2019-2020学年度高一寒假班备课资料(数列)-小姚数学教师版

第三章数列
第一节数列的概念与简单表示
1．数列的概念
(1)数列的定义：按照一定顺序排列的一列数叫做数列，数列中的每一个数叫做这个数列的项．
(2)数列与函数的关系：从函数观点看，数列可以看成以正整数集N*(或它的有限子集)为定义域的函数a n＝f(n)，当自变量按照从小到大的顺序依次取值时所对应的一列函数值．
(3)数列的表示法：列表法、图象法和通项公式法．
数列的图象是一系列孤立的点，而不是连续的曲线.
2．数列的分类
3．
(1)通项公式：如果数列{a n}的第n项a n与序号n之间的关系可以用一个式子a n＝f(n)来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式．
数列通项公式的注意点
(1)并不是所有的数列都有通项公式；
(2)同一个数列的通项公式在形式上未必唯一；
(3)对于一个数列，如果只知道它的前几项，而没有指出它的变化规律，是不能确定这个数列的．
(2)递推公式：如果已知数列{a n}的第1项(或前几项)，且从第二项(或某一项)开始的任一项a n与它的前一项a n
－1(或前几项)间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式就叫做这个数列的递推公式.
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)相同的一组数按不同顺序排列时都表示同一个数列．( ) (2)根据数列的前几项归纳出数列的通项公式可能不止一个．( ) (3)1,1,1,1，…，不能构成一个数列．( )
(4)任何一个数列不是递增数列，就是递减数列．( )
(5)如果数列{a n }的前n 项和为S n ，则对∀n ∈N *，都有a n ＋1＝S n ＋1－S n .( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)× (5)√ 二、选填题
1．数列－1，12，－13，14，－1
5，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝±1
n
B ．a n ＝(－1)n ·1
n
C ．a n ＝(－1)n ＋1
1n
D ．a n ＝1
n
答案：B
2．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－8n ＋15，则3( ) A ．不是数列{a n }中的项B ．只是数列{a n }中的第2项
C ．只是数列{a n }中的第6项
D ．是数列{a n }中的第2项或第6项
解析：选D 令a n ＝3，即n 2－8n ＋15＝3，解得n ＝2或6，故3是数列{a n }中的第2项或第6项． 3．已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝a n －1＋2n (n ≥2)，则a 7＝( ) A ．53 B ．54 C ．55
D ．109
解析：选C 由题意知，a 2＝a 1＋2×2，a 3＝a 2＋2×3，…，a 7＝a 6＋2×7，各式相加得a 7＝a 1＋2(2＋3＋4＋5＋6＋7)＝55.
4．在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝1＋(－1)n
a n －1
(n ≥2)，则a 5＝________.
解析：a 1＝1，a 2＝1＋1a 1＝2，a 3＝1－1a 2＝12，a 4＝1＋1a 3＝3，a 5＝1－1a 4＝23.答案：2
3
5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝2n 2＋n ，则a n ＝________.
解析：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n 2＋n －2(n －1)2－(n －1)＝4n －1. 当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＝4×1－1，故a n ＝4n －1.
考点一由数列的前几项求通项公式[基础自学过关]
[题组练透]
1．数列0，23，45，6
7，…的一个通项公式为( )
A ．a n ＝n －1
n ＋2(n ∈N *)
B ．a n ＝n －1
2n ＋1(n ∈N *)
C ．a n ＝2(n －1)
2n －1(n ∈N *)
D ．a n ＝2n
2n ＋1
(n ∈N *)
答案：C
2．数列－11×2，12×3，－13×4，1
4×5
，…的一个通项公式a n ＝________.
解析：这个数列前4项的绝对值都等于序号与序号加1的积的倒数，且奇数项为负，偶数项为正，所以它的一个通项公式为a n ＝(－1)n 1
n (n ＋1)
.
3．数列3，7，11，15，…的一个通项公式a n ＝________.
解析：因为7－3＝11－7＝15－11＝4，即a 2n ＋1－a 2n ＝4，所以a 2
n ＝3＋(n －1)×4＝4n －1，所以a n ＝4n －1.
考点二a n 与S n 关系的应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋2n ＋1(n ∈N *)，则a n ＝________. (2)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝13a n ＋2
3
，则{a n }的通项公式a n ＝________.
(3)已知数列{a n }中，a 1＝1，S n 为数列{a n }的前n 项和，且当n ≥2时，有2a n
a n S n －S 2n
＝1成立，则S 2 019＝________.
[解析] (1)当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ＋1；当n ＝1时，a 1＝S 1＝4≠2×1＋1.因此a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
4，n ＝1，
2n ＋1，n ≥2.
(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝13a 1＋23，所以a 1＝1.当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝13a n －13a n －1，所以a n a n －1＝－1
2，所以数列
{a n }为首项a 1＝1，公比q ＝－1
2
的等比数列，故a n ＝⎝⎛⎭⎫－12n －1. (3)当n ≥2时，由2a n a n S n －S 2n
＝1，得2(S n －S n －1)＝(S n －S n －1)·S n －S 2
n ＝－S n S n －1
，所以2S n －2S n －1＝1，又2S 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫2S n 是以2为首项，1为公差的等差数列，所以2S n ＝n ＋1，故S n ＝2n ＋1
，则S 2 019＝1
1 010. [过关训练]
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝3n ＋1，则a n ＝________. 解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝3＋1＝4；
当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n ＋1)－(3n －
1＋1)＝2·3n －
1. 当n ＝1
时，2×31－
1＝2≠a 1，所以
a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ 4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2.答案：⎩
⎪⎨⎪⎧
4，n ＝1，2·3n －1，n ≥2
2．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S n ＝2a n ＋1，则S n ＝________.
解析：因为S n ＝2a n ＋1，所以当n ≥2时，S n －1＝2a n ，所以a n ＝S n －S n －1＝2a n ＋1－2a n (n ≥2)， 即a n ＋1a n ＝32(n ≥2)，又a 2＝12，所以a n ＝12×⎝⎛⎭⎫32n －2(n ≥2)．当n ＝1时，a 1＝1≠12×⎝⎛⎭⎫32－1＝1
3， 所以a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，12×⎝⎛⎭⎫32n －2，n ≥2，所以S n ＝2a n ＋1＝2×12×⎝⎛⎭⎫32n －1＝⎝⎛⎭⎫32n －1.答案：⎝⎛⎭⎫32n －1 考点三由数列的递推关系式求通项[全析考法过关] (一)累加法——形如a n ＋1－a n ＝f (n )，求a n
[例1] (2019·郑州模拟)设数列{a n }满足a 1＝1，且a n ＋1－a n ＝n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________． [解析] 由题意得a 2－a 1＝2，a 3－a 2＝3，…，∴a n －a n －1＝n (n ≥2)． 以上各式相加，得a n －a 1＝2＋3＋…＋n ＝(n －1)(2＋n )2＝n 2＋n －22.
