高考数学一轮复习学案：12.2 古典概型(含答案)

高考数学一轮复习学案：12.2 古典概型（含答
案）
12.2古典概型古典概型最新考纲考情考向分析1.理解古典概型及其概率计算公式.
2.会计算一些随机事件所包含的基本事件数及事件发生的概率.全国对古典概型每年都会考查，主要考查实际背景的可能事件，通常与互斥事件.对立事件一起考查在高考中单独命题时，通常以选择题.填空题形式出现，属于中低档题；与统计等知识结合在一起考查时，以解答题形式出现，属中档题.1基本事件的特点1任何两个基本事件是互斥的；2任何事件除不可能事件都可以表示成基本事件的和2古典概型具有以下两个特点的概率模型称为古典概率模型，简称古典概型1试验中所有可能出现的基本事件只有有限个；2每个基本事件出现的可能性相等3如果一次试验中可能出现的结果有n个，而且所有结果出现的可能性都相等，那么每一个基本事件的概率都是1n；如果某个事件A包括的结果有m个，那么事件A的概率PAmn.4古典概型的概率公式PAA包含的基本事件的个数基本事件的总数.题组一思考辨析1判断下列结论是否正确请在括号中打“”或“”1“在适宜条件下，种下一粒种子观察它是否发芽”属于古典概型，其基本事件是“发芽”与“不发芽”2掷一枚硬币两次，出现“两个正面”“一正一
反”“两个反面”，这三个结果是等可能事件3从市场上出售的标准为5005g的袋装食盐中任取一袋测其重量，属于古典概型4有3个兴趣小组，甲.乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为1
3.5从1,2,3,4,5中任取出两个不同的数，其和为5的概率是0.2.6在古典概型中，如果事件A中基本事件构成集合A，且集合A中的元素个数为n，所有的基本事件构成集合I，且集合I中元素个数为m，则事件A的概率为nm.题组二
教材改编2P127例3一个盒子里装有标号为1,2,3,4的4张卡片，随机地抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的概率是
A.14
B.13
C.12
D.23答案D解析抽取两张卡片的基本事件有1,2，1,3，
1,4，2,3，2,4，3,4，共6种，和为奇数的事件有1,2，1,4，2,3，3,4，共4种所求概率为462
3.3P145A组T5袋中装有6个白球，5个黄球，4个红球，从中任取一球，则取到白球的概率为
A.25
B.415
C.35
D.23答案A解析从袋中任取一球，有15种取法，其中取到白球的取法有6种，则所求概率为P6152
5.4P134A组T6已知5件产品中有2件次品，其余为合格品现从这5件产品中任取2件，恰有一件次品的概率为________答案0.6解析从5件产品中任取2件共有C2510种取法，恰有一件次品的取法有C12C136种，所以恰有一件次品的概率为6
100.6.题组三
易错自纠5将2本不同的数学书和1本语文书在书架上随机排成一行，则2本数学书相邻的概率为
A.12
B.13
C.23
D.56答案C解析设两本不同的数学书为a1，a2,1本语文书为b，则在书架上的摆放方法有a1a2b，a1ba2，a2a1b，a2ba1，
ba1a2，ba2a1，共6种，其中数学书相邻的有4种因此2本数学书相邻的概率P462
3.6xx合肥检测已知函数fx2x24ax2b2，若a4,6,8，b3,5,7，则该函数有两个零点的概率为________答案23解析要使函数
fx2x24ax2b2有两个零点，即方程x22axb20有两个实根，则
4a24b20，又a4,6,8，b3,5,7，即ab，而a，b的取法共有339
种，其中满足ab的取法有4,3，6,3，6,5，8,3，8,5，8,7，共6种，所以所求的概率为692
3.题型一题型一基本事件与古典概型的判断基本事件与古典概型的判断1下列试验中，古典概型的个数为向上抛一枚质地不均匀的硬币，观察正面向上的概率；向正方形ABCD内，任意抛掷一点P，点P恰与点C重合；从1,2,3,4四个数中，任取两个数，求所取两数之一是2的概率；在线段0,5上任取一点，求此点小于2的概率A0B1C2D3答案B解析中，硬币质地不均匀，不是等可能事件，所以不是古典概型；的基本事件都不是有限个，不是古典概型；符合古典概型的特点，是古典概型2xx沈阳模拟有两个正四面体的玩具，其四个面上分别标有数字1,2,3,4，下面做投掷这两个正四面体玩具的试验用x，y表示结果，其中x表示第1个正四面体玩具出现的点数，y表示第2个正四面体玩具出现的点数试写出1试验的基本事件；2事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件；3事件“出现点数相等”包含的基本事件解1这个试验的基本事件为1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,42事件“出现点数之和大于3”包含的基本事件为1,3，1,4，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,43事件“出现点数相等”包含的基本事件为1,1，2,2，3,3，4,43袋中有大小相同的5个白球，3个黑球和3个红球，每球有一个区别于其他球的编号_________，从中摸出一个球1有多少种不同的摸法如果把每个球
