高一数学下册第5章三角比5.6正弦定理余弦定理和解斜三角形5.6.3正余弦定理的应用课件沪教
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ABC的外接圆半径R 2 2，求边c.
分析：已知两边和外接圆半径，因此可用正弦定理
先求角的正弦 。
28，4
55
例2、在ABC中，求证： a2 sin 2B b2 sin 2A 2absin C
分析：扩充正弦定理可使边与角的正弦互相转换。
证： a 2Rsin A,b 2R sin B
左边 8R2 sin2 Asin B cos B 8R2 sin2 Bsin Acos A 8R2 sin Asin B(sin Acos B sin B cos A)
2(2Rsin A)(2Rsin B)sin(A B)
2absin C 右边.
原等式成立。
思考：要实现边角关系的互相转换，还可以用什么知识？
（2）正弦定理解决以下两类有关三角形问题： ① 已知两角和任意边，求其他两边和一角。
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角和第三边。(注意解的情况)
（3）余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两
边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
2 所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解毕
注：从角的关系判断三角形形状。
例3.在 ABC 中，a cos A bcos B ，判断ABC
的形状.
解法二：根据余弦定理得
cos A b2 c2 a2 , cos B a2 c2 b2
2bc
2ac
代入条件并化简得
定理运用
例1、在Δ ABC中，已知a=8，b=5，S=12， （1）求c；
（2）求最小角正弦。
分析：由三角形面积公式可知已知条件相当于已知 SAS，因此可用余弦定理。
Ex1.1、在 ABC中，a=4，b=5，c=6， 求证：C=2A。
分析：已知三边，因此可用余弦定理先求角的余弦。
Ex1.2、在ABC中，已知a 4，b 16 2， 5
5.6（3） 正弦定理、余弦定理
综合运用
课前回顾
（1）三角形面积公式：
等于任意两边与它们夹角正弦值乘积的一半。
1
1
1
SABC 2 ab sin C 2 bc sin A 2 ac sin B
正弦定理： 三角形中各边与它所对角的正弦之比相等。
a b c 2R
sin A sin B sin C
例2、在 ABC中，求证：
a2 sin 2B b2 sin 2A 2absin C
证： 由正、余弦定理可得：
左边=2a2 sin B cos B 2b2 sin Acos A
2a2 b a2 c2 b2 ຫໍສະໝຸດ 2b2 a b2 c2 a2
2R 2ac
2R 2bc
ab(a2 c2 b2 ) ab(b2 c2 a2 ) ab 2c2
2Rc
2Rc
2Rc
2abc 2absinC 原等式成立。 2R
注：边与角的正、余弦关系的互相转换用途很多。
Ex2、在 ABC中，求证：
a cos2 B b cos2 A 1 a b c
2
22
分析：观察到有cos2，可用倍角公式（降幂扩角）， 再考虑选用正、余弦定理。
2
2
2
2
tan A B cot C
2
2
c2 (a2 b2 ) (a2 b2 )(a2 b2 )
解得 a b 或 c2 a2 b2
所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解毕
注：从边的关系判断三角形形状。
Ex3、三角形ABC中，
sinAcosB+sinAcosC=sinC+sinB
判断ABC的形状。
讨论：有哪些不同的做法？
小结
1、两个定理的使用范围 解三角形 证明三角形中的恒等式 判断三角形形状
2、注意多解情况及检验
3、熟悉三角形中的三角变换
三角形中常用的三角变换:
(1) sinA B sin C;cosA B cosC tanA B tan C
2sin A B cos C ；cos A B sin C
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cosC a2 b2 c2
2ab
（4）余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： 已知两边和其中一边的对角，求第三边（列方程）。
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
例3.在 ABC 中，a cos A bcos B ，判断ABC
的形状.