∵a 1＝1，∴a n ＝n 2＋n 2(n ≥2)．∵当n ＝1时也满足此式，∴a n ＝n 2＋n
2.
(二)累乘法——形如a n ＋1
a n
＝f (n )，求a n
[例2] 在数列{a n }中，a 1＝1，a n ＝n －1
n a n －1(n ≥2，n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．
[解析] ∵a n ＝n －1n a n －1(n ≥2)，∴a n －1＝n －2n －1a n －2，a n －2＝n －3n －2
a n －3，…，a 2＝1
2a 1.
以上(n －1)个式子相乘得，a n ＝a 1·12·23·…·n －1n ＝a 1n ＝1n .当n ＝1时，a 1＝1，符合上式，∴a n ＝1
n .
(三)待定系数法——形如a n ＋1＝Aa n ＋B (A ≠0且A ≠1，B ≠0)，求a n
[例3] (2019·青岛模拟)已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝3a n ＋2(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式为________．
[解析] ∵a n ＋1＝3a n ＋2，∴a n ＋1＋1＝3(a n ＋1)，∴a n ＋1＋1
a n ＋1＝3，
∴数列{a n ＋1}为等比数列，公比q ＝3，又a 1＋1＝2，∴a n ＋1＝2·3n －
1，∴a n ＝2·3n －
1－1. (四)取倒数法——形如a n ＋1＝Aa n
Ba n ＋C
(A ，B ，C 为常数)，求a n
[例4] 已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝2a n
a n ＋2
(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
[解析] 因为a n ＋1＝2a n a n ＋2，a 1＝1，所以a n ≠0，所以1a n ＋1＝1a n ＋12，即1a n ＋1－1a n ＝12.又a 1＝1，则1a 1＝1，所以⎩⎨⎧⎭⎬
⎫
1a n 是以1为首项，12为公差的等差数列．所以1a n ＝1a 1＋(n －1)×12＝n 2＋12.所以a n ＝2
n ＋1
.
[过关训练]
1．[累加法]在数列{a n }中，a 1＝3，a n ＋1＝a n ＋1
n (n ＋1)，则通项公式a n ＝________.
解析：原递推公式可化为a n ＋1＝a n ＋1n －1n ＋1，则a 2＝a 1＋1－12，a 3＝a 2＋12－1
3
，
a 4＝a 3＋13－14，…，a n －1＝a n －2＋1n －2－1n －1，a n ＝a n －1＋1n －1－1n ，累计相加得，a n ＝a 1＋1－1n ，故a n ＝4－1
n .
2．[累乘法]已知a 1＝2，a n ＋1＝2n a n ，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
解析：∵a n ＋1＝2n a n ，∴a n ＋1a n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝2n －1·2n －
2·…·2·2＝2
2-+22
n n .又a 1＝1也符
合上式，∴a n ＝2
2-+2
2
n n .
3．[待定系数法]已知数列{a n }中，a 1＝3，且点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，则数列{a n }的通项公式为________．
解析：因为点P n (a n ，a n ＋1)(n ∈N *)在直线4x －y ＋1＝0上，所以4a n －a n ＋1＋1＝0.所以a n ＋1＋1
3＝4⎝⎛⎭⎫a n ＋13. 因为a 1＝3，所以a 1＋13＝103.故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋13是首项为103，公比为4的等比数列．所以a n ＋13＝103×4n －
1，
故数列{a n }的通项公式为a n ＝
103×4n －
1－13
. 4．[取倒数法]已知数列{a n }满足a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)，若b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1(n ∈N *)，b 1＝－3
2λ，且数列{b n }是递增数列，则实数λ的取值范围是__________．
解析：由a n ＋1＝a n a n ＋2，得1a n ＋1＝1＋2a n ，所以1a n ＋1＋1＝2⎝⎛⎭⎫1a n ＋1，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n ＋1是首项为1
a 1＋1＝2，公比为2的等比数列，则
1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝(n －2λ)·⎝⎛⎭⎫1a n ＋1＝(n －2λ)·2n ，又b 1＝－3
2
λ，且数列{b n }是递增数列，则⎩⎪⎨
⎪⎧
－32λ＜(1－2λ)·2，
(n －1－2λ)·2n －1＜(n －2λ)·2n ，n ≥2，
解得⎩⎨⎧
λ＜45
，λ＜n ＋1
2，n ≥2，
所以λ＜4
5
.
考点四数列的性质[师生共研过关]
[典例精析]
(1)已知数列{a n }满足a n ＋1＝
11－a n
，若a 1＝1
2，则a 2 018＝( )
A ．－1 B.12 C ．1
D ．2
(2)若a n ＝n 2＋kn ＋4且对于n ∈N *，都有a n ＋1＞a n 成立，则实数k 的取值范围是________． (3)若数列{a n }的通项a n ＝n
n 2＋90
，则数列{a n }中的最大项是第________项．
[解析] (1)由a 1＝12，a n ＋1＝11－a n ，得a 2＝11－a 1＝2，a 3＝11－a 2＝－1，a 4＝11－a 3＝12，a 5＝1
1－a 4＝2，…，
于是可知数列{a n }是以3为周期的周期数列，因此a 2 018＝a 3×672＋2＝a 2＝2. (2)由a n ＋1＞a n 知该数列是一个递增数列，∵通项公式a n ＝n 2＋kn ＋4， ∴(n ＋1)2＋k (n ＋1)＋4＞n 2＋kn ＋4，即k ＞－1－2n ，又n ∈N *，∴k ＞－3.
