北京市一零一中学2018-2019年11月高考数学模拟题

北京市一零一中学2018-2019 年 11 月高考数学模拟试题
班级 __________座号 _____姓名 __________分数 __________
一、选择题（本大题共 10 小题，每题 5 分，共 50 分 .每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项切合题目要求的 .）
1．知足以下条件的函数f (x) 中， f (x) 为偶函数的是（） A. f (e x ) | x |
B. f (e x ) e 2 x
C. f (ln x)
ln x 2
D. f (ln x)
x
1
x
【命题企图】此题考察函数的分析式与奇偶性等基础知识，意在考察剖析求解能力 .
2． 若复数 z 1, z 2 在复平面内对应的点对于
y 轴对称， 且 z 1 2 i ，则复数 z 1
在复平面内对应的点在 （
）
z 2
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题企图】此题考察复数的几何意义、代数运算等基础知识，意在考察转变思想与计算能力．
3． 一个几何体的三个视图以下，每个小格表示一个单位 , 则该几何体的侧面积为（
）
A. 4
B. 2 5
C. 5
D. 2
2 5
【命题企图】 此题考察空间几何体的三视图，
几何体的侧面积等基础知识， 意在考察学生空间想象能力和计算
能力．
4． 将函数 f ( x)
2sin(
x
) 的图象向左平移 个单位，再向上平移 3 个单位，获得函数 g( x) 的图象，
3
6
4
则 g(x) 的分析式为（ ）
A ． g( x)
2sin(
x
) 3
B ．
3 4
C ． g( x)
x
) 3 D ． 2sin(
3 12
g (x)
2 sin(
x
) 3
3
4 g( x) x ) 3 2sin(
3
12
【命题企图】 此题考察三角函数的图象及其平移变换理论，突出了对函数图象变换思想的理解，属于中等难度. 5．设会合AxR |2x2 ， Bx | x10 ，则A(e R B)（） A.x |1x2B.x |2x1C.x |2x1D.x |2x 2
【命题企图】此题主要考察会合的观点与运算，属简单题.
6．某几何体的三视图以下（此中三视图中两条虚线相互垂直）则该几何体的体积为（）
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8
A. 3 B ． 4
16 20
C. 3 D ．3
x2 y2
1 (a 0, b 0) 左支上一点，F1，F
2 是双曲线的左、7．已知点P是双曲线 C：
b2
a2
右两个焦点，且 PF1 PF2，PF2与两条渐近线订交于M ，N两点（如图），点 N 恰巧均分线段 PF2，则双曲线的离心率是（）
A. 5
B.2
C. 3
D. 2
【命题企图】此题考察双曲线的标准方程及其性质等基础知识知识，意在考察运算求解能力.
8．已知a, b, c为ABC 的三个角A, B, C所对的边，若3b cosCc(13cos B) ，则sin C:sinA（）
A ．2︰ 3B．4︰3C．3︰1D．3︰2
【命题企图】此题考察正弦定理、余弦定理，意在考察转变能力、运算求解能力．
2＋2z
9．复数知足＝iz，则z等于（）
1－ i
A ．1＋ i
B ．－ 1＋ i
C． 1－ i D ．－ 1－ i
10．已知会合A{2, 1,0,1,2,3} ， B{ y | y| x | 3, xA} ，则AB（）
A ．{2, 1,0}B．{1,0,1,2}C．{2, 1,0}D ．{1,,0,1}
【命题企图】此题考察会合的交集运算，意在考察计算能力．
二、填空题（本大题共5 小题，每题 5 分，共 25 分 .把答案填写在横线上）
11．如图，已知m ， n 是异面直线，点A ，Bm ，且 AB6 ；点 C ， Dn ，且 CD4 .若M， N 分
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别是 AC ，BD 的中点， MN22 ，则m 与n 所成角的余弦值是______________.
【命题企图】 此题考察用空间向量知识求异面直线所成的角，考察空间想象能力，推理论证能力， 运算求解能 力 .
12 ．已知函数
f (x) 2 tan x ，则 f ( ) 的值是 _______， f ( x) 的最小正周期是 ______.
