高考数学一轮复习 第2章 函数、导数及其应用 2.8 函数与方程课后作业 文

2．8 函数与方程
[基础送分提速狂刷练]
一、选择题
1．(2017·临汾三模)已知函数f(x)，g(x)：
则函数y＝f[g(x)]
A．0 B．1
C．2 D．3
答案 B
解析由题意，g(x)＝1，∴x＝1.故选B.
2．(2017·衡水调研)方程|x2－2x|＝a2＋1(a>0)的解的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
答案 B
解析∵a>0，∴a2＋1>1，而y＝|x2－2x|的图象如图，∴y＝|x2－2x|的图象与y＝a2＋1的图象总有两个交点．故选B.
3．若函数f(x)＝2ax2－x－1在(0,1)内恰有一个零点，则实数a的取值范围是( ) A．(－1,1) B．[1，＋∞)
C．(1，＋∞)D．(2，＋∞)
答案 C
解析当a＝0时，函数的零点是x＝－1，不合题意．当a≠0时，若Δ>0，f(0)·f(1)<0，则a>1.
若Δ＝0，即a ＝－1
8
，函数的零点是x ＝－2，不合题意．故选C.
4．(2017·浙江嘉兴测试)已知函数f (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
－cos x ，则f (x )在[0,2π]上的零点个数
为( )
A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
答案 C
解析 函数f (x )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x 的零点个数为⎝ ⎛⎭⎪⎫14x －cos x ＝0⇒⎝ ⎛⎭⎪⎫14x
＝cos x 的根的个数，即
函数h (x )＝⎝ ⎛⎭
⎪⎫14x
与g (x )＝cos x 的图象的交点个数．如图所示，在区间[0,2π]上交点个数为
3.故选C.
5．(2017·河南新乡三模)若函数f (x )＝log 2(x ＋a )与g (x )＝x 2
－(a ＋1)x －4(a ＋5)存在相同的零点，则a 的值为( )
A ．4或－5
2
B ．4或－2
C ．5或－2
D ．6或－5
2
答案 C
解析 g (x )＝x 2
－(a ＋1)x －4(a ＋5)＝(x ＋4)[x －(a ＋5)]，令g (x )＝0，得x ＝－4或x ＝a ＋5，则f (－4)＝log 2(－4＋a )＝0或f (a ＋5)＝log 2(2a ＋5)＝0，解得a ＝5或a ＝－2.故选C.
6．(2017·河南十所名校联考)设函数f (x )＝1
3
x －ln x ，则函数y ＝f (x )( )
A ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1，(1，e)内均有零点
B ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1，(1，e)内均无零点 C ．在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫1e ，1内有零点，在区间(1，e)内无零点 D ．在区间⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内无零点，在区间(1，e)内有零点 答案 D
解析 令f (x )＝0得13x ＝ln x ．作出函数y ＝1
3
x 和y ＝ln x 的图象，如图，显然y ＝f (x )
在⎝ ⎛⎭
⎪⎫1e ，1内无零点，在(1，e)内有零点．故选D.
7．(2017·东城区期末)已知x 0是函数f (x )＝2x
＋11－x 的一个零点．若x 1∈(1，x 0)，x 2
∈(x 0，＋∞)，则( )
A ．f (x 1)<0，f (x 2)<0
B ．f (x 1)<0，f (x 2)>0
C ．f (x 1)>0，f (x 2)<0
D ．f (x 1)>0，f (x 2)>0
答案 B
解析 设g (x )＝11－x ，由于函数g (x )＝11－x ＝－1
x －1在(1，＋∞)上单调递增，函数h (x )
＝2x
在(1，＋∞)上单调递增，故函数f (x )＝h (x )＋g (x )在(1，＋∞)上单调递增，所以函数
f (x )在(1，＋∞)上只有唯一的零点x 0，且在(1，x 0)上f (x 1)<0，在(x 0，＋∞)上f (x 2)>0.故
选B.
