＝2.故选D项．答案：D
二、填空题
11．[2019·山东烟台期中]设实数x，y满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧2x＋y≤4，
x－y≥－1，
x－2y≤2，
则z ＝x＋y的最小值是________．
解析：根据题意作出可行域如图中阴影部分所示，联立⎩
⎨
⎧x－y＝－1，
x－2y＝2，
得A(－4，－3)，作出直线y＝－x并平移，由图可知，当平移后的直线过A(－4，－3)时，z有最小值，z min＝－7.
答案：－7
12．[2019·贵州遵义一中期中]已知实数x，y满足
⎩⎪
⎨
⎪⎧3x＋2y－6≤0，
x－3y－2≤0，
4x－y＋3≥0，
则z＝|x－y＋1|的取值范围是________．
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，作出直线x －y ＋1＝0，因为z ＝|x －y ＋1|＝2×|x －y ＋1|
2表示点(x ，y )到直线x －y ＋1＝0的
距离的2倍，所以结合图象易知0≤z ≤3.
答案：[0,3]
13．[2020·重庆一中月考]已知实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x －3y ＋3≥0，x ＋y －1≥0，
x －y －1≤0，
若
z ＝ax ＋y 在点(3,2)处取得最大值，则实数a 的取值范围为________．
解析：作出可行域如图中阴影部分所示．由z ＝ax ＋y ，得y ＝－ax ＋z .当a ≤0时，结合图象，知当z ＝ax ＋y 在点(3,2)处取得最大值
时，－a ≤13，得－13≤a ≤0；当a >0时，显然满足题意．所以a ≥－1
3.
答案：[－1
3，＋∞)
14．[2020·山西省八校联考]若实数x ，y 满足不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x －y ＋2≥0，x ＋2y －4≥0，2x ＋y －5≤0，
且3(x －a )＋2(y ＋1)的最大值为5，则a ＝________.
解析：设z ＝3(x －a )＋2(y ＋1)，作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，
由z ＝3(x －a )＋2(y ＋1)得y ＝－32x ＋3a －2＋z 2，作出直线y ＝－3
2x ，平移该直线，易知当直线过点A (1,3)时，z 取得最大值，又目标函数的最大值为5，所以3(1－a )＋2(3＋1)＝5，解得a ＝2.
答案：2 [能力挑战]
15．[2020·天津二十五中月考]设实数x ，y 满足⎩⎪⎨⎪
⎧
x ≥2，3x －y ≥1，
y ≥x ＋1，则
下列不等式恒成立的是( )
A ．x ≥3
B ．y ≥4
C ．x ＋2y －8≥0
D ．2x －y ＋1≥0
解析：作出可行域如图中阴影部分所示．由图可以看出，阴影部分不全在直线x ＝3的右侧，故A 项不符合题意；由图可以看出，阴影部分不全在直线y ＝4的上侧，故B 项不符合题意；x ＋2y －8≥0，
即y ≥－12x ＋4，作出直线y ＝－1
2x ＋4，由图可以看出，阴影部分都
在直线y ＝－1
2x ＋4的上侧，故C 项符合题意；2x －y ＋1≥0，即y ≤2x ＋1，作出直线y ＝2x ＋1，由图可以看出，阴影部分不全在直线y ＝2x ＋1的下侧，故D 项不符合题意．故选C 项．
答案：C
16．[2020·上海华东师大附中月考]记不等式组⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋y ≤4，3x －2y ≥6，
x －y ≥4
表
示的平面区域为Ω，点P 的坐标为(x ，y )，则下面四个命题，p 1：∀P ∈Ω，
y ≤0，p 2：∀P ∈Ω，12x －y ≥2，p 3：∀P ∈Ω，－6≤y ≤6
5，p 4：∃P ∈Ω，12x －y ＝1
5.其中是真命题的是( )
A ．p 1，p 2
B ．p 1，p 3
C ．p 2，p 4
D ．p 3，p 4 解析：作出平面区域Ω如图中阴影部分所示，其中A (4,0)，由图
可知，y ∈(－∞，0]．作出直线y ＝1
2x ，并平移，易知当平移后的直
线经过点A 时，1
2x －y 取得最小值2，
则1
2x －y ≥2，从而p 1，p 2是真命题．故选A 项．
答案：A 17．[2019·辽宁大连二十四中期中]已知实数x ，y 满足
⎩⎪⎨⎪
⎧
x ＋2y －3≤0，x ＋3y －3≥0，y ≤1，
z ＝2x ＋y 的最大值为m ，且正数a ，b 满足a ＋b ＝
m ，则1a ＋4
b 的最小值为( )
A ．9 B.3
2 C.4
3 D.52
解析：作出可行域如图中阴影部分所示，由z ＝2x ＋y 得y ＝－2x ＋z ，作出直线y ＝－2x ，并平移，由图象可知当平移后的直线经过点A (3,0)时，z ＝2x ＋y 取得最大值．把(3,0)代入z ＝2x ＋y 得，z ＝2×3
＝6，即m ＝6.则a ＋b ＝6，即a 6＋b 6＝1，则1a ＋4b ＝（1a ＋4b ）（a 6＋b 6）＝
16＋46＋4a 6b ＋b 6a ≥56＋24a 6b ·b 6a ＝56＋2×26＝32，当且仅当4a 6b ＝b 6a ，即b ＝2a 时取等号．故选B 项．
答案：B。