北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理(含解析)

北京市海淀北大附中2017-2018学年高二数学上学期期中试题 理（含
解析）
一、本大题共4小题，共计总分15分（每空3分，共5空，合计15分）． 已知x 、y 、z 均为实数，m ，n 为确定实数．写成下列各问题： （可用字母与符号：m 、n 、p 、q 、∨、∧、⌝、∀、∃） 1．设命题p 为：“0m ≠”，表述命题p ⌝：__________．
A
B 1
D A
【答案】0m =
【解析】∵0m ≠的否这是：0m =， ∴若p 为：0m ≠，则:0p m ⌝=．
2．设命题q 为：“0n ≠”，用字母与符号表述命题“m 、n 均为非零实数”：__________．
A 1
D 1
C 1
B 1
C
B
A
D
【答案】p q ∧
【解析】“m 、n 均为非零实数”，即“0m ≠，0n ≠”，
又命题:p “0m ≠”，命题q 为：“0n ≠”，故用字母符号表述命题：“m 、n 均为非零实数”为：p q ∧．
3．已知增函数()y f x =，命题:t “x y ∀>，()()0f x f y ->”，t ⌝是：__________． 【答案】x y ∃>，()()0f x f y -≤
【解析】全称命题的否定需将全称量词改为存在量词，同时否定结论，故命题:r “x y ∀>，()()0f x f y ->”，
则r ⌝是：x y ∃>，()()0f x f y -≤．
4．某学生三好学生的评定标准为：
（1）各学科成绩等级均不低于等级B ，且达A 及以上等级学科比例不低于85%； （2）无违反学校规定行为，且老师同学对其品德投票评定为优秀比例不低于85%； （3）体育学科综合成绩不低于85分．
设学生达A 及以上等级学科比例为%x ，学生的品德被投票评定为优秀比例为%y ，学生的体育学科综合成绩为(0100)x y z z 、、≤≤．用(,,)x y z 表示学生的评定数据． 已知参评候选人各学业成绩均不低于B ，且无违反学校规定行为．则：
（1）下列条件中，是“学生可评为三好学生”的充分不必要条件的有__________．
①(85,80,100)
②(85,85,100)
③255x y z ++≥
④285x y z ++≥
（2）写出一个过往学期你个人的（或某同学的）满足评定三好学生的必要条件__________． 【答案】（1）②④（2）200x y z ++≥
【解析】（1）对于①，由数据可知，学生的品德被投票评定为优秀比例是80%，低于85%，不能被评三好学生，充分性不成立；
对于②，由数据可知，学生的评定数据均满足被评为三好学生的评定标准，充分性成立，但反之，被评为三好学生，成绩不一定是(85,85,100)，必要性不成立，故②符合题意； 对于③，由85x ≥，85Y ≥，85z =，得255x Y z ++≥，故255x y z ++≥是学生可评为三好学生的充要条件，故③不符合题意；
对于④，由③知285x Y z ++≥是学生可评为三好学生的充分不必要条件，故④符合题意． 综上所述，“学生可评为三好学生”的充分不必要条件有②④．
（2）由（1）可知，255x y z ++≥是“学生可评为三好学生”的充分条件，故满足评定三好学生的必要条件可以是：200x y z ++≥．
二、本大题共7小题，共计总分31分．（填空2（1），6（1）每空4分，2（2），6（2）每空4分，其余每空3分，共7空，合计21分；第3，4小题为解答题，每题5分，合计10分） 已知单位正方形1111ABCD A B C D -，点E 为11B D 中点． 1．设1AD a =，1AB b =，以{}a b c 、、为基底． 表示：（1）AE =__________；（2）1AC =__________． 【答案】（1）1122a b +．（2）111222
a b c ++．
【解析】（1）在11AB D △，1AB b =，1AD a =， E 为11B D 中点， ∴111111
()()2222
AE AB AD a b a b =+=+=+．
（2）11111111122222
AC AE EC AE AC AE AC a b c =+=+=+=++．
2．以A 为原点，分别以AB 、AD 、1AA 为x 、y 、z 轴，建立空间直角坐标系，则： （1）点E 坐标为__________．
（2）若点F 满足：F 在直线1BB 上，且EF ∥面11AD C ，则点F 坐标为__________． 【答案】（1）11,,122⎛⎫ ⎪⎝⎭．（2）11,0,2⎛
⎫ ⎪⎝
⎭．
【解析】（1）∵1111ABCD A B C D -是单位正方体， ∴棱长为1，
∴1(1,0,1)B ，1(0,1,1)D ， ∴由中点坐标公式得11,,122E ⎛⎫
⎪⎝⎭
．
（2）易知当F 为1BB 中点时，1EF BD ∥，从而EF ∥平面11AD C ， ∴11,0,2F ⎛
⎫ ⎪⎝
⎭．
以下3、4题写出完整求解过程（在答题卡图中作出必要图像） 3．求直线1AB 与11AD C 所成的角． 【答案】见解析．
