微山县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析

微山县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析
班级__________ 姓名__________ 分数__________
一、选择题
1．如图，四面体D﹣ABC的体积为，且满足∠ACB=60°，BC=1，AD+=2，则四面体D﹣ABC中最长棱的长度为（）
A．B．2 C．D．3
2．下列说法中正确的是（）
A．三点确定一个平面
B．两条直线确定一个平面
C．两两相交的三条直线一定在同一平面内
D．过同一点的三条直线不一定在同一平面内
3．函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（）
A．（0，1） B．（1，2） C．（2.3）D．（3，4）
4．+（a﹣4）0有意义，则a的取值范围是（）
A．a≥2 B．2≤a＜4或a＞4 C．a≠2 D．a≠4
5．有下列说法：
①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适．
②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越小，说明模型的拟合效果越好．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好．
其中正确命题的个数是（）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．已知点P（x，y）的坐标满足条件，（k为常数），若z=3x+y的最大值为8，则k的值为（）
A．B．C．﹣6 D．6
7．已知双曲线﹣=1的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合，则该双曲线的焦点到其渐近线的距离等于（）
A．B．C．3 D．5
8．sin45°sin105°+sin45°sin15°=（）
A．0 B．C．D．1
9．若函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0且a≠1）在区间（0，）内恒有f（x）＞0，则f（x）的单调递增区间为（）
A．（﹣∞，）B．（﹣，+∞）C．（0，+∞）D．（﹣∞，﹣）
10．已知实数a，b，c满足不等式0＜a＜b＜c＜1，且M=2a，N=5﹣b，P=（）c，则M、N、P的大小关系为（）
A．M＞N＞P B．P＜M＜N C．N＞P＞M
11．已知复合命题p∧（￢q）是真命题，则下列命题中也是真命题的是（）
A．（￢p）∨q B．p∨q C．p∧q D．（￢p）∧（￢q）
12．袋内分别有红、白、黑球3，2，1个，从中任取2个，则互斥而不对立的两个事件是（）
A．至少有一个白球；都是白球
B．至少有一个白球；至少有一个红球
C．恰有一个白球；一个白球一个黑球
D．至少有一个白球；红、黑球各一个
二、填空题
13．设,则
14．以抛物线y2=20x的焦点为圆心，且与双曲线：的两条渐近线都相切的圆的方程为．
15．（﹣）0+[（﹣2）3]=．
16．双曲线x2﹣my2=1（m＞0）的实轴长是虚轴长的2倍，则m的值为．
17．已知()212811f x x x -=-+,则函数()f x 的解析式为_________. 18．如图所示，圆C 中，弦AB 的长度为4，则AB AC ×的值为_______．
【命题意图】本题考查平面向量数量积、垂径定理等基础知识，意在考查对概念理解和转化化归的数学思想．
三、解答题
19．解不等式a 2x+7＜a 3x ﹣2（a ＞0，a ≠1）．
20．已知中心在坐标原点O 的椭圆C 经过点A （2，3），且点F （2，0）为其右焦点．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）是否存在平行于OA 的直线l ，使得直线l 与椭圆C 有公共点，且直线OA 与l 的距离等于4？若存在，
求出直线l 的方程；若不存在，说明理由．
21．已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，sin 2B=2sinAsinC ． （Ⅰ）若a=b ，求cosB ；
（Ⅱ）设B=90°，且a=，求△ABC 的面积．
22．（本小题满分10分）选修4-5：不等式选讲 已知函数()()f x x a a R =-∈.
（1）当1a =时，解不等式()211f x x <--；
（2）当(2,1)x ∈-时，121()x x a f x ->---，求的取值范围.