(3)令f (x )＝x ＋90
x (x ＞0)，运用基本不等式得f (x )≥610，当且仅当x ＝310时等号成立．
因为a n ＝1n ＋90n ，所以1n ＋
90n
≤1610，由于n ∈N *，不难发现当n ＝9或n ＝10时，a n ＝1
19最大．
[解题技法]
1．解决数列周期性问题的方法
先根据已知条件求出数列的前几项，确定数列的周期，再根据周期性求值． 2．判断数列单调性的2种方法
(1)作差比较法：比较a n ＋1－a n 与0的大小．(2)作商比较法：比较a n ＋1
a n 与1的大小，注意a n 的符号．
3．求数列最大项或最小项的方法
(1)将数列视为函数f (x )当x ∈N *时所对应的一列函数值，根据f (x )的类型作出相应的函数图象，或利用求函数最值的方法，求出f (x )的最值，进而求出数列的最大(小)项；
(2)通过通项公式a n 研究数列的单调性，利用⎩⎪⎨⎪⎧ a n ≥a n －1，a n ≥a n ＋1(n ≥2)确定最大项，利用⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ≤a n －1，a n ≤a n ＋1(n ≥2)确定最小项． (3)比较法：
若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＞0⎝⎛⎭⎫
或a n ＞0时，a n ＋1a n ＞1，则a n ＋1＞a n ，即数列{a n }是递增数列，所以数列{a n }的
最小项为a 1＝f (1)；
若有a n ＋1－a n ＝f (n ＋1)－f (n )＜0⎝⎛⎭⎫
或a n ＞0时，a n ＋1a n ＜1，则a n ＋1＜a n ，即数列{a n }是递减数列，所以数列{a n }的
最大项为a 1＝f (1)．
[过关训练]
1．已知等差数列{a n }的公差d ＜0，且a 21＝a 2
11，则数列{a n }的前n 项和S n 取得最大值时，项数n 的值为( )
A ．5
B ．6
C ．5或6
D ．6或7
解析：选C 由a 21＝a 211，可得(a 1＋a 11)(a 1－a 11)＝0，因为d ＜0，所以a 1－a 11≠0，所以a 1＋a 11＝0，
又2a 6＝a 1＋a 11，所以a 6＝0.因为d ＜0，所以{a n }是递减数列，
所以a 1＞a 2＞…＞a 5＞a 6＝0＞a 7＞a 8＞…，显然前5项和或前6项和最大，故选C.
2．已知数列{a n }的首项为2，且数列{a n }满足a n ＋1＝a n －1a n ＋1，数列{a n }的前n 项的和为S n ，则S 1 008等于( )
A ．504
B ．294
C ．－294
D ．－504
解析：选C ∵a 1＝2，a n ＋1＝
a n －1a n ＋1
，∴a 2＝13，a 3＝－1
2，a 4＝－3，a 5＝2，…，∴数列{a n }的周期为4，且a 1
＋a 2＋a 3＋a 4＝－7
6
，∴S 1 008＝S 4×252＝252×⎝⎛⎭⎫－76＝－294. [课时跟踪检测]
一、题点全面练
1．已知数列1,2，7，10，13，…，则219在这个数列中的项数是( ) A ．16 B ．24 C ．26
D ．28
解析：选C 因为a 1＝1＝1，a 2＝2＝4，a 3＝7，a 4＝10，a 5＝13，…，所以a n ＝3n －2.令a n ＝3n －2＝219＝76，解得n ＝26.
2．若数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝3，a n ＋1＝(2n －λ)a n (n ＝1，2，…)，则a 3等于( ) A ．5 B ．9 C ．10
D ．15
解析：选D 令n ＝1，则3＝2－λ，即λ＝－1，由a n ＋1＝(2n ＋1)a n ，得a 3＝5a 2＝5×3＝15.故选D. 3．若S n 为数列{a n }的前n 项和，且S n ＝n n ＋1，则1
a 5等于( )
A.5
6 B.65 C.130
D ．30
解析：选D 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n n ＋1－n －1n ＝1n (n ＋1)，所以1
a 5＝5×6＝30.
4．(2019·西宁模拟)数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，则a n ＝( ) A ．10n －
2
B ．10n －
1
C ．102n －
4
D ．22
n －1
解析：选D 因为数列{a n }满足a 1＝2，a n ＋1＝a 2n (a n ＞0)，所以log 2a n ＋1＝2log 2a n ⇒log 2a n ＋1
log 2a n ＝2，所以{log 2a n }是公比为2的等比数列，所以log 2a n ＝log 2a 1·2
n －1
⇒a n ＝2
2
n －1
.
5．设数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2－bn ，若数列{a n }是单调递增数列，则实数b 的取值范围为( ) A ．(－∞，－1] B ．(－∞，2] C ．(－∞，3)
D.⎝
⎛⎦⎤－∞，9
2 解析：选C 因为数列{a n }是单调递增数列，所以a n ＋1－a n ＝2n ＋1－b ＞0(n ∈N *)，所以b ＜2n ＋1(n ∈N *)， 所以b ＜(2n ＋1)min ＝3，即b ＜3.
6．(2018·佛山模拟)若数列{a n }满足12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋1
2n a n ＝2n ＋1，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.
解析：因为12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＝2n ＋1，所以12a 1＋122a 2＋123a 3＋…＋12n a n ＋1
2n ＋1a n ＋1＝2(n ＋1)＋1，两式
相减得
12n
＋1
a n ＋1＝2，即a n ＝2
n ＋1
，n ≥2.又1
2a 1＝3，所以a 1＝6，因此a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
6，n ＝1，2n ＋1，n ≥2.
7．已知数列{a n }满足a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，且a 1＝1
3，则数列{a n }的通项公式
a n ＝________.
解析：∵a n ≠0,2a n (1－a n ＋1)－2a n ＋1(1－a n )＝a n －a n ＋1＋a n ·a n ＋1，∴两边同除以a n ·a n ＋1，得2(1－a n ＋1)a n ＋1－2(1－a n )
a n ＝
1
a n ＋1－1a n ＋1，整理，得1a n ＋1－1a n ＝1，即⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 是以3为首项，1为公差的等差数列，∴1
a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2，
即a n ＝1
n ＋2
.
8．已知数列{a n }满足a 1＝1，a 2＝4，a n ＋2＋2a n ＝3a n ＋1(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析：由a n ＋2＋2a n －3a n ＋1＝0，得a n ＋2－a n ＋1＝2(a n ＋1－a n )，
∴数列{a n ＋1－a n }是以a 2－a 1＝3为首项，2为公比的等比数列，∴a n ＋1－a n ＝3×2n －
1， ∴n ≥2时，a n －a n －1＝3×2n －
2，…，a 3－a 2＝3×2，a 2－a 1＝3，
将以上各式累加得a n －a 1＝3×2n －
2＋…＋3×2＋3＝3(2n －
1－1)，∴a n ＝3×2n －
1－2(n ≥2)， 经检验，当n ＝1时，a n ＝1，符合上式．∴a n ＝3×2n －
1－2.