【解析】解：设直线1AB 与平面11AD C 所成的角为θ， ∵(0,0,0)A ，1(1,0,1)B ，1(1,1,1)C ，1(0,1,1)D ， ∴1(1,0,1)AB =，1(1,1,1)AC =，1(0,1,1)AD =， 设平面11AD C 的一个法向量为(,,)n x y z =，
则110
AC n AD n ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x y z y z ++=⎧⎨+=⎩，令1y =，则0x =，1z =-，
∴(0,1,1)n =-， ∴1||1
sin |cos ,|2
||||2AB n AB n AB n θ⋅=<>=
==⋅，
∴30θ=︒，即直线1AB 与平面11AD C 所成的角为30︒．
4．求二面角111B AD C --的大小． 【答案】见解析．
【解析】解：设平面11AB D 的一个法向量为(,,)m x y z =， 则1100
AB m AD m ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩，即00x z y z +=⎧⎨+=⎩，令1x =，则1y =，1z =-，
∴(1,1,1)m =-，
∴由3知平面11AD C 的法向量(0,1,1)n =-，
∴cos ,m n <=
= 故二面角111B AD C --
的大小为
5．过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数为__________． 【答案】2
【解析】过点C 与直线1AC 所成角为45°，且与平面ABCD 所成角为60°的直线条数与过1C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所在的角为60︒的直线条数相同，过1C 与直线1AC 所成角为45︒的直线为以1C 为项点，以1AC 为轴线的圆锥的母线，过1C 且与平面ABCD 所成角为60︒的直线是以1C 为顶点，以1CC 为轴线，顶角为60︒的圆锥的母线，由于1tan 2AC C ∠所以14560AC C ︒<<︒∠，故这两个圆锥曲面的相交，有2条交线，从而过点C 与直线1AC 所成角为45︒，且与平面ABCD 所成角为60︒的直线条数为2．
6．设有公共顶点的三个面构成一组，例如共顶点A 的平面组为：面11ADD A 、面ABCD 、面11ABB A ．正方体内（含表面）有一动点P ，到共点于A 的三个面的距离依次为1d 、2d 、3d ．
（1）写出一个满足1231d d d ++=的点P 坐标__________．（按2题建系）
（2）若一个点到每组有公共顶点的三个侧面（共八组）距离和均不小于1，则该点轨迹图形的体积为：__________．
A
1
A
【答案】（1）(0,0,1)．（2）
1
12
．
【解析】（1）设(,,)P x y z ，则P 到平面11ADD A 的距离为x ，P 到平面ABCD 的距离为z ，P 到平面11ABB A 的距离为y ，故由1231d d d ++=得1x y z ++=，故任写一个满足1x y z ++=的坐标即可，0(0,0,1)y ．
（2）若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++=，则点P 位于平面1A BD 上，若点P 到共顶点A 的平面组的距离和1x y z ++≥，则P 位于正方体除去三棱锥1A A BD -剩余的几何体内，因此，若一个点到每组有公共点的三个侧面的距离和均不小于1，则点位于正方体削去如
图所示三棱锥后剩余的八面体中，该八面体积2
1113212V =⨯⨯=⎝⎭
． A 1
D 1
C 1
B 1
C
B
A
D
三、本大题共4小题共计总分41分．（填空1，3（1）每小题4分，3（3），（4）每小题2分，其余各填空题每题3分，共12小题，合计36分，4（1）题赋分最高5分）
圆锥曲线：用不同角度的平面截两个共母线且有公共轴和顶点的圆锥得到截面轮廓线，这些不同类型的曲线统称为圆锥曲线（如图1）
1．写出图中你认为的不同类型圆锥曲线名称：__________． 【答案】圆，椭圆，双曲线，抛物线．
【解析】因垂直于锥面的平面去截圆锥，得到的是圆，得平面逐渐倾斜，得到椭圆，当平面倾斜得“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线，用平行于圆锥的轴线的平面去截二次锥面可得到双曲线，故圆中不同类型的圆锥曲线有圆，椭圆，双曲线和抛物线．
2．直角坐标系，圆锥曲线C 的方程2
2
1y x n
+=，O 为原点．（如图1）
（1）为获得（如图1）中用与圆锥轴线垂直方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；
（2）为获得（如图1）中用与圆锥轴线平行方向的平面截得类型的圆锥曲线，可取n = __________；
（3）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其离心率e = __________； （4）上问2（2）中，对应取定n 值的曲线，其渐近线方程是__________； （5）为得到比（2）中开口更大同类曲线，写出一个新取值n =__________． 【答案】（1）1n =．（2）3-．（3）2．（4