的编号_________看作一个基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型2若按球的颜色为划分基本事件的依据，有多少个基本事件以这些基本事件建立概率模型，该模型是不是古典概型解1由于共有11个球，且每个球有不同的编号_________，故共有11种不同的摸法又因为所有球大小相同，因此每个球被摸中的可能性相等，故以球的编号_________为基本事件的概率模型为古典概型2由于11个球共有3种颜色，因此共有3个基本事件，分别记为A“摸到白球”，B“摸到黑球”，C“摸到红球”，又因为所有球大小相同，所以一次摸球每个球被摸中的可能性均为111，而白球有5个，故一次摸球摸到白球的可能性为511，同理可知摸到黑球.红球的可能性均为311，显然这三个基本事件出现的可能性不相等，故以颜色为划分基本事件的依据的概率模型不是古典概型思维升华一个试验是否为古典概型，在于这个试验是否具有古典概型的两个特点有限性和等可能性，只有同时具备这两个特点的概型才是古典概型题型二题型二
古典概型的求法古典概型的求法典例1xx全国从分别写有
1,2,3,4,5的5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张，则抽得的第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的概率为
A.110
B.15
C.310
D.25答案D解析从5张卡片中随机抽取1张，放回后再随机抽取1张的情况如图基本事件总数为25，第一张卡片上的数大于第二张卡片上的数的事件数为10，所求概率P10252
5.2袋中有形状.大小都相同的4个球，其中1个白球，1个红球，2个黄球，从中一次随机摸出2个球，则这2个球颜色不同的概率为________答案56解析基本事件共有C246种，设取出两个球颜色不同为事件
A.A包含的基本事件有C12C12C11C115种故PA5
6.3我国古代“五行”学说认为“物质分金.木.土.水.火五种属性，金克木.木克土.土克水.水克火.火克金”将这五种不同属性的物质任意排成一列，设事件A表示“排列中属性相克的两种物质不相邻”，则事件A发生的概率为________答案112解析五种不同属性的物质任意排成一列的所有基本事件数为A55120，满足事件A“排列中属性相克的两种物质不相邻”的基本事件可以按如下方法进行考虑从左至右，当第一个位置的属性确定后，例如金，第二个位置除去金本身只能排土或水属性，当第二个位置的属性确定后，其他三个位置的属性也确定，故共有C15C1210种可能，所以事件A出现的概率为101201
12.引申探究1本例2中，若将4个球改为颜色相同，标号分别为1,2，3,4的四个小球，从中一次取两球，求标号和为奇数的概率解基本事件数仍为
6.设标号和为奇数为事件A，则A包含的基本事件为1,2，1,4，2,3，3,4，共4种，所以PA462
3.2本例2中，若将条件改为有放回地取球，取两次，求两次取球颜色相同的概率解基本事件数为C14C1416，颜色相同的事件数为C12C11C12C126，故所求概率P6163
8.思维升华求古典概型的概率的关键是求试验的基本事件的总数和事件A包含的基本事件的个数，这就需要正确列出基本事件，基本事件的表示方法有列举法.列表法和树状图法，具体应用时可根据需要灵活选择跟踪训练xx山东某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A1，A2，A3和3个欧洲国家B1，B2，B3中选择2个国家去旅游1若从这6个国家中任选2个，求这2个国家都是亚洲国家的概率；2若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，求这2个国家包括A1但不包括B1的概率解1由题意知，从6个国家中任选2个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共15个所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有A1，
A2，A1，A3，A2，A3，共3个，则所求事件的概率为P3151
5.2从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，其一切可能的结果组成的基本事件有A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共9个包括A1但不包括B1
的事件所包含的基本事件有A1，B2，A1，B3，共2个，则所求事件的概率为P2
9.题型三题型三
古典概型与统计的综合应用古典概型与统计的综合应用典例某县共有90个农村淘宝服务网点，随机抽取6个网点统计其元旦期间的网购金额单位万元的茎叶图如图所示，其中茎为位数，叶为个位数1根据茎叶图计算样本数据的平均数；2若网购金额单位万元不小于18的服务网点定义为优秀服务网点，其余为非优秀服务网点，根据茎叶图推断这90个服务网点中优秀服务网点的个数；3从随机抽取的6个服务网点中再任取2个作网购商品的调查，求恰有1个网点是优秀服务网点的概率解1由题意知，样本数据的平均数x46121218206