9．设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝a (a ≠3)，a n ＋1＝S n ＋3n ，n ∈N *，设b n ＝S n －3n . (1)求数列{b n }的通项公式；
(2)若a n ＋1≥a n ，n ∈N *，求a 的取值范围．
解：(1)依题意，S n ＋1－S n ＝a n ＋1＝S n ＋3n ，即S n ＋1＝2S n ＋3n ，由此得S n ＋1－3n ＋
1＝2(S n －3n )， 即b n ＋1＝2b n ，又b 1＝S 1－3＝a －3，所以数列{b n }的通项公式为b n ＝(a －3)2n －1，n ∈N *. (2)由(1)知S n ＝3n ＋(a －3)2n －
1，n ∈N *，于是，当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝3n ＋(a －3)2n －
1－3n －
1－(a －3)2n －
2＝2×3n －
1＋(a －3)2n －
2，
a n ＋1－a n ＝4×3n －1＋(a －3)2n －2＝2n －2⎣⎡⎦
⎤12⎝⎛⎭⎫32n －2＋a －3，
当n ≥2时，a n ＋1≥a n ⇒12⎝⎛⎭⎫32n －2
＋a －3≥0⇒a ≥－9.又a 2＝a 1＋3＞a 1. 综上，a 的取值范围是[－9,3)∪(3，＋∞)．
10．已知数列{a n }的各项均为正数，记数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{a 2n }的前n 项和为T n ，且3T n ＝S 2n ＋2S n ，
n ∈N *.
(1)求a 1的值；(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)由3T 1＝S 21＋2S 1，得3a 21＝a 21＋2a 1，即a 21－a 1＝0.因为a 1＞0，所以a 1＝1. (2)因为3T n ＝S 2n ＋2S n ，①所以3T n ＋1＝S 2n ＋1＋2S n ＋1，②②－①，得3a 2n ＋1＝S 2n ＋1－S 2n ＋2a n ＋1.
因为a n ＋1＞0，所以3a n ＋1＝S n ＋1＋S n ＋2，③所以3a n ＋2＝S n ＋2＋S n ＋1＋2，④ ④－③，得3a n ＋2－3a n ＋1＝a n ＋2＋a n ＋1，即a n ＋2＝2a n ＋1，
所以当n ≥2时，a n ＋1
a n ＝2.又由3T 2＝S 22＋2S 2，得3(1＋a 22)＝(1＋a 2)2＋2(1＋a 2)，即a 22－2a 2＝0. 因为a 2＞0，所以a 2＝2，所以a 2
a 1＝2，所以对n ∈N *，都有a n ＋1a n ＝2成立，
所以数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －
1，n ∈N *.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1(n ∈N *)，则a n ＝________.
解析：当n ＝1时，a 1＝S 1＝2，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋1－[(n －1)2＋1]＝2n －1，
故a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
2，n ＝1，
2n －1，n ≥2.
2．若数列{a n }的通项公式是a n ＝(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n
，则此数列的最大项是第________项． 解析：∵a n ＋1－a n ＝(n ＋2)⎝⎛⎭⎫1011n ＋1
－(n ＋1)⎝⎛⎭⎫1011n ＝⎝⎛⎭⎫1011n ×9－n 11
， 当n ＜9时，a n ＋1－a n ＞0，即a n ＋1＞a n ；当n ＝9时，a n ＋1－a n ＝0，即a n ＋1＝a n ； 当n ＞9时，a n ＋1－a n ＜0，即a n ＋1＜a n ，∴该数列中有最大项，且最大项为第9,10项．
3．若数列{a n }满足a n ＋1
＝⎩⎨⎧
2a n ，0≤a n ≤12
，
2a n
－1，1
2
＜a n
＜1，a 1＝3
5
，则数列{a n }的第2 019项为________．
解析：由已知可得，a 2＝2×35－1＝15，a 3＝2×15＝25，a 4＝2×25＝45，a 5＝2×45－1＝3
5，
∴{a n }为周期数列且T ＝4，∴a 2 019＝a 504×4＋3＝a 3＝25.答案：2
5
4．(2019·湖南永州模拟)已知数列{a n }中，a 1＝a ，a 2＝2－a ，a n ＋2－a n ＝2，若数列{a n }单调递增，则实数a 的取值范围为________．
解析：由a n ＋2－a n ＝2可知数列{a n }的奇数项、偶数项分别递增，若数列{a n }单调递增，则必有a 2－a 1＝(2－a )－a ＞0且a 2－a 1＝(2－a )－a ＜a n ＋2－a n ＝2，可得0＜a ＜1，故实数a 的取值范围为(0,1)．
答案：(0,1)
(二)交汇专练——融会巧迁移
5．[与函数零点交汇]已知二次函数f (x )＝x 2－ax ＋a (a ＞0，x ∈R)有且只有一个零点，数列{a n }的前n 项和S n ＝f (n )(n ∈N *)．
(1)求数列{a n }的通项公式；
(2)设c n ＝1－4
a n (n ∈N *)，定义所有满足c m ·c m ＋1＜0的正整数m 的个数，称为这个数列{c n }的变号数，求数列{c n }
的变号数．
解：(1)依题意，Δ＝a 2－4a ＝0，所以a ＝0或a ＝4.又由a ＞0得a ＝4，所以f (x )＝x 2－4x ＋4. 所以S n ＝n 2－4n ＋4.
当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋4＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n －5.所以a n ＝⎩
⎪⎨⎪⎧
1，n ＝1，
2n －5，n ≥2.
(2)由题意得c n ＝⎩⎪⎨⎪⎧
－3，n ＝1，1－4
2n －5，n ≥2.由c n ＝1－4
2n －5可知，当n ≥5时，恒有c n ＞0. 又c 1＝－3，c 2＝5，c 3＝－3，c 4＝－13，c 5＝15，c 6＝3
7，即c 1·c 2＜0，c 2·c 3＜0，c 4·c 5＜0，
所以数列{c n }的变号数为3. (三)素养专练——学会更学通
6．[数学建模]定义：在数列{a n }中，若满足a n ＋2a n ＋1－a n ＋1
a n ＝d (n ∈N *，d 为常数)，称{a n }为“等差比数列”．已知
在“等差比数列”{a n }中，a 1＝a 2＝1，a 3＝3，则a 2 019
a 2 017等于( )
A ．4×2 0192－1
B ．4×2 0182－1
C ．4×2 0172－1
D ．4×2 0172
解析：选C 由题知⎩⎨⎧⎭
⎬⎫a n ＋1a n 是首项为1，公差为2的等差数列，则a n ＋1
a n ＝2n －1，
所以a 2 019a 2 017＝a 2 019a 2 018·a 2 018
a 2 017＝(2×2 018－1)(2×2 017－1)
＝(2×2 017＋1)(2×2 017－1)＝4×2 0172－1.
7．[逻辑推理]在数列{a n }中，a 1＝1，a 2＝2，若a n ＋2＝2a n ＋1－a n ＋2，则a n ＝( ) A.15n 2－25n ＋65 B ．n 3－5n 2＋9n －4 C ．n 2－2n ＋2
D ．2n 2－5n ＋4
解析：选C 由题意得(a n ＋2－a n ＋1)－(a n ＋1－a n )＝2，
因此数列{a n ＋1－a n }是以1为首项，2为公差的等差数列，a n ＋1－a n ＝1＋2(n －1)＝2n －1，
当n ≥2时，a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋1＋3＋…＋(2n －3)＝1＋(1＋2n －3)(n －1)2＝(n －
1)2＋1＝n 2－2n ＋2，又a 1＝1＝12－2×1＋2，因此a n ＝n 2－2n ＋2.
