湖北省襄阳市第四中学高三数学5月第四周周考试题文

湖北省襄阳四中2016届五月第四周周考
数学（文科）测试（5月23日）
时间：120分钟 分值150分 第I 卷（选择题共60分）
一、选择题（本大题12小题，每小题5分，共60分）
1．设i 是虚数单位，则234201...i i i i i -+-+-++=（ ） A ．1 B ．0 C ．1- D ．i 2．若08
π
θ-
<<，则sin ,cos ,tan θθθ的大小关系（ ）.
A.是sin θ＜cos θ＜tan θ
B.是sin θ＜tan θ＜cos θ
C.是tan θ＜sin θ＜cos θ
D.以上都不是
3．“x＞1”是“x 2
＞1”的（ ）
A ．充分而不必要条件
B ．必要而不充分条件
C ．充分必要条件
D ．既不充分也不必要条件
4．ABC ∆的三个内角满足：
b
a c
C B A B +=
--sin sin sin sin ，则=∠A （ ） A ．6π B ．3π C ．32π D ．
3π或3
2π
5．梯形ABCD 中，BC AD AB μλ+=，则=+μλ（ ）
A ．1
B ．1-
C ．0
D ．不能确定 6．某几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积是（ ）
A
．(2π B
．(4π+ C ．4π D ．6π
正视图
俯视图
侧视图
7．如图是一个算法的程序框图，当输入的x 的值为7时，输出的 y 值恰好是-1，则“？”处应填的关系式可能是（ ）
A ．21y x =+
B ．3x
y -= C ．y x =
D ．13
log y x =
8．如图，圆C 内切于扇形AOB AOB 内随机投掷600个点，则
落入圆内的点的个数估计值为（ ）
A ．100
B ．200
C ．400
D ．450
9．三棱锥ABC P -中，D 、E 分别是三角形PAC 和三角形ABC 的外心，则下列判断一定正确的是（ ）
A ．P
B DE ∥
B ．当B
C AB =且AC PA =时PB DE ∥
C ．当且仅当BC AB =且AC PA =时，AC DE ⊥
D ．AC D
E ⊥
10．若+
∈R n m ,，
11
1=+n
m ，则下列命题正确的有（ ） ①mn 有最小值4，②n m +有最小值4，③22n m +有最小值4．
A ．①②
B ．②③
C ．①③
D ．①②③ 11．焦点在x 轴，且焦点到准线的距离为4的抛物线方程为 （ ） A ．x y 42
= B ．x y 82
= C ．x y 42
±= D ．x y 82
±=
12．定义在R 上的偶函数()f x ，满足(3)()f x f x +=，(2)0f =，则函数()y f x =在区间()0,6内零点的个数为（ ）
A ．2个
B ．4个
C ．6个
D ．至少4个
第II 卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4个小题，每题5分，满分20分） 13．曲线y ＝xln x 在点（e ，e ）处的切线与直线x ＋ay ＝1垂直，则实数a 的值为________．
14．已知P 为椭圆12222=+b y a x 上一点，21,F F 是焦点，21PF F ∠取最大值时的余弦值为3
1，
则此椭圆的离心率为______. 15．已知约束条件⎩⎨
⎧≥-+≥-+0
520
3y x y x ，目标函数y ax z +=有最小值4，则=a ______.
16．设平面向量OA a =，定义以x 轴非负半轴为始边，逆时针方向为正方向，OA 为终边
的角称为向量a 的幅角.若1r 是向量a 的模，
2r 是向量b 的模，a 的幅角是1θ，b 的幅角是2θ，定义b a ⊗的结果仍是向量，它的模为1r 2r ，它的幅角为1θ+2θ.给出)1,1(),1,3(==b a .试用a 、b 的坐标表示b a ⊗的坐标，结果为_______.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．共70分.
17．（本小题满分12分）设项数均为k （*
2,k k N ≥∈）的数列}{n a 、}{n b 、}{n c 前n 项的和分别为n S 、n T 、n U .已知*2(1,)n n a b n n k n N -=≤≤∈，且集合
1212{,,,,,,,}k k a a a b b b ={2,4,6,
,42,4}k k -.
（1）已知n n n U 22+=，求数列}{n c 的通项公式；
（2）若4k =，求4S 和4T 的值，并写出两对符合题意的数列}{n a 、}{n b ；
（3）对于固定的k ，求证：符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对. 18．（本小题满分12分）已知四边形ABCD 满足AD ∥BC ，1
2
BA AD DC BC a ===
=，E 是BC 的中点，将BAE ∆沿着AE 翻折成1B AE ∆，使面1B AE ⊥面AECD .
