2017-2018学年高中数学(苏教版一)教师用书：第2章章末分层突破含解析

章末分层突破
［自我校对］
①对应关系
②图象法
③单调性
④映射
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函数值域
的求法
函数的值域由函数的定义域和对应法则确定，一旦函数的定义域和对应法则确定了，值域也就确定了．而求函数的值域并没有统一的方法，如果函数的定义域是由有限的几个数构成的集合，那么可将函数值一个一个求出来构成集合--值域；如果函数的定义域是一个无限数集，那么需根据函数解析式的特点采取相应的方法来求其值域．
求下列函数的值域：
(1)y＝错误!；（2)y＝错误!;(3）f (x)＝x＋错误!.
【精彩点拨】（1)用直接法（观察法）；(2）所求函数解析式为分式,因此可利用分离系数法或反解法；（3)中含有根式,可利用换元法求解．
【自主解答】（1)由偶次方根的被开方数为非负数,得2x≥0,即x≥0。

所以函数y＝错误!的定义域为[0，＋∞)，因此错误!≥0，所以函数y＝2x的值域为［0，＋∞）．
(2)法一（分离系数法)：y＝错误!＝错误!＝2＋错误!。

而错误!≠0,所以2＋错误!≠2,因此函数y＝错误!的值域为（－∞，2)∪(2，＋∞）．
法二（反解法）:因为分式的分母不能为零，所以x＋3≠0，即x≠－3，所以函数y＝错误!的定义域为｛x∈R｜x≠－3}．又由y＝错误!，得x＝错误!。

而分式的分母不能为零，所以2－y≠0，即y≠2。

所以函数y＝错误!的值域为（－∞，2）∪(2，＋∞）．
（3）令错误!＝t，则t≥0，x＝错误!＝错误!t2＋错误!,
∴f (x)＝错误!t2＋错误!＋t＝错误!错误!2－错误!.
∵t≥0，∴f （x）≥错误!,∴函数f （x)＝x＋错误!的值域为错误!.
常见的求值域的方法
1．直接法(观察法):对于有些函数直接求出函数值，并将所有函数值组成集合,就得到函数的值域．例如求函数f （x）＝5x＋1（x ∈｛1，2,3,4｝)的值域，只需将所有自变量的函数值都求出来,即可得到函数f (x)的值域为｛6,11,16,21｝．
2．分离常数法:对于一些分式函数，可以利用多项式除法化成一个常数与一个分式之和的形式，然后根据分式的特点去求函数的值域．
3．反解法:例如求函数y＝错误!(x＞－4）的值域．由y＝错误!解出x得x＝错误!。

由x＞－4，得错误!＞－4，即错误!＞0，∴y＞错误!或y＜1.故函数y＝错误!（x＞－4）的值域为(－∞，1)∪错误!。

4．图象法：通过观察函数的图象,运用数形结合的方法得到函
数的值域．
5．换元法：根据解析式的特点，可将解析式中某个关于x的整体式设为t,转化为关于t的某种简单的基本初等函数，再确定t的取值范围，进而运用简单的初等函数求值域的方法求解．
［再练一题］
1．（1)函数f (x）＝错误!则f (x)的最大值与最小值分别为________、________.
（2）已知函数f (x）＝－x2＋4x＋a，x∈［0，1]，若f （x）有最小值－2,则f (x）的最大值为________．
【解析】(1)f (x)在［1，2］和［－1,1)上分别递增,而且在［1，2］上，f （x)min＝f (1）＝8。

在[－1,1]上，f (x）〈f (1)＝1＋7＝8,∴f (x)在［－1，2]上单调递增，∴f (x）max＝f (2）＝2×2＋6＝10，f （x）min＝f (－1)＝－1＋7＝6。

(2)f (x）＝－x2＋4x＋a＝－(x－2)2＋a＋4，对称轴为x＝2，
∴在[0，1]上，f (x）单调递增,∴f （x）min＝f （0）＝a＝－2,
∴f (x）max＝f （1）＝－1＋4＋a＝4－3＝1.
【答案】(1）10 6 （2）1
函数性质
的应用
函数性质的研究包括函数的单调性、奇偶性、对称性，从命题形式上看,抽象函数、具体函数都有,其中函数单调性的判断与证明、求单调区间、利用函数单调性求参数的取值范围是高考的重点，利用函数的奇偶性、对称性研究函数的图象是难点．
函数f （x）＝错误!是定义在（－1,1）上的奇函数,且f
错误!＝错误!。

(1)确定函数f （x）的解析式；
（2)用定义证明:f (x)在(－1,1）上是增函数；
（3)解不等式：f （t－1)＋f (t）〈0.
【精彩点拨】(1）(2）分别依据单调性和奇偶性的定义来求解；
（3)利用奇偶性和单调性去掉f ，转化为t的不等式求解．【自主解答】(1)由题意，得错误!即错误!⇒错误!
∴f (x）＝错误!，经检验，符合题意．
(2)证明:任取x1，x2∈(－1,1)且x1〈x2，则
f （x2)－f （x1）＝错误!－错误!
＝错误!.
∵－1<x1<x2<1，
∴x2－x1〉0，1＋x错误!〉0,1＋x错误!〉0.
又∵－1<x1x2<1，
∴1－x1x2〉0，
∴f (x2)－f (x1)>0，
故f （x2)>f (x1）,
∴f (x)在（－1,1)上是增函数．
(3）原不等式可化为
f （t－1)〈－f (t）＝f （－t）．
∵f （x)在（－1，1)上是增函数，
∴－1<t－1〈－t〈1，
解得0<t〈错误!.
故原不等式的解集为错误!。

