丹徒区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案

丹徒区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案
一、选择题
1． 已知等比数列{a n }的第5项是二项式（
x+）4展开式的常数项，则a 3•a 7（ ） A ．5 B ．18
C ．24
D ．36
2． 已知函数f （x ）=3cos （2x ﹣），则下列结论正确的是（ ）
A ．导函数为
B ．函数f （x ）的图象关于直线对称
C ．函数f （x ）在区间（﹣
，
）上是增函数
D ．函数f （x ）的图象可由函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度得到
3． 若直线:1l y kx =-与曲线C ：1
()1e x
f x x =-+没有公共点，则实数k 的最大值为（ ） A ．－1 B ．
1
2
C ．1 D
【命题意图】考查直线与函数图象的位置关系、函数存在定理，意在考查逻辑思维能力、等价转化能力、运算求解能力．
4． 已知函数f （x ）=2x ﹣2，则函数y=|f （x ）|的图象可能是（ ）
A
． B
．C
．
D
．
5．
与椭圆
有公共焦点，且离心率
的双曲线方程为（ ）
A
． B
． C
．
D
．
6． 已知抛物线关于x 轴对称，它的顶点在坐标原点O ，并且经过点M （2，y 0）．若点M 到该抛物线焦点的距离为3，则|OM|=（ ）
班级_______________ 座号______ 姓名_______________ 分数_______________
___________________________________________________________________________________________________
A ．
B ．
C ．4
D ．
7． 已知函数f （x ）是定义在R 上的偶函数，且对任意的x ∈R ，都有f （x+2）=f （x ）．当0≤x ≤1时，f （x ）=x 2．若直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，则实数a 的值是（ ）
A ．0
B ．0或
C ．
或
D ．0或
8． 奇函数f （x ）在区间[3，6]上是增函数，在区间[3，6]上的最大值为8，最小值为﹣1，则f （6）+f （﹣3）的值为（ ） A ．10
B ．﹣10
C ．9
D ．15
9． 在直三棱柱中，∠ACB=90°，AC=BC=1，侧棱AA 1=，M 为A 1B 1的中点，则AM 与平面AA 1C 1C 所成
角的正切值为（ ）
A ．
B ．
C ．
D ．
10．在平面直角坐标系中，直线y=
x 与圆x 2+y 2﹣8x+4=0交于A 、B 两点，则线段AB 的长为（ ）
A ．4
B ．4
C ．2
D ．2
11．某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的体积是（ ） A ． 2 B ．4 C ．
34 D ．3
8
【命题意图】本题考查三视图的还原以及特殊几何体的体积度量，重点考查空间想象能力及对基本体积公式的运用，难度中等.
12．已知直线l ∥平面α，P ∈α，那么过点P 且平行于l 的直线（ ）
A ．只有一条，不在平面α内
B ．只有一条，在平面α内
C ．有两条，不一定都在平面α内
D ．有无数条，不一定都在平面α内
二、填空题
13．如图，在矩形ABCD 中，AB = 3BC =， E 在AC 上，若BE AC ⊥，
则ED 的长=____________
14．若复数12,z z 在复平面内对应的点关于y 轴对称，且12i z =-，则复数1
2
12
||z z z +在复平面内对应的点在（ ）
A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
【命题意图】本题考查复数的几何意义、模与代数运算等基础知识，意在考查转化思想与计算能力．
15．设f （x ）是（x 2+
）6
展开式的中间项，若f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，则实数m 的取值范
围是 ．
16．已知直线l 过点P （﹣2，﹣2），且与以A （﹣1，1），B （3，0）为端点的线段AB 相交，则直线l 的斜率的取值范围是 ．