1 tan
2 x 3
【命题企图】此题考察三角恒等变换，三角函数的性质等基础知识，意在考察运算求解能力．
13． F 1 ， F 2
x 2 y 2 1（ a ， b
0 ）的左、右焦点，点 P 在双曲线上，知足 PF 1 PF 2 0 ，
分别为双曲线
b 2
a 2
3 1
若 PF 1 F 2 的内切圆半径与外接圆半径之比为
，则该双曲线的离心率为 ______________.
2
【命题企图】 此题考察双曲线的几何性质， 直角三角形内切圆半径与外接圆半径的计算等基础知识，
意在考察
基本运算能力及推理能力．
14．如图，在三棱锥 P ABC 中， PA PB PC ， PA PB ， PA PC ， △PBC 为等边三角形，则 PC
与平面 ABC 所成角的正弦值为______________.
【命题企图】此题考察空间直线与平面所成角的观点与计算方法，意在考察学生空间想象能力和计算能力．
15．已知向量 a,b 知足 a 2
2 ， (a b) (3a b) 4 ，则 a 与 b 的夹角为
4 ， | b | .
【命题企图】 此题考察向量的数目积、 模及夹角知识， 突出对向量的基础运算及化归能力的考察， 属于简单题 .
三、解答题（本大共 6 小题，共 75 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）
16．（本小题满分10 分）已知函数f （ x ）＝ |x － a|＋ |x ＋ b|，（ a ≥ 0，b ≥0）． （ 1）求 f （ x ）的最小值，并求取最小值时x 的范围； （ 2）若 f （ x ）的最小值为2，求证： f （ x ）≥a ＋b.
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2 2
17．（本小题满分 12 分）设 f（ x）＝－ x ＋ax＋ a ln x（ a≠ 0）．
（ 1）议论 f（ x）的单一性；
2
，e]时恒建立，若存在求出 a 的值，若不存在说明原因．（ 2）能否存在 a＞0，使 f（ x）∈ [e－ 1，e ]对于 x∈[1
18．（本小题满分10 分）选修4-1：几何证明选讲．
如图， AB 是⊙O 的直径， AC 是⊙O 的切线， BC 交⊙O 于 E，过 E 的切线与AC交于 D.
（1）求证： CD ＝DA ；
（2）若 CE＝ 1， AB＝ 2，求 DE 的长．
19．（本小题满分12 分）△ ABC 的三内角 A， B，C 的对边分别为a， b， c，AD 是 BC 边上的中线．
1222
（ 1）求证： AD ＝22b ＋ 2c －a ；
19sin B 3
（2）若 A＝ 120°，AD ＝2，sin C＝5，求△ ABC 的面积．
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20．（本小题满分 12 分）已知函数 f x
ax 2 bx ln x （ a, b R ）．
（
1）当 a 1,b 3 时，求函数 f x 在 1
,2 上的最大值和最小值；
a 0 b
x 2
f ( x)
（ 2
）当 时，能否存在实数 ，当 0,e
（ e 是自然常数）时，函数 的最小值是 3
，若存在，求 出 b 的值；若不存在，说明原因； 21．（本小题满分12 分）
如图，在四棱锥PABCD 中，底面 ABCD 是菱形，且ABC120 ．点E 是棱 PC 的中点，平面ABE 与棱PD 交于点 F ． （ 1）求证：AB / /EF ； （ 2）若 PA PD AD 2 ，且平面 PAD
平面 ABCD ，求平面 PAF 与平面 AFE 所成的锐二面角的余
弦值．
P
F E
D
C
A
B
【命题企图】 本小题主要考察空间直线与平面， 直线与直线垂直的判断， 二面角等基础知识， 考察空间想象能
力 ,推理论证能力 ,运算求解能力，以及数形联合思想、化归与转变思想
.
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北京市一零一中学2018-2019 年 11 月高考数学模拟试题（参照答案）
一、选择题（本大题共10 小题，每题 5 分，共 50 分 .每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项 切合题目要求的 .）
1．【答案】 D. 【分析】
2．【答案】 B 【分析】
3．【答案】 B 4． 【答案】 B
【分析】 依据三角函数图象的平移变换理论可得，将
f ( x) 的图象向左平移
个单位获得函数 f ( x
) 的图
4
4
象，再将 f ( x 4 ) 的图象向上平移 3 个单位获得函数 f (x ) 3 的图象，所以 g( x) f ( x
) 3
1 x 4
4
) ] 3 2sin( ) 3 .
