2021年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷(附解析)

2021年辽宁省沈阳市沈河区中考数学一模试卷
1.在0.3，−3，0，−1
这四个有理数中，最小的数是()
3
A. −3
B. 0.3
C. 0
D. −1
3
2.如图所示的是由5个相同的小正方体搭成的几何体，则它的俯视
图是()
A.
B.
C.
D.
3.截止到2021年4月6日，电影《你好，李焕英》累计票房达到53.96亿元，进入全
球前100名，同时贾玲成为了全球票房最高的女导演，其中数据53.96亿用科学记数法表示为()
A. 53.96×108
B. 5.396×1010
C. 0.5396×1010
D. 5.396×109
4.下列计算正确的是()
A. a2⋅a3=a5
B. (3a2)3=9a6
C. 5a2⋅4a2=20a2
D. 2a4+3a4=5a
5.沈阳市三月份连续七天的最高气温分别为10，9，9，7，6，8，5(单位：℃)，这组
数据的中位数和众数分别是()
A. 9℃，6℃
B. 8℃，9℃
C. 7℃，9℃
D. 9℃，8℃
6.在平面直角坐标系xOy中，点A(−1,√2)在()
A. 第一象限
B. 第二象限
C. 第三象限
D. 第四象限
7.如图，将直尺与含60°角的三角尺叠放在一起，60°角的顶点落在直尺的一边上，其
两边与直尺相交，若∠2=70°，则∠1的度数是()
A. 40°
B. 45°
C. 50°
D. 55°
8.对于反比例函数y=−2
x
，下列说法正确的是()
A. 图象经过点(−2,−1)
B. 若点P(−2,y1)和点Q(6,y2)在该图象上，则y1<y2
C. 其图象既是轴对称图形又是中心对称图形
D. y随x的增大而增大
9.如图，在△ABC中，CD，BE是△ABC的两条中线，则
S△DEF
S△BCF
的值为()
A. 2
5
B. 1
2
C. 1
3
D. 1
4
10.在平面直角坐标系xOy中，二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)
的图象如图所示，下列结论：①abc<0；②a−b+c>0；
③2a−b=0；④b2<4ac；⑤若m为任意实数，则a+b≥
am2+bm.其中正确的是()
A. ①②
B. ②④
C. ③⑤
D. ①⑤
11.因式分解：xy2−4x=______．
12.不等式组{2−x≥0
3x+2>−1的解集是______．
13.半径为5的正六边形的周长为______ ．
14.计算1
a−3−1
3+a
的结果是______ ．
15.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，点E在AC边上，且∠ABE=2∠CBE，过点A
作AD//BC，交BE的延长线于点D，点F为DE的中点，连接AF，若DE=√5，则AB的长为______ ．
16.如图，在正方形ABCD中，AB=4√2，AC与BD交
于点O，点P，Q分别在线段AO，BC上，且满足
BQ=√2AP，以PQ为斜边作等腰直角三角形PQM，
使点M与B位于PQ的两侧，当点P从点A运动到
点O时，点M的运动路径长是______ ．
)−1+√12+(3.14−π)0−|2sin60°−1|．
17.计算：(−1
2
18.如图是甲、乙两个转盘，其中甲转盘被分成四个面积相等的扇形，乙转盘被分成三
个面积相等的扇形，转动转以时，如指针恰好停在分割线上，那么重转一次，直到指针指向某一扇形区域为止．
(1)转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是______ ．
(2)请用树状图或列表法求分别转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概
率．
19.如图，四边形ABCD是平行四边形，对角线AC，BD交于点O，AC=2AB，BE//AC，
OE//AB．
(1)求证：四边形ABEO是菱形；
(2)若AC=2√6，BD=4，则四边形ABEO的面积是______ ．
20.为响应全推进中小学校“社会主义核心价值观”教育年活动，某校对全校学生进行
了中期检测评价，检测结果分为A(优秀)、B(良好)、C(合格)、D(不合格)四个等级，并随机抽取若干名学生的检测结果作为样本进行数据处理，制作了如图所示不完整的统计表和统计图．