17．抛物线y 2=6x ，过点P （4，1）引一条弦，使它恰好被P 点平分，则该弦所在的直线方程为 ．
18．设
为单位向量，①若为平面内的某个向量，则=||•
；②若
与平行，则=||•
；③若
与平行且||=1，则=．上述命题中，假命题个数是 ．
三、解答题
19．已知抛物线C ：y 2=2px （p ＞0）过点A （1，﹣2）．
（Ⅰ）求抛物线C 的方程，并求其准线方程；
（Ⅱ）是否存在平行于OA （O 为坐标原点）的直线L ，使得直线L 与抛物线C 有公共点，且直线OA 与L 的
距离等于？若存在，求直线L 的方程；若不存在，说明理由．
20．已知椭圆()2222:10x y C a b a b +=>>的左右焦点分别为12,F F ，椭圆C 过点1,2P ⎛ ⎝⎭，直线1PF 交y 轴于Q ，且22,PF QO O =为坐标原点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设M 是椭圆C 上的顶点，过点M 分别作出直线,MA MB 交椭圆于,A B 两点，设这两条直线的斜率 分别为12,k k ，且122k k +=，证明：直线AB 过定点．
21．如图，在四棱锥O﹣ABCD中，底面ABCD四边长为1的菱形，∠ABC=，OA⊥底面ABCD，OA=2，
M为OA的中点，N为BC的中点．
（Ⅰ）证明：直线MN∥平面OCD；
（Ⅱ）求异面直线AB与MD所成角的大小；
（Ⅲ）求点B到平面OCD的距离．
22．一台还可以用的机器由于使用的时间较长，它按不同的转速生产出来的某机械零件有一些会有缺陷，每小时生产有缺陷零件的多少随机器运转的速率而变化，下表为抽样试验结果：
转速x（转/秒）16 14 12 8
每小时生产有缺陷的零件数y（件）11 9 8 5
（1）画出散点图；（2）如果y与x有线性相关的关系，求回归直线方程；
（3）若实际生产中，允许每小时的产品中有缺陷的零件最多为10个，那么机器的转运速度应控制在什么范围内？
参考公式：线性回归方程系数公式开始=，=﹣x．
23．由四个不同的数字1，2，4，x组成无重复数字的三位数．
（1）若x=5，其中能被5整除的共有多少个？
（2）若x=9，其中能被3整除的共有多少个？
（3）若x=0，其中的偶数共有多少个？
（4）若所有这些三位数的各位数字之和是252，求x．24．已知y=f（x）是R上的偶函数，x≥0时，f（x）=x2﹣2x
（1）当x＜0时，求f（x）的解析式．
（2）作出函数f（x）的图象，并指出其单调区间．
丹徒区二中2018-2019学年高三上学期11月月考数学试卷含答案（参考答案）
一、选择题
1． 【答案】D
【解析】解：二项式（
x+）4
展开式的通项公式为T r+1
=
•x 4﹣2r ，
令4﹣2r=0，解得r=2，∴展开式的常数项为6=a 5，
∴a 3a 7=a 52
=36，
故选：D ．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，属于中档题．
2． 【答案】B
【解析】解：对于A ，函数f ′（x ）=﹣3sin （2x ﹣）•2=﹣6sin （2x ﹣
），A 错误；
对于B ，当x=
时，f （
）=3cos （2×
﹣
）=﹣3取得最小值，
所以函数f （x ）的图象关于直线对称，B 正确；
对于C ，当x ∈（﹣
，
）时，2x ﹣
∈（﹣
，
），
函数f （x ）=3cos （2x ﹣）不是单调函数，C 错误；
对于D ，函数y=3co s2x 的图象向右平移个单位长度，
得到函数y=3co s2（x ﹣
）=3co s （2x ﹣
）的图象，
这不是函数f （x ）的图象，D 错误． 故选：B ．
【点评】本题考查了余弦函数的图象与性质的应用问题，是基础题目．
3． 【答案】C
【解析】令()()()()1
11e
x g x f x kx k x =--=-+，则直线l ：1y kx =-与曲线C ：()y f x =没有公共点，等价于方程()0g x =在R 上没有实数解．假设1k >，此时()010g =>，1
1
11101e k g k -⎛⎫
=-+< ⎪-⎝⎭
．又函数()g x 的图象连续不断，由零点存在定理，可知()0g x =在R 上至少有一解，与“方程()0g x =在R 上没
有实数解”矛盾，故1k ≤．又1k =时,()1
0e
x g x =>,知方程()0g x =在R 上没有实数解，所以k 的最大值为1，故选C ．
4． 【答案】B
【解析】解：先做出y=2x