A D
B
C
D
C
A
E
B 1
E
K
（Ⅰ）求四棱锥1B AECD -的体积； （Ⅱ）设点K 在线段AE 上，且
2AK
KE
=，在线段1B D 上是否存在点F ，使得1B K ∥面ACF ；若不存在，请说明理由.
19．（本小题满分12分）如表提供了某新生婴儿成长过程中时间x （月）与相应的体重y （公
（1）如y 与x 具有较好的线性关系，请根据表中提供的数据，求出线性回归方程：=x+
；
（2）由此推测当婴儿生长到五个月时的体重为多少？
参考公式：=，=﹣；=27.5．
20．（本小题满分12分）已知双曲线)0,0(1:2222>>=-b a b
y a x C , 若双曲线的渐近线过
点)3,2(A , 且双曲线过点)3,4(B （1）求双曲线C 的方程;
（2）若双曲线1:22
22=-b
y a x C 的左、右顶点分别为12,A A ,点P 在C 上且直线1PA 的斜率
的取值范围是⎥⎦
⎤⎢⎣⎡22,
2
1
,求直线2PA
斜率的取值范围． 21．（本题满分12分）设命题2
:()p f x x m
=
-在区间(1,)+∞上是减函数；命题:q 21,x x 是方程220x ax --=的两个实根，且不等式21253||m m x x +-≥-对任意的实数[1,1]a ∈-恒成立，若p q ⌝∧为真，试求实数m 的取值范围．
请考生在第22、23、24三题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题记分．答题时用2B 铅笔在答题卡上把所选的题号涂黑．
22．(本小题满分10分）选修4-1：几何证明选讲
已知：如图圆O 的两条弦BC AD ∥，以A 为切点的切线交CB 延长线于P
.
求证：（1）AD PC AC ⋅=2； （2）AD PB AB ⋅=2
.
23．(本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程 在平面直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系．已知曲线C 的极坐标方程为280ρcos θcos θρ+-=，直线l 的参数方程1x t cos α
y t sin α=⎧⎨
=+⎩
（t 为参数，
0απ≤<）．
（1）求曲线C 的直角坐标方程；
（2）若直线l 过定点()10,，求直线l 被曲线C 截得的线段AB 的长． 24．(本小题满分10分）（选修4—5：不等式选讲） 已知正数,,x y z 满足231x y z ++=，求123
x y z
++的最小值
参考答案
1．C 【解析】
试题分析：根据等比数列求和公式，可知原式211(1)
11i i
-+==-+，故选C ．
考点：复数的运算，等比数列求和公式． 2．C 【解析】 试
题
分
析
：
8
π
θ-
<<时
sin sin 0,cos 0,tan sin 0tan sin cos cos θθθθθθ<θθθ
<>=<<∴<
考点：三角函数性质 3．A 【解析】
试题分析：直接利用充要条件的判断方法判断即可．
解：因为“x＞1”⇒“x 2＞1”，而“x 2＞1”推不出“x＞1”，所以“x＞1”是“x 2
＞1”充分不必要条件． 故选A ．
考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断． 4．B 【解析】
试题分析：由已知条件以及正弦定理可得：)())((c b c a b a b -=+-，即bc a c b =-+222，再由余弦定理可得21cos =
A ，所以=∠A 3
π
，故选B. 考点：正弦定理、余弦定理.
5．C 【解析】
试题分析：由梯形ABCD 易得：0AB BC CD DA +++=，所以CB AD DC AB +=-，又BC AD AB μλ+=，所以BC AD DC )1()1(-+-=μλ，由于CD AB ∥，所以
μ
μλλ1
1+=
-，可得0=+μλ，故选C. 考点：1、平面向量基本定理；2、向量的平行. 6．A 【解析】
试题分析：由三视图可知，该几何体由一个半球和一个圆锥构成，其表面积为
1
411(22
S πππ=⨯⨯⨯+⨯=.选A.
考点：1、三视图；2、空间几何体的体积. 7．A 【解析】
试题分析：依题意，输入的x 的值为7，执行4次循环体，x 的值变为1-，这时，如果输出的y 值恰好是1-，则函数关系式可能为21y x =+,故应填A.