8．[数学运算]设数列{a n }的前n 项和为S n ，数列{S n }的前n 项和为T n ，满足T n ＝2S n －n 2，n ∈N *. (1)求a 1的值；
(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)令n ＝1，T 1＝2S 1－1，∵T 1＝S 1＝a 1，∴a 1＝2a 1－1，∴a 1＝1. (2)n ≥2时，T n －1＝2S n －1－(n －1)2，
则S n ＝T n －T n －1＝2S n －n 2－[2S n －1－(n －1)2]＝2(S n －S n －1)－2n ＋1＝2a n －2n ＋1. 因为当n ＝1时，a 1＝S 1＝1也满足上式，所以S n ＝2a n －2n ＋1(n ∈N *)， 当n ≥2时，S n －1＝2a n －1－2(n －1)＋1，两式相减得a n ＝2a n －2a n －1－2， 所以a n ＝2a n －1＋2(n ≥2)，所以a n ＋2＝2(a n －1＋2)，因为a 1＋2＝3≠0， 所以数列{a n ＋2}是以3为首项，2为公比的等比数列．所以a n ＋2＝3×2n －
1， 所以a n ＝3×2n －
1－2，当n ＝1时也成立，所以a n ＝3×2n －
1－2.
第二节等差数列及其前n 项和
1．等差数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列．这个常数叫做等差数列的公差，符号表示为a n ＋1－a n ＝d ❶(n ∈N *，d 为常数)．
(2)等差中项：数列a ，A ，b 成等差数列的充要条件是A ＝a ＋b
2，其中A 叫做a ，b 的等差中项．
2．等差数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1＋(n －1)d ❷.
(2)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)． (3)前n 项和公式：S n ＝na 1＋
n (n －1)2d ＝n (a 1＋a n )2
❸
.
,
d ＞0⇔{a n }为递增数列，d ＝0⇔{a n }为常数列，d ＜0⇔{a n }为
递减数列．
当d ≠0时，等差数列{a n }的通项公式a n ＝dn ＋(a 1－d )是关于d
的一次函数．
当d ≠0时，等差数列{a n }的前n 项和S n ＝d
2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d 2n 是关
于n 的二次函数．
[熟记常用结论]
1．若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . 2．若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . 3．若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．
4．若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．
5．若{a n }是等差数列，则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也成等差数列，其首项与{a n }首项相同，公差是{a n }公差的1
2.
6．若{a n }是等差数列，S m ，S 2m ，S 3m 分别为{a n }的前m 项，前2m 项，前3m 项的和，则S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列．
7．关于等差数列奇数项和与偶数项和的性质． (1)若项数为2n ，则S 偶－S 奇＝nd ，S 奇S 偶＝a n
a n ＋1
.
(2)若项数为2n －1，则S 偶＝(n －1)a n ，S 奇＝na n ，S 奇－S 偶＝a n ，S 奇S 偶＝n
n －1.
8．两个等差数列{a n }，{b n }的前n 项和S n ，T n 之间的关系为a n b n ＝S 2n －1
T 2n －1
.
[小题查验基础]
一、判断题(对的打“√”，错的打“×”)
(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．( ) (2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．( )
(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．( ) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.( ) 答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√ 二、选填题
1．在等差数列{}a n 中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6＝( ) A ．－1 B ．0 C ．1
D ．6
解析：选B ∵{}a n 为等差数列，∴2a 4＝a 2＋a 6，∴a 6＝2a 4－a 2＝2×2－4＝0. 2．等差数列{a n }中，a 1＋a 5＝10，a 4＝7，则数列{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．3
D ．4
解析：选B 设公差为d .∵a 1＋a 5＝2a 3＝10，∴a 3＝5，又∵a 4＝7，∴d ＝2.故选B. 3．等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 3＝6，a 1＝4，则公差d 等于( ) A ．1 B.53 C ．－2
D ．3
解析：选C ∵S 3＝6＝3
2(a 1＋a 3)，且a 3＝a 1＋2d ，a 1＝4，∴d ＝－2，故选C.
4．已知等差数列－8，－3,2,7，…，则该数列的第100项为________．
解析：依题意得，该数列的首项为－8，公差为5，所以a 100＝－8＋99×5＝487.答案：487 5．在等差数列{a n }中，a 1＝0，公差d ≠0，若a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9，则m 的值为________． 解析：∵a m ＝a 1＋a 2＋…＋a 9＝9a 1＋9×8
2
d ＝36d ＝a 37，∴m ＝37.答案：37
考点一等差数列基本量的运算[基础自学过关]
[题组练透]
1．(2018·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，若3S 3＝S 2＋S 4，a 1＝2，则a 5＝( ) A ．－12 B ．－10 C ．10
D ．12
解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，由3S 3＝S 2＋S 4，得3(3a 1＋3d )＝2a 1＋d ＋4a 1＋6d ，即3a 1＋2d ＝0.将a 1＝2代入上式，解得d ＝－3，故a 5＝a 1＋(5－1)d ＝2＋4×(－3)＝－10.
2．(2017·全国卷Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( ) A ．1 B ．2 C ．4
D ．8
解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，则由⎩⎪⎨⎪⎧
a 4＋a 5＝24，
S 6＝48，得⎩
⎪
⎨⎪⎧
a 1＋3d ＋a 1＋4d ＝24，
6a 1＋6×5
2
d ＝48，
即⎩⎪⎨
⎪
⎧
2a 1＋7d ＝24，2a 1＋5d ＝16，
解得d ＝4.
3．(2019·西安质检)已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且a 3·a 5＝12，a 2＝0.若a 1＞0，则S 20＝( ) A ．420 B ．340 C ．－420
D ．－340
解析：选D 设数列{a n }的公差为d ，则a 3＝a 2＋d ＝d ，a 5＝a 2＋3d ＝3d ，由a 3·a 5＝12，得d ＝±2，由a 1＞0，
a 2＝0，可知d ＜0，所以d ＝－2，所以a 1＝2，故S 20＝20×2＋20×19
2×(－2)＝－340.
4．(2019·西安八校联考)设数列{a n }是等差数列，且a 2＝－6，a 6＝6，S n 是数列{a n }的前n 项和，则( ) A ．S 4＜S 3 B ．S 4＝S 3 C ．S 4＞S 1
D ．S 4＝S 1
解析：选B 设{a n }的公差为d ，由a 2＝－6，a 6＝6，得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋d ＝－6，a 1＋5d ＝6，解得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－9，d ＝3.