的图象，在向下平移两个单位，得到y=f （x ）的图象，
再将x 轴下方的部分做关于x 轴的对称图象即得y=|f （x ）|的图象．
故选B
【点评】本题考查含有绝对值的函数的图象问题，先作出y=f（x）的图象，再将x轴下方的部分做关于x轴的对称图象即得y=|f（x）|的图象．
5．【答案】A
【解析】解：由于椭圆的标准方程为：
则c2=132﹣122=25
则c=5
又∵双曲线的离心率
∴a=4，b=3
又因为且椭圆的焦点在x轴上，
∴双曲线的方程为：
故选A
【点评】运用待定系数法求椭圆（双曲线）的标准方程，即设法建立关于a，b的方程组，先定型、再定量，若位置不确定时，考虑是否两解，有时为了解题需要，椭圆方程可设为mx2+ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），双曲线方程可设为mx2﹣ny2=1（m＞0，n＞0，m≠n），由题目所给条件求出m，n即可．
6．【答案】B
【解析】解：由题意，抛物线关于x轴对称，开口向右，设方程为y2=2px（p＞0）
∵点M（2，y0）到该抛物线焦点的距离为3，
∴2+=3
∴p=2
∴抛物线方程为y2=4x
∵M（2，y0）
∴
∴|OM|=
故选B．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查抛物线的定义，解题的关键是利用抛物线的定义求出抛物线方程．
7．【答案】D
【解析】解：∵f（x）是定义在R上的偶函数，当0≤x≤1时，f（x）=x2，
∴当﹣1≤x≤0时，0≤﹣x≤1，f（﹣x）=（﹣x）2=x2=f（x），
又f（x+2）=f（x），∴f（x）是周期为2的函数，
又直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，其图象如下：
当a=0时，直线y=x+a 变为直线l 1，其方程为：y=x ，显然，l 1与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点；
当a ≠0时，直线y=x+a 与函数y=f （x ）的图象在[0，2]内恰有两个不同的公共点，由图可知，直线y=x+a 与函数y=f （x ）相切，切点的横坐标x 0∈[0，1]．
由
得：x 2
﹣x ﹣a=0，由△=1+4a=0得a=﹣，此时，x 0=x=∈[0，1]．
综上所述，a=﹣或0 故选D ．
8． 【答案】C
【解析】解：由于f （x ）在[3，6]上为增函数，
f （x ）的最大值为f （6）=8，f （x ）的最小值为f （3）=﹣1，
f （x ）为奇函数，故f （﹣3）=﹣f （3）=1，∴f （6）+f （﹣3）=8+1=9． 故选：C ．
9． 【答案】D
【解析】解：双曲线
（a ＞0，b ＞0）的渐近线方程为y=±x
联立方程组，解得A （，），B （，﹣），
设直线x=与x 轴交于点D ∵F 为双曲线的右焦点，∴F （C ，0）
∵△ABF 为钝角三角形，且AF=BF ，∴∠AFB ＞90°，∴∠AFD ＞45°，即DF ＜DA
∴c ﹣
＜
，b ＜a ，c 2﹣a 2＜a 2∴c 2＜2a 2，e 2
＜2，e ＜
又∵e ＞1
∴离心率的取值范围是1＜e ＜
故选D
【点评】本题主要考查双曲线的离心率的范围的求法，关键是找到含a，c的齐次式，再解不等式．
10．【答案】A
【解析】解：圆x2
+y2﹣8x+4=0，即圆（x﹣4）2+y2 =12，圆心（4，0）、半径等于2．
由于弦心距d==2，∴弦长为2=4，
故选：A．
【点评】本题主要考查求圆的标准方程的方法，直线和圆相交的性质，点到直线的距离公式，弦长公式的应用，属于基础题．
11．【答案】B
12．【答案】B
【解析】解：假设过点P且平行于l的直线有两条m与n
∴m∥l且n∥l
由平行公理4得m∥n
这与两条直线m与n相交与点P相矛盾
又因为点P在平面内
所以点P且平行于l的直线有一条且在平面内
所以假设错误．
故选B．
【点评】反证法一般用于问题的已知比较简单或命题不易证明的命题的证明，此类题目属于难度较高的题型．
二、填空题
13．【答案】212
【解析】在Rt △ABC 中，BC ＝3，AB ＝3，所以∠BAC ＝60°.
因为BE ⊥AC ，AB ＝3，所以AE ＝3
2
，在△EAD 中，∠EAD ＝30°，AD ＝3，由余弦定理知，ED 2＝AE 2＋AD 2
－2AE ·AD ·cos ∠EAD ＝34＋9－2×32×3×32＝214，故ED ＝21
2.
