八年级初二数学华师大版下册同步辅导：构造平行四边形解题

专题讲座
巧构平行四边形解题
□ 江苏 孙业民
通过添加辅助线，构造平行四边形，能使问题化繁为简，化难为易．
1. 求长度 例１ 如图1，在等边三角形ABC 中，P 为边AB 上的点，Q 为边
AC 上的点，且AP =CQ ．测得点A 与线段PQ 的中点M 之间的距离是
19 cm ，则点P 与点C 之间的距离是 cm ． 解析：过点Q 作QD //AB ，交BC 于点D ，连接PD ，MD ． 因为△ABC 是等边三角形，所以∠BAC=∠B=∠ACB=60°.
因为QD //AB ，所以∠C QD=∠BAC=60°，∠C DQ=∠B=60°. 所以△DQC 是等边三角形.所以DQ =CQ =AP . 所以四边形APDQ 是平行四边形．所以PD //AC ，AM=DM.
所以∠B PD=∠BAC=60°，∠B DP=∠BCA =60°，AD =2AM =2×19=38（cm ）． 所以△PBD 是等边三角形．所以BP=BD.
在△ABD 和△CBP 中，AB=CB ，∠B=∠B ，BD=BP ，所以△ABD ≌△CBP . 所以AD =CP ．所以CP =38 cm ．
故填38． 2. 求角度
例2 如图2，分别以△ABC 的边AB ，AC 为边在三角形外作
正方形ABEF 和ACGH ，M 为FH 的中点，MA 的延长线交BC 于点
D ，则∠ADB 的度数是 .
解析：延长AM 至点N ，使MN =AM ，连接FN ，HN ．
因为M 为FH 的中点，所以四边形AHNF 为平行四边形．
所以FN =AH =AC ，∠AFN +∠F AH =180°．
因为∠BAC +∠F AH =180°，所以∠AFN =∠BAC ．
因为F A =AB ，所以△AFN ≌△BAC ．所以∠1=∠2．
因为∠1+∠3=90°，所以∠2+∠3=90°.所以∠ADB =90°.
故填90°．
B C P
A M Q 图1 N H G F E 2
B D
C 1 M A 3 图2。