解：根据正弦定理得 a 2R sin A,b 2R sin B 代入条件并化简得 sin Acos A sin Bcos B
即 sin 2A sin 2B
2A, 2B (0, ) 2A 2B 或者 2A 2B 得 AB或AB
分析：已知两边和外接圆半径，因此可用正弦定理
先求角的正弦 。
28，4
55
例2、在ABC中，求证： a2 sin 2B b2 sin 2A 2absin C
分析：扩充正弦定理可使边与角的正弦互相转换。
证： a 2Rsin A,b 2R sin B
左边 8R2 sin2 Asin B cos B 8R2 sin2 Bsin Acos A 8R2 sin Asin B(sin Acos B sin B cos A)
2(2Rsin A)(2Rsin B)sin(A B)
2absin C 右边.
原等式成立。
思考：要实现边角关系的互相转换，还可以用什么知识？
（2）正弦定理解决以下两类有关三角形问题： ① 已知两角和任意边，求其他两边和一角。
② 已知两边和其中一边的对角，求另一边 的对角和第三边。(注意解的情况)
（3）余弦定理： 三角形任何一边的平方等于其他两
边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍。
a2 b2 c2 2bc cos A b2 a2 c2 2ac cosB c2 a2 b2 2ab cosC
2 所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解毕
注：从角的关系判断三角形形状。
例3.在 ABC 中，a cos A bcos B ，判断ABC
的形状.
解法二：根据余弦定理得
cos A b2 c2 a2 , cos B a2 c2 b2
2bc
2ac
代入条件并化简得
定理运用
例1、在Δ ABC中，已知a=8，b=5，S=12， （1）求c；
（2）求最小角正弦。
分析：由三角形面积公式可知已知条件相当于已知 SAS，因此可用余弦定理。
Ex1.1、在 ABC中，a=4，b=5，c=6， 求证：C=2A。
分析：已知三边，因此可用余弦定理先求角的余弦。
Ex1.2、在ABC中，已知a 4，b 16 2， 5
5.6（3） 正弦定理、余弦定理
综合运用
课前回顾
（1）三角形面积公式：
等于任意两边与它们夹角正弦值乘积的一半。
1
1
1
SABC 2 ab sin C 2 bc sin A 2 ac sin B
正弦定理： 三角形中各边与它所对角的正弦之比相等。
a b c 2R
sin A sin B sin C
例2、在 ABC中，求证：
a2 sin 2B b2 sin 2A 2absin C
证： 由正、余弦定理可得：
左边=2a2 sin B cos B 2b2 sin Acos A
2a2 b a2 c2 b2 ຫໍສະໝຸດ 2b2 a b2 c2 a2
2R 2ac
2R 2bc
ab(a2 c2 b2 ) ab(b2 c2 a2 ) ab 2c2
2Rc
2Rc
2Rc
2abc 2absinC 原等式成立。 2R
注：边与角的正、余弦关系的互相转换用途很多。
Ex2、在 ABC中，求证：
a cos2 B b cos2 A 1 a b c
2
22
分析：观察到有cos2，可用倍角公式（降幂扩角）， 再考虑选用正、余弦定理。
2
2
2
2
tan A B cot C
2
2
c2 (a2 b2 ) (a2 b2 )(a2 b2 )
解得 a b 或 c2 a2 b2
所以 ABC 为等腰三角形或直角三角形. 解毕
注：从边的关系判断三角形形状。
Ex3、三角形ABC中，
sinAcosB+sinAcosC=sinC+sinB
判断ABC的形状。
讨论：有哪些不同的做法？
小结
1、两个定理的使用范围 解三角形 证明三角形中的恒等式 判断三角形形状
2、注意多解情况及检验
3、熟悉三角形中的三角变换
三角形中常用的三角变换:
(1) sinA B sin C;cosA B cosC tanA B tan C
2sin A B cos C ；cos A B sin C
cos A b2 c2 a2 2bc
a2 c2 b2 cos B
2ac cosC a2 b2 c2
2ab
（4）余弦定理可以解决以下两类有关三角形问题： 已知两边和其中一边的对角，求第三边（列方程）。
（1）已知三边求三个角；
（2）已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两个角。
例3.在 ABC 中，a cos A bcos B ，判断ABC
的形状.
解：根据正弦定理得 a 2R sin A,b 2R sin B 代入条件并化简得 sin Acos A sin Bcos B
即 sin 2A sin 2B
2A, 2B (0, ) 2A 2B 或者 2A 2B 得 AB或AB