高中数学 考前归纳总结 导数中常见的分类讨论

导数中的分类讨论问题
分类讨论思想就是根据所研究对象的性质差异，分各种不同的情况予以分析解决分类讨论题覆盖知识点较多，利于考查学生的知识面、分类思想和技巧；同时方式多样，具有较高的逻辑性及很强的综合性，树立分类讨论思想，应注重理解和掌握分类的原则、方法与技巧、做到“确定对象的全体，明确分类的标准，分层别类不重复、不遗漏的分析讨论” 一、参数引起的分类讨论
例：已知函数1)1(ln )(2+-+=x p x p x f , 当0>p 时，讨论函数)(x f 的单调性。

解： 的定义域为（0，∞），()()()x p
x p x p x p x f +-=
-+=2'
1212，
当时，'()f x ＞0，故在（0，∞）单调递增；
当0＜＜1时，令'()f x =0，解得()
12--
=
p p
x
则当()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--∈12,0p p x 时，'()f x ＞0；()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+--∈,12p p x 时，'()f x ＜0 故在()⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--
12,0p p 单调递增，在()⎪⎪⎭
⎫ ⎝⎛∞+--,12p p
单调递减 例：已知函数()ln(1)(1)1f x x k x =---+，求函数的单调区间； 解:（1）'
1
(),(1)1
f x k x x =
->-,所以, 0k ≤当时,'()0;f x ≤0k >当时,由'()0f x >得:1
1,x k
<+所以, 0k ≤当时()()1,f x +∞在上为增函数；
0k >当时1()1,1f x k ⎛⎫+ ⎪⎝⎭在上为增函数；在11,k ⎛⎫++∞ ⎪⎝⎭
上为减函数； 二、判别式引起的分类讨论
例：已知函数2
()ln f x x x a x =-+，()a R ∈，讨论在定义域上的单调性。

解：由已知得22()21,(0)a x x a
f x x x x x
-+'=-+=
>， （1）当180a ∆=-≤，1
8a ≥
时，()0f x '≥恒成立，()f x 在(0,)+∞上为增函数． （2）当180a ∆=->，1
8
a <时，
1108a <<
时，11022
>>，()f x 在11[22
上为减函数，()f x 在)+∞上为增函数，
2）当0a <0<，故()f x 在上为减函数，
()f x 在 综上，当1
8
a ≥
时，()f x 在(0,)+∞上为增函数;
当108a <<
时，()f x 在上为减函数，
()f x 在)+∞上为增函数，
当a ＜0时，()f x 在（0，
上为减函数，()f x 在 ＋∞）上为增函数．
三、二次函数对称轴与给定区间引起的分类讨论 例：已知函数3
2
2()
233
f x x ax x ，令()ln(1)3()
g x x f x ，若()g x 在
1
(,)2
-+∞上单调递增，求实数a 的取值范围 解：由已知得2
2
()ln(1)3(243)ln(1)24g x x x ax x x ax =++--++=++-，
2144(1)14()4411
x a x a g x x a x x +-+-'∴=+-=++， 又当1
(,)2
x ∈-
+∞时，恒有10x +>， 设2
()44(1)14h x x a x a =+-+-，其对称轴为441
82a a x --=-=，
i 当
11
22
a -≥-,即时，应有216(1)16(14)0a a ∆=---≤ 解得:20a -<≤，所以时成立，
ii 当1122a -<-,即时，应有1()02h ->即:1
14(1)1402
a a --⨯+->
解得， 综上：实数的取值范围是。

四、二项系数引起的分类讨论
4已知函数2()(1)ln 1f x a x ax =+++ 1讨论函数()f x 的单调性；
2设a ≤－2，求证：对任意1，2∈0，＋∞，|f 1－f 2|≥4|1－2| 解析：1f 的定义域为0，＋∞，
f ′＝错误!＋2a ＝错误!
当a ≥0时，f ′＞0，故f 在0，＋∞上单调递增． 当a ≤－1时，f ′＜0，故f 在0，＋∞上单调递减．
当－1＜a ＜0时，令f ′＝0，解得＝错误!，
则当x ∈时，f ′＞0；当)x ∈+∞时，()0f x '<；
故()f x 在上单调递增，在)+∞上单调递减． (2)不妨设1≥≤－2，故f 在0，＋∞上单调减少，
所以|f 1－f 2|≥4|1－2|等价于
f 2－f 1≥41－42，即f 2＋42≥f 1＋41
令g ＝f ＋4，则
g ′＝错误!＋2a ＋4＝错误!
于是g ′≤错误!＝错误!≤0 从而g 在0，＋∞上单调减少，故
g 1≤g 2，即f 1＋41≤f 2＋42，
故对任意1，2∈0，＋∞，|f 1－f 2|≥4|1－2|
三、针对性练习
1已知函数)0(3ln )(≠∈--=a R a ax x a x f 且 ． （Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）当2=a 时，设函数32)2()(-+-
-=x
e
p x p x h ，若在区间上至少存在一个， 使得)()(00x f x h >成立，试求实数的取值范围． 解：（Ι）由x
x a x f )
1()(-=
'知： 当0>a 时，函数的单调增区间是，单调减区间是),1(+∞； 当时，函数的单调增区间是),1(+∞，单调减区间是； （Ⅱ）.32ln 2)(,2--=∴=x x x f a 令)()()(x f x h x F -=，
则x x
e
x p px x x x e p x p x F ln 2232ln 232)2()(---=++--+-
-= 1 当0≤p 时，由],1[e x ∈得0ln 22,0<--
≤-x x
e
x p px ， 从而0)(<x F , 所以，在上不存在使得)()(00x f x h > ；
2 当0>p 时，022],,1[,22)(2
2≥-∴∈++-='x e e x x
e
p x px x F , 0)(,02
>'>+x F p px 在上恒成立，
故在上单调递增。

4)()(max --==∴e
p
pe e F x F
故只要04>--e p pe ，解得1
42->e e
p
综上所述，的取值范围是)
,14(2+∞-e e 。

2已知函数))(1ln()(2R a x a ax x x f ∈---=,求函数)(x f 的单调区间；
解：1
)22
(21
2)('-+-
=--
-=x a x x x a
a x x f , 若0≤a 时，则
1
)
22
(2)(,12
2
-+-
=≤+x a x x x f a >0在（1，+∞）恒成立， 所以)(x f 的增区间（1，+∞）
若12
2
,0>+>a a 则
，故当]22,1(+∈a x ，01
)22
(2)('≤-+-
=
x a x x x f ， 当),2
2
[
+∞+∈a x 时，01
)22
(2)(≥-+-
=x a x x x f ， 所以a>0时)(x f 的减区间为（22,
1+a ），)(x f 的增区间为［),2
2
+∞+a。