酉空间的性质及其应用

1. 酉空间定义及性质
∙ 欧氏空间是定义了内积的实线性空间, 酉空间实际上就是复数域上的欧
氏空间. 其定义如下:
设V 是复数域上的线性空间, 在V 上定义了一个二元复函数, 称为内积, 记作(α, β), 它具有以下性质: (1) , 这是表示的共轭复数.
(2) (),k αβ=k (),αβ
(3) (),αβγ+= (),αβ+(),βγ
(4) (),αα是非负实数, 且(),αα=0当且仅当α=0
其中α, β,γ是V 中任意的向量, k 为任意复数. 这样的线性空间称为酉空间.
∙ 例. 复数域上的n 维行向量空间C n 中, 对向量
α=(a 1, a 2,…, a n ), β=(b 1,b 2, …,b n )
定义内积
则C n 就成为一个酉空间.
∙
酉空间的结构和性质的讨论与欧氏空间雷同, 先将酉空间的主要性质列
于下面, 但要注意与欧氏空间之间的异同之处. (1) 内积对于第二个变量是半线性的, 即
(2) 定义向量α的长度为 . 于是 |α|=0 当且仅当α=0
(3) 柯西─施瓦兹(Cauchy-Schwarz)不等式成立, 即
|(α,β)|≤|α| |β|
而且, 当且仅当α, β线性相关时等号成立.
(4)两个非零向量α, β的夹角为
(5)若(α,β)=0,则称α与β正交. 若非零向量组a1, a2,…, a s中向量两两正交,即当i≠j时有(αi,αj)=0, 则称为正交向量组, 它们是线性无关的向量组.
(6)酉空间的基ε1, ε2,…, εn若满足
(εi, εj)=δij , 1≤i,j≤n
则称为标准正交基.
在标准正交基下, 向量的坐标有如下形式: 设向量α在标准正交基下的坐标为X=(x1,x2,…,x n)´, 则
在标准正交基下, 向量的内积有如下形式: 设向量α和β在标准正交基下的坐标分别为X=(x1,x2,…,x n)´, Y=(y1,y2,…,y n)´, 则
(7)设A是n×n复矩阵, 且满足, 则称A为酉矩阵.
若A, B都是酉矩阵, 则A-1,AB也是酉矩阵; 又|A|=1.
从标准正交基到标准正交基的过渡矩阵为酉矩阵.
(8)对n维酉空间的任一组基a1, a2,…, a n,用施密特正交化方法,可找到标准正交基ε1, ε2,…, εn, 使得
L(ε1, ε2,…, εk)=L(a1, a2,…, a k), 1≤k≤n .
(9)设W是酉空间V的子空间,则定义W的正交补为
W⊥={a∈V |a⊥W}
如果V是有限维酉空间, 则。