2sin[ ( x
3
3
4 6 4
5． 【答案】 B
【分析】 易知 B x | x 1
0 x | x
1，所以A
(e R B)
x | 2 x
1 ，应选 B.
6． 【答案】
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【分析】选 D. 依据三视图可知，该几何体是一个棱长为 2 的正方体挖去一个以正方体的中心为极点，上底面
3 1 20
为底面的正四棱锥后剩下的几何体如图，其体积V＝2 －3×2×2×1＝ 3 ，应选 D.
7．【答案】 A.
【解析】8．【答案】 C
【分析】由已知等式，得 c 3b cosC 3c cosB ，由正弦定理，得sin C 3(sin B cosC sin C cos B) ，则sin C 3sin( B C ) 3sin A ，所以sin C :sin A 3:1 ，应选C．
9．【答案】
【分析】分析：选 D. 法一：由2＋ 2z
＝ iz 得1－ i
2＋ 2z＝ iz＋ z，
即（ 1－i ） z＝－ 2，
－2 － 2（ 1＋ i）∴z＝＝
2 ＝－ 1－i.
1－ i
法二：设z＝ a＋ bi（ a，b∈R），
∴2＋ 2（ a＋ bi ）＝（ 1－i） i （a＋ bi），
即 2＋2a＋ 2bi ＝ a－ b＋（ a＋ b） i ，
2＋ 2a＝ a－ b
∴，
2b＝ a＋ b
∴a＝ b＝－ 1，故 z＝－ 1－ i.
10．【答案】 C
【分析】当 x{2, 1,0,1,2,3} 时， y| x |3{3, 2, 1,0} ，所以AB{2, 1,0} ，应选C．二、填空题（本大题共5 小题，每题 5 分，共 25 分 .把答案填写在横线上）
5
11．【答案】
12
【分析】
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12．【答案】 3 ，.
【分析】∵ f ( x) 2 tan x tan 2x ，∴ f ( ) tan 2 x k
，∴ f ( x) 的定义域为
3 ，又∵ 2
1 tan
2 x
3 3
1
2
0 tan x
( k , k ) ( k ,k ) ( k , k ) ， k Z ，将 f (x) 的图象以以下图画出，进而
2 4 4 4 4 2 可知其最小正周期为，故填：
3 ，.
13．【答案】31
【分析】
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21
14．【答案】
7
【分析】
2
15．【答案】
3
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【分析】
三、解答题（本大共6 小题，共 75 分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）16．【答案】
【分析】解：（ 1）由 |x－ a|＋ |x＋ b|≥ |（ x－ a）－（ x＋ b） |
＝|a＋ b|得，
当且仅当（ x－ a）（ x＋ b）≤ 0，即－ b≤ x≤ a 时， f（ x）获得最小值，
∴当 x∈ [－ b，a]时， f（ x）min＝ |a＋ b|＝ a＋ b.
（2）证明：由（ 1）知 a＋ b＝ 2，
（a＋ b）2＝ a＋ b＋2 ab≤2（ a＋b）＝ 4，
∴a＋ b≤2，
∴f（x）≥ a＋ b＝ 2≥a＋b，
即 f（ x）≥ a＋ b.
17．【答案】
2
2 2 a 【分析】解：（ 1） f（x）＝－ x ＋ax＋ a ln x 的定义域为 { x|x＞ 0} ， f′（x）＝－ 2x＋ a＋x a
－ 2（ x＋2）（ x－ a）
.