请根据图表提供的信息，解答下列问题：
(1)a=______ ，b=______ ；
(2)请在答题卡上直接补全条形统计图；
(3)若该校共有学生800人，试估计该校学生中在本次检测中达到“C(合格)”或合
格以上等级(包括“A(优秀)”和“B(良好)”)的学生人数．
等级频数频率
A a0.3
B350.35
C31b
D40.04
21.在“综合与实践”活动中，某校九年级数学小组采用无人机辅助的方法测量一座桥
的长度.如图，桥AB是水平并且笔直的，测量过程中，小组成员遥控无人机飞到桥AB的上方100m的点C处悬停，此时测得桥两端A，B两点的俯角分别为30°和45°，求桥AB的长度.(结果保留根号)
22.如图，AB是⊙O的弦，C是⊙O外一点，OC⊥OA，
CO交AB于点P，交⊙O于点D，且CP=CB．
(1)判断直线BC与⊙O的位置关系，并说明理由；
(2)若∠A=30°，OP=1，求图中阴影部分的面积．
23.如图，在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx+b(k≠0)经过点A(6,0)和点
x交于点C．
B(0,9)，其图象与直线y=3
4
(1)求一次函数y=kx+b(k≠0)的表达式；
(2)点P是线段OA上的一个动点(点P不与点O，A重合)，过点P作平行于y轴的
直线l，分别交直线AB，OC于点M，N，设点P的横坐标为m．
①线段PM的长为______ ；(用含m的代数式表示)
②当点P，M，N三点中有一个点是另两个点构成线段的中点时，请直接写出m的
值；
③直线l上有一点Q，当∠PQA与∠AOC互余，且△PQA的周长为27
时，请直接写出
2
点Q的坐标．
24.(1)思维探究：如图1，点E、F分别在正方形ABCD的边BC，CD上，且∠EAF=45°，
连接EF，则三条线段EF，BE，DF满足的等量关系式是______ ；小明的思路是：将△ADF绕点A顺时针方向旋转90°至△ABG的位置，并说明点G、B、E在同一条直线上，然后证明△AEF≌ ______ 即可得证结论；(只需填空，无需证明)
(2)思维延伸：如图2，在△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D，E均在边BC
上，点D在点E的左侧，且∠DAE=45°猜想三条线段BD，DE，EC应满足的等量关系，并说明理由；
(3)思维拓广：如图3，在△ABC中，∠BAC=60°，AB=AC=5，点D，E均在直
线BC上，点D在点E的左侧，且∠DAE=30°，当BD=1时，请直接写出线段CE 的长．
25.如图，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y=ax2+bx+√3(a≠0)经过点A(−1,0)
和点B(3,0)，与y轴交于点C，顶点为D，连接AC，BC，点P(m,n)为抛物线上一点．
(1)求抛物线的解析式及顶点D的坐标；
(2)试判断△ABC的形状，并说明理由；
(3)观察图象，当90°<∠APB<180°时，请直接写出m的取值范围；
(4)当点P在对称轴的右侧，且∠APB=90°时，将抛物线沿x轴方向平移k个单位
长度，点D，P平移后的对应点分别为D′，P′是否存在一个k值，使四边形ABP′D′的周长最短？若存在，请直接写出平移方向(“向左”或“向右”)和k的值；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】A
<0<0.3，
【解析】解：∵−3<−1
3
∴在0.3，−3，0，−1
这四个有理数中，最小的数是−3．
3
故选：A．
有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可．
此题主要考查了有理数大小比较的方法，要熟练掌握，解答此题的关键是要明确：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小．
2.【答案】C
【解析】解：从上面看，是一行三个小正方形．
故选：C．
根据俯视图是从上面看到的图形结合几何体判定则可．
本题考查了三视图的知识，俯视图是从物体的上面看得到的视图．
3.【答案】D
【解析】解：53.96亿=5.396×109．
