高数课件-空间平面

則兩平面夾角 的余弦為
2
cos n1 n2
n1 n2
(0 )
2
n1
n2
1
即 cos
A1A2 B1B2 C1C2
A12 B12 C12 A22 B22 C22
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18-1
1 : n1 { A1, B1, C1} cos n1 n2
2 : n2 {A2 , B2 , C2}
2.平面與平面之間的關係
平面 1 : A1x B1y C1z D1 0, n1 {A1, B1,C1} 平面 2 : A2 x B2 y C2 z D2 0, n2 {A2, B2,C2}
垂直:
A1A2 B1B2 C1C2 0
平行: n1 n2 0
A1 B1 C1 A2 B2 C2
量 n {A , B , C}, 求該平面的方程.
任取点M (x, y, z) , 則有
M0M n
故
M0M n 0
z
M
o x
n
M0
y
A(x x0) B( y y0) C(z z0) 0
①
稱①式為平面的點法式方程, 称 n 为平面 的法向量.
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例2.求過三點
的平面 的方程.
，半徑為
的球面方程為
(x x0 )2 ( y y0 )2 (z z0 )2 R2
特別,當M0在原 M0
其中：
M
o
y
表示上半球面 ， x
表示下半球面 .
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18-1
二、平面的點法式方程
設平面過已知點 M 0 (x0 , y0 , z0 )，且垂直於非零向
垂直於平面∏: x + y + z = 0, 求其方程 .
解: 設所求平面為 A x B y Cz D 0 ，則有
A BC D 0
BC D 0
A B C 0
解得
，所以所求平面為
2x y z 0 0
即
2x y z 0
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例5. 設
是平面
外一點,求 P0 到平面的距離d . 解: 在平面上取一點 P1(x1, y1, z1) ,則
夾角公式: cos n1 n2
n1 n2
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18-1
A = D = 0 時, B y + C z = 0 表示過x 軸的平面; •當 A = B = 0 時, C z + D = 0 表示平行於 xoy 面的平面;
A = B = D =0 時, z = 0 表示xoy 座標面 ；
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例3. 求通過 x軸和點( 4, – 3, – 1) 的平面方程.
解: 取該平面 的法向量為
n
n M1M 2 M1M3
i jk 3 4 6
M1
M3 M2
2 3 1
{14, 9, 1}
又 M1 , 利用點法式得平面 的方程
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平面的三點式方程
一般情況 : 過不共線三點 Mk (xk , yk , zk ) (k 1, 2,3)
的平面三點式方程為
证明提示：三个向量
M1M , M1M2, M1M3
共面
例2中，平面的三點式方程為
x 2 y 1 z 4 3 4 6 0 （結果完全一樣） 2 3 1
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平面的截距式方程
當平面與三坐標軸的截距分別為 a ,b , c (a b c 0)
時, 平面方程為
第三節 空間平面及其方程
一、曲面方程的概念
二、平面的點法式方程 三、平面的一般方程
四、兩平面的夾角
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18-<#>
一、曲面方程的概念
引例: 求到兩定點A(1,2,3) 和B(2,-1,4)等距離的點的 軌跡方程.
解:設軌跡上的動點為 M (x, y, z), 则 AM BM , 即
(x 1)2 ( y 2)2 (z 3)2 (x 2)2 ( y 1)2 (z 4)2 化簡得 2x 6 y 2z 7 0
n1 n2
特別有下列結論：
n2
(1) 1 2
n1 n2
1
A1 A2 B1 B2 C1 C2 0
n1
2
(2) 1 // 2
n1 // n2 A1 B1 C1 A2 B2 C2
n2 n1
2
1
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例4. 一平面通過兩點 M1( 1, 1, 1 )和 M 2 ( 0, 1, 1 ), 且
說明: 動點軌跡為線段 AB 的垂直平分面. 顯然在此平面上的點的座標都滿足此方程,
不在此平面上的點的座標不滿足此方程.
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定義1. 如果曲面 S 與方程 F( x, y, z ) = 0 有下述關係:
(1) 曲面 S 上的任意點的座標都滿足此方程;
(2) 不在曲面 S 上的點的座標不滿足此方程,
解: 因平面通過 x 軸 , 故 A D 0
設所求平面方程為
By Cz 0 代入已知點 (4, 3, 1)得
化簡,得所求平面方程
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四、兩平面的夾角
兩平面法向量的夾角(為銳角)稱為兩平面的夾角.
設平面∏1的法向量為 n1 {A1 , B1 ,C1}
平面∏2的法向量為 n2 {A2 , B2 ,C2}
此時，平面的法向量： n A, B,C
顯然,平面的一般方程與其點法式方程等價， 並且可以相互轉化。
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18-1
Ax By Cz D 0 ( A2 B2 C2 0)
特殊情形舉例：
• 當 D = 0 時, A x + B y + C z = 0 表示通過原點的平面; • 當 A = 0 時, B y + C z + D = 0 表示平行於 x 軸的平面;
則 F( x, y, z ) = 0 叫做曲面 S 的方程, 曲面 S 叫做方程 F( x, y, z ) = 0 的圖形.
兩個基本問題 :
F(x, y, z) 0
z
S
(1) 已知一曲面作為點的幾何軌跡時,
oy
求曲面方程.
x
(2) 已知方程時 , 研究它所表示的幾何形狀.
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例1. 由上節知球心為
和
的平面方程.
解: 已知二平面的法向量為
n1 {1, 1, 1}, n2 {3, 2, 12}
取所求平面的法向量可取
n n1 n2 {10, 15, 5 }
則所求平面方程為
10(x 1) 15( y 1) 5(z 1) 0
化簡得
2x 3y z 6 0
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11-1
內容小結
x y z 1 abc
此式稱為平面的截距式方程.
证明提示：平面 过下列三个点： P(a,0,0) , Q(0,b,0) , R(0,0,c)
再用平面的三点式方程即可证明.
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三、平面的一般方程
設平面的點法式方程為
將其展開為
記
，則
Ax By Cz D 0
此方程稱為平面的一般方程。
d P1P0 cos
P1P0 n n
(n {A , B , C})
A(x0 x1) B( y0 y1) C(z0 z1) A2 B2 C2
n P0 d
P1
d A x0 B y0 C z0 D A2 B2 C2
(點到平面的距離公式)
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例6. 求過點 (1,1,1) ，且垂直於二平面
1.平面方程:
一般式 Ax By Cz D 0( A2 B2 C2 0)
點法式 三點式 截距式
x x1 y y1 z z1 x2 x1 y2 y1 z2 z1 0 x3 x1 y3 y1 z3 z1
x y z 1 (abc 0) abc
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