14．【答案】D 【
解
析
】
15．【答案】 [5，+∞） ．
【解析】二项式定理．
【专题】概率与统计；二项式定理．
【分析】由题意可得 f （x ）=x 3，再由条件可得m ≥x 2
在区间[
，]上恒成立，求得x 2在区间[，
]
上的最大值，可得m 的范围．
【解答】解：由题意可得 f （x ）=x 6
=x 3．
由f （x ）≤mx 在区间[
，]上恒成立，可得m ≥x 2
在区间[
，]上恒成立，
由于x 2
在区间[
，]上的最大值为 5，故m ≥5，
即m 的范围为[5，+∞）， 故答案为：[5，+∞）．
【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式，求展开式中某项的系数，函数的恒成立问
题，属于中档题．
16．【答案】 [，3] ．
【解析】解：直线AP 的斜率K==3，
直线BP 的斜率K ′=
=
由图象可知，则直线l 的斜率的取值范围是[，3]，
故答案为：[，3]，
【点评】本题给出经过定点P的直线l与线段AB有公共点，求l的斜率取值范围．着重考查了直线的斜率与倾斜角及其应用的知识，属于中档题．
17．【答案】3x﹣y﹣11=0．
【解析】解：设过点P（4，1）的直线与抛物线的交点
为A（x1，y1），B（x2，y2），
即有y12=6x1，y22=6x2，
相减可得，（y1﹣y2）（y1+y2）=6（x1﹣x2），
即有k AB====3，
则直线方程为y﹣1=3（x﹣4），
即为3x﹣y﹣11=0．
将直线y=3x﹣11代入抛物线的方程，可得
9x2﹣72x+121=0，判别式为722﹣4×9×121＞0，
故所求直线为3x﹣y﹣11=0．
故答案为：3x﹣y﹣11=0．
18．【答案】3．
【解析】解：对于①，向量是既有大小又有方向的量，=||•的模相同，但方向不一定相同，∴①是假命题；
对于②，若与平行时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣||•，∴②是假命题；
对于③，若与平行且||=1时，与方向有两种情况，一是同向，二是反向，反向时=﹣，∴③是假命题；
综上，上述命题中，假命题的个数是3．
故答案为：3．
【点评】本题考查了平面向量的概念以及应用的问题，解题时应把握向量的基本概念是什么，是基础题目．
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：（I ）将（1，﹣2）代入抛物线方程y 2
=2px ， 得4=2p ，p=2
∴抛物线C 的方程为：y 2
=4x ，其准线方程为x=﹣1
（II ）假设存在符合题意的直线l ，其方程为y=﹣2x+t ，
由
得y 2
+2y ﹣2t=0，
∵直线l 与抛物线有公共点，
∴△=4+8t ≥0，解得t ≥﹣
又∵直线OA 与L 的距离d==
，求得t=±1
∵t ≥﹣ ∴t=1
∴符合题意的直线l 存在，方程为2x+y ﹣1=0
【点评】本题小题主要考查了直线，抛物线等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查函数与方程
思想，数形结合的思想，化归与转化思想，分类讨论与整合思想．
20．【答案】（1）2
212
x y +=；（2）证明见解析. 【解析】
试
题解析：
（1）22PF QO =，∴212PF F F ⊥，∴
1c =，
2222
221121,1a b c b a b
+==+=+， ∴221,2b a ==，
即2
212
x y +=； （2）设AB 方程为y kx b =+代入椭圆方程
222
12102k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝⎭，22
221
,112
2
A B A B kb b x x x x k k --+==++，
11,A B MA MB A B y y k k x x --==，∴()
11
2A B A B A B A B MA MB A B
A B
y x x y x x y y k k x x x x +-+--+=+=
=，
∴1k b =+代入y kx b =+得：1y kx k =+-所以， 直线必过()1,1--．1 考点：直线与圆锥曲线位置关系．
【方法点晴】求曲线方程主要方法是方程的思想，将向量的条件转化为垂直.直线和圆锥曲线的位置关系一方面要体现方程思想，另一方面要结合已知条件，从图形角度求解．联立直线与圆锥曲线的方程得到方程组，化为一元二次方程后由根与系数的关系求解是一个常用的方法. 涉及弦长的问题中，应熟练地利用根与系数关系、设而不求法计算弦长；涉及垂直关系时也往往利用根与系数关系、设而不求法简化运算；涉及过焦点的弦的问题，可考虑用圆锥曲线的定义求解． 21．【答案】
【解析】解：方法一（综合法） （1）取OB 中点E ，连接ME ，NE ∵ME ∥AB ，AB ∥CD ，∴ME ∥CD
又∵NE ∥OC ，∴平面MNE ∥平面OCD ∴MN ∥平面OCD
（2）∵CD ∥AB ，∴∠
MDC 为异面直线AB
与MD 所成的角（或其补角）
作AP
⊥CD 于P ，连接MP ∵
