高考数学压轴专题新备战高考《空间向量与立体几何》全集汇编附答案解析

《空间向量与立体几何》考试知识点
一、选择题
1．如下图，在正方体1111ABCD A B C D -中，点E F 、分别为棱1BB ，1CC 的中点，点O 为上底面的中心，过E F O 、、三点的平面把正方体分为两部分，其中含1A 的部分为1V ，不含1A 的部分为2V ，连接1A 和2V 的任一点M ，设1A M 与平面1111D C B A 所成角为α，则sin α的最大值为（ ）．
A ．22
B 25
C 26
D 26 【答案】B
【解析】
【分析】
连接EF ，可证平行四边形EFGH 为截面，由题意可找到1A M 与平面1111D C B A 所成的角，进而得到sinα的最大值.
【详解】
连接EF ，因为EF//面ABCD,所以过EFO 的平面与平面ABCD 的交线一定是过点O 且与EF 平行的直线，过点O 作GH//BC 交CD 于点G,交AB 于H 点，则GH//EF,连接EH ，FG,则平行四边形EFGH 为截面，则五棱柱1111A B EHA D C FGD -为1V ，三棱柱EBH-FCG 为2V ，设M 点为2V 的任一点，过M 点作底面1111D C B A 的垂线，垂足为N ，连接1A N ,则1MA N ∠即为1A M 与平面1111D C B A 所成的角，所以1MA N ∠=α，因为sinα=1MN A M
,要使α的正弦最大，必须MN 最大，1A M 最小，当点M 与点H 重合时符合题意，故sinα的最大值为11=MN HN A M A H =25, 故选B
【点睛】
本题考查空间中的平行关系与平面公理的应用，考查线面角的求法，属于中档题. 2．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A．27
3
B．
27
6
C．
27
4
D．
27
2
【答案】D
【解析】
【分析】
先还原几何体，再根据锥体体积公式求结果.
【详解】
几何体为一个三棱锥，高为33333
，，所以体积
为
1127
=33333=
322
V⨯⨯⨯，选D.
【点睛】
(1)解决本类题目的关键是准确理解几何体的定义，真正把握几何体的结构特征，可以根据条件构建几何模型，在几何模型中进行判断；(2)解决本类题目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱锥、四棱锥是常用的几何模型，有些问题可以利用它们举特例解决或者学会利用反例对概念类的命题进行辨析．
3．鲁班锁（也称孔明锁、难人木、六子联方）起源于古代中国建筑的榫卯结构.这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙.鲁班锁类玩具比较多，形状和内部的构造各不相同，一般都是易拆难装.如图1，这是一种常见的鲁班锁玩具，图2是该鲁班锁玩具的直观图，每条棱的长均为2，则该鲁班锁的表面积为（）
A ．8(6623)+
B ．6(8823)+
C ．8(632)+
D ．6(8832)+
【答案】A
【解析】
【分析】
该鲁班锁玩具可以看成是一个正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，然后按照表面积公式计算即可.
【详解】 由题图可知，该鲁班锁玩具可以看成是一个棱长为222+的正方体截去了8个正三棱锥所余下来的几何体，且被截去的正三棱锥的底面边长为22，则该几何体的表面积为
2116(222)42282322S ⎡=⨯+-⨯+⨯⨯⎢⎣8(623)=+. 故选：A.
【点睛】
本题考查数学文化与简单几何体的表面积，考查空间想象能力和运算求解能力.
4．已知ABC V 的三个顶点在以O 为球心的球面上，且2cos 3
A =，1BC =，3AC =，三棱锥O ABC -的体积为
146，则球O 的表面积为( ) A ．36π
B ．16π
C ．12π
D ．163
π 【答案】B
【解析】
【分析】 根据余弦定理和勾股定理的逆定理即可判断三角形ABC 是直角三角形，根据棱锥的体积求出O 到平面ABC 的距离，利用勾股定理计算球的半径OA ，得出球的面积．
【详解】 由余弦定理得22229122cos 26AB AC BC AB A AB AC AB +-+-==g ，解得22AB = 222AB BC AC ∴+=，即AB BC ⊥．
AC ∴为平面ABC 所在球截面的直径．
作OD ⊥平面ABC ，则D 为AC 的中点， 11114221332O ABC ABC V S OD OD -∆==⨯⨯⨯⨯=Q g ， 7OD ∴=． 222OA OD AD ∴=+=．
2416O S OA ππ∴=⋅=球． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了球与棱锥的关系，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，判断ABC ∆的形状是关键．
5．一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为
A ．383+
B ．823+
C ．283
D ．10
【答案】A
【解析】
【分析】
根据三视图可知该几何体为一组合体，是一个棱长为2的正方体与三棱锥的组合体，根据体积公式分别计算即可.