函数单调性与奇偶性应用常见题型1．用定义判断或证明单调性和奇偶性．
2．利用函数的单调性和奇偶性求单调区间．
3．利用函数的单调性和奇偶性比较大小，解不等式．4．利用函数的单调性和奇偶性求参数的取值范围．
［再练一题］
2．已知奇函数f （x）＝错误!
(1）求实数m的值；
(2)若函数f （x)在区间［－1,｜a|－2］上单调递增，试确定a 的取值范围．
【解】（1)当x<0时，－x〉0,所以f （－x)＝－(－x)2＋2（－x)＝－x2－2x.又因为f (x）是奇函数，所以f （－x)＝－f (x）＝－x2－2x，即f （x)＝x2＋2x，所以m＝2.
(2）由题意知，要使函数f （x)在［－1，|a|－2]上单调递增,则有错误!
即1〈｜a|≤3，解得－3≤a<－1或1<a≤3，
所以a的取值范围是[－3,－1)∪(1，3］．
函数的图象与数
形结合思想
过函数的图象能够掌握函数重要的性质，如单调性、奇偶性等．反之，掌握好函数的性质，有助于图象正确的画出．这体现了数形结合．所以我们应该熟悉一些函数的图象,做到应用自如．与图象相关的题目有：知式选图（作图)，知图选式，比较大小，求单调区间，
判断根（交点)的个数等．
（1)若函数y＝f （x)与y＝g(x)的图象分别如图2­1（1）及图（2）所示，则f （x)·g（x)的图象可能是________．(填序号）
图2.1
（2)若方程x2－4|x｜＋5＝m有4个互不相等的实数根,则m的取值范围是________．
【精彩点拨】(1）利用函数的奇偶性进行选择;(2)作出函数的图象，观察图象即可．
【规范解答】(1)由f （x)为偶函数，g(x）为奇函数，可知f (x)·g （x)为奇函数,又x∈（－3，0)时，f (x)〉0，g（x）〉0，所以f （x)·g(x）〉0，只有③符合．
(2)令f (x）＝x2－4｜x｜＋5，则f （x)＝错误!
作出f (x)的图象，如图所示．
由图象可知，当1〈m〈5时，f (x)的图象与y＝m有4个交点，即方程x2－4｜x|＋5＝m有4个互不相等的实数根．
【答案】(1)③(2）1<m<5
作函数图象的方法
方法一：描点法——求定义域；化简；列表、描点、连光滑曲线．
注意:要利用单调性、奇偶性、对称性简化作图．
方法二：变换法—-熟知函数的图象的平移、伸缩、对称、翻转．
[再练一题]
3．对于任意x∈R，函数f （x)表示－x＋3，错误!x＋错误!,x2－4x ＋3中的较大者，则f (x）的最小值是________．
【解析】首先应理解题意，“函数f （x)表示－x＋3,错误!x＋
错误!,x2－4x＋3中的较大者"是对同一个x值而言,函数f （x)表示－x ＋3，错误!x＋错误!，x2－4x＋3中最大的一个．
如图，分别画出三个函数的图象,得到三个交点A（0,3），B（1，
2)，C(5，8）．
从图象观察可得函数f （x)的表达式:
f （x)＝错误!
f （x）的图象是图中的实线部分，图象的最低点是点B(1,2），所以f (x)的最小值是2.
【答案】2
1．函数y＝3－2x－x2的定义域是________．
【解析】要使函数有意义，需3－2x－x2≥0，即x2＋2x－3≤0，得（x－1）（x＋3)≤0，即－3≤x≤1，故所求函数的定义域为[－3，1]．
【答案】［－3，1］
2．某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图2。

2中A点表示十月
的平均最高气温约为15 ℃,B点表示四月的平均最低气温约为5 ℃.下面叙述不正确的是________(填序号）．
①各月的平均最低气温都在0 ℃以上；
②七月的平均温差比一月的平均温差大；
③三月和十一月的平均最高气温基本相同；
④平均最高气温高于20 ℃的月份有5个．
图2.2
【解析】由图形可得各月的平均最低气温都在0 ℃以上，①正确；七月的平均温差约为10 ℃,而一月的平均温差约为5 ℃,故②正确；三月和十一月的平均最高气温都在10 ℃左右，基本相同，③正确；平均最高气温高于20 ℃的月份只有2个，④错误．【答案】④
3．已知函数f （x)＝ax3－2x的图象过点(－1，4），则a＝________。

【解析】∵f (x）＝ax3－2x的图象过点（－1，4)，
∴4＝a×(－1)3－2×（－1)，解得a＝－2。

【答案】－2
4．已知函数f (x)的定义域为（－1，0）,则函数f （2x＋1)的定义域为________．
【解析】要使函数有意义，需满足－1＜2x＋1＜0,解得－1＜x
＜－1
2
，即所求函数的定义域为错误!.
【答案】错误!
5．已知函数f （x)＝错误!.若f (a）＝3，则实数a＝________。

【解析】因为f (a）＝错误!＝3，所以a－1＝9，即a＝10。

【答案】10
6．已知函数f （x）为奇函数，且当x＞0时，f （x)＝x2＋错误!，
则f （－1）＝________。

【解析】当x＞0时，f (x)＝x2＋错误!,∴f (1)＝12＋错误!＝2。

∵f (x)为奇函数，∴f (－1)＝－f (1）＝－2。

【答案】－2。