8．(2017·江西赣州一模)函数f (x )，g (x )满足：对任意x ∈R ，都有f (x 2
－2x ＋3)＝g (x )，若关于x 的方程g (x )＋sin
π
2
x ＝0只有5个根，则这5个根之和为( ) A ．5 B ．6 C ．8 D ．9
答案 A
解析 由f (x 2
－2x ＋3)＝g (x )及y ＝x 2
－2x ＋3的图象关于直线x ＝1对称知g (x )的图象关于直线x ＝1对称，由g (x )＋sin π2x ＝0，知g (x )＝－sin π2x ，因为y ＝－sin π
2x 的图象也
关于直线x ＝1对称，g (x )＋sin π
2x ＝0有5个根，故必有一个根为1，另外4个根的和为4.
所以原方程所有根之和为5.故选A.
9．(2017·山东济宁模拟)定义在[
1π，π]上的函数f (x )满足f (x )＝f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时，f (x )＝ln x ，若函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1π，π上有零点，则实数a 的取值范
围是( )
A.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－ln ππ，0
B ．[－πln π，0] C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1e
，ln ππ D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－e
π
，－1π
答案 B
解析 令x ∈[1，π]，则1x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，因为f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ，且当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1时，f (x )＝ln
x ，所以f (x )＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫
1x ＝－ln x ，则f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
ln x ，x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤1π，1，
－ln x ，x ∈[1，π]，
在坐标系中画出函数f (x )的图象如图：
因为函数g (x )＝f (x )－ax 在⎣⎢⎡⎦
⎥⎤1π，π上有零点，所以直线y ＝ax 与函数f (x )的图象有
交点．由图得，当a 取满足题意的最小值时，直线y ＝ax 与f (x )的图象相交于点(1
π，－ln π)，
此时－ln π＝a
π⇒a ＝－πln π，由图可得，实数a 的取值范围是[－πln π，0]．故选
B.
10.(2016·天津高考)已知函数,f (x )＝⎩⎪⎨
⎪
⎧
x 2
＋a －x ＋3a ，x <0，
log a
x ＋
＋1，x ≥0
(a >0，且a ≠1)
在R 上单调递减，且关于x 的方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，则a 的取值范围是( )
A.⎝ ⎛⎦
⎥⎤0，23 B ．⎣⎢⎡⎦
⎥⎤23，34
C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭⎬⎫34 D ．⎣⎢⎡⎭⎪⎫13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫34 答案 C
解析 要使函数f (x )在R 上单调递减， 只需⎩⎪⎨⎪⎧
3－4a 2≥0，0<a <1，
3a ≥1，
解之得13≤a ≤34
，
因为方程|f (x )|＝2－x 恰有两个不相等的实数解，所以直线y ＝2－x 与函数y ＝|f (x )|的图象有两个交点，如图所示．
易知y ＝|f (x )|的图象与x 轴的交点的横坐标为1a －1，又13≤1
a －1≤2，故由图可知，直
线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|的图象在x >0时有一个交点；当直线y ＝2－x 与y ＝x 2
＋(4a －3)x
＋3a (x <0)的图象相切时，设切点为(x 0，y 0)，则⎩⎪⎨
⎪⎧
2－x 0＝x 2
0＋
a －x 0＋3a ，
－1＝2x 0＋
a －
，
整理可得
4a 2
－7a ＋3＝0，解得a ＝1(舍)或a ＝34.而当3a ≤2，即a ≤23
时，直线y ＝2－x 与y ＝|f (x )|
的图象在y 轴左侧有一个交点，综合可得a ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，23∪⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
34.故选C.
二、填空题
11．(2017·河北模拟)若函数f (x )＝ln (x －1)－3
x
的零点在区间(k ，k ＋1)(k ∈Z )上，
则k 的值为________．
答案 3
解析 易知函数f (x )＝ln (x －1)－3
x
在其定义域上连续，f (3)＝ln 2－1<0，f (4)＝ln 3
－3
4
>0，故f (3)·f (4)<0，故函数的零点在区间(3,4)上，故k ＝3，故答案为3.
12．函数f (x )＝⎩
⎪⎨
⎪⎧
x 2
－2，x ≤0，
2x －6＋ln x ，x >0的零点个数是________．
答案 2
解析 当x ≤0时，令x 2
－2＝0，解得x ＝－2(正根舍)，所以在(－∞，0]上有一个零点．当x >0时，f ′(x )＝2＋1
x
>0恒成立，所以f (x )在(0，＋∞)上是增函数．又因为f (2)＝
－2＋ln 2<0，f (3)＝ln 3>0，所以f (x )在(0，＋∞)上有一个零点，综上，函数f (x )的零点个数为2.