23．（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲 已知函数()f x x a =-，()a R ∈．
（Ⅰ）若当04x ≤≤时，()2f x ≤恒成立，求实数a 的取值； （Ⅱ）当03a ≤≤时，求证：()()()()f x a f x a f ax af x ++-≥-．
24．求曲线y=x 3的过（1，1）的切线方程．
微山县民族中学2018-2019学年上学期高二数学12月月考试题含解析（参考答案）
一、选择题
1．【答案】B
【解析】解：因为AD•（BC•AC•sin60°）≥V D﹣ABC=，BC=1，
即AD•≥1，
因为2=AD+≥2=2，
当且仅当AD==1时，等号成立，
这时AC=，AD=1，且AD⊥面ABC，所以CD=2，AB=，
得BD=，故最长棱的长为2．
故选B．
【点评】本题考查四面体中最长的棱长，考查棱锥的体积公式的运用，同时考查基本不等式的运用，注意等号成立的条件，属于中档题．
2．【答案】D
【解析】解：对A，当三点共线时，平面不确定，故A错误；
对B，当两条直线是异面直线时，不能确定一个平面；故B错误；
对C，∵两两相交且不共点的三条直线确定一个平面，∴当三条直线两两相交且共点时，不一定在同一个平面，如墙角的三条棱；故C错误；
对D，由C可知D正确．
故选：D．
3．【答案】A
【解析】解：∵f（0）=﹣2＜0，f（1）=1＞0，
∴由零点存在性定理可知函数f（x）=3x+x﹣3的零点所在的区间是（0，1）．
故选A
【点评】本题主要考查了函数的零点的判定定理，这种问题只要代入所给的区间的端点的值进行检验即可，属于基础题．
4．【答案】B
【解析】解：∵+（a﹣4）0有意义，
∴，
解得2≤a＜4或a＞4．
故选：B．
5．【答案】C
【解析】解：①在残差图中，残差点比较均匀地落在水平的带状区域内，说明选用的模型比较合适，正确．
②相关指数R2来刻画回归的效果，R2值越大，说明模型的拟合效果越好，因此②不正确．
③比较两个模型的拟合效果，可以比较残差平方和的大小，残差平方和越小的模型，拟合效果越好，正确．
综上可知：其中正确命题的是①③．
故选：C．
【点评】本题考查了“残差”的意义、相关指数的意义，考查了理解能力和推理能力，属于中档题．
6．【答案】B
【解析】解：画出x，y满足的可行域如下图：z=3x+y的最大值为8，
由，解得y=0，x=，
（，0）代入2x+y+k=0，∴k=﹣，
故选B．
【点评】如果约束条件中含有参数，可以先画出不含参数的几个不等式对应的平面区域，分析取得最优解是哪两条直线的交点，然后得到一个含有参数的方程（组），代入另一条直线方程，消去x，y后，即可求出参数的值．
7．【答案】A
【解析】解：抛物线y2=12x的焦点坐标为（3，0）
∵双曲线的右焦点与抛物线y2=12x的焦点重合
∴4+b2=9
∴b2=5
∴双曲线的一条渐近线方程为，即
∴双曲线的焦点到其渐近线的距离等于
故选A．
【点评】本题考查抛物线的性质，考查时却显得性质，确定双曲线的渐近线方程是关键．
8．【答案】C
【解析】解：sin45°sin105°+sin45°sin15°
=cos45°cos15°+sin45°sin15°
=cos（45°﹣15°）
=cos30°
=．
故选：C．
【点评】本题主要考查了诱导公式，两角差的余弦函数公式，特殊角的三角函数值在三角函数化简求值中的应用，考查了转化思想，属于基础题．
9．【答案】D
【解析】解：当x∈（0，）时，2x2+x∈（0，1），
∴0＜a＜1，
∵函数f（x）=log a（2x2+x）（a＞0，a≠1）由f（x）=log a t和t=2x2+x复合而成，
0＜a＜1时，f（x）=log a t在（0，+∞）上是减函数，所以只要求t=2x2+x＞0的单调递减区间．
t=2x2+x＞0的单调递减区间为（﹣∞，﹣），
∴f（x）的单调增区间为（﹣∞，﹣），
故选：D．
【点评】本题考查复合函数的单调区间问题，复合函数的单调区间复合“同增异减”原则，在解题中勿忘真数大于0条件．
10．【答案】A
【解析】解：∵0＜a＜b＜c＜1，
∴1＜2a＜2，＜5﹣b＜1，＜（）c＜1，
5﹣b=（）b＞（）c＞（）c，
即M＞N＞P，
故选：A
【点评】本题主要考查函数值的大小比较，根据幂函数和指数函数的单调性的性质是解决本题的关键．
11．【答案】B
【解析】解：命题p∧（￢q）是真命题，则p为真命题，￢q也为真命题，
可推出￢p为假命题，q为假命题，
故为真命题的是p∨q，
故选：B．
【点评】本题考查复合命题的真假判断，注意p∨q全假时假，p∧q全真时真．
12．【答案】D
【解析】解：从3个红球，2个白球，1个黑球中任取2个球的取法有：
2个红球，2个白球，1红1黑，1红1白，1黑1白共5类情况，
所以至少有一个白球，至多有一个白球不互斥；
至少有一个白球，至少有一个红球不互斥；
至少有一个白球，没有白球互斥且对立；
至少有一个白球，红球黑球各一个包括1红1白，1黑1白两类情况，为互斥而不对立事件，
故选：D
【点评】本题考查了互斥事件和对立事件，是基础的概念题．
二、填空题
13．【答案】9
【解析】由柯西不等式可知
14．【答案】（x﹣5）2+y2=9．
【解析】解：抛物线y2=20x的焦点坐标为（5，0），双曲线：的两条渐近线方程为3x±4y=0
由题意，r =3，则所求方程为（x ﹣5）2+y 2=9
故答案为：（x ﹣5）2+y 2
=9．
【点评】本题考查圆的方程，考查直线与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
15．【答案】 ．
【解析】解：（﹣）0+[（﹣2）3
]
=1+（﹣2）﹣2
=1+=．
故答案为：．
16．【答案】 4 ．
【解析】解：双曲线x 2﹣my 2=1化为x 2
﹣
=1，
∴a 2=1，b 2
=，
∵实轴长是虚轴长的2倍，
∴2a=2×2b ，化为a 2=4b 2
，即1=，
解得m=4． 故答案为：4．
【点评】熟练掌握双曲线的标准方程及实轴、虚轴的定义是解题的关键．
17．【答案】()2
245f x x x =-+ 【解析】
试题分析：由题意得，令1t x =-，则1x t =+，则()22
2(1)8(1)11245f t t t t t =+-++=-+，所以函数()
f x 的解析式为()2
245f x x x =-+.