OA ⊥平面ABCD ，∴CD ⊥MP ∵，∴
，
，
∴
所以AB 与MD 所成角的大小为．
（3）∵AB ∥平面OCD ，
∴点A 和点B 到平面OCD 的距离相等，连接OP ，过点A 作AQ ⊥OP 于点Q ， ∵AP ⊥CD ，OA ⊥CD ， ∴CD ⊥平面OAP ，∴AQ ⊥CD ．
又∵AQ ⊥OP ，∴AQ ⊥平面OCD ，线段AQ 的长就是点A 到平面OCD 的距离，
∵
，，
∴，所以点B到平面OCD的距离为．
方法二（向量法）
作AP⊥CD于点P，如图，分别以AB，AP，AO所在直线为x，y，z轴建立坐标系：
A（0，0，0），B（1，0，0），，，
O（0，0，2），M（0，0，1），
（1），
，
设平面OCD的法向量为n=（x，y，z），则•=0，•=0
即
取，解得
∵•=（，，﹣1）•（0，4，）=0，
∴MN∥平面OCD．
（2）设AB与MD所成的角为θ，
∵
∴，
∴，AB与MD所成角的大小为．
（3）设点B到平面OCD的距离为d，则d为在向量=（0，4，）上的投影的绝对值，
由，得d==
所以点B到平面OCD的距离为．
【点评】培养学生利用多种方法解决数学问题的能力，考查学生利用空间向量求直线间的夹角和距离的能力．22．【答案】
【解析】
【专题】应用题；概率与统计．
【分析】（1）利用所给的数据画出散点图；
（2）先做出横标和纵标的平均数，做出利用最小二乘法求线性回归方程的系数的量，做出系数，求出a，写出线性回归方程．
（3）根据上一问做出的线性回归方程，使得函数值小于或等于10，解出不等式．
【解答】解：（1）画出散点图，如图所示：
（2）=12.5，=8.25，∴b=≈0.7286，
a=﹣0.8575
∴回归直线方程为：y=0.7286x﹣0.8575；
（3）要使y≤10，则0.728 6x﹣0.8575≤10，x≤14.901 9．故机器的转速应控制在14.9转/秒以下．
【点评】本题考查线性回归分析，考查线性回归方程，考查线性回归方程的应用，考查不等式的解法，是一个综合题目．
23．【答案】
【解析】
【专题】计算题；排列组合．
【分析】（1）若x=5，根据题意，要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，由排列数公式计算可得答案；
（2）若x=9，根据题意，要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，分“取出的三个数字为1、2、9”与“取出的三个数字为2、4、9”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（3）若x=0，根据题意，要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，分“末位是0”与“末位是2或4”两种情况讨论，由分类计数原理计算可得答案；
（4）分析易得x=0时不能满足题意，进而讨论x≠0时，先求出4个数字可以组成无重复三位数的个数，进而可以计算出每个数字用了18次，则有252=18×（1+2+4+x），解可得x的值．
【解答】解：（1）若x=5，则四个数字为1，2，4，5；
又由要求的三位数能被5整除，则5必须在末尾，
在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
即能被5整除的三位数共有6个；
（2）若x=9，则四个数字为1，2，4，9；
又由要求的三位数能被3整除，则这三个数字为1、2、9或2、4、9，
取出的三个数字为1、2、9时，有A33=6种情况，
取出的三个数字为2、4、9时，有A33=6种情况，
则此时一共有6+6=12个能被3整除的三位数；
（3）若x=0，则四个数字为1，2，4，0；
又由要求的三位数是偶数，则这个三位数的末位数字为0或2或4，
当末位是0时，在1、2、4三个数字中任选2个，放在前2位，有A32=6种情况，
当末位是2或4时，有A21×A21×A21=8种情况，
此时三位偶数一共有6+8=14个，
（4）若x=0，可以组成C31×C31×C21=3×3×2=18个三位数，即1、2、4、0四个数字最多出现18次，
则所有这些三位数的各位数字之和最大为（1+2+4）×18=126，不合题意，
故x=0不成立；
当x≠0时，可以组成无重复三位数共有C41×C31×C21=4×3×2=24种，共用了24×3=72个数字，
则每个数字用了=18次，
则有252=18×（1+2+4+x），解可得x=7．
【点评】本题考查排列知识，解题的关键是正确分类，合理运用排列知识求解，第（4）问注意分x为0与否两种情况讨论．
24．【答案】
【解析】解：（1）设x＜0，则﹣x＞0，
∵x＞0时，f（x）=x2﹣2x．
∴f（﹣x）=（﹣x）2﹣2（﹣x）=x2+2x
∵y=f（x）是R上的偶函数
∴f（x）=f（﹣x）=x2+2x
（2）单增区间（﹣1，0）和（1，+∞）；
单减区间（﹣∞，﹣1）和（0，1）．
【点评】本题主要考查利用函数的奇偶性来求对称区间上的解析式，然后作出分段函数的图象，进而研究相关性质，本题看似简单，但考查全面，具体，检测性很强．。