求平均的几种方法说明

当给定一组数据或观测值后，这些数值的平均数的种类很多，常见的有算术平均数、几何平均数、调和平均数、加权算术平均数、移动平均数与指数平滑平均数等。

由于算术平均数、几何平均数、调和平均数、加权算术平均数的计算方法相对其余几种来说，比较简单，故常称这几种平均数的求法为“简单平均法”。

1.简单算术平均数
简单算术平均数主要用于未分组的原始数据。

设一组数据为1X ，2X ，...，n X ，简单的算术平均数的计算公式为：()12M X X ...X /n n =+++
2.几何平均数
几何平均数是指n 个观察值连乘积的n 次方根。

几何平均数多用于计算平均比率和平均速度。

如：平均利率、平均发展速度、平均合格率等。

几何平均数的计算
1、简单几何平均法 1N n i i G X ==∏
2、加权几何平均法 11n i i N f f i i G X
==∑=∏
几何平均数的特点
1、几何平均数受极端值的影响较算术平均数小。

2、如果变量值有负值，计算出的几何平均数就会成为负数或虚数。

3、它仅适用于具有等比或近似等比关系的数据。

4、几何平均数的对数是各变量值对数的算术平均数。

计算几何平均数应注意的问题
1、变量数列中任何一个变量值不能为0，一个为0，则几何平均数为0。

2、用环比指数计算的几何平均易受最初水平和最末水平的影响。

3、几何平均法主要用于动态平均数的计算。

几何平均数的计算举例
假定某地储蓄年利率（按复利计算）：5%持续1.5年，3%持续2.5年，2.2%持续1年。

请问此5年内该地平均储蓄年利率。

该地平均储蓄年利率：
3.调和平均数
调和平均数又称倒数平均数，是变量倒数的算术平均数的倒数。

调和平均数的计算公式 (调和平均数是给定数据的倒数之算术平均数的倒数)
1
11n H x
x n ==∑∑ （简单平均式） 111f H f f
x x f
==∑∑∑∑ （加权平均式） 调和平均数的特点
1、调和平均数易受极端值的影响，且受极小值的影响比受极大值的影响更大。

2、只要有一个变量值为零，就不能计算调和平均数。

3、当组距数列有开口组时，其组中值即使按相邻组距计算了，假定性也很大，这时，调和平均数的代表性就很不可靠。

4、调和平均数应用的范围较小。

4.加权算术平均数
加权算术平均数主要用于处理经分组整理的数据。

设原始数据为被分成K 组，各组的组中的值为1X ，2X ，...，k X ，各组的频数分别为1f ，2f ，...，k f ，加权算术平均数的计算公式为： M /i i i
X f f =∑∑ 特殊说明
1、加权算术平均数同时受到两个因素的影响，一个是各组数值的大小，另一个是各组分布频数的多少。

在数值不变的情况下，那一组的频数多，该组的数值对平均数的作用就大，反之，就小。

频数在加权算术平均数中起着权衡轻重的作用，这也是加权算术平均数“加权”一词的来历。

2、算术平均数易受极端值的影响。

比如有下列资料：5、7、5、4、6、7、8、5、4、7、8、6、20，全部资料的平均值是7.1，实际上大部分数据（有10个）不超过7，如果去掉20，则剩下的12个数的平均数为6。

由此可见，极端值得出现，会使平均数的真实性受到干扰。

特点
①算术平均数是一个良好的集中量数，具有反应灵敏、确定严密、简明易解、计算简单、适合进一步演算和较小受抽样变化的影响等优点。

②算术平均数易受极端数据的影响，这是因为平均数反应灵敏，每个数据的或大或小的变化都会影响到最终结果。

5.移动平均法(滑动平均法，滑动平均模型法)
移动平均法是用一组最近的实际数据值来预测未来一期或几期内公司产品的需求量、公司产能等的一种常用方法。

移动平均法适用于即期预测。

当产品需求既不快速增长也不快速下降，且不存在季节性因素时，移动平均法能有效地消除预测中的随机波动，是非常有用的。

基本思想：根据时间序列资料，逐项推移，依次计算包含一定项数的序时平均值，以反映长期趋势的方法。

因此，当时间序列的数值由于受周期变动和随机波动的影响，
起伏较大，不易显示出事件的发展趋势时，适用移动平均法可以消除这些因素的影响，显示出事件的发展方向和趋势（即趋势线），然后依趋势线分析预测序列的长期趋势。