【详解】
几何体为正方体与三棱锥的组合体，由正视图、俯视图可得该几何体的体积为
311232+2328323
V =⨯⨯=+, 故选A.
【点睛】
本题主要考查了三视图，正方体与三棱锥的体积公式，属于中档题.
6．已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的外接球的表面积为（ ）
A ．3π
B ．π
C ．3π
D ．12π
【答案】C
【解析】
【分析】
该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，把这个三棱锥放到正方体中，即可求出其外接球的表面积.
【详解】
由三视图可知，该几何体是一个三棱锥，且同一个顶点处的三条棱两两垂直并且相等，如图所示
该几何体是棱长为1的正方体中的三棱锥1A BCD AB BC BD -===，.
所以该三棱锥的外接球即为此正方体的外接球，球的直径2r 为正方体体对角线的长. 即22221113r =++=.
所以外接球的表面积为243r ππ=.
故选：C .
【点睛】
本题考查几何体的三视图，考查学生的空间想象能力，属于基础题.
7．设m 、n 是两条不同的直线，α、β是两个不同的平面，给出下列四个命题： ①若m α⊥，//n α，则m n ⊥；
②若//αβ，m α⊥，则m β⊥；
③若//m α，//n α，则//m n ；
④若m α⊥，αβ⊥，则//m β.
其中真命题的序号为（ ）
A ．①和②
B ．②和③
C ．③和④
D ．①和④ 【答案】A
【解析】
【分析】
逐一分析命题①②③④的正误，可得出合适的选项.
【详解】
对于命题①，若//n α，过直线n 作平面β，使得a αβ⋂=，则//a n ，m α⊥Q ，a α⊂，m a ∴⊥，m n ∴⊥，命题①正确；
对于命题②，对于命题②，若//αβ，m α⊥，则m β⊥，命题②正确；
对于命题③，若//m α，//n α，则m 与n 相交、平行或异面，命题③错误； 对于命题④，若m α⊥，αβ⊥，则m β⊂或//m β，命题④错误.
故选：A.
【点睛】
本题考查有关线面、面面位置关系的判断，考查推理能力，属于中等题.
8．在正方体1111ABCD A B C D -中，点E ∈平面11AA B B ，点F 是线段1AA 的中点，若1D E CF ⊥，则当EBC V 的面积取得最小值时，
EBC ABCD S S =△（ ） A
B ．12 C
D
【答案】D
【解析】
【分析】
根据1D E CF ⊥分析出点E 在直线1B G 上，当EBC V 的面积取得最小值时，线段EB 的长度为点B 到直线1B G 的距离，即可求得面积关系．
【详解】
先证明一个结论P ：若平面外的一条直线l 在该平面内的射影垂直于面内的直线m ，则l ⊥m ，
即：已知直线l 在平面内的射影为直线OA ，OA ⊥OB ，求证：l ⊥OB .
证明：直线l 在平面内的射影为直线OA ，
不妨在直线l 上取点P ，使得PA ⊥OB ，OA ⊥OB ，OA ，PA 是平面PAO 内两条相交直线， 所以OB ⊥平面PAO ，PO ⊂平面PAO ，
所以PO ⊥OB ，即l ⊥OB .以上这就叫做三垂线定理.
如图所示，取AB 的中点G ，
正方体中：1111A C D B ⊥，CF 在平面1111D C B A 内的射影为11A C ，
由三垂线定理可得：11CF D B ⊥，
CF 在平面11A B BA 内的射影为FB ，1FB B G ⊥
由三垂线定理可得：1CF B G ⊥，1B G 与11D B 是平面11B D G 内两条相交直线， 所以CF ⊥平面11B D G ，
∴当点E 在直线1B G 上时，1D E CF ⊥，
设BC a =，则1122
EBC S EB BC EB a =
⨯⨯=⨯⨯△， 当EBC V 的面积取最小值时， 线段EB 的长度为点B 到直线1B G 的距离，
∴线段EB 5
， 525EBC
ABCD a S S ⨯⨯∴==△. 故选：D .
【点睛】
此题考查立体几何中的轨迹问题，通过位置关系讨论面积关系，关键在于熟练掌握线面垂直关系的判定和平面图形面积的计算.
9．三棱锥D ABC -中，CD ⊥底面,ABC ABC ∆为正三角形，若
//,2AE CD AB CD AE ===，则三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体的体积为（ ）
A ．3
B ．3
C ．13
D ．3
【答案】B 【解析】
根据题意画出如图所示的几何体：
∴三棱锥D ABC -与三棱锥E ABC -的公共部分构成的几何体为三棱锥F ABC - ∵ABC 为正三角形，2AB =
∴132232ABC S ∆=⨯⨯=∵CD ⊥底面ABC ，//AE CD ，2CD AE ==
∴四边形AEDC 为矩形，则F 为EC 与AD 的中点
∴三棱锥F ABC -的高为112
CD = ∴三棱锥F ABC -的体积为13313V =
= 故选B.
