控制系统的频率特性

频率特性是一个复数，有三种表示：
代数式
极坐标式
G j U jV
G( j ) G( j ) G( j ) A( ) ( )
指数式
G( j ) G( j ) e jG ( j ) A( )e j ( )
A G j U 2 V 2
率特性是系统的固有特性，与输入信号无关，
即当输入为非正弦信号时，系统仍然具有自身的频率特性。
频率特性定义为输出量的Fourier变换与输入量
的Fourier变换之比，即
X 0 j G j X i j
频率特性的矢量图
jv V () A () () 0 U () u G(j)
2T 2 1
相频特性 arctan T 一阶惯性环节的幅相频率特性曲 线是一个半圆。
5. 一阶微分环节
频率特性
G j Tj 1
jv
2 45°
幅频特性 A 1 T 2 相频特性 实频特性
∞ ↑ =0 u
arctan T
r为谐振频率
Mr为谐振峰值
r n 1 2 2
M r A max
0.707
1 2 2
2 1 2
7. 二阶微分环节

jv
=0 0 1 u
8. 延迟环节
频率特性
G j e
A 1
jT
1 1 j T

1 TS 1 S j
定义：
A / 1 2T 2 1 稳态输出幅值 A( ) RC网络幅频 2 2 A 输入幅值 1 T 特性
( ) arctan T 稳态输出相位 输入相位 RC网络相频特性
1 1 T
2 2
arctan T
RC网络的幅相曲线绘在s平面上
jv →∞ 0 -45° 0.707 =1/T =0 u
频率响应的Nyquist 图 一. 典型环节的Nyquist图
1. 放大环节
频率特性 幅频特性
G j K
A G j K
o G j 0
够从频率特性出发研究这就是频率响应能表征了系统的运动规律及微分方程一样频率特性和传递函数以结论频率特性的求取记为称为频率特性幅频特性和相频特性总特性或滞后其相位产生超前的谐波信号时当系统输入不同频率它描述在稳态情况下为相频特性相位差输出信号与输入信号的称为幅频特性线性函数与输入信号的幅值比是在稳态求出的输出信号说明微分方程频率特性传递函数系统当频率从0到无穷大变化时向量gj的端点在复平面上的运动轨迹
输入信号 输出信号
xi t A sin t
t T
AT x0 t e 2 2 1 T
系统稳态输出

A 1 T
2 2
sin t arctanT
lim x0 t
t
A 1 2T 2
sin t arctan T
说明: 1. 网络的稳态输出仍是正 弦电压, 其频率与输入电压相同 , 幅值是输入电压的1
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控制系统的频率特性
频率特性 频率响应的Nyquist 图 频率响应的Bode图 控制系统的闭环频率响应
时域分析法研究系统的各种动态与稳态性
能比较直观、准确
缺点是： 1. 当某些系统工作机理不明了时，数学模型难以确定， 因而无法分析系统性能。
2. 当系统的响应不能满足技术要求时，也不容易确
定应该如何调整系统来获得预期效果。
0
K(T1-T2) Re
Nyquist 稳定判据 : 闭环系统稳定的充要条 件是 : [G(j )H(j )] 平面上的开环频率响应 G(j )H(j ), 当从 变到本 时 , 按逆时针方向包围 (1, j 0) P次, 其 中P为开环传递函数 G(s)H(s) 位于s平面右半部 的极点数目 . 若G(s)H(s) 的全部极点均分布在 s 平面左半部, 即P 0, 则闭环系统稳定的充要 条 件为, [G(j )H(j )] 平面上的开环频率响应 G(j )H(j ), 当 从 变到本 时 , 不包围 (1, j 0)点。
频域法是利用频率特性研究自动控制系统的一种古典方法
1) 应用Nyquist(奈奎斯特)稳定性判据，可以根据系统的开环频率特性， 研究闭环系统的稳定性，而不必求特征方程的根。
2) 对于二阶系统，频率响应和瞬态响应的性能指标之间有确定的对应关系， 而高阶系统也存在类似的关系。因为系统的频率特性与系统参数、结构之 间有着密切关系，所以可以利用研究频率特性的方法，把系统的参数、结 构变化和瞬态响应性能指标之间联系起来。 3) 频率特性有明确的物理意义，很多元件的这一特性都可以用实验的方法 确定，这对难于分析其物理规律来列出微分方程的元部件和系统，有很重 要的工程实际意义。
7 勾画大致曲线，
极坐标图举例
例 1. G(s) 解:
K G(j ) j (1 jT ) | G(j ) | K 2 2 1 T G(j ) -90 arctgT 0 | G(j ) | G(j ) -90 | G(j ) | 0 G(j ) -180 -(kT,j0) KT K G(j ) 1-T 2 2 - j (1 T 2 2 ) KT U( ) Re[G(j )] - 1 T 2 2 -k V( ) Im[G(j )] (1 T 2 2 ) lim U( ) kT lim V( ) 0
例3. G(S) 解:
| G(j ) |
K(T 1S1) S (T2 S 1)
2
(T2 T1 )
Im
K 1 T1 2 1 T2 2 2 G(j ) -90 arctgT1 arctgT2 0 | G(j ) | G(j ) -90 | G(j ) | 0 G(j ) -90 k (T1 T2 ) K (1 T1T2 2 ) G(j ) j 2 2 1 T (1 T 2 2 ) lim U ( ) K (T1 T2 ) 0 lim V ( )
s j
结论 : 频率特性和传递函数以及微分方程一样, 也 表征了系统的运动规律, 这就是频率响应能 够从频率特性出发研究系统的理论依据。
微分方程
s p
传递函数
s j
系统
j p
频率特性
二. 频率特性的几何表示
1. 幅相频率特性（Nyquist 图） 当频率 从0到无穷大变化 时，向量G(j )的端点在复 平面上的运动轨迹。 规定极坐标图的实轴正方向为相角零度线，逆时针转过 的角度为正，顺时针转过的角度为负。 2. 对数频率特性（Bode图） 由两张图组成：一张是对数幅频特性，另一张是对数相频 特性。
- jarctg T 1T 2 2
(幅频特性), 相角比输入电压
滞后 - arctgT ( 相频特性). 2.
1 1 T 2 2
e