于是，S 1＝－9，S 3＝3×(－9)＋3×22×3＝－18，S 4＝4×(－9)＋4×3
2×3＝－18，所以S 4＝S 3，S 4＜S 1，故选B.
考点二等差数列的判定与证明[师生共研过关]
[典例精析]
若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2
.
(1)求证：⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
1S n 成等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．
[解] (1)证明：当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0，得S n －S n －1＝－2S n S n －1，
因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝2，又1S 1＝1a 1＝2，故⎩⎨⎧⎭⎬⎫
1S n 是首项为2，公差为2的等差数列．
(2)由(1)可得1S n ＝2n ，所以S n ＝1
2n
.当n ≥2时，
a n ＝S n －S n －1＝12n －12(n －1)＝n －1－n 2n (n －1)＝－12n (n －1)
.当n ＝1时，a 1＝1
2不适合上式．
故a n
＝⎩⎨⎧
1
2
，n ＝1，－
1
2n (n －1)，n ≥2.
[变式发散]
1．(变设问)本例条件不变，判断数列{a n }是否为等差数列，并说明理由． 解：因为a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，a n ＋2S n S n －1＝0，所以S n －S n －1＋2S n S n －1＝0(n ≥2)． 所以1S n －1S n －1＝2(n ≥2)．又1S 1＝1a 1＝2，所以⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以2为首项，2为公差的等差数列．
所以1S n ＝2＋(n －1)×2＝2n ，故S n ＝12n .
所以当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝
12n －1
2(n －1)＝－12n (n －1)
， 所以a n ＋1＝－12n (n ＋1).又a n ＋1－a n ＝－12n (n ＋1)－－12n (n －1)＝－12n ·⎝⎛⎭⎫1n ＋1－1n －1＝
1
n (n －1)(n ＋1)， 所以当n ≥2时，a n ＋1－a n 的值不是一个与n 无关的常数，故数列{a n }不是一个等差数列．
2．(变条件)将本例条件“a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝1
2
”变为“S n (S n －a n )＋2a n ＝0(n ≥2)，a 1＝2”，问题不变，
试求解．
解：(1)证明：当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1且S n (S n －a n )＋2a n ＝0， 所以S n [S n －(S n －S n －1)]＋2(S n －S n －1)＝0，即S n S n －1＋2(S n －S n －1)＝0，
因为S n ≠0，所以1S n －1S n －1＝12.又1S 1＝1a 1＝12，故数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1S n 是以首项为12，公差为1
2的等差数列．
(2)由(1)知1S n ＝n 2，所以S n ＝2n ，当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－2
n (n －1).
当n ＝1时，a 1＝2不适合上式，故a n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
2，n ＝1，－2
n (n －1)
，n ≥2. [解题技法]
等差数列的判定与证明方法
[提醒] 2项起，以后每项与前一项的差是同一常数，即易忽视验证a 2－a 1＝d 这一关键条件．
[过关训练]
1．已知数列{a n }满足：a 1＝2，a n ＋1＝3a n ＋3n ＋1
－2n
，设b n ＝a n －2n
3
n ，求证：数列{b n }为等差数列，并求{a n }的
通项公式．
证明：因为b n ＋1－b n ＝a n ＋1－2n ＋
13n ＋1－a n －2n 3n ＝3a n ＋3n ＋
1－2n －2n ＋
13n ＋1－3a n －3·2n
3n ＋
1＝1， 所以{b n }为等差数列，又b 1＝
a 1－2
3
＝0，所以b n ＝n －1，所以a n ＝(n －1)·3n ＋2n . 2．已知数列{a n }满足(a n ＋1－1)(a n －1)＝3(a n －a n ＋1)，a 1＝2，令b n ＝1
a n －1.
(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)证明：因为1a n ＋1－1－1a n －1＝a n －a n ＋1(a n ＋1－1)(a n －1)＝13，所以b n ＋1－b n ＝1
3，所以数列{b n }是等差数列．
(2)由(1)及b 1＝1a 1－1＝12－1＝1，知b n ＝13n ＋23，所以a n －1＝3
n ＋2，所以a n ＝n ＋5n ＋2
.
考点三等差数列的性质与应用[师生共研过关]
[典例精析]
(1)(2018·咸阳二模)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，则S 13＝( ) A ．58 B ．54 C ．56
D ．52
(2)已知等差数列{a n }的前10项和为30，它的前30项和为210，则前20项和为( ) A ．100 B ．120 C ．390
D ．540
(3)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，S 2 0142 014－S 2 008
2 008＝6，则S 2 019＝________.
[解析] (1)∵a 4，a 10是方程x 2－8x ＋1＝0的两根，∴a 4＋a 10＝8，∴a 1＋a 13＝8， ∴S 13＝13×(a 1＋a 13)2＝13×8
2
＝52.
(2)设S n 为等差数列{a n }的前n 项和，则S 10，S 20－S 10，S 30－S 20成等差数列， ∴2(S 20－S 10)＝S 10＋(S 30－S 20)，又等差数列{a n }的前10项和为30，前30项和为210， ∴2(S 20－30)＝30＋(210－S 20)，解得S 20＝100.
(3)由等差数列的性质可得⎩⎨⎧⎭
⎬⎫S n n 也为等差数列．设其公差为d ，则S 2 0142 014－S 2 008
2 008＝6d ＝6，∴d ＝1.
故S 2 0192 019＝S 1
1
＋2 018d ＝－2 014＋2 018＝4，∴S 2 019＝4×2 019＝8 076. [答案] (1)D (2)A (3)8 076
[解题技法]
一般地，运用等差数列性质可以优化解题过程，但要注意性质运用的条件，如m ＋n ＝p ＋q ，则a m ＋a n ＝a p ＋
a q (m ，n ，p ，q ∈N *)；数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m 也成等差数列；⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
S n n 也成等差数列．等差数列的性质是解题
的重要工具．
[过关训练]
1．(2019·聊城模拟)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 13＝104，a 6＝5，则数列{a n }的公差为( ) A ．2 B ．3 C ．4
D ．5
解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d .因为S 13＝104，所以13(a 1＋a 13)
2＝104，所以13a 7＝104，解得a 7＝8.
因为a 6＝5，所以d ＝a 7－a 6＝8－5＝3.