＝
x
a
①当 a＜ 0 时，由 f′（ x）＜ 0 得 x＞－2，
a
由 f′（ x）＞ 0 得 0＜ x＜－2.
a
此时 f（ x）在（ 0，－2）上单一递加，
a
②当 a＞ 0 时，由 f′（ x）＜ 0 得 x＞ a，
由 f′（ x）＞ 0 得 0＜ x＜ a，
此时 f（ x）在（ 0， a）上单一递加，在（a，＋∞）上单一递减．
（2）假定存在知足条件的实数a，
∵x∈ [1， e]时， f（ x）∈[e－ 1， e2] ，
∴f（1）＝－ 1＋ a≥ e－ 1，即 a≥ e，①由
（ 1）知 f（ x）在（ 0， a）上单一递加，
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∴f（x）在 [1， e]上单一递加，
222
∴f（e）＝－ e ＋ ae＋ e ≤e ，即 a≤ e，②
故存在 a＝ e，知足条件．
18．【答案】
【分析】解：（ 1）证明：
如图，连结AE，
∵AB 是⊙ O 的直径，
AC， DE 均为⊙ O 的切线，
∴∠AEC ＝∠ AEB＝ 90°，
∠DAE ＝∠DEA ＝∠B，
∴DA＝ DE .
∠C＝ 90°－∠B＝ 90°－∠DEA ＝∠DEC ，
∴DC＝ DE ，
∴CD＝ DA .
（2）∵CA 是⊙ O 的切线， AB 是直径，
∴∠CAB ＝ 90°，
由勾股定理得CA2＝ CB2－ AB2，
又 CA2＝ CE× CB， CE＝ 1，AB＝ 2，
∴1·CB＝ CB2－ 2，
即 CB2－ CB－ 2＝ 0，解得 CB＝ 2，
∴CA2＝ 1× 2＝ 2，∴CA＝ 2.
1 2
由（ 1）知 DE ＝2CA＝2，
2
所以DE的长为2.
19．【答案】
【分析】解：
第11页，共15页
（ 1）证明： ∵ D 是 BC 的中点，
a
∴BD ＝ DC ＝ 2
.
22 a
2
法一：在 △ ABD 与△ ACD 中分别由余弦定理得 c ＝ AD ＋ 4 － 2AD ·
a
2cos ∠ADB ，①
2 a
2 2 ＋ a
b ＝ AD 4 － 2AD ··cos ∠ADC ，②
2 2 a 2
2 2
①＋ ②得 c ＋ b ＝ 2AD ＋ 2 ，
即 4AD 2＝ 2b 2＋ 2c 2－a 2，
1 2 2 2 ∴AD ＝ 2 2b ＋ 2c － a .
法二：在 △ ABD 中，由余弦定理得
2 2 a 2
a AD ＝ c ＋
4 － 2c ·
2cos B
2
a 2
a 2＋ c 2－
b 2
＝ c ＋ 4 － ac ·
2ac 2b 2＋ 2c 2－ a 2
＝ 4
，
1 2 2
2
∴AD ＝ 2 2b ＋ 2c － a .
1 sin B 3
（ 2）∵A ＝ 120°，AD ＝2 19，sin C ＝5，
由余弦定理和正弦定理与（1）可得
a 2＝
b 2＋
c 2＋ bc ，① 2b 2＋ 2c 2－ a 2＝ 19，② b3
c ＝5，③
联立①②③解得 b ＝ 3， c ＝5， a ＝ 7，
11153
∴△ABC 的面积为S ＝2bc sin A ＝2×3×5×sin 120°＝4.
15
即△ ABC 的面积为43. 20．【答案】
【分析】 【命题企图】此题考察利用导数研究函数的单一性与最值、不等式的解法等基础知识，意在考察逻辑思想能力、等价转变能力、剖析与解决问题的能力、研究能力、运算求解能力．
第12页，共15页
2a
0 f
x bx ln x
b
g x
bx ln x x
0,e
3
f ( x)
b
1
bx 1
x
x 7
4 b
f ( x)
0,e
f (x)min
f e be 1 3,b
8
e
1 ef ( x)0,
1 1
b
,e
b
b
f (x)min
g 1
1 ln b 3, b e 210
b
1 ef (x)
0,e f (x)min
4
g e be 1 3,b
b
e
11
be 2x0,e f ( x)312
21
第13页，共15页
∵BG平面PAD，∴GB(0,3,0) 是平面PAF的一个法向量，
第14页，共15页
第15页，共15页。