2021_2022学年新教材高中数学第四章指数函数与对数函数4.4.3不同函数增长的差异课件新人教A

【解析】选 D.设某林区的森林蓄积量原有 1 个单位，则经过 1 年森林的蓄积量为 1＋8.6%；经过 2 年森林的蓄积量为(1＋8.6%)2；…；经过 x 年的森林蓄积量为(1 ＋8.6%)x(x≥0)，即 y＝(108.6%)x(x≥0).因为底数 108.6%大于 1，根据指数函数的图 象，可知 D 选项正确．
去，最终在最前面的物体具有的函数关系是( )A．f1 Nhomakorabeax)＝x2
B．f2(x)＝2x
C．f3(x)＝log2x
D．f4(x)＝2x
【解析】选 D.对比四种函数的增长速度，当 x 充分大时，指数函数增长速度越来
越快，因而最终物体 4 会在最前面．
常见的函数模型及增长特点
(1)线性函数模型：线性函数模型 y＝kx＋b(k>0)的增长特点是直线上升，其增长
2．已知函数 f(x)＝2x 和 g(x)＝x3，在同一坐标系下作出它们的图象，结合图象比 较 f(8)，g(8)，f(2 022)，g(2 022)的大小．
【解析】列表：
x
… －1 0 1 2 3 …
f(x)
…
1 2
124 8 …
g(x) … －1 0 1 8 27 …
描点、连线，得如图所示图象： 则函数 f(x)＝2x 对应的图象为 C2，函数 g(x)＝x3 对应的图象为 C1. 因为 g(1)＝1，f(1)＝2，g(2)＝8，f(2)＝4，g(9)＝729，f(9)＝512，g(10)＝1 000， f(10)＝1 024， 所以 f(1)>g(1)，f(2)<g(2)，f(9)<g(9)，f(10)>g(10)， 所以 1<x1<2，9<x2<10，所以 x1<8<x2<2 022. 从图象上知，当 x1<x<x2 时，f(x)<g(x)； 当 x>x2 时 ， f(x)>g(x) ， 且 g(x) 在 (0 ， ＋ ∞) 上 是 增 函 数 ， 所 以 f(2 022)>g(2 022)>g(8)>f(8).
在三种函数增长关系的结论中，怎样理解“总会存在一个 x0”？ 提示：因为三种函数增长速度不同，当自变量逐渐增大时，三种函数以不同的速 度增长．函数值相等的值可视为临界点就是 x0，因此可以理解为自变量足够大时 一定会出现 x0.当然 x0 不唯一，比 x0 大的任意一个实数也可以作为 x0.
1．函数 y＝log1 x 的衰减速度是不是越来越慢？
2．当 x 越来越大时，下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2x
B．y＝1 000x＋50
C．y＝x100
D．y＝log100x
【解析】选 A.根据指数型函数增长速度最快知，当 x 越来越大时，y＝2x 的增长 速度最快．
3．能反映如图所示的曲线的增长趋势的是( )
A. 一次函数
B．幂函数
素养发展·创新应用
应用类型 不同函数模型在实际问题中的应用(数学建模) 【典例】某人对东北一种松树的生长进行了研究，收集了其高度 h(m)与生长时间 t(年)的相关数据，选择 h＝mt＋b 与 h＝loga(t＋1)来刻画 h 与 t 的关系，你认为哪 个符合？并预测第 8 年的松树高度．
【解析】根据表中数据作出散点图如图：
【解析】由幂函数增长介于指数爆炸与对数增长之间,可明显得出曲线 C1 对应的
函数是 f(x)=1.1x,曲线 C2 对应的函数是 h(x)= ,曲线 C3 对应的函数是 g(x)=ln x+1. 由图象可得:当 x<1 时,f(x)>h(x)>g(x); 当 1<x<e 时, f(x)>g(x)>h(x); 当 e<x<a 时,g(x)>f(x)>h(x); 当 a<x<b 时,g(x)>h(x)>f(x); 当 b<x<c 时,h(x)>g(x)>f(x); 当 c<x<d 时,h(x)>f(x)>g(x); 当 x>d 时, f(x)>h(x)>g(x).
C．对数函数
D．指数函数
【解析】选 C.从函数图象可以看出，随自变量的增大，函数增长越来越慢，因此 是对数函数图象．
4．某人投资 x 元，获利 y 元，有以下三种方案．甲：y＝0.2x，乙：y＝log2x＋100， 丙：y＝1.005x，则投资 500 元，1 000 元，1 500 元时，应分别选择________方案． 【解析】将投资数分别代入甲、乙、丙的函数关系式中比较 y 值的大小即可求出． 答案：乙、甲、丙
【加固训练】
1.在同一坐标系中,画出函数 y=x+5 和 y=2x 的图象,并比较 x+5 与 2x 的大小.
【解析】如图,
结合函数 y=x+5 与 y=2x 的图象增长差异得: 当 x<3 时,x+5>2x, 当 x=3 时,x+5=2x, 当 x>3 时,x+5<2x.
2.函数 f(x)=1.1x,g(x)=lnx+1,h(x)= 的图象如图所示,试分别指出各曲线对应 的函数,并比较三者的增长差异(以 1,a,b,c,d,e 为分界点).
微提醒：函数值的大小不等同于增长速度的大小，数值大不一定增长速度大，增 长速度体现在函数值的变化趋势上．
基础类型二 增长速度比较(逻辑推理) 【典例】1.如图，能使不等式 log2x<2x<x2 成立的 x 的范围是( ) A.x>2 B．x>4 C．0<x<2 D．2<x<4
【解析】选 D.由图象可知，当 2<x<4 时，符合不等式 log2x<2x<x2.