故选：D．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值≥10时，n是正整数；当原数的绝对值<1时，n是负整数．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】A
【解析】解：a2⋅a3=a2+3=a5，故A计算正确；
(3a2)3=33⋅a2×3=27a6，故B计算错误；
5a2⋅4a2=(5×4)⋅(a2⋅a2)=20a4，故C计算错误；
2a4+3a4=(2+3)a4=5a4，故D计算错误；
故选：A．
根据单项式乘单项式、同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项等法则求解判断即可．
此题考查了单项式乘单项式，熟练掌握单项式乘单项式、同底数幂乘法、幂的乘方、合并同类项等法则是解题的关键．
5.【答案】B
【解析】解：将这组数据重新排列得5、6、7、8、9、9、10，
所以这组数据的中位数为8℃，众数为9℃，
故选：B．
将数据从小到大重新排列，再根据众数和中位数的概念求解即可．
考查了确定一组数据的中位数和众数的能力．注意找中位数的时候一定要先排好顺序，然后再根据奇数和偶数个来确定中位数，如果数据有奇数个，则正中间的数字即为所求，如果是偶数个则找中间两位数的平均数．
6.【答案】B
【解析】解：点A(−1,√2)在第二象限．
故选：B．
根据各象限内点的坐标特征解答．
本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解决的关键，四个象限的符号特点分别是：第一象限(+,+)；第二象限(−,+)；第三象限(−,−)；第四象限(+,−)．
7.【答案】C
【解析】解：如图，
由题意：AB//CD，∠ACB=60°．
∵AB//CD，
∴∠2+∠ACD=180°．
∴∠ACD=180°−∠2=180°−70°=110°．
∴∠1=∠ACD−∠ACB=110°−60°=50°．
故选：C．
利用两直线平行，同旁内角互补可得结论．
本题主要考查了平行线的性质，利用两直线平行，同旁内角互补是解题的关键．8.【答案】C
【解析】解：∵k=−2，
∴A.图象经过点(−2,−1)不合题意；
B.y1=1，y2=−1
3
，故不合题意；
C.图象既是轴对称图形又是中心对称图形，符合题意；
D.在每一象限内，y随x的增大而增大，故不合题意．
故选：C．
依据反比例函数的图象与性质逐一判定即可．
本题考查了反比例函数的图象与性质，熟记性质是解题的关键．
9.【答案】D
【解析】解：∵CD，BE分别是△ABC的边AB，AC上中线，
∴D是AB的中点，E是AC的中点，
∴DE是△ABC的中位线，
∴DE//BC，DE=1
2
BC，
∴△DEF∽△CBF，
∴S△DEF
S△BCF =(DE
BC
)2=1
4
，
故选：D．
根据中位线的性质得：DE//BC，DE=1
2
BC，从而得：△DEF∽△CBF，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方可得结论．
本题考查了三角形的中线定义，三角形的中位线定理，相似三角形的性质，解题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．
10.【答案】D
【解析】解：①抛物线开口方向向下，则a<0．
抛物线对称轴位于y轴右侧，则a、b异号，即ab<0．
抛物线与y轴交于正半轴，则c>0．
所以abc<0．
故①正确．
②∵抛物线与x轴的一个交点在(3,0)的左侧，而对称轴为直线x=1，
∴抛物线与x轴的另一个交点在(−1,0)的右侧，
∴当x=−1时，y<0，
∴a−b+c<0，
故②错误；
=1，
③∵抛物线对称轴为直线x=−b
2a
∴b=−2a，即2a+b=0，
故③错误；
④∵抛物线与x轴有两个交点，
∴b2−4ac>0，
∴b2>4ac，
故④错误；
⑤∵抛物线对称轴为直线x=1，
∴函数的最大值为：a+b+c，
∴a+b+c≥am2+bm+c，即a+b≥am2+bm，
故⑤正确；
故选：D．
由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与0的关系，然后根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断．