10．在三棱锥P ABC -中，PA ⊥平面ABC ，2π,43
BAC AP ∠==，23AB AC ==P ABC -的外接球的表面积为（ ） A ．32π
B ．48π
C ．64π
D ．72π 【答案】C
【解析】
【分析】
先求出ABC V 的外接圆的半径，然后取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP =
=，由于PA ⊥平面ABC ，故点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，OA 为外接球半径，求解即可.
【详解】
在ABC V 中，
23AB AC ==，23BAC π∠=，可得6
ACB π∠=， 则ABC V 的外接圆的半径2323π2sin 2sin 6
AB r ACB ===，取ABC V 的外接圆的圆心G ，过G 作//GO AP ，且122
GO AP ==， 因为PA ⊥平面ABC ，所以点O 为三棱锥P ABC -的外接球的球心，
则222OA OG AG =+，即外接球半径()222234R =+=，
则三棱锥P ABC -的外接球的表面积为24π4π1664πR =⨯=.
故选C.
【点睛】
本题考查了三棱锥的外接球表面积的求法，考查了学生的空间想象能力，属于中档题.
11．若圆锥的高等于底面直径，则它的底面积与侧面积之比为
A ．1∶2
B ．1∶3
C ．1∶5
D ．3∶2
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知，求出圆锥的母线长，进而求出圆锥的底面面积和侧面积，可得答案
【详解】
设圆锥底面半径为r ，则高h ＝2r ，∴其母线长l ＝
r ．∴S 侧＝πrl ＝πr 2，S 底＝πr 故选C ．
【点睛】
本题考查的知识点是旋转体，圆锥的表面积公式，属于基础题．
12．古代数学名著《张丘建算经》中有如下问题：“今有仓，东西袤一丈二尺，南北广七尺，南壁高九尺，北壁高八尺，问受粟几何？”.题目的意思是：“有一粮仓的三视图如图所
示（单位：尺），问能储存多少粟米？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，估算粮仓可以储存的粟米约有（取整数）（ ）
A ．441斛
B ．431斛
C ．426斛
D ．412斛
【答案】A
【解析】
【分析】 由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．由体积计算公式即可得出．
【详解】
解：由三视图可知：上面是一个横放的三棱柱，下面是一个长方体．
∴体积1171278127142V =⨯⨯⨯+⨯⨯=，
∴粮仓可以储存的粟米7144411.62
=≈斛．
故选：A ．
13．已知正三棱柱111ABC A B C -的所有棱长都相等，D 是11A B 的中点，则AD 与平面11BCC B 所成角的正弦值为（ ） A 5B 25 C 10D 15 【答案】D
【解析】
【分析】
先找出直线AD 与平面11BCC B 所成角，然后在1B EF V 中，求出1sin EB F ∠，即可得到本题答案.
【详解】
如图，取AB 中点E ，作EF BC ⊥于F ，
连接11,B E B F ，则1EB F ∠即为AD 与平面11BCC B 所成角. 不妨设棱长为4，则1,2BF BE ==，
13,25EF B E ∴=1315
sin 1025
EB F ∴∠=
=. 故选：D 【点睛】
本题主要考查直线与平面所成角的求法，找出线面所成角是解决此类题目的关键.
14．已知四面体P ABC -的外接球的球心O 在AB 上，且PO ⊥平面ABC ，
23AC AB =，若四面体P ABC -的体积为
3
2
，求球的表面积( ) A ．8π B ．12π
C ．83π
D ．3π
【答案】B 【解析】 【分析】
依据题意作出图形，设四面体P ABC -的外接球的半径为R ，由题可得：AB 为球的直径，即可求得：2AB R =，3AC R =， BC R =，利用四面体P ABC -的体积为
32
列方程即可求得3R =
【详解】
依据题意作出图形如下：
设四面体P ABC -的外接球的半径为R ， 因为球心O 在AB 上，所以AB 为球的直径， 所以2AB R =，且AC BC ⊥ 由23AC AB =可得：3AC R =
， BC R =
所以四面体P ABC -的体积为111333322
ABC V S PO R R R ∆=⋅=⨯⨯⨯⨯= 解得：3R =
所以球的表面积2412S R ππ== 故选：B 【点睛】
本题主要考查了锥体体积公式及方程思想，还考查了球的表面积公式及计算能力，考查了空间思维能力，属于中档题。

15．如图是由圆柱与圆锥组合而成的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）
A ．
64
3
π B ．8316π
π C ．28π
D ．8216π
π+