2．(2018·宁德二检)已知等差数列{a n }满足a 3＋a 5＝14，a 2a 6＝33，则a 1a 7＝( ) A ．33 B ．16 C ．13
D ．12
解析：选C 设等差数列{a n }的公差为d ，因为a 3＋a 5＝14，所以a 2＋a 6＝14，
又a 2a 6＝33，所以⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝3，a 6＝11或⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝11，a 6＝3.当⎩⎪⎨⎪⎧
a 2＝3，a 6＝11时，d ＝11－3
6－2＝2，
所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13；当⎩
⎪⎨⎪⎧
a 2＝11，a 6＝3时，d ＝3－11
6－2＝－2，
所以a 1a 7＝(a 2－d )(a 6＋d )＝13.综上，a 1a 7＝13，故选C.
3．已知等差数列{a n }，{b n }的前n 项和分别为S n ，T n ，若S n T n ＝2n 3n ＋1，则a 11
b 11＝________.
解析：由等差数列前n 项和的性质，得a 11b 11＝S 21T 21＝2×213×21＋1＝2132.答案：21
32
考点四等差数列前n 项和的最值问题[师生共研过关]
[典例精析]
在等差数列{a n }中，已知a 1＝13,3a 2＝11a 6，则数列{a n }的前n 项和S n 的最大值为________． [解析] 法一 通项法 设等差数列{a n }的公差为d .
由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 由⎩⎪⎨
⎪
⎧ a n ≥0，a n ＋1≤0，得⎩⎪⎨⎪⎧
－2n ＋15≥0，－2(n ＋1)＋15≤0，
解得132≤n ≤15
2.因为n ∈N *，
所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝7×(13－2×7＋15)
2＝49.
法二 二次函数法 设等差数列{a n }的公差为d .
由3a 2＝11a 6，得3×(13＋d )＝11×(13＋5d )，解得d ＝－2，所以a n ＝13＋(n －1)×(－2)＝－2n ＋15. 所以S n ＝n (13＋15－2n )
2
＝－n 2＋14n ＝－(n －7)2＋49，
所以当n ＝7时，数列{a n }的前n 项和S n 最大，最大值为S 7＝49.
[解题技法]
求数列前n 项和的最值的方法
(1)通项法：①若a 1＞0，d ＜0，则S n 必有最大值，其n 的值可用不等式组⎩⎪⎨⎪⎧
a n ≥0，
a n ＋1≤0来确定；②若a 1＜0，d ＞
0，则S n 必有最小值，其n 的值可用不等式组⎩
⎪⎨⎪⎧
a n ≤0，
a n ＋1≥0来确定．
(2)二次函数法：等差数列{a n }中，由于S n ＝na 1＋
n (n －1)2d ＝d 2
n 2＋⎝⎛⎭⎫a 1－d
2n ，可用求函数最值的方法来求前n 项和的最值，这里应由n ∈N *及二次函数图象的对称性来确定n 的值．
(3)不等式组法：借助S n 最大时，有⎩⎪⎨⎪
⎧
S n ≥S n －1，S n ≥S n ＋1
(n ≥2，n ∈N *)，解此不等式组确定n 的范围，进而确定n 的
值和对应S n 的值(即S n 的最值)．
[过关训练]
1．已知等差数列{a n }的前n 项和是S n ，若S 15＞0，S 16＜0，则S n 的最大值是( ) A ．S 1 B ．S 7 C ．S 8
D ．S 15
解析：选C 由等差数列的前n 项和公式可得S 15＝15a 8＞0，S 16＝8(a 8＋a 9)＜0，所以a 8＞0，a 9＜0，则d ＝a 9－a 8＜0，所以在数列{a n }中，当n ＜9时，a n ＞0，当n ≥9时，a n ＜0， 所以当n ＝8时，S n 最大，故选C.
2．(2018·全国卷Ⅱ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝－7，S 3＝－15. (1)求{a n }的通项公式；(2)求S n ，并求S n 的最小值．
解：(1)设{a n }的公差为d ，由题意得3a 1＋3d ＝－15.又a 1＝－7，所以d ＝2. 所以{a n }的通项公式为a n ＝2n －9.
(2)由(1)得S n ＝n (a 1＋a n )2＝n 2
－8n ＝(n －4)2－16，所以当n ＝4时，S n 取得最小值，最小值为－16.
[课时跟踪检测]
一、题点全面练
1．等差数列{a n }中，a 4＋a 8＝10，a 10＝6，则公差d ＝( ) A.1
4 B.12 C ．2
D ．－12
解析：选A 由a 4＋a 8＝2a 6＝10，得a 6＝5，所以4d ＝a 10－a 6＝1，解得d ＝1
4
.
2．(2019·沈阳质量监测)在等差数列{a n }中，若S n 为{a n }的前n 项和，2a 7＝a 8＋5，则S 11的值是( ) A ．55 B ．11 C ．50
D ．60
解析：选A 设等差数列{a n }的公差为d ，由题意可得2(a 1＋6d )＝a 1＋7d ＋5，得a 1＋5d ＝5，则S 11＝11a 1＋
11×10
2d ＝11(a 1＋5d )＝11×5＝55，故选A.
3．(2018·泉州期末)等差数列{a n }中，a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，则数列{a n }的前9项和S 9等于( ) A ．99 B ．66 C ．144
D ．297
解析：选A 由等差数列的性质可得a 1＋a 7＝2a 4，a 3＋a 9＝2a 6，又∵a 1＋a 4＋a 7＝39，a 3＋a 6＋a 9＝27，∴3a 4＝39，3a 6＝27，解得a 4＝13，a 6＝9，∴a 4＋a 6＝22，∴数列{a n }的前9项和S 9＝9(a 1＋a 9)2＝9(a 4＋a 6)2＝9×22
2
＝99.
4．(2019·广州五校联考)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a m ＝4，S m ＝0，S m ＋2＝14(m ≥2，且m ∈N *)，则a 2 019的值为( ) A ．2 020
B ．4 032
学高为师，身正为范
小姚数学2019-2020学年度高一寒假班专用
C ．5 041
D ．3 019
解析：选B 由题意得⎩⎪⎨⎪⎧
a m
＝a 1
＋(m －1)d ＝4，S m
＝ma 1
＋m (m －1)
2
d ＝0，
S m ＋2
－S m
＝a m ＋1
＋a m ＋2
＝2a 1
＋(m ＋m ＋1)d ＝14，
解得⎩⎪⎨⎪
⎧
a 1＝－4，m ＝5，
d ＝2，
∴a n ＝－4＋(n －1)×2＝2n －6，∴a 2 019＝2×2 019－6＝4 032.故选B.
5．(2019·长春质检)等差数列{a n }中，已知|a 6|＝|a 11|，且公差d ＞0，则其前n 项和取最小值时n 的值为( ) A ．6 B ．7 C ．8
D ．9
解析：选C 由d ＞0可得等差数列{a n }是递增数列，又|a 6|＝|a 11|，所以－a 6＝a 11，即－a 1－5d ＝a 1＋10d ，所以a 1＝－15d 2，则a 8＝－d 2＜0，a 9＝d
2＞0，所以前8项和为前n 项和的最小值，故选C.