主要考查图象与二次函数系数之间的关系，会利用对称轴的范围求2a与b的关系，以及二次函数与方程之间的转换，根的判别式的熟练运用．
11.【答案】x(y+2)(y−2)
【解析】解：xy2−4x，
=x(y2−4)，
=x(y+2)(y−2)．
先提取公因式x，再对余下的多项式利用平方差公式继续分解．
本题主要考查提公因式法分解因式和利用平方差公式分解因式，熟记公式是解题的关键，难点在于要进行二次因式分解．
12.【答案】−1<x≤2
【解析】解：{2−x≥0 ①
3x+2>−1 ②
，由①得，x≤2，由②得，x>−1，
故不等式组的解集为：−1<x≤2．
故答案为：−1<x≤2．
分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集即可．
本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．
13.【答案】30
【解析】解：∵圆内接正六边形的半径为5，
∴边长是5，
则周长是：5×6=30．
故答案是：30．
根据正六边形的边长等于半径，即可求得边长，进而求得周长．
本题考查正多边形与圆，解题的关键是熟练掌握基本知识，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
14.【答案】6
a2−9
．
【解析】解：原式=a+3
(a−3)(a+3)−a−3
(a−3)(a+3)
=
a+3−a+3
(a−3)(a+3)
=6
a2−9
，
故答案为6
a2−9
．
先将分式化为同分母，再根据同分母的运算法则进行计算．同分母分式加减法法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减．
本题考查了分式的加减运算，正确运用同分母分式加减法则是解题的关键．
15.【答案】√5
2
【解析】解：∵AD//BC，∠C=90°，∴∠D=∠CBE，∠EAD=90，
∵2∠CBE=∠ABE，
∴∠ABE=2∠D，
∵F为DE的中点，
∴AF=DF=EF，
∴∠D=∠FAD，
∵∠AFB=∠D+∠FAD，
∴∠AFB=∠ABF，
∴AB=AF=1
2DE=√5
2
；
故答案为：√5
2
．
由平行线的性质及直角三角形的性质得出∠AFB=∠ABF，可得AB=AF，则可得出答案．
本题考查了三角形的判定与性质，直角三角形的性质，平行线的性质等知识，熟练掌握直角三角形的性质是解题的关键．
16.【答案】2√2
【解析】解：在正方形ABCD中，AB=4√2，
∴AB=BC=√2，
∴AC=√AB2+BC2=√(4√2)2+(4√2)2=8，
∴AO=4，
①当P1在A点时，AP=0，
∴BQ=√2AP=0，
∴Q点在B点处，此时，∠BAO=∠ABO=45°，∠AOB=90°，
即M1点在O点处；
②当P3在O点时，AP3=4=AO，
∴BQ=√2AP=4√2，
∴Q3点在C点处，此时，∠ACD=∠CP3M3=45°，∠P3M3C=90°，即M3点在DC的中点处；
③当P2在AO中点时，AP2=2，
∴BQ=√2AP=2√2，
∴Q2点在BC中点处，M2点在P3M3中点处，证明如下：
当M2点在P3M3中点处，且P2M2Q2=90°，
连接P3Q2，
∵P3、Q2为中点，
∴OQ2⊥BC，
∴四边形OQ2Q3M3是正方形，
∵OQ2=1
2
AB=2√2=OM3，
∴OM2=1
2
OM3=√2，
∴Q2M2=√P3M32+OQ22=√(√2)2+(2√2)2=√10，
过点P2作P2G⊥BC，此时P2为AO的中点，且P2G//AB，
即在△ABC中，CP2
AC =P2G
AB
，
∵CP2=AC−AP2=6，
即6
8=2
42
∴P2G=3√2，
同理可得，CG=3√2，GQ2=√2，
∴P2Q2=√P1M2+MQ22=√(3√2)2+(√2)2=√20，
∴P2M2=√P2Q22−Q2M32=√10，
故M2点在OM3是中点处，即M点在OM3上运动，
∴OM3=1
2
DC=2√2．
根据正方形的性质可得AB、AC的长，根据“点P、Q分别在线段AO、BC上”可分三种情况进行讨论：①当P1在A点时，AP=0，②当P2在O点时，AP3=4=AO，③当P2在AO中点时，AP2=2，当M2点在P3M3中点处，且P2M2Q2=90°，连接P3Q2，根据相似三角形的判定与性质及勾股定理可得问题的答案．
