江苏省盐城市景山中学10-11学年高二上学期中考试数学试题(理)

盐城景山中学高二年级2010-—-2011学年度第一学期
期中考试数学试题
一、填空题：(本大题有14小题，每小题5分，共计70分） 1、命题“x x R x 31,2
>+∈∃”的否定是 ▲ 。

2、“a=1”是“函数2
()23f x x ax =-+在区间［1，+∞）上为增函数”的 ▲ 条件
3、已知圆()
122
2
=+-y x 经过椭圆
22
22
1x y a b += ()0a b >>的一个顶点和一个焦点，则此椭圆的离心率e = ▲ 。

4、“若325≠≠≠+b a b a 或，则" 是 ▲ 命题.（填真、假)
5、
如图,把椭圆22
12516
x y +=的长轴AB 分
成8等份，过每个分点作x 轴的垂线交椭圆的上
半部分于1234567
,,,,,,P P P P P P P 七个点，F 是椭
圆的一个焦
点,则1
2
34567PF P F
P F P F P F P F P F ++++++=
▲
6、已知点G 是∆ABC 的重心，O 是空间任一点,若OG OC OB OA λ=++，则实数=λ ▲ 。

7、设双曲线的—个焦点为F;虚轴的—个端点为B ，如果直线FB 与该双曲线的一条渐近线垂直,那么此双曲线的离心率为 ▲ . 8、若曲线2y x ax b
=++在点(0,)b 处的切线方程是
10
x y -+=，则b
a =
▲ .
9、若椭圆22
189
x y k +=+的离心率为12，则
k
的值为
▲ .
10、 图中共顶点的椭圆①、②与双曲线③、④的
离心率分别
为4321,,,e e e e ，其大小关系为 ▲ （ 按从小到大的顺序写出） 11、已知二次函数2
()f x ax bx c =++的导数为'()f x ，'(0)0f >,对于任意实数x
都有()0f x ≥，则(1)
'(0)
f f 的最小值为 ▲ 。

12、如果椭圆19
362
2=+y x 的弦被点(4,2)平分,则这条弦所在的直线方程是
▲ .
13、设()f x 是定义在区间[2,2]-上的偶函数，命题:()p f x 在[0,2]上单调递减,命题:(1)()q f m f m -≥ .若“p ⌝或q ”为假，则实数m 的取值范围是 ▲ 。

14、椭圆22
221()x y a b a b
+=>>0的右焦点F
，其右准线与x 轴的交点为A ，在
椭圆上存在点P 满足线段AP 的垂直平分线过点F ,则椭圆离心率的取值范围是 ▲ .
二、解答题：（本大题有6小题，共90分．请把解答写在答题卷规定的范围内．解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤．)
15（本小题满分14分）
已知命题p ：关于x 的方程2
40x ax -+=有实根；命题q :关于x 的函
数2
24y x
ax =++ 在[3,)+∞上是增函数，若“p 或q "是真命题,“p 且q "是
假命题，求实数a 的取值范围.
16（本小题满分14分）
若双曲线过点
，其渐近线方程为
.
（1）求双曲线的方程;
(2)已知,，在双曲线上求一点,使PA+
PB 3
3
的值最小，并求出最小值.
17（本小题满分15分）
已知0a >，:p 实数x 满足2
2430x
ax a -+<,:q 实数x 满足不等式
0)2lg(<-x .
（1)若1,a =q p 且为真命题时，求实数x 的取值范围； (2）若p 是q 的必要不充分条件，求实数a 的取值范围。

18（本小题满分15分）
如图，在棱长为1的正方体1
AC 中,E 、F 分别为11D A 和1
1B A 的中点．
（1）求异面直线AE 和BF 所成的角的余弦值； （2）求平面1
BDD 与平面1
BFC 所成的
锐二面角的
余弦值；
19(本小题满分16分）
已知抛物线)0(22
>=p px y
的焦点为F,A 是抛物线上横坐标为4、且
位于x 轴上方的点，A 到抛物线准线的距离等于5。

过A 作AB 垂直于y 轴，垂足为B,OB 的中点为M.
（1）求抛物线方程；
（2）过M作FA
MN⊥,垂足为N，求点N的坐标；
(3）以M为圆心，MB为半径作圆M，当)0,(m
K是x轴上一动点时，讨论直线AK与圆M的位置关系.
20(本小题满分16分)
一束光线从点
1(1,0)
F-出发,经直线l：230
x y
-+=上一点P反射后，恰
好穿过点
2(1,0)
F．
（1)求P点的坐标；
（2)求以
1
F、2F为焦点且过点P的椭圆C的方程；
（3)设点Q是椭圆C上除长轴两端点外的任意一点，试问在x轴上是否存在两定点A、B,使得直线QA、QB的斜率之积为定值?若存在，请求出定值，并求出所有满足条件的定点A、B的坐标；若不存在,请说明理由．
高二期中考试数学答题卷
一、填空题
１．_____________________ ２. _____________________３．_____________________ ４。