【答案】B 【解析】 【分析】
结合三视图，还原直观图，得到一个圆锥和一个圆柱，计算体积，即可．
【详解】
结合三视图，还原直观图，得到
故体积22221183242231633V r h r l ππππππ=⋅+⋅=⋅+⋅⋅=+，故选B ． 【点睛】
本道题考查了三视图还原直观图，考查了组合体体积计算方法，难度中等．
16．已知直线和不同的平面
，下列命题中正确的是
A ．
//m m αβαβ⊥⎫
⇒⎬⊥⎭ B ．
m m αββα⊥⎫
⇒⊥⎬⊂⎭
C ．
//////m m ααββ⎫
⇒⎬⎭ D ．
////m m αββα⎫
⇒⎬⊂⎭
【答案】D 【解析】 【分析】
对各个选项逐一进行分析即可 【详解】
A ，若αβ⊥，m β⊥，则有可能m α⊂，故A 错误
B ，若αβ⊥，m α⊂，则m 与β不一定垂直，可能相交或平行，故B 错误
C ，若//m α，//m β则推不出//αβ，面面平行需要在一个面内找出两条相交线与另一
个平面平行，故C 错误
D ，若//αβ，m α⊂，则有//m β，故D 正确
故选D 【点睛】
本题考查了线面平行与面面平行的判断和性质，在对其判定时需要运用其平行的判定定理
或者性质定理，所以要对课本知识掌握牢固，从而判断结果
17．如图，将边长为1的正六边形铁皮的六个角各切去一个全等的四边形，再沿虚线折起，做成一个无盖的正六棱柱容器．当这个正六棱柱容器的底面边长为（ ）时，其容积最大．
A ．
34
B ．
23
C ．
13
D ．
12
【答案】B 【解析】 【分析】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,则正六棱柱容器的高为)3
12
x -,则可得正六棱柱容器的容积为()())()3233921224
V x x x x x x x =+⋅⋅-=-+,再利用导函数求得最值,即可求解. 【详解】
设正六棱柱容器的底面边长为x ,)3
1x -, 所以正六棱柱容器的容积为()())()32339214
V x x x x x x x =+-=-+, 所以()227942V x x x '=-
+,则在20,3⎛⎫
⎪⎝⎭上,()0V x '>；在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上,()0V x '<, 所以()V x 在20,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递增,在2,13⎛⎫ ⎪⎝⎭
上单调递减, 所以当2
3
x =时,()V x 取得最大值, 故选:B 【点睛】
本题考查利用导函数求最值,考查棱柱的体积,考查运算能力.
18．设,αβ是两个不同的平面，,l m 是两条不同的直线，且l α⊂，m β⊂，则（ ） A ．若//αβ，则//l m B ．若//m a ，则//αβ C ．若m α⊥，则αβ⊥ D ．若αβ⊥，则//l m
【答案】C 【解析】
【分析】
根据空间线线、线面、面面的位置关系，对选项进行逐一判断可得答案. 【详解】
A. 若//αβ，则l 与m 可能平行，可能异面，所以A 不正确.
B. 若//m a ，则α与β可能平行，可能相交，所以B 不正确.
C. 若m α⊥，由m β⊂，根据面面垂直的判定定理可得αβ⊥，所以C 正确. D 若αβ⊥，且l α⊂，m β⊂，则l 与m 可能平行，可能异面，可能相交, 所以D 不正确. 【点睛】
本题考查空间线线、线面、面面的位置判断定理和性质定理，考查空间想象能力，属于基础题.
19．已知,αβ是不同的两个平面，直线a α⊂，直线b β⊂，条件:p a 与b 没有公共点，条件://q αβ，则p 是q 的（ ） A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分又不必要条件
【答案】B 【解析】
∵a 与b 没有公共点时，a 与b 所在的平面β可能平行，也可能相交（交点不在直线b 上）
∴命题p ：a 与b 没有公共点⇒命题q ：α∥β，为假命题 又∵α∥β时，a 与b 平行或异面，即a 与b 没有公共点 ∴命题q ：α∥β⇒命题p ：a 与b 没有公共点，为真命题； 故p 是q 的必要不充分条件 故选B
20．已知棱长为1的正方体被两个平行平面截去一部分后，剩余部分的三视图如图所示，则剩余部分的表面积为( )
A．B．C．D．
【答案】B
【解析】
【分析】
根据三视图得到几何体的直观图，然后再根据题中的数据求出几何体的表面积即可．
【详解】
由三视图可得，该几何体为如图所示的正方体截去三棱锥和三棱锥后的剩余部分．
其表面为六个腰长为1的等腰直角三角形和两个边长为的等边三角形，
所以其表面积为．
故选B．
【点睛】
在由三视图还原空间几何体时，一般以主视图和俯视图为主，结合左视图进行综合考虑．热悉常见几何体的三视图，能由三视图得到几何体的直观图是解题关键．求解几何体的表面积或体积时要结合题中的数据及几何体的形状进行求解，解题时注意分割等方法的运用，转化为规则的几何体的表面积或体积求解．。