移动平均法根据预测时使用的各元素的权重不同，可以分为：简单移动平均和加权移动平均。

还分为一次移动平均法和二次移动平均法两种。

一、简单移动平均法
简单移动平均的各元素的权重都相等。

简单的移动平均的计算公式如下： ()t 1t 2t 3t F A A A A /n t n ----=+++⋯+
式中，F t --对下一期的预测值；
n--移动平均的时期个数；
t 1A ---前期实际值；
t 2A - , t 3A -和t A n -分别表示前两期、前三期直至前n 期的实际值。

二、加权移动平均法
加权移动平均给固定跨越期限内的每个变量值以相等的权重。

其原理是：历史各期产品需求的数据信息对预测未来期内的需求量的作用是不一样的。

除了以n 为周期的周期性变化外，远离目标期的变量值的影响力相对较低，故应给予较低的权重。

加权移动平均法的计算公式如下：
1t 12t 23t 3t n F w A w A w A w A t n ----=+++⋯+式中，
1w --第t-1期实际销售额的权重；
2w --第t-2期实际销售额的权重；
w n --第t-n 期实际销售额的权重；
n--预测的时期数：12w w w 1n ++⋯+=
在运用加权平均法时，权重的选择是一个应该注意的问题。

经验法和试算法是选择权重的最简单的方法。

一般而言，最近期的数据最能预示未来的情况，因而权重应大些。

例如，根据前一个月的利润和生产能力比起根据前几个月能更好的估测下个月的利润和生产能力。

但是，如果数据时季节性的，则权重也应是季节性的。

移动平均法的优缺点
使用移动平均法进行预测能平滑掉需求的突然波动对预测结果的影响。

但移动平均法运用时也存在着如下问题：
1、 加大移动平均法的期数（即加大n 值）会使平滑波动效果更好，但会使预测值对数据实际变动更不敏感；
2、 移动平均值并不能总是很好地反映出趋势。

由于是平均值，预测值总是停留在过去的水平上而无法预计会导致将来更高或更低的波动；
3、 移动平均法要由大量的过去数据的记录。

4、它通过引进愈来愈期的新数据，不断修改平均值，以之作为预测值。

移动平均法的基本原理，是通过移动平均消除时间序列中的不规则变动和其他变动，从而揭示出时间序列的长期趋势。

移动平均法的特点：
1. 移动平均对原序列有修匀或平滑的作用，使得原序列的上下波动被削弱了，而且平均的时距项数N 越大，对数列的修匀作用越强。

2. 移动平均时距项数N 为奇数时，只需一次移动平均，其移动平均值作为移动平均项数的中间一期的趋势代表值；而当移动平均项数N 为偶数时，移动平均值代表的是这偶数项的中间位置的水平，无法对正某一时期，则需要在进行一次相临两项平均值的移动平均，这才能使平均值对正某一时期，这称为移正平均，也成为中心化的移动平均数。

3. 当序列包含季节变动时，移动平均时距项数N 应与季节变动长度一致，才能消除其季节变动；若序列包含周期变动时，平均时距项数N 应和周期长度基本一致，才能较好的消除周期波动。

4. 移动平均的项数不宜过大。

6.指数平滑法
指数平滑法是生产预测中常用的一种方法。

也用于中短期经济发展趋势预测，所有预测方法中，指数平滑是用得最多的一种。

简单的全期平均法是对时间数列的过去数据一个不漏地全部加以同等利用；移动平均法则不考虑较远期的数据，并在加权移动平均法中给予近期资料更大的权重；而指数平滑法则兼容了全期平均和移动平均所长，不舍弃过去的数据，但是仅给予逐渐减弱的影响程度，即随着数据的远离，赋予逐渐收敛为零的权数。

也就是说指数平滑法是在移动平均法基础上发展起来的一种时间序列分析预测法，它是通过计算指数平滑值，配合一定的时间序列预测模型对现象的未来进行预测。

其原理是任一期的指数平滑值都是本期实际观察值与前一期指数平滑值的加权平均。

指数平滑法的基本公式
指数平滑法的基本公式是：1(1)t t t S a y a S -=⋅+- 式中，
S t --时间t 的平滑值；
y t --时间t 的实际值；
S t − 1--时间t-1的平滑值；
a--平滑常数，其取值范围为[0,1]；
由该公式可知：
1.S t 是y t 和 S t − 1的加权算数平均数，随着a 取值的大小变化，决定y t 和 S t − 1对S t 的影响程度，当a 取1时，S t = y t ；当a 取0时，S t = S t − 1。