）y =．（5）4n =-． 【解析】（1）若用垂直于圆锥轴线的平面截得的圆锥曲线是圆，此时1n =．
（2）用与圆锥轴线平行方向的平面截得的圆锥曲线是双曲线，此时0n <，故可取3n =-．
（3）当3n =-时，圆锥曲线C 的方程为2
2
13
y x -=，此时1a =
，b 2c =，故其离心率e 2c
a
=
=． （4）由（3）知，双曲线C
的渐近线方程为：y =．
（5）双曲线的离心率越大，开口越大，对于2
2
1y x n
+=，要使离心率大于2，则3n <-，故可取4n =-．
3．同2小题中曲线C 条件，且曲线C 为椭圆，设1F 、2F 为两个焦点，A 点在曲线C 上． （1）若焦点在y 轴上，可取n =__________； （2）描述3（1）中椭圆至少两个几何特征： ①__________；②__________．
（3）若4n =，则12AF F △的周长为__________； （4）若2
A
O F △是以AO 为斜边的等腰直角三角形（如图2），则椭圆的离心率e =__________．
【答案】（1）4．
（2）①椭圆落在1x =±，2y =±围成的矩形中； ②图象关于x 轴，y 轴，原点对称． （3
）4+ （4
． 【解析】（1）若方程2
2
1y x n +=表示焦点在y 轴上的椭圆，则1n >，故可取4n =．
（2）①对于椭圆2
2
14
y x +=的几何性质有：x 的取值范围是11x -≤≤，y 的取值范围是
22x -≤≤，椭圆位于直线1x =±，2y =±围成的矩形中；从图形上看：椭圆关于x 轴，y 轴，
原点对称，既是轴对称图象，又是中心对称图形；椭圆2
2
14
y x +=的四个顶点分别是(1,0)-，(1,0)，(0,2)，(0,2)-
，离心率e c a =
=，长半轴长为2，短半轴长为1
，焦距为等，任写两个几何特证即可．
（3）若4n =，则椭圆C 的方程为2
2
14
y x +=， 此时2a =，1b =
，c = 若A 在曲线C 上，则12||||24AF AF a +==，
故12AF F △
的周长为1212||||||224AF AF F F a c ++=+=+ （4）若2AOF △是以AO 为斜边的等腰直角三角形，
则2
b C a
=，即2b ac =，又222b a c =-，
得220c ac a +-=，故2e e 10+-=，
解得e =
0e 1<<
，故e =
4．直线与圆锥曲线相交时，与相交弦有关的几何图形常为研究的对象．
同2小题中曲线C 条件，且5n =，直线l 过曲线C 的上焦点1F ，与椭圆交于点A 、B ． （1）下面的三个问题中，直线l 分别满足不同的前提条件，选择其中一个研究． （三个问题赋分不同，若对多个问题解答，只对其中第一个解答过程赋分） ①直线斜率为1，求线段AB 的长． ②OA OB ⊥，求直线l 的方程．
③当AOB △面积最大时，求直线l 的方程． 我选择问题__________，研究过程如下：
（2）梳理总结你的研究过程，你使用主要的知识点、研究方法和工具（公式）有：__________（至少2个关键词）．
（3）在题4题干同样条件下，自构造一个几何图形，并自定一个相关的几何问题（无需解）． （在图34-中绘制出该几何图形，用正确的符号和文字描述图形的已知条件，并准确简洁叙述待研究的几何问题．无需解答，描述不清晰和不准确的不得分，绘制图像与描述不匹配的不得分）__________．
【答案】见解析．
【解析】（1）①解：由题意可知直线l 的方程为2y x =+，
椭圆C 的方程为2
2
15
y x +=， 由22215y x y x =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩
得26410x x +-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：1223x x +
=-，12
1
6
x x =-
，
∴线段||AB =．
②解：易知直线l 的斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，
代入椭圆2
2
:15
y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=，
设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=
+，12
21
5
x x k -=+， ∴2222
121212122228520
(2)(2)2()44555
k k k y y kx kx k x x k x x k k k ---+=++=+++=++=+++， ∵DA OB ⊥，
∴2221212222
1520519
0555
k k x x y y k k k --+-++=+==+++，
解得：k =， ∴直线l
的方程为：2k =+． ③解：易知直线l 斜率一定存在，设直线:2l y kx =+，
代入椭圆2
2
:15
y C x +=中得：22(5)410k x kx ++-=， 设11(,)A x y ，22(,)B x y ，则由韦达定理得：12245k x x k -+=