1 1 jT
e
j 1 (1 jT )
1 1 j T
它描述了网络在正弦输 入作用下 , 稳态输出时电压幅值 和相角随正弦输入电压 频率变化的规律, 称为网络的频 率特性. 3.
将s以j 代入RC网络传递函数，即得RC网络频率特性
1 1 G( j ) RCj 1 1 jT

1 1 2T 2
e j ( arctanT )
A( )e j ( )
RC电路的这一特性，对于任何稳定的线性网络都成立 虽然在前面的分析中，设定输入信号是正弦信号，然而频
1 T 2T
2 2 2
1
2


jv →∞ 0 n n n =1 =0.5 =0.3 =0 1 u
振荡环节的 Nyquist曲线不 仅与频率 有关，而且与 阻尼比ξ也有关。 ξ 越小， 幅频越大。
当ξ 小到一定程度时，幅 频将会出现峰值：
M r A( r )
K s(Ts 1)
试绘制其Nyquist 图。
Im
0 Re

0
0
例2. 解:
G(S)
G(j )
K S2 (1 T1S)(1 T2S)

K (j ) 2 (1 jT1 )(1 jT2 ) K | G(j ) | 2 1 T1 2 2 1 T2 2 2 G(j ) -180 arctgT1 arctgT2 0 | G(j ) | G(j ) -180 | G(j ) | 0 G(j ) -360 G(j ) Re[G(j )] Im[G(j )] 1 令 Re[G(j )] 0 得 T1T2 3 K(T1T2 ) 2 这时 Im[G(j )] T1 T2 由此得出Nyquist 图与虚轴的交点
U A cos
V arctan U
V A sin
说明 : 1.在稳态求出的输出信号与输入信号的幅值比是的非 线性函数, 称为幅频特性 Y/X | G(j ) | 2.输出信号与输入信号的相位差是的非线性函数, 称 为相频特性.它描述在稳态情况下, 当系统输入不同频率 的谐波信号时, 其相位产生超前( 0)或滞后( 0)的 特性. 3.幅频特性和相频特性总称为频率特性, 记为 G(j ) G(j ) e jG(j ) 4.频率特性的求取 G(j ) G(s)
j

2
jv
幅频特性 A G j
∞ ↑ =0 u
相频特性
G j 90
0
4.一阶惯性环节
1 频率特性 G j 1 jT
幅频特性 A
jv →∞ 0 -45° 0.707 =1/T =0 1 u
1
4) 频率特性分析法不仅适用于线性系统，而且可以推广到某些非线性系统。 5) 当系统在某些频率范围存在着严重噪声时，应用频率法，可以设计出能 够很好抑制这些噪声的系统。
频率特性
一.频率特性的基本概念
xi (t) xi (t) t R C xo(t)
RC网络的传递函数为
X 0 s 1 G( s) X i s Ts 1
0
1
U ( ) 1
6. 二阶振荡环节
频率特性
G j
j 2 T 2 j 2T 1
1
幅频特性 A G j
1 A G j 2 2T 1 2 arctan 2 2 1 2T 2 2 T 相频特性 1 T T G j 2T 1 T 2 1 arctan 2 arctan 2 2 2 1 T 1T T T G j 1 arctan 2T 2 2 1 T T
jv K 0 u
相频特性
2. 积分环节
j ( ) 频率特性 G j 1 1 e 2 j

jv 0

幅频特性 A G j 1 相频特性

u →∞ =0
G j 90
3. 微分环节
频率特性
G j j e
jv 1 0
幅频特性 相频特性
A 1
=0 u
T
二.Nyquist图的一般作图方法 1 分别写出开环系统中各个典型环节的幅频特性和相 频特性。 2 写出开环系统的A(ω)和φ(ω)表达式。 3 分别求出ω=0和ω为无穷时的G(j ω)。 4 求Nyquist与实轴交点，交点可用Im[G(j ω)]=0求出。 5 求Nyquist与虚轴交点，交点可用Re[G(j ω)]=0求出。 6 必要时再画出中间几点。