_____________________５．_____________________ ６. _____________________
７．_____________________ ８。

_____________________９．_____________________ 10。

_____________________ 11．_____________________ 12。

_____________________ 13．_____________________ 14. _____________________
高二期中考试数学试题参考答案
二、解答题
期中考试高二数学试题参考答案
1、x x
R x 31,2
≤+∈∀；2、充分不必要;3、
1
3；
4、真；
5、35；
6、3；
7、51
2
+；8、1；9、4=k 或4
5-=k ；10、4321e e e e <<<；11、2；12、280x y +-=；
13、11,2⎡⎫-⎪⎢⎣
⎭
；14、1,12⎡⎫
⎪⎢⎣⎭
15解：p 真：
2440
44
a a a ∆=-⨯≥∴≤-≥或…………4分
q 真：3124
a
a -≤∴≥- (8)
分
由“p 或q ”是真命题，“p 且q ”是假命题得：p 、q 两命题一真一假…………10分
当p 真q 假时：12a <-；当p 假q 真时：44a -<<…………12分 综上，a 的取值范围为(,12)(4,4)-∞--…………14分
16（Ⅰ）（5分）（II ）（10分）,最小值为
(14
分） 17解：由2
2430x
ax a -+<得(3)()0x a x a --<，
又0a >,所以3a x a <<, …………2分
当
1
a =时，1<
3
x <,即
p
为真时，实数
x
的取值范围是
1<3x <. …………4分
32,0)2lg(<<∴<-x x ， q
为真时，实数
x
的取值范围是。

3
2<<x …
7分 若
q
p 且为真，所以实数
x
的取值范围是
23x <<. …………… 9分
(Ⅱ）因为p 是q 的必要不充分条件，
所以有⎩⎨⎧≥≤3
32
a a …………… 14分
所以实数a 的取值范围是21≤≤a . ……………………15分 18（1）)0,0,1(A ，1(,0,1)2
E ,)0,1,1(B ,)1,2
1,1(F
)1,0,21(-=AE ，)1,2
1,0(-=BF
5
44
5
451),cos(=
=
BF AE …………………………………
…6分
异面直线
AE
和
BF
所成的角的余弦
值；……………………………………7分
(2）平面BDD 1的一个法向量为)0,2
1,2
1(-=MA
设平面BFC 1的法向量为),,(z y x n =
⎪⎩
⎪
⎨
⎧
=+-=-⋅=⋅=+-=⋅0
)1,0,1(),,(021z x z y x BC n z y BF n ∴⎩⎨⎧==z y z x 2 取1z =得平面BFC 1的一个法向量)1,2,1(=n
11
2cos ,6||||2MA n MA n MA n -⋅<>===-
， (14)
分
∴
所求的余弦值为
6
3 ……………………………………15分
19解：(1）抛物线.2,52
4,222
=∴=+-
==p p
p x px y
于是的准线为 ∴
抛
物线方程为y 2=
4x 。

……………………………………4分
（2)∵点A 的坐标是（4，4）， 由题意得B （0，4)，M （0，2）， 又∵F(1，0)， ∴,4
3
,;34-=∴⊥=
MN FA
k FA MN k
则FA 的方程为y=3
4(x －1)，MN 的方程为.4
32x y -=-
解方程组).5
4
,58(5458,432)1(3
4N y x x y x y ∴⎪⎪⎩
⎪⎪⎨⎧==⎪⎪⎩⎪⎪⎨
⎧
-=--=得 ………………………
10分
（3)由题意得，圆M 的圆心是点(0，2），半径为2。

当m=4时，直线AK 的方程为x =4，此时，直线AK 与圆M 相离，
当m ≠4时，直线AK 的方程为),(44
m x m
y --=
即为,04)4(4=---m y m x
圆心M(0，2）到直线AK 的距离2
)
4(16|82|-++=
m m d ，令1,2>>m d 解得
1>∴m 当时，直线
AK 与圆M 相离; 当m=1时,直线AK 与圆M 相切； 当
1
<m 时
，
直
线
AK
与
圆
M
相
交。

………………………16分
20解：（1)设1
F 关于l 的对称点为(,)F m n ，则112n m =-+且123022
m n -⋅-+=, 解得95m =-，25n =，即92
(,)55
F -，故直线2
F F 的方程为710x y +-=． 由710230
x y x y +-=⎧⎨
-+=⎩,解得41
(,)33
P -． ----——--—-———-——--——-—-—5分
（2）因为1
PF PF =,根据椭圆定义，得1
2
222a PF PF
PF PF FF =+=+=
2292
(1)(0)2255=--+-=，所以2a =．又1c =，所以1b =．所以椭圆C 的方
程为2
212
x y +=． ———
—----—-—--—-——-——10分 （3）假设存在两定点为(,0),(,0)A s B t ,使得对于椭圆上任意一点(,)Q x y （除长轴两端点）都有QA
QB
k k k ⋅=（k 为定值)，即s x y -·k t x y =-，将22
12
x y =-代入并整理得01)()2
1(2
=-++-+kst x t s k x
k …（*）．由题意，（＊)式对任意
)2,2(-∈x 恒成立,所以⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧=-=+=+010)(021kst t s k k ，解之得
1222k s t ⎧=-⎪⎪⎪=⎨⎪=-⎪⎪⎩或1222k s t ⎧
=-⎪⎪⎪
=-⎨⎪=⎪⎪⎩
．
所以有且只有两定点(2,0),(2,0)-,使得QA QB k k ⋅为定值2
1-． —---—-—
——-——-16分
14、解析：由题意,椭圆上存在点P ，使得线段AP 的垂直平分线过点F ,
即F 点到P 点与A
点的距离相等,而|FA |＝22
a b c c c
-=
， |PF |∈[a －
c ，a ＋c ］
于是
2
b c
∈[a －c ,a ＋c ]，即ac －c 2
≤b 2
≤ac ＋c
2，
∴222
222
ac c a c a c ac c
⎧-≤-⎪⎨-≤+⎪⎩ 1112c
a
c c a
a ⎧≤⎪⎪⎨
⎪≤-≥⎪⎩或 ,又e ∈（0,1），故e ∈1,12⎡⎫⎪⎢⎣⎭。