考点：程序框图中的循环结构. 8．C ． 【解析】
试题分析：如下图所示，设扇形半径为R ，圆C 半径为r ，∴23R r r r =+=， ∴落入圆内的点的个数估计值为226004001
(3)6
r r ππ⋅
=，故选C ．
考点：几何概型． 9．D 【解析】
试题分析：取AC 中点F ，连接DF 、EF ，由D 、E 分别是三角形PAC 和三角形ABC 的外心可知，AC EF AC DF ⊥⊥,，所以AC DE ⊥，故选D. 考点：1、三角形的外心；2、线线垂直、线面垂直. 10．A 【解析】 试
题
分
析
：
由
于
+
∈R n m ,，
111=+n
m ，所以
42)11)(()11(
≥++=++=+=+=n
m
m n n m n m n m n m mn mn ，所以8222≥≥+mn n m ，当且仅当2m n ==时取等号，所以③22n m +有最小值4是错误的，排除B 、C ，D ，故选A. 考点：基本不等式
【思路点晴】本题是一个利用基本不等式求最值方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路是：可以根据“1”的代换先确定22n m +的最小值，在这个过程中要特别注意利用基本不等式求最值时要做到“一正、二定、三相等”，其中任何一方面都不能漏掉，否
则容易出错.同时再结合排除法即可得到所求答案. 11．D 【解析】
试题分析：因为焦点到准线的距离为4，所以4p =，又因为其焦点在x 轴，所以所求的抛物线的标准方程为x y 82
±=，故应选D ． 考点：1、抛物线的标准方程． 12．D 【解析】
试题分析：∵()f x 是定义在R 上的偶函数，且周期是3，(2)0f =，∴(1)0f -=，即
(1)0f =.∴520f
f ==（）（），410f f ==（）（），所以方程()0f x =在()0,6内，至少有4个解，选D ．
考点：函数的性质，函数的零点. 13．2 【解析】
试题分析：根据导数的几何意义，1ln +='x y ，当e x =时，2='y ，所以切线的斜率是2，切线与直线垂直，所以直线的斜率2
1
1-=-
=a k ，解得：2=a 考点：1．导数的几何意义；2．两直线垂直的条件． 14．
3
3
【解析】
试题分析：由已知由于P 为椭圆122
22=+b y a x 上一动点，所以当P 是短轴端点时，2
1PF F ∠有最大值，所以22224231a c a -=，解得33=
a c ，故答案填3
3
. 考点：1、椭圆的几何性质；2、离心率. 15．
2
3
【解析】
试题分析：由图可知，当且仅当目标函数过两边交点)1,2(A ，且12-≤-≤-a 时，目标函数有最小值，所以124+=a ，即=
a 23，故答案填2
3.
考点：线性规划
【思路点晴】本题是一个关于线性规划方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的基本思路是：首先根据约束条件作出其可行域，然后再根据目标函数y ax z +=有最小值，因而可以对参数a 的取值情况进行限制，最后再通过数形结合即可得到目标函数y ax z +=有最小值4时实数a 的取值，进而使问题得到解决.
16．
)
1-+
【解析】
试题分析：根据本题规定以及
)1,1(),1,3(==b a , 则
)4
sin ,4(cos 2),6sin ,6(cos
2π
πππ
==b a ，所以b a ⊗的模是22，幅角为
4
2
6125sin ,426125cos ,1254
6
+=
-==
+
ππππ
π
，所以)13,13(+-=⊗b a . 考点：向量的坐标表示及运算.
【思路点晴】本题是一个关于向量的坐标表示、向量的运算以及新定义方面的综合性问题，属于中档题.解决本题的思路及切入点是：首先根据本题的规定求出向量
)1,1(),1,3(==b a 的模以及幅角，进而得到新的向量b a ⊗的模以及幅角，最后再根据本
题规定将向量b a ⊗的模和幅角转化为坐标，从而使问题得到解决.