此题考查了正方形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理等知识，考虑问题要全面，通过分析情况讨论所有发问进行分析得到最终结论．
17.【答案】解：原式=−2+2√3+1−(√3−1)
=−2+2√3+1−√3+1
=√3．
【解析】直接利用负整数指数幂的性质以及零指数幂的性质、特殊角的三角函数值、二次根式的性质分别化简得出答案．
此题主要考查了实数运算，正确化简各数是解题关键．
18.【答案】1
2
【解析】解：(1)转动甲转盘时指针指向偶数区域的概率是2
4=1
2
，
故答案为：1
2
；
(2)列表如下：
1234
12345
23456
34567
由表知，共有12种等可能结果，其中转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的有3种结果，
∴转动两个转盘各一次得到的两个数字之和为5的概率为3
12=1
4
．
(1)直接根据概率公式求解即可；
(2)列表得出所有等可能解果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可．本题考查了列表法与树状图法：利用列表法和树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，求出概率．
19.【答案】2√5
【解析】(1)证明：∵BE//AC，OE//AB，
∴四边形ABEO是平行四边形，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AC=2AO，
∵AC=2AB，
∴AO=AB，
∴四边形ABEO是菱形；
(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AO=1
2AC=√6，OB=1
2
BD=2，
连接AE交BO于M，
由(1)知，四边形ABEO是菱形，
∴AE、OB互相垂直平分，
∴OM=1
2
BO=1，
∴AM=√AO2−OM2=√6−1=√5，∴AE=2√5，
∴四边形ABEO的面积=1
2AE⋅OB=1
2
×2√5×2=2√5，
故答案为：2√5．
(1)根据平行四边形的判定定理得到四边形ABEO是平行四边形，根据平行四边形的性质得到AC=2AO，推出AO=AB，得到四边形ABEO是菱形；
(2)根据平行四边形的性质得到AO=1
2AC=√6，OB=1
2
BD=2，连接AE交BO于M，
根据勾股定理得到AM=√AO2−OM2=√6−1=√5，根据菱形的面积公式即可得到结论．
本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、菱形面积的计算等知识，熟练掌握平行四边形和菱形的判定与性质是解题的关键．
20.【答案】30 0.31
【解析】解：(1)本次随机抽取的样本容量为：35÷0.35=100，
∴a=100×0.3=30，b=31÷100=0.31，
故答案为：30，0.31；
(2)由(1)知a=30，
补充完整的条形统计图如图所示：
(3)该校学生在本次检测中达到“C(合格)”或合格以上等级(包括“A(优秀)”和“B(良好)”)的学生人数为800×(0.3+0.35)=520(人)，
答：该校学生在本次检测中达到“C(合格)”或合格以上等级(包括“A(优秀)”和“B(良好)”)的学生人数为520人．
(1)根据统计图表中的数据可以求得本次的样本容量，根据样本容量和表格中的数据可以求得a、b的值；
(2)根据a的值可以将条形统计图补充完整；
(3)用总人数乘以样本中A等级人数所占比例即可．
本题考查条形统计图、样本估计总体等知识，解题的关键是熟练掌握基本概念，灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型．
21.【答案】解：如图，过C点作CD⊥AB，垂足为D．
∴∠ADC=∠BDC=90°．
在Rt△BDC中，
∵∠B=45°，CD=100m，
∴BD=CD=100m．
在Rt△ADC中，
∵∠A=30°，CD=100m，
∴∠ACD=60°．
∴AD=CD⋅tan60°=100√3(m)．