6．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 6＝2a 3，则S 11
S 5＝______.
解析：S 11S 5＝11
2(a 1＋a 11)
52(a 1＋a 5
)＝11a 65a 3＝225
.
7．等差数列{a n }中，已知S n 是其前n 项和，a 1＝－9，S 99－S 7
7
＝2，则S 10＝________.
解析：设公差为d ，∵S 99－S 7
7＝2，∴9－12d －7－12d ＝2∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋10×92×2＝0.
答案：0
8．(2018·广元统考)若数列{a n }是正项数列，且a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，则a 1＋a 22＋…＋a n
n ＝________.
解析：当n ＝1时，a 1＝2⇒a 1＝4，又a 1＋a 2＋…＋a n ＝n 2＋n ，① 所以当n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1＝(n －1)2＋(n －1)＝n 2－n ，② ①－②得a n ＝2n ，即
a n ＝4n 2，所以a n n
＝
4n
2
n
＝4n ，则⎩⎨⎧⎭
⎬⎫
a n n 构成以4为首项，4为公差的等差数列．
所以a 1＋a 22＋…＋a n n ＝(4＋4n )n
2
＝2n 2＋2n .答案：2n 2＋2n
9．(2018·大连模拟)已知数列{a n }的各项均为正数，其前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a 2n ＋n －4(n ∈N *
)．
(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．
解：(1)证明：当n ＝1时，有2a 1＝a 21＋1－4，即a 21－2a 1－3＝0，所以a 1＝3(a 1＝－1舍去)． 当n ≥2时，有2S n －1＝a 2n －1＋n －5，又2S n ＝a 2n ＋n －4，
所以两式相减得2a n ＝a 2n －a 2n －1＋1，即a 2n －2a n ＋1＝a 2n －1，即(a n －1)2＝a 2n －1，
因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3， 所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数矛盾，
所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }为等差数列．
(2)由(1)知a 1＝3，数列{a n }的公差d ＝1，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2.
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分
1．若{a n }是等差数列，首项a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，则使前n 项和S n ＞0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 018 B ．2 019 C ．4 036
D ．4 037
解析：选C 因为a 1＞0，a 2 018＋a 2 019＞0，a 2 018·a 2 019＜0，所以d ＜0，a 2 018＞0，a 2 019＜0，所以S 4 036＝4 036(a 1＋a 4 036)2＝4 036(a 2 018＋a 2 019)2＞0，S 4 037＝4 037(a 1＋a 4 037)
2＝4 037·a 2 019＜0，所以使前n 项和S n ＞0成立
的最大正整数n 是4 036.
2．(2019·武汉模拟)设等差数列{a n }满足a 3＋a 7＝36，a 4a 6＝275，且a n a n ＋1有最小值，则这个最小值为( ) A ．－10 B ．－12 C ．－9
D ．－13
解析：选B 设等差数列{a n }的公差为d ，∵a 3＋a 7＝36，∴a 4＋a 6＝36，又a 4a 6＝275，联立，解得⎩⎪⎨
⎪
⎧
a 4＝11，a 6＝25
或⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11，当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝11，a 6＝25时，可得⎩⎪⎨⎪⎧
a 1＝－10，
d ＝7，此时a n ＝7n －17，a 2＝－3，a 3＝4，易知当n ≤2时，a n ＜0，当n ≥3时，a n ＞0，∴a 2a 3＝－12为a n a n ＋1的最小值；当⎩⎪⎨⎪⎧ a 4＝25，a 6＝11时，可得⎩
⎪⎨⎪⎧
a 1＝46，d ＝－7，此时a n ＝－7n ＋53，
a 7＝4，a 8＝－3，易知当n ≤7时，a n ＞0，当n ≥8时，a n ＜0，∴a 7a 8＝－12为a n a n ＋1的最小值．综上，a n a n ＋1的最小值为－12.
3．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________.
解析：由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.
(二)交汇专练——融会巧迁移
4．[与方程交汇]若等差数列{a n }中的a 3，a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则log 1
4
a 1 011＝________.
解析：因为a 3和a 2 019是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 3＋a 2 019＝4.又a 3，a 1 011，a 2 019成等差数列，所以2a 1
011＝a 3＋a 2 019，即
a 1 011＝2，所以log 14a 1 011＝－1
2
.
5．[与不等式恒成立交汇]设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 5＝a 5＋a 6＝25. (1)求{a n }的通项公式；
(2)若不等式2S n ＋8n ＋27＞(－1)n k (a n ＋4)对所有的正整数n 都成立，求实数k 的取值范围．
解：(1)设公差为d ，则5a 1＋
5×4
2
d ＝a 1＋4d ＋a 1＋5d ＝25，∴a 1＝－1，d ＝3.∴{a n }的通项公式a n ＝3n －4. (2)由题意知S n ＝－n ＋3n (n －1)2，2S n ＋8n ＋27＝3n 2＋3n ＋27，a n ＋4＝3n ，则原不等式等价于(－1)n k ＜n ＋1＋
9
n 对所有的正整数n 都成立．
∴当n 为奇数时，k ＞－⎝⎛⎭⎫n ＋1＋9n 恒成立；当n 为偶数时，k ＜n ＋1＋9
n 恒成立． 又∵n ＋1＋9
n
≥7，当且仅当n ＝3时取等号，
∴当n 为奇数时，n ＋1＋9n 在n ＝3上取最小值7，当n 为偶数时，n ＋1＋9n 在n ＝4上取最小值29
4，
∴不等式对所有的正整数n 都成立时，实数k 的取值范围是⎝
⎛⎭⎫－7，29
4. 第三节等比数列及其前n 项和
1．等比数列的有关概念
(1)定义：如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同一常数(不为零)，那么这个数列就叫做等比数列．这个常数叫做等比数列的公比，通常用字母q 表示，定义的表达式为
a n ＋1
a n
＝q .❶ (2)等比中项：如果a ，G ，b 成等比数列，那么G 叫做a 与b 的等比中项❷.即G 是a 与b 的等比中项⇔a ，G ，b 成等比数列⇒G 2＝ab . 2．等比数列的有关公式 (1)通项公式：a n ＝a 1qn －1❸. (2)通项公式的推广：a n ＝a m ·q n
－m
(n ，m ∈N *)．
(3)前n 项和公式：S n ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
na 1，q ＝1，a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q
1－q ，q ≠1.❹, (1)等比数列中的任何一项都不为0，且公比q ≠0.。