17．（1）1
4,1
22,2n n n c n k
-=⎧=⎨+≤≤⎩；（2）4k =时，数列}{n a 、}{n b 可以为（不唯一）6,12,16,14；2,8,10,4，6k ≥时，数列对（}{n a ，}{n b ）不存在.（3）证明见解析． 【解析】
试题分析：（1）这实质是已知数列的前n 项和n S ，要求通项公式n a 的问题，利用关系
1(2)n n n a S S n -=-≥来解决；
（
2
）
注
意
到
4412341234()()S T a a a a b b b b -=+++-+++11223344()()()()
a b a b a b a b =-+-+-+-，从而
4420
S T -=，又
4412341234()()S T a a a a b b b b +=+++++++72=，故可求出4S ，4T ，这里我们应用了
整体思维的思想，而要写出数列对（}{n a ，}{n b ），可通过列举法写出；（3）可通过构造法说明满足题意和数列对是成对出现的，即对于数列对（}{n a ，}{n b ），构造新数列对42n n d k b =+-，42n n e k a =+-（*1,n k n N ≤≤∈），则数列对（{}n d ，{}n e ）也满足题意，（要说明的是2n n d e n -=及1212{,,
,,,,,}k k d d d e e e ={2,4,6,
,42,4}k k -且
数列}{n a 与}{n d ，{}n b 与{}n e 不相同（用反证法，若相同，则22242d k b a =+-=，又224a b -=，则有2223,21a k b k =+=-均为奇数，矛盾）． 试题解析：（1）1=n 时，411==U c
2≥n 时，111222)1(222---+=---+=-=n n n n n n n n U U c ，41=c 不适合该式 故，1
4,122,2n n n c n k -=⎧=⎨+≤≤⎩
4分 （2）4412341234()()S T a a a a b b b b -=+++-+++
11223344()()()()a b a b a b a b =-+-+-+-246820=+++=
又4412341234()()S T a a a a b b b b +=+++++++
24681012141672=+++++++=
得，4S =46，4T =26 8分 数列}{n a 、}{n b 可以为：
① 16,10,8,12；14,6,2,4 ② 14,6,10,16；12,2,4,8
③ 6,16,14,10；4,12,8,2 ④ 4,14,12,16；2,10,6,8
⑤ 4,12,16,14；2,8,10,6 ⑥ 16,8,12,10；14,4,6,2 10分 （3）令42n n d k b =+-，42n n e k a =+-（*
1,n k n N ≤≤∈） 12分
(42)(42)2n n n n n n d e k b k a a b n -=+--+-=-=
又1212{,,
,,,,,}k k a a a b b b ={2,4,6,
,4}k ，得
1212{42,42,
,42,42,42,
,42}k k k a k a k a k b k b k b +-+-+-+-+-+-
={2,4,6,
,4}k
所以，数列对（}{n a ，}{n b ）与（}{n d ，}{n e ）成对出现。

16分
假设数列}{n a 与}{n d 相同，则由22242d k b a =+-=及422=-b a ，得223a k =+，
221b k =-，均为奇数，矛盾！
故，符合条件的数列对（}{n a ，}{n b ）有偶数对。

18分
考点：（1）数列的前n 项和n S 与n a 的关系；（2）整体思想与列举法；（3）构造法．
18．（Ⅰ）34
a ；（Ⅱ）存在，且123B F FD =.
【解析】（Ⅰ）取AE 的中点,M 连接1B M ，因为1
2
BA AD DC BC a ====，
所以ABE ∆为等边三角形，所以1B M AE ⊥,
且1B M =
，又因为面1B AE ⊥面AECD ，所以1B M ⊥面AECD ，所以四棱锥1B AECD -
的体积3
1sin 334
a V a a π=⨯⨯⨯=. 6
分
O
D
C
A
E
B 1
K M F
（Ⅱ）存在，且12
3
B F FD =
. 连接KD 交AC 于O ，连接OF ，因为
2AK KE =，所以2
3AK CD =，由于//AE CD ，所以23OK AK OD CD ==,又12
3B F FD =，所以1B F OK FD OD
=
,所以1//B K OF ，又因为1B K ⊄面ACF ，OF ⊂面ACF ，故1B K ∥面ACF . 12分
【命题意图】本题考查面面垂直的性质定理、四棱锥的体积、直线和平面平行的判定等基础
知识，意在考查学生基本的运算能力和推理论证能力． 19．（1）
=
x+
．
