2020考前三个月高考数学理科(江苏专用)总复习训练题：——小题满分练3 Word版含答案

小题满分练3
1．(2017·南京三模)已知全集U ＝{1,2,3,4}，集合A ＝{1,4}，B ＝{3,4}，则∁U (A ∪B )＝__________. 答案 {2}
解析 由题意可得A ∪B ＝{1,3,4}，故∁U (A ∪B )＝{2}．
2．(2017届苏北四市一模)已知复数z 满足z (1－i)＝2，其中i 为虚数单位，则z 的实部为________． 答案 1
解析 因为z (1－i)＝2，所以z ＝2
1－i
＝1＋i ，故实部为1.
3．某工厂生产A ，B ，C ，D 四种不同型号的产品，产品数量之比依次为2∶3∶5∶1.现用分层抽样方法抽出一个容量为n 的样本，若样本中A 种型号有16件，那么此样本的容量n 为________． 答案 88
解析 根据分层抽样的特点，样本中A 种型号产品应是样本容量的22＋3＋5＋1＝2
11
，所以样
本的容量n ＝16÷2
11
＝88.
4．函数y ＝ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫1＋1x ＋1－x 2
的定义域为________．
答案 (0,1]
解析 根据题意可知，⎩⎪⎨⎪⎧
1＋1x
>0，x ≠0，
1－x 2
≥0
⇒⎩⎪⎨⎪⎧
x ＋1x >0，
－1≤x ≤1
⇒0<x ≤1，故定义域为(0,1]．
5．(2017届苏北四市一模)若随机地从1,2,3,4,5五个数中选出两个数，则这两个数恰好为一奇一偶的概率为__________． 答案 3
5
解析 从1,2,3,4,5五个数中选出两个数的所有基本事件为(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10个，其中一奇一偶的基本事件有6个，故所求事件的概率为P ＝610＝3
5.
6．(2017届南京、盐城一模)如图是一个算法流程图，则输出的x 的值是________．
答案 9
解析 经过第一次循环后得x ＝1＋4＝5，y ＝9－2＝7，此时x ＜y ，进行第二次循环；经过第二次循环后得x ＝5＋4＝9，y ＝7－2＝5，此时x ＞y ，退出循环，故输出的x ＝9. 7．在△ABC 中，∠BAC ＝120°，AC ＝4，BC ＝27，则△ABC 的面积为________． 答案 2 3
解析 由题意知，在△ABC 中，已知A ＝120°，b ＝4，
a ＝27，
由余弦定理得cos A ＝42
＋c 2
－(27)2
2×4×c ＝－1
2，
解得c ＝2或c ＝－6(舍去)，
则S △ABC ＝12bc sin A ＝12×4×2×3
2
＝2 3.
8．(2017·南京学情调研)在平面直角坐标系xOy 中，双曲线C ：x 2a 2－y 2
4
＝1(a ＞0)的一条渐
近线与直线y ＝2x ＋1平行，则实数a 的值是________． 答案 1
解析 由双曲线的方程可知其渐近线方程为y ＝±2
a
x .因为一条渐近线与直线y ＝2x ＋1平
行，所以2
a
＝2，解得a ＝1.
9．(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)已知{a n }是公差不为0的等差数列，S n 是其前n 项和．若a 2a 3＝a 4a 5，S 9＝27，则a 1的值是________． 答案 －5
解析 首先由S 9＝9a 5＝27，得a 5＝3.设公差为d (d ≠0)，则(3－3d )(3－2d )＝3(3－d )，即
d 2－2d ＝0，从而得d ＝2.所以a 1＝a 5－4d ＝3－8＝－5.
10．(2017·苏州暑假测试)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π，cos α＝13，sin(α＋β)＝－
3
5
，则cos β＝________. 答案 －4＋62
15
解析 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos α＝13，所以sin α＝223.又α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，3π2，sin(α＋
β)＝－35＜0，所以α＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π，3π2，故cos(α＋β)＝－45，从而cos β＝cos(α＋β
－α)＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－45×13－35×22
3＝
－4＋62
15
.
