02-课件：5-4 机器人动力学建模(牛顿-欧拉法)

连杆动力学方程（牛顿-欧拉递推方法）
将机器人的连杆看成刚体，其质心加速度、总质量、角速度、
角加速度、惯性
张量与作用力矩满足如下关系：
牛顿第二定律 （力平衡方程）
()/ci i ci i ci d m dt m ==f v v
欧拉方程 （力矩平衡方程）()()/c c c ci i i i i d dt ==+⨯i i i n I ωI ω
ωI ω
连杆动力学方程（牛顿-欧拉递推方法）
欧拉方程公式推导
v 为质心移动速度（移动时与惯性力相关）坐标系旋转时，惯性张量不是常量()()/c c
c ci i i i i
d dt ==+⨯i i i n I ωI ωωI ω ()() =[()] =[] =()c c c ci i i i c c i i i c
c i i i c c
i i i d d dt dt
S ==+++⨯+⨯i i i i i i i i i n I ωI ωωI I ωωωI I ωωωI I ωωI ω ()()g d m dt =⋅+⨯⋅+N I ωωI ωρ×v
力和力矩平衡方程
i i+1i-1iP i+1i fi i n i i f i+1i n i+1连杆i 在运动情况下，作用在上面
的合力为零，得力平衡方程式
（暂时不考虑重力）：
（将惯性力作为静力来考虑）
1
11f f R f +++=-i i i i ci i i i
力和力矩平衡方程
作用在连杆i 上的合力矩等于零，得力矩平衡方程式：1111111i i i i i i i i i ci i i i ci ci i i i +++++++=-
-⨯-⨯n n R n r f P R f 将上式写成从末端连杆向内迭代的形式：111i i i i i i i ci
+++=+f R f f 1111111i i i i i i i i i i i i ci ci ci i i i +++++++=++⨯+⨯n R n n r f P R f 利用这些公式可以从末端连杆n 开始，顺次向内递推直至到操作臂的基座。

力和力矩的递推
111f R f f +++=+i i i i i i i ci
111
1111n R n n r f P R f +++++++=++⨯+⨯i i i i i i i i i i i i c i ci ci i i i 对于旋转关节，各关节上所需的扭矩等于连杆作用在它相邻连杆的力矩的Z轴分量
i T i i i i
=τn Z i T i i i i
=τf Z
力和力矩的递推
牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）
首先从连杆1到n递推计算各连杆的速度和加速度；再由牛顿-欧拉公式计算出每个连杆的惯性力和力矩；
最后，从连杆n到连杆1对推计算各连杆内部相互作用力和力矩，以及关节驱动力和力矩。

牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）
综上所述，将递推计算过程的相关公式归纳如下：
()11111111(1)i i i i i i i i i i i i i i i +++++++⎧++⎪=⎨+⎪⎩R ωθZ ωR ω 对于转动关节对于移动关节1111111111i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ++++++++++⎧+⨯+⎪=⎨⎪⎩R ωR ωθZ θZ ωR ω （转动关节）（移动关节）
牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）
()()11111111111111112i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i i ++++++++++++++++⎧⎡⎤+⨯+⨯⨯⎣⎦⎪⎪⎡⎤=+⨯+⨯⨯⎨⎣⎦⎪+⨯+⎪⎩R v ωP ωωP v R v ωP ωωP ωd Z d Z （转动关节）（移动关节）
()11111111111111i i i i i i i ci i i ci i i ci ++++++++++++++=+⨯+⨯⨯v v
ωr ωωr 11111i i ci i ci m +++++=f υ ()1
11111111111i ci i i ci i ci i i i i i ++++++++++++=+⨯n I ωωI ω
牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）
111i i i i i i i ci
+++=+f R f f 111
1111i i i i i i i i i i i i c i ci ci i i i +++++++=++⨯+⨯n R n n r f P R f ()i T i i i i i T i i i ⎧⎪=⎨⎪⎩n Z τf Z 转动关节（移动关节）
牛顿-欧拉递推方法（具体步骤）计及重力的动力学算法：。