∴AB=AD+BD=100(√3+1)(m)．
答：桥AB的长度为100(√3+1)m．
【解析】过C点作CD⊥AB，垂足为D，根据锐角三角函数即可求出结果．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解决本题的关键是掌握仰角俯角定义．22.【答案】解：(1)CB与⊙O相切，
理由：连接OB，
∵OA=OB，
∴∠OAB=∠OBA，
∵CP=CB，
∴∠CPB=∠CBP，
在Rt△AOP中，∵∠A+∠APO=90°，
∴∠OBA+∠CBP=90°，
即：∠OBC=90°，
∴OB⊥CB，
又∵OB是半径，
∴CB与⊙O相切；
(2)∵∠A=30°，∠AOP=90°，
∴∠APO=60°，
∴∠BPD=∠APO=60°，
∵PC=CB，
∴△PBD是等边三角形，
∴∠PCB=∠CBP=60°，
∴∠OBP=∠POB=30°，
∴OP=PB=PC=1，
∴BC=1，
∴OB=√OC2−BC2=√3，
∴图中阴影部分的面积=S△OBC−S
扇形OBD =1
2
×1×√3−30⋅π×(√3)2
360
=√3
2
−π
4
．
【解析】(1)根据等边对等角得∠CPB=∠CBP，根据垂直的定义得∠OBC=90°，即OB⊥CB，则CB与⊙O相切；
(2)根据三角形的内角和定理得到∠APO=60°，推出△PBD是等边三角形，得到∠PCB=∠CBP=60°，求得BC=1，根据勾股定理得到OB=√OC2−BC2=√3，根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，切线的判定，等边三角形的判定和性质，解直角三角
形，扇形面积的计算，正确的作出辅助线是解题的关键．
23.【答案】−3
2
m+9
【解析】解：(1)∵一次函数y=kx+b(k≠0)经过点A(6,0)和点B(0,9)，
∴{6k+b=0
b=9，
解得{k=−3
2
b=9
，
∴直线AB的解析式为y=−3
2
x+9；
(2)①∵点P在平行于y轴的直线l上，交直线AB，OC于点M，N，点P的横坐标为m，∴点M的横坐标为m，
∵点M在直线y=−3
2
x+9上，
∴当x=m时，y=−3
2
m+9，
∴|PM|=−3
2
m+9，
故答案为−3
2
m+9；
②当点N是中点时，根据题意得点M(m,−3
2m+9)，点N(m,3
4
m)，
∴NM=(−3
2m+9)−3
4
m，PN=3
4
m，
此时PN=NM，
即(−3
2m+9)−3
4
m=3
4
m，
解得m=3，
当点M是中点时，根据题意得点M(m,−3
2m+9)，点N(m,3
4
m)，
∴NM=3
4m−(−3
2
m+9)=9
4
m−9，PM=−3
2
m+9，
此时PM=NM，
即9
4m−9=−3
2
m+9，
解得m=24
5
，
综上，m的值为3或24
5
；
③当点Q在x轴上方时，
根据题意得{y =−3
2x +9
y =3
4
x
， 解得{x =4y =3，
∴点C 的坐标为(4,3)，
过点C 作CM ⊥x 轴，垂足为M ， 则OM =4，CM =3，根据勾股定理， 得OC =√42+32=5， ∴cos∠COM =
OM OC
=4
5
； 作线段AO 的垂直平分线，与直线y =3
4x 交于点D ，则点D 的坐标为(3,9
4)， 连接AD 交直线l 于点Q ， ∵DO =DA ， ∴∠COM =∠DAO ， ∵∠PQA 与∠DAO 互余， ∴∠PQA 与∠AOC 互余，
设直线AD 的解析式为y =mx +n ， 根据题意得：{
3m +n =
9
46m +n =0， 解得{m =−3
4
n =9
2
， ∴直线AD 的解析式为y =−3
4x +9
2， ∵点P 的横坐标为m ，
∴PQ =−3
4m +9
2，AP =6−m ，
∵cos∠COM=cos∠QAP=AP
QA =6−m
QA
=4
5
，
∴QA=5(6−m)
4
，
∵△PAD的周长为27
2
，
∴5(6−m)
4+6−m−3
4
m+9
2
=27
2
，
解得m=3
2
，
∴PQ==−3
4×3
2
+9
2
=27
8
，
∴点Q的坐标为(3
2,27
8
)，
根据题意，点Q关于x轴的对称点Q′也符合题意，
∴点Q′的坐标为(3
2,−27
8
)，
综上，符合题意的Q的坐标为(3
2,27
8
)或(3
2
,−27
8
).