考点：函数的解析式. 18．【答案】8
三、解答题
19．【答案】
【解析】解：当a＞1时，a2x+7＜a3x﹣2等价于2x+7＜3x﹣2，∴x＞9；
当0＜a＜1时，a2x+7＜a3x﹣2等价于2x+7＞3x﹣2．∴x＜9．
综上，当a＞1时，不等式的解集为{x|x＞9}；
当0＜a＜1时，不等式的解集为{x|x＜9}．
【点评】本题考查指数不等式的解法，指数函数的单调性的应用，考查分类讨论思想以及转化思想的应用．20．【答案】
【解析】解：（1）依题意，可设椭圆C的方程为（a＞0，b＞0），且可知左焦点为
F（﹣2，0），从而有，解得c=2，a=4，
又a2=b2+c2，所以b2=12，故椭圆C的方程为．
（2）假设存在符合题意的直线l，其方程为y=x+t，
由得3x 2+3tx+t 2
﹣12=0，
因为直线l 与椭圆有公共点，所以有△=（3t ）2
﹣4×3（t 2
﹣12）≥0，解得﹣4
≤t ≤4，
另一方面，由直线OA 与l 的距离4=，从而t=±2，
由于±2
∉[﹣4
，4
]，所以符合题意的直线l 不存在．
【点评】本小题主要考查直线、椭圆等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想．
21．【答案】
【解析】解：（I ）∵sin 2
B=2sinAsinC ，
由正弦定理可得：
＞0，
代入可得（bk ）2
=2ak •ck ， ∴b 2
=2ac ，
∵a=b ，∴a=2c ，
由余弦定理可得：cosB=
==．
（II ）由（I ）可得：b 2
=2ac ，
∵B=90°，且a=，
∴a 2
+c 2=b 2
=2ac ，解得a=c=
．
∴S △ABC =
=1．
22．【答案】（1）{}
11x x x ><-或；（2）(,2]-∞-.
【解析】
试
题解析：（1）因为()211f x x <--，所以1211x x -<--， 即1211x x ---<-，
当1x >时，1211x x --+<-，∴1x -<-，∴1x >，从而1x >；
当
1
12x ≤≤时，1211x x --+<-，∴33x -<-，∴1x >，从而不等式无解； 当1
2
x <时，1211x x -+-<-，∴1x <-，从而1x <-；
综上，不等式的解集为{}11x x x ><-或.
（2）由121()x x a f x ->---，得121x x a x a -+->--， 因为1121x x a x a x x a -+-≥-+-=--，
所以当(1)()0x x a --≥时，121x x a x a -+-=--； 当(1)()0x x a --<时，121x x a x a -+->--
记不等式(1)()0x x a --<的解集为A ，则(2,1)A -⊆，故2a ≤-， 所以的取值范围是(,2]-∞-.
考点：1.含绝对值的不等式；2.分类讨论. 23．【答案】
【解析】【解析】（Ⅰ）()2x a f x -=≤得，22a x a -≤≤+
由题意得20
42a a -≤⎧⎨≤+⎩
，故22a ≤≤，所以2a = …… 5分
（Ⅱ）03a ≤≤，∴112a -≤-≤，∴12a -≤，
()()2f ax af x ax a a x a ax a ax a -=---=---()()
2212ax a ax a a a a a a ≤---=-=-≤ ()()()2222f x a f x a x a x x a x a a -++=-+≥--==，
∴()()()()f x a f x a f ax af x -++≥-．…… 10分
24．【答案】
【解析】解：y=x 3的导数y ′=3x 2，
①若（1，1）为切点，k=3•12=3，
∴切线l：y﹣1=3（x﹣1）即3x﹣y﹣2=0；
②若（1，1）不是切点，
设切点P（m，m3），k=3m2=，
即2m2﹣m﹣1=0，则m=1（舍）或﹣
∴切线l：y﹣1=（x﹣1）即3x﹣4y+1=0．
故切线方程为：3x﹣y﹣2=0或3x﹣4y+1=0．
【点评】本题主要考查导数的几何意义、利用导数研究曲线上某点处的切线方程等基础知识，注意在某点处和过某点的切线，考查运算求解能力．属于中档题和易错题．。