（2）由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为6.45公斤． 【解析】 试题分析：（1）求出x ，y 的平均数，代入回归系数方程求出回归系数，得出回归方程． （2）把x=5代入回归方程解出．
解：（1）=
=1.5，=
=4．
=02+12+22+32
=14，
∴==，=4﹣=．
∴y 关于x 的线性回归方程为=x+．
（2）当x=5时，
=+
=6.45．
答：由此推测当婴儿生长满五个月时的体重为6.45公斤． 考点：线性回归方程．
20．（1）13422=-y x ;（2）2
3
4232≤≤PA k
【解析】
试题分析：（1）由双曲线的性质求曲线方程；（2）设出点P （x,y ）的坐标，并表示出21PA PA k k ,,注意圆锥曲线经常设而不求，所以如何利用x,y 的关系是简化问题的突破口，根据斜率
21PA PA k k ,的形式，可求出4
3
=
⋅21PA PA k k ，然后利用直线1PA 的斜率范围求出直线2PA 斜率的取值范围。

试题解析：
（1）由题意, ⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧=-=1
34232
2
22b a b a ,则⎩⎨⎧==32b a ,故双曲线134:22=-y x C ． （2）设点),(y x P ,由题意,)0,2(),0,2(21A A -,
2
,221-=
+=
x y
k x y k PA PA ,
故 434)2()2(222
1=-=-⋅+=⋅x y x y x y k k PA PA 又∈1PA k ⎥⎦
⎤⎢⎣⎡22,21,则]23
,423[2∈PA k 考点：求双曲线方程；求直线斜率范围。

21．1m >． 【解析】
试题分析：根据题意可知命题p 等价于1m ≤，而命题q 等价
于212max max 53||3m m x x +-≥-==，即6m ≤-或1m ≥，再由p q ⌝∧为真可知p 假q 真，从而实数m 的取值范围是1m >． 试题解析：p ：∵2
()f x x m
=
-，∴()f x 在(,)m -∞，(,)m +∞上单调递减，∴1m ≤，q ：
只需212max max 53||3m m x x +-≥-==，∴6m ≤-或1m ≥，又∵p q ⌝∧为真，∴p 假q 真，∴1m >．
考点：命题及其关系． 22．（1）证明见解析；（2）证明见解析. 【解析】 试题分析：（1）根据题目已知寻找DCA ∆和APC ∆相似的条件，进而得到所需的结论；（2）可根据条件寻找,DCA BPA ∆∆相似以及,AB CD 相等的理由，并由此推出所需的结论. 试题解析：（1）因为PE 是以A 为切点的切线，所以DAC EAD ∠=∠， 又因为BC AD ∥，所以ACP DAC P EAD ∠=∠∠=∠,， 所以在DCA ∆和APC ∆中，P DCA ACP DAC ∠=∠∠=∠,， 所以DCA ∆~APC ∆，所以PC
CA
CA AD =
，所以AD PC AC ⋅=2. （2）因为PA 是切线，所以ACP PAB ∠=∠，所以PAB DAC ∠=∠， 又因为P DCA ∠=∠，所以DCA
∆BPA ∆，所以
BP
DC
AB AD =
， 又由BC AD ∥，所以DC AB =，所以AD PB AB ⋅=2
. 考点：1、切线及弦切角；2、三角形相似. 23．（1）2
4y x =；（2）8．
【解析】 试题分析：（1）将原极坐标方程，两边同时乘以ρ，可化为直角坐标方程；（2）将直线的参数方程1x t cos α
y t sin α
=⎧⎨
=+⎩，化为直角坐标方程，代入曲线C 的方程中，利用直线过定点(1,0)，
即可得到直线l 被曲线C 截得的线段的长.
试题解析：（1）由cos 28cos 0ρθθρ+-=，得()
212sin 8cos 0ρθθρ-+-=，所以
2sin 4cos ρθθ=，所以22sin 4cos ρθρθ=，即曲线C 的直线坐标方程为24y x =. （2）因为直线l 的参数方程为cos 1sin x t αy t α=⎧⎨=+⎩
（t 为参数，0απ≤<），所以直线l 在y 轴
上的截距为1，又因为直线l 过定点()1,0，由直线方程的截距式，得直线l 的直角坐标方程是1x y +=.
联立21
4x y y x
+=⎧⎨=⎩，消去y ，得2610x x -+=，又点()1,0是抛物线的焦点，由抛物线的定
义，得弦长||2628A B AB x x =++=+=. 考点：参数方程与参数方程及直角坐标方程的互化. 24．36 【解析】
试题分析：利用1的代换，将123
x y z ++
变形为
23412918142233y z x z x y x x y y z z ++++++，再根据基本不等式求最值
试题解析：解：123149
()(23)
23x y z x y z x y z ++=++++ 234129181492233y z x z x y
x x y y z z =+++
+++++
14≥+36=， （当且仅当
1
6x y z ===
时等号成立）
所以123x y z ++
的最小值为36.
考点：利用基本不等式求最值。