12.2样本中优秀服务网点有2个，概率为2613，由此估计这90个服务网点中优秀服务网点有901330个3样本中优秀服务网点有2个，分别记为a1，a2，非优秀服务网点有4个，分别记为
b1，b2，b3，b4，从随机抽取的6个服务网点中再任取2个的可能情况有a1，a2，a1，b1，a1，b2，a1，b3，a1，b4，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a2，b4，b1，b2，b1，b3，b1，b4，b2，b3，b2，b4，b3，b4，共15种，记“恰有1个是优秀服务网点”为事件M，则事件M包含的可能情况有a1，b1，a1，b2，a1，b3，
a1，b4，a2，b1，a2，b2，a2，b3，a2，b4，共8种，故所求概率PM8
15.思维升华有关古典概型与统计结合的题型是高考考查概率的一个重要题型，已成为高考考查的热点，概率与统计结合题，无论是直接描述还是利用概率分布表.频率分布直方图.茎叶图等给出信息，准确从题中提炼信息是解题的关键跟踪训练从某学校xx届高三年级共800名男生中随机抽取50名测量身高，被测学生身高全部介于155cm和195cm之间，将测量结果按如下方式分成八组
第一组155,160，第二
组160,165，，
第八组190,195，如图是按上述分组方法得到的频率分布直方图的一部分，已知第六组比第七组多1人，第一组和第八组人数相同1求第六组.第七组的频率并补充完整频率分布直方图；2若从身高属于第六组和第八组的所有男生中随机抽取两名，记他们的身高分别为x，y，求|xy|5的概率解1由频率分布直方图知，前五组的频率为0.00
80.01
60.0
40.0
40.06
50.82，所以后三组的频率为
10.8
20.18，人数为0.18509，由频率分布直方图得第八组的频率为0.008
50.04，人数为0.04502，设第六组人数为m，则第七组人数为m1，又mm129，所以m4，即第六组人数为4，第七组人数为3，频率分别为0.08,0.06，频率除以组距分别等于0.016,0.012，则完整的频率分布直方图如图所示2由1知身高在180,185内的男生有四名，设为a，b，c，d，身高在190,195的男生有两名，设为A，
B.若x，y180,185，有ab，ac，ad，bc，bd，cd共6种情况；若x，y190,195，只有AB1种情况；若x，y分别在
180,185，190,195内，有aA，bA，cA，dA，aB，bB，cB，dB共8种情况，所以基本事件的总数为68115，事件|xy|5包含的基本事件的个数为617，故所求概率为7
15.六审细节更完善典例12分一个袋中装有四个形状大小完全相同的球，球的编号_________分别为1,2,3,
4.1从袋中随机取两个球，求取出的球的编号_________之和不大于4的概率；2先从袋中随机取一个球，该球的编号
_________为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号_________为n，求nm2的概率1基本事件为取两个球两球一次取出，不分先后，可用集合的形式表示把取两个球的所有结果列举出来1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4两球编号
_________之和不大于4注意和不大于4，应为小于4或等于
41,2，1,3利用古典概型概率公式求解P26132两球分两次取，且有放回两球的编号_________记录是有次序的，用坐标的形式表示基本事件的总数可用列举法表示1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，
2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4注意细节，m是第1个球的编号_________，n是第2个球的编号
_________nm2的情况较多，计算复杂将复杂问题转化为简单问题计算nm2的概率nm2的所有情况为1,3，1,4，2,4P1316注意细节，P1316是nm2的概率，需转化为其对立事件的概率nm2的概率为1P113
16.规范解答解1从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的基本事件有1,2，1,3，1,4，2,3，2,4，3,4，共6个从袋中取出的球的编号_________之和不大于4的事件有1,2，1,3，共2个因此所求事件的概率P261
3.4分2先从袋中随机取一个球，记下编号_________为m，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号_________为n，其一切可能的结果有1,1，1,2，1,3，1,4，2,1，2,2，2,3，2,4，3,1，3,2，3,3，3,4，4,1，4,2，4,3，4,4，共16个6分又满足条件nm2的事件为1,3，1,4，2,4，共3个，所以满足条件nm2的事件的概率P13
16.10分故满足条件nm2的事件的概率为1P1131613
16.12分
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