(1)用待定系数法求解析式即可；
(2)①将P点的横坐标代入解析式即可求得M的纵坐标，进而求得PM长度；
②分点N是中点和点M是中点两种情况，再根据等量关系列出方程即可；
③分点Q在x轴上方和下方两种情况求解即可．
本题考查了待定系数法确定一次函数解析式，直线的交点坐标，三角函数，勾股定理等知识点，熟练掌握待定系数法，构造线段垂直平分线是解题的关键．
24.【答案】EF=BE+DF△AEG
【解析】解：(1)证明：将△ADF绕点A顺时针旋转90°，得△ABG，
∴△ADF≌△ABG，
∴AF=AG，DF=BG，∠DAF=∠BAG，
∵四边形ABCD是正方形，
∴∠D=∠BAD=∠ABE=90°，AB=AD，
∴∠ABG=∠D=90°，即G、B、C在同一直线上，
∵∠EAF=45°，
∴∠DAF+∠BAE=90°−45°=45°，
∴∠EAG=∠BAG+∠BAE=∠DAF+∠BAE=45°，
即∠EAG=∠EAF，
在△EAG与△EAF中，
{EA=EA
∠EAG=∠EAF AG=AF
，
∴△EAG≌△EAF(SAS)，
∴EG=EF，
∵BE+DF=BE+BG=EG，
∴EF=BE+DF；
故答案为：EF=BE+DF；△AEG．
(2)猜想：DE2=BD2+EC2，
证明：把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AE′B，
连接DE′，如图2，
∴△AEC≌△AE′B，
∴BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAC=∠E′AB，∵AB=AC，
∴∠ABC=∠ACB=45°，
∴∠ABC+∠ABE′=90°，即∠E′BD=90°，
∴E′B2+BD2=E′D2，
又∵∠DAE=45°，
∴∠BAD+∠EAC=45°，
∴∠E′AB+∠BAD=45°，即∠E′AD=45°，
在△ADE′和△ADE中，
{AE′=AE
∠E′AD=∠EAD AD=AD
，
∴△ADE′≌△ADE(SAS)，
∴E′D=DE，
∴DE2=BD2+EC2．
(3)∵点D，E均在直线BC上，点D在点E的左侧，BD=1，∴分两种情况：点D在BC边上或点D在CB的延长线上，
①当点D在BC边上时，如图3′，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，
∵AB=AC=5，∠BAC=60°，
∴BF=CF=5
2
，∠BAF=∠CAF=30°，
AF =BF ⋅tan∠B =5
2⋅tan60°=5√3
2
， ∵∠AGD =90°，∠B =60°，
∴DG =BD ⋅sin∠B =1×sin60°=√3
2
，BG =BD ⋅cos∠B =1×cos60°=1
2
，
∴AG =AB −BG =5−1
2=9
2， ∵∠DAE =30°，
∴∠DAF +∠BAD =∠DAF +∠FAE =30°， ∴∠BAD =∠FAE ， ∵∠AFE =∠AGD =90°， ∴△AFE∽△AGD ， ∴
EF AF
=
DG AG ，即5√32
=
√3292
，
∴EF =5
6
，
∴CE =CF −EF =5
2−5
6=5
3
；
②当点D 在CB 的延长线上时，如图3″，过点A 作AF ⊥BC 于点F ，过点D 作DG ⊥AB 于点G ， 由①知，BF =CF =52，∠BAF =∠CAF =30°， ∵∠DGB =90°，∠DBG =∠ABC =60°， ∴DG =BD ⋅sin∠DBG =1×sin60°=√3
2
，BG =BD ⋅cos∠DBG =1×cos60°=1
2
，
∴AG =AB +BG =5+1
2=
112
，
∵∠DAE =∠BAF =30°，
∴∠DAG +∠BAE =∠BAE +∠EAF ， ∴∠DAG =∠EAF ， ∴△DAG∽△EAF ， ∴EF AF =DG AG ，即5√32
=
√32112
，
∴EF =15
22，
∴CE =CF +EF =5
2+15
22=35
11； 综上所述，CE 的长为5
3或35
11．
(1)按照题目给的思路，由△ADF≌△ABG 推出AF =AG ，DF =BG ，∠DAF =∠BAG ，得到∠EAG =∠EAF.注意要证明G 、B 、E 三点共线，才能证得△EAG≌△EAF.把EF 转