11.(2017·南通、扬州、淮安、宿迁、泰州、徐州六市调研)如图，在
平面四边形ABCD 中，O 为BD 的中点，且OA ＝3，OC ＝5.若AB →·AD →＝－7，则BC →·DC →
的值是__________． 答案 9
解析 BC →·DC →＝(OC →－OB →)·(OC →－OD →)＝(OC →＋OD →)·(OC →－OD →)＝OC 2－OD 2，类似AB →·AD →＝AO 2
－OD 2＝－7，所以BC →·DC →＝OC 2－OD 2＝OC 2－AO 2
－7＝9.
12．将矩形ABCD 绕边AB 旋转一周得到一个圆柱，AB ＝3，BC ＝2，圆柱上底面圆心为O ，△
EFG 为下底面圆的一个内接直角三角形，则三棱锥O －EFG 体积的最大值是________．
答案 4
解析 设Rt △EFG 的两条直角边分别为a ，b ，则a 2
＋b 2
＝16，三棱锥O －EFG 的高为3，从而V O －EFG ＝13S △EFG ·3＝12ab ≤a 2
＋b
2
4＝4，当且仅当a ＝b ＝22时等号成立，故三棱锥O －EFG
的体积的最大值为4.
13．(2017届南京、盐城一模)如图，在平面直角坐标系中，分别在x 轴与直线y ＝
3
3
(x ＋1)上从左向右依次取点A k ，B k ，k ＝1,2，…，其中A 1是坐标原点，使△A k B k A k ＋1都是等边三角形，则△A 10B 10A 11的边长是________．
答案 512
解析 设第n 个正三角形的边长为a n ， 则点B 1⎝ ⎛⎭⎪⎫1
2a 1，32a 1在直线y ＝33(x ＋1)上，
从而
32a 1＝33⎝ ⎛⎭
⎪⎫12a 1＋1，解得a 1＝1，
当n ≥2时，B n ⎝ ⎛
⎭⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n －1＋12a n ，32a n .
因为B n 在直线y ＝3
3
(x ＋1)上， 所以
32a n ＝33⎝ ⎛⎭
⎪⎫a 1＋a 2＋…＋a n －1＋12a n ＋1， 即a n ＝a 1＋a 2＋…＋a n －1＋1， 从而a n ＋1＝a 1＋a 2＋…＋a n ＋1， 两式相减得a n ＋1＝2a n (n ≥2)，
又a 2＝a 1＋1＝2，故{a n }是以a 1＝1为首项，q ＝2为公比的等比数列，从而△A 10B 10A 11的边长为a 10＝29
＝512.
14．已知函数f (x )＝(x －1)e x
＋12ax 2＋1(其中a ∈R )有两个零点，则a 的取值范围是
____________________． 答案 (－∞，－1)∪(－1,0)
解析 由题意，f ′(x )＝x (e x
＋a )，其中f (0)＝0，故函数还有一个不为零的零点，分类讨论：
(1)当a ≥0时，由f ′(x )＜0，得x ＜0，由f ′(x )＞0， 得x ＞0，此时函数仅有一个零点；
(2)当a ＜0时，由f ′(x )＝0可得，x 1＝0，x 2＝ln(－a )， ①当ln(－a )＜0，即－1＜a ＜0时，
当x ∈(－∞，ln(－a ))∪(0，＋∞)时，f ′(x )＞0， 当x ∈(－ln(－a )，0)时，f ′(x )＜0，
所以当x ＝ln(－a )时，f (x )取得极大值，当x ＝0时，函数取得极小值， 而f (ln(－a ))＞f (0)可知函数有两个零点，此时满足条件． ②当ln(－a )＝0，即a ＝－1时，
当x∈(－∞，0)∪(0，＋∞)时，f′(x)＞0，
函数单调递增，函数只有一个零点，不满足条件．
③当ln(－a)＞0，即a＜－1时，
当x∈(－∞，0)∪(ln(－a)，＋∞)时，f′(x)＞0，
当x∈(0，ln(－a))时，f′(x)＜0，
所以当x＝ln(－a)时，f(x)取得极小值，当x＝0时，函数取得极大值，由f(ln(－a))＜f(0)可知函数有两个零点，此时满足条件．
综上可得，a的取值范围是(－∞，－1)∪(－1,0)．。