13．已知a 是实数，函数f (x )＝2a |x |＋2x －a ，若函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，则实数a 的取值范围是________．
答案 (－∞，－1)∪(1，＋∞)
解析 由题意易知a ≠0，令f (x )＝0，即2a |x |＋2x －a ＝0，变形得|x |－12＝－1
a
x ，
分别作出函数y 1＝|x |－12，y 2＝－1
a
x 的图象，如图所示．
由图易知，当0<－1a <1或－1<－1
a
<0，即a <－1或a >1时，y 1和y 2的图象有两个不同的
交点，所以当a <－1或a >1时，函数y ＝f (x )有且仅有两个零点，即实数a 的取值范围是(－∞，－1)∪(1，＋∞)．
14．已知函数y ＝f (x )(x ∈R )．对函数y ＝g (x )(x ∈I )，定义g (x )关于f (x )的“对称函数”为函数y ＝h (x )(x ∈I )，y ＝h (x )满足：对任意x ∈I ，两个点(x ，h (x ))，(x ，g (x ))关于点(x ，f (x ))对称．若h (x )是g (x )＝4－x 2
关于f (x )＝3x ＋b 的“对称函数”，且h (x )>g (x )恒成立，则实数b 的取值范围是________．
答案 (210，＋∞)
解析 函数g (x )的定义域是[－2,2]，根据已知得
h x ＋g x
2
＝f (x )，所以h (x )＝
2f (x )－g (x )＝6x ＋2b －4－x 2
.h (x )>g (x )恒成立，即6x ＋2b －4－x 2
> 4－x 2
恒成立，即3x ＋b >4－x 2
恒成立，令y ＝3x ＋b ，y ＝4－x 2
，则只要直线y ＝3x ＋b 在半圆 x 2
＋y 2
＝4(y ≥0)上方即可，由
|b |10
>2，解得b >210(舍去b <－210)，故实数b 的取值范围是(210，＋∞)．
三、解答题
15．已知二次函数f (x )＝x 2
＋(2a －1)x ＋1－2a .
(1)判断命题：“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”的真假，并写出判断过程；
(2)若y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12内各有一个零点，求实数a 的取值范围． 解 (1)“对于任意的a ∈R ，方程f (x )＝1必有实数根”是真命题．
依题意，f (x )＝1有实根，即x 2
＋(2a －1)x －2a ＝0有实根，因为Δ＝(2a －1)2
＋8a ＝(2a ＋1)2
≥0对于任意的a ∈R 恒成立，即x 2
＋(2a －1)x －2a ＝0必有实根，从而f (x )＝1必有实根．
(2)依题意，要使y ＝f (x )在区间(－1,0)及⎝ ⎛⎭
⎪⎫0，12内各有一个零点， 只需⎩⎪⎨
⎪⎧
f －，f ，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫12>0，即⎩⎪⎨⎪⎧
3－4a >0，
1－2a <0，34－a >0，
解得12<a <3
4
.
故实数a 的取值范围为{a ⎪⎪⎪⎭
⎬⎫
12<a <34.
16．(2017·江西模拟)已知函数f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1，g (x )＝x ＋e
2
x
(x >0)．
(1)若g (x )＝m 有实数根，求m 的取值范围；
(2)确定m 的取值范围，使得g (x )－f (x )＝0有两个相异实根． 解 (1)∵x >0时，g (x )＝x ＋e
2
x
≥2
x ·e
2
x
＝2e ，
等号成立的条件是x ＝e ，故g (x )的值域是[2e ，＋∞)， 因而只需m ≥2e，则y ＝g (x )－m 就有零点． ∴m 的取值范围是[2e ，＋∞)．
(2)若g (x )－f (x )＝0有两个相异的实根，即g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点， 作出g (x )＝x ＋e
2
x
(x >0)的大致图象．
∵f (x )＝－x 2＋2e x ＋m －1＝－(x －e)2＋m －1＋e 2
， ∴其图象的对称轴为x ＝e ，开口向下，最大值为m －1＋e 2
.
故当m －1＋e 2
>2e ，即m >－e 2
＋2e ＋1时，g (x )与f (x )的图象有两个不同的交点，即g (x )－f (x )＝0有两个相异实根．
∴m的取值范围是(－e2＋2e＋1，＋∞)．。