化到EG=BG+BE=DF+BE，得证．
(2)把△AEC绕点A顺时针旋转90°得到△AE′B，连接DE′，根据旋转的性质，可知△AEC≌△AE′B得到BE′=EC，AE′=AE，∠C=∠ABE′，∠EAD=∠E′AB，在Rt△ABC中的，AB=AC，可求得∠E′BD=90°，所以E′B2+BD2=E′D2，证△AE′D≌△AED，利用DE=DE′得到DE2=BD2+EC2；
(3)分两种情况：点D在BC边上或点D在CB的延长线上，①当点D在BC边上时，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，利用三角函数求出BG，DG，AF，再证明△AFE∽△AGD，运用相似三角形性质即可求出EF，再由CE=CF−EF可求得CE；②当点D在CB的延长线上时，过点A作AF⊥BC于点F，过点D作DG⊥AB于点G，与①同理可求得EF，再由CE=CF+EF求出CE即可．
本题为四边形的综合题，综合性强，难度较大．主要考查了全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，旋转变换的性质，三角函数定义以及勾股定理的应用等知识．掌握全等三角形的判定定理和性质定理、相似三角形的判定和性质，合理添加辅助线并灵活运用分类讨论思想是解题的关键．
25.【答案】解：(1)设抛物线的表达式为y=a(x−x1)(x−x2)=a(x+1)(x−3)=
a(x2−2x−3)，
故−3a=√3，解得a=−√3
3
，
故抛物线的表达式为y=−√3
3x2+2√3
3
x+√3；
则抛物线的对称轴为直线x=1，当x=1时，y=−√3
3x2+2√3
3
x+√3=4√3
3
，
故点D的坐标为(1,4√3
3
)；
(2)由抛物线的表达式知，点C的坐标为(0,√3)，
在Rt△AOC中，tan∠ACO=OA
CO =√3
3
，故∠ACO=30°，
同理可得，∠OCB=60°，
∴∠ACB=30°+60°=90°，
故△ABC为直角三角形；
(3)作Rt△ABC的外接圆R，交抛物线于点P，
则根据函数的对称性，点P的坐标为(2,√3)，
当点P在对称轴的右侧时，
点P在图示的位置时，∠APB=90°，
而当点P与点B重合时，∠APB=180°，
∴2<m<3；
从图上看，当点P在A、C之间的抛物线时，此时也满足题设的条件，
此时−1<m<0，
综上，2<m<3或−1<m<0；
(4)存在，理由：
由(3)知，点P的坐标为(2,√3)，
)，
而点A、B、D的坐标分别为(−1,0)、(3,0)、(1,4√3
3
分别过点P、D作x轴的平行线m，n，
作点B关于直线m的对称点B′(3,2√3)，则PB′=PB，作B′B″//PD，使B′B″//PD，连接AB″交直线n于D′，
过D′作D′P′//PD，则D′P′=DP，则点D′、P′为所求点，
理由：从作图过程知，四边形DPB′B″、DPP′D′均为平行四边形，
∴B′B″=P′D′=PD，P′B′=B″D′，
∴AD′+P′B=AD′+B′P′=AD′+B″D′=AB″，而AB+PD为常数，故四边形ABP′D′的周长最短，
此时点A、D′、B″三点共线，
由点D、P′、B′的坐标，利用中点坐标公式得，点B″(2,7√3
3
)，
当PD向左平移k个单位时，点D′的坐标为(1−k,4√3
3
)，
由点A、B″的坐标得，直线AB″的表达式为y=7√3
9
(x+1)，
将点D′的坐标代入上式得：4√3
3=7√3
9
(1−k+1)，
解得k=2
7
，
故存在一个k=2
7
，平移方向为向左．【解析】(1)由待定系数法即可求解；
(2)在Rt△AOC中，tan∠ACO=OA
CO =√3
3
，故∠ACO=30°，同理可得，∠OCB=60°，即
可求解；
(3)通过画出圆R的位置，利用数形结合即可求解；
(4)作点B关于直线m的对称点B′(3,2√3)，则PB′=PB，作B′B″//PD，使B′B″//PD，连接AB″交直线n于D′，过D′作D′P′//PD，则D′P′=DP，则点D′、P′为所求点，进而求解．
主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系．。