+，12
21
5
x x k -=+，
∴线段||AB =
221
5
k k +=+，
又原点D 到直线AB
的距离d =
∴AOB △
的面积22111||225k S AB d k +=⋅=⨯=+
==
∵2216181k k ++
+≥，
∵14S =≤2
21611
k k +=+
，即k =时，取等号， ∴AOB △
l
的方程为：2y =+． （2）函数与方程思想，不等式性质，弦长公式，根与系数关系，设而不求等． （3）设直线l 的斜率为k ，若椭圆C 的下顶点为D ， 求证：对于任意的k ∈R ，直线AD ，BD 的斜率之积为定值．
四、本大题4小题，共计总分13分．（第2，3，4小题，每题3分，每1小题4分，合计13分）
汽车前灯反射镜曲面设计为抛物曲面（即由抛物绕其轴线旋转一周而成的曲面）．其设计的光学原理是：由放置在焦点处的点光源发射的光线经抛物镜面反射，光线均沿与轴线平行方向路径反射，而抛物镜曲面的每个反射点的反射镜面就是曲面（线）在该点处的切面（线）． 定义：经光滑曲线上一点，且与曲线在该点处切线垂直的直线称为曲线在该点处的法线． 设计一款汽车前灯，已知灯口直径为20cm ，灯深25cm （如图1）．设抛物镜面的一个轴截面为抛物线C ，以该抛物线顶点为原点，以其对称轴为x 轴建立平面直角坐标系（如图2）．
.
图1
抛物线上点P 到焦点距离为5cm ，且在x 轴上方．研究以下问题： 1．求抛物线C 的标准方程和准线方程． 【答案】见解析．
【解析】解：设抛物线C 的方程为：22y px =，
由于灯口直径为20cm ，灯深25cm ，故点(25,10)在抛物线C 上， ∴100225p =⨯，解得：2p =，
∴抛物线C 为标准方程为：24y x =，准线方程为1x =-．
2．求P 点坐标． 【答案】见解析．
【解析】解：设P 点坐标为00(,)x y ，0(0)y >，则2
04y x =， ∵点P 到焦点的距离为5， ∴015x +=，得04x =
， ∴04y =， 故点P 的坐标为(4,4)．
3．求抛物线在点P 处法线方程．
【答案】见解析．
【解析】解：设抛物线在P 点处的切线方程为：4(4)y k x -=-，
则由2444(4)
y x y x ⎧=⎨-=-⎩，消去x 得：2416160ky y k --+=， 164(1616)0k k ∆=--+=，即24410k k -+=，解得12
k =， ∴抛物线在P 点处法线的斜率为2-，
故抛物线在P 点处法线的方程为42(4)y x -=--，即2120x y +-=．
4．为证明（检验）车灯的光学原理，从以下两个命题中选择其一进行研究：（只记一个分值） ①求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的光线经点P 反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．
②求证：由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射，反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．
我选择问题__________，研究过程如下：
【答案】见解析．
【解析】①证明：设(1,0)F 关于法线2120x y +-=的对称点(,)m n ，
则(,)m n 在反射光线上， 则1121212022
n m m n ⎧=⎪⎪-⎨+⎪⨯+-=⎪⎩， 解得94
m n =⎧⎨=⎩， ∴反射光线过点(9,4)，
又∵点(4,4)P 在反射光线上，
∴反射光线的方程为4y =，
故由在抛物线焦点F 处的点光源经点P 发射，
反射光线所在的直线平行于抛物线对称轴．
②证明：设00(,)M x y 为抛物线上，任意一点，
则抛物线在M 处切线方程为：00()y y k x x -=-，
由2004()
y x y y k x x ⎧=⎪⎨-=-⎪⎩得2004440ky y y kx -+-=， 00164(44)0k y kx ∆=--=，
又2004
y x =代入上式化简得20(2)0ky -=， ∴0
2k y =， ∴抛物线在00(,)M x y 处法线的斜率为02
y -， 法线方程为000()2y y y x x -=--， 即2000024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
， 设(1,0)F 关于在点M 处的法线200024y y y y x ⎛⎫-=-- ⎪⎝⎭
的对称点F '为(,)m n ， 则020*********n m y y y n m y ⎧=⎪-⎪⎨⎛⎫+⎪-=-- ⎪⎪⎝⎭⎩
， 解得：42002006828y y m y n y ⎧++=⎪+⎨⎪=⎩
， ∴抛物线在点M 处反射光线过420002068,28y y y y ⎛⎫++ ⎪+⎝⎭
， 又∵反射光线过00(,)M x y ，
∴反射光线所在直线方程为0y y =， 故由在抛物线焦点F 处的点光源发射的任意一束光线经抛物线反射， 反射光线所在的直线平行于抛物线的对称轴．。