2.S t 具有逐期追溯性质，可探源至S t − t + 1为止，包括全部数据。

其过程中，平滑常数以指数形式递减，故称之为指数平滑法。

指数平滑常数取值至关重要。

平滑常数决定了平滑水平以及对预测值与实际结果之间差异的响应速度。

平滑常数a 越接近于1，远期实际值对本期平滑值影响程度的下降越迅速；平滑常数a 越接近于 0，远期实际值对本期平滑值影响程度的下降越缓慢。

由此，当时间数列相对平稳时，可取较大的a ；当时间数列波动较大时，应取较小的a ，以不忽略远期实际值的影响。

生产预测中，平滑常数的值取决于产品本身和
管理者对良好响应率内涵的理解。

3.尽管S t 包含有全期数据的影响，但实际计算时，仅需要两个数值，即y t 和 S t − 1，再加上一个常数a ，这就使指数滑动平均具逐期递推性质，从而给预测带来了极大的方便。

4.根据公式110(1)S a y a S =⋅+-，当欲用指数平滑法时才开始收集数据，则不存在y 0。

无从产生S 0，自然无法据指数平滑公式求出S 1，指数平滑法定义S 1为初始值。

初始值的确定也是指数平滑过程的一个重要条件。

如果能够找到y1以前的历史资料，那么，初始值S1的确定是不成问题的。

数据较少时可用全期平均、移动平均法；数据较多时，可用最小二乘法。

但不能使用指数平滑法本身确定初始值，因为数据必会枯竭。

如果仅有从y1开始的数据，那么确定初始值的方法有：
1）取S1等于y1；
2）待积累若干数据后，取S1等于前面若干数据的简单算术平均数，如：S1=（y1+ y2+y3）/3等等。

指数平滑的预测公式
据平滑次数不同，指数平滑法分为：一次指数平滑法、二次指数平滑法和三次指数平滑法等。

（一） 一次指数平滑预测
当时间数列无明显的趋势变化，可用一次指数平滑预测。

其预测公式为：''1(1)t t t y ay a y +=+- 式中，
'1t y + --t+1期的预测值，即本期（t 期）的平滑值St ；
t y --t 期的实际值；
't y --t 期的预测值，即上期的平滑值St-1 。

该公式又可以写作：'''1()t t t t y y a y y +=+-。

可见，下期预测值又是本期预测值与以a 为折
扣的本期实际值与预测值误差之和。

（二） 二次指数平滑预测
二次指数平滑是对一次指数平滑的再平滑。

它适用于具线性趋势的时间数列。

其预测公式为： '''1(2)(1)2()111t m t t t t t t am am y y y y y m y y a a a
+=+-+=-+---- 式中，'11(1)t t t y ay a y --=+-
显然，二次指数平滑是一直线方程，其截距为：(2yt'-yt )，斜率为：(yt'-yt ) a/(1-a),自变量为预测天数。

（三） 三次指数平滑预测
三次指数平滑预测是二次平滑基础上的再平滑。

其预测公式是： 22''
''22(33)[(65)(108)(43)](2)2(1)2(1)t m t t t t t t t t t am a m y y y y a y a y a y y y y a a +=-++---+-⋅+-+⋅-- 式中，'11(1)t t t y ay a y --=+-
它们的基本思想都是：预测值是以前观测值的加权和，且对不同的数据给予不同的权，新数据给较大的权，旧数据给较小的权。

指数平滑法的趋势调整
一段时间内收集到的数据所呈现的上升或下降趋势将导致指数预测滞后于实际需求。

通过趋势调整，添加趋势修正值，可以在一定程度上改进指数平滑预测结果。

调整后的指数平滑法的公式为：
包含趋势预测(YITt)=新预测（t Y ）+趋势校正（t T ）
进行趋势调整的指数平滑预测有三个步骤：
1、 利用前面介绍的方法计算第t 期的简单指数平滑预测（t Y ）；
2、 计算趋势。

其公式为： ()()11T 1b T b Y Y t t t t --=-+-其中，
t T =第t 期经过平滑的趋势；
t 1T -=第t 期上期经过平滑的趋势；
b=选择的趋势平滑系数；
t Y =对第t 期简单指数平滑预测；
Yt-1=对第t 期上期简单指数平滑预测。

3、计算趋势调整后的指数平滑预测值（YITt ）。

计算公式为：YITt=t Y +t T 。

指数平滑法是较为有效的销售预算的统计方法。

利用Excel 可以简便易行地进行预测，节约了预测时间并提高了预测的准确率，预测者可根据数据数列散点图的历史趋势等选择一次或多次指数平滑。

但指数平滑法的应用也会受到一定限制。

如采用指数平滑法需要有比较完备的历史资料；当企业销售量受季节影响较大时，时间序列分解法比指数平滑法应用效果更好等。

因此，销售预测人员要根据企业的具体情况和预测的对象。

把指数平滑法和定性预测方法正确地结合起来运用。

才能全面认识和把握预测对象的未来发展趋势，使的预测结果更加接近客观现实，从而做出实事求是的预测结论。