由图象判断指数函数、对数函数和幂函数的方法 根据图象判断增长型的指数函数、对数函数和幂函数时，通常是观察函数图象上 升的快慢，即随着自变量的增长，图象最“陡”的函数是指数函数，图象趋于平缓 的函数是对数函数．
已知函数 f(x)＝ln x，g(x)＝0.5x－1 的图象如图所示．
(1)指出图中曲线 C1，C2 分别对应哪一个函数； (2)借助图象，比较 f(x)和 g(x)的大小．
【解析】(1)C1 对应的函数为 g(x)＝0.5x－1， C2 对应的函数为 f(x)＝ln x. (2)当 x∈(0，x1)时，g(x)>f(x)； 当 x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)；当 x∈(x2，＋∞)时，g(x)>f(x)；当 x＝x1 或 x2 时，g(x) ＝f(x). 综上：当 x＝x1 或 x2 时，g(x)＝f(x)； 当 x∈(x1，x2)时，g(x)<f(x)； 当 x∈(0，x1)或(x2，＋∞)时，g(x)>f(x).
不同函数增长的差异
基础认知·自主学习
阅读下面材料并回答问题 1859 年，有人从欧洲带进澳洲几只兔子，由于澳洲有茂盛的牧草，而且没有兔子 的天敌，兔子数量不断增加，不到 100 年，兔子们占领了整个澳大利亚，数量达 到 75 亿只，可爱的兔子变得可恶起来，75 亿只兔子吃掉了相当于 75 亿只羊所吃 的牧草，草原的载畜率大大降低，而牛羊是澳大利亚的主要牲口，这使澳大利亚 头痛不已，他们采用各种方法消灭这些兔子，直至二十世纪五十年代，科学家采 用载液瘤病毒杀死了百分之九十的兔子，澳大利亚人才算松了一口气． 想想看，澳大利亚的兔子为什么在不到 100 年的时间内发展到 75 亿只？
x1 2 3 4 5
y 1.5 5.9 13.4 24.1 37
下列所给函数模型较适合的是( )
A．y＝logax(a>1)
B．y＝ax＋b(a>1)
C．y＝ax2＋b(a>0)
D．y＝logax＋b(a>1)
【解析】选 C.通过所给数据可知 y 随 x 增大而增大，其增长速度越来越快，而 A，
D 中的函数增长速度越来越慢，B 中的函数增长速度保持不变．
根据表中数据，下列函数中，适合作为年销售量 y 关于年宣传费 x 的最符合的函
数是( )
A．y＝0.5(x＋1)
B．y＝log3x＋1.5
C．y＝2x－1
D．y＝2 x
【解析】选 B.将题干表格中的数值描到坐标系内(图略)，观察可得这些点的拟合 函数类似于对数函数，代入数值验证，也较为符合．
3．四个物体同时从某一点出发向前运动，其路程 fi(x)(i＝1，2，3，4)关于时间 x(x>1) 的函数关系是 f1(x)＝x2，f2(x)＝2x，f3(x)＝log2x，f4(x)＝2x，如果它们一直运动下
5．电子技术迅速发展，计算机的成本不断降低，若每隔 5 年计算机的价格降低13 ， 则现在价格为 4 050 元的计算机经过 15 年后价格应降为________． 【解析】4 050×1－31 3 ＝4 050×287 ＝1 200(元). 答案：1 200 元
谢谢观看！
本课结束
速度不变．
(2)指数函数模型：指数函数模型 y＝ax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，
函数值增大的速度越来越快，即增长速度急剧，形象地称为“指数爆炸”．
(3)对数函数模型：对数函数模型 y＝logax(a>1)的增长特点是随着自变量的增大，
函数值增大的速度越来越慢，即增长速度平缓．
(4)幂函数模型：幂函数 y＝xn(n>0)的增长速度介于指数增长和对数增长之间．
2．如表是函数值 y 随自变量 x 变化的一组数据，由此判断它最可能的函数模型是 ()
A.一次函数模型 C．指数函数模型
B．二次函数模型 D．对数函数模型
【解析】选 A.随着自变量每增加 1 函数值增加 2，函数值的增量是均匀的，故为 线性函数，即一次函数模型．
能力形成·合作探究
基础类型一 函数增长速度差异(逻辑推理)
由图可以看出用一次函数模型不吻合，选用对数型函数比较合理．将(2，1)代入 到 h＝loga(t＋1)中，得 1＝loga3，解得 a＝3.即 h＝log3(t＋1). 当 t＝8 时，h＝log3(8＋1)＝2， 故可预测第 8 年松树的高度为 2 m．
学情诊断·课堂测评
1．有一组实验数据如下表所示：
1．下列函数中，增长速度最快的是( )
A．y＝2 022x
B．y＝1.2x
C．y＝log1.2x
D．y＝2 022
【解析】选 B.指数函数的增长速度最快．
2．某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费 x(单位：万 元)对年销售量 y(单位：t)的影响，对近 6 年的年宣传费 xi 和年销售量 yi(i＝1，2，…， 6)进行整理，得数据如表所示：
2
2．增长速度不变的函数模型是哪一种函数模型？
3．是不是对于任意 x∈(0，＋∞) ，总有 2x>x2?
提示：1.是.2.一次函数.3.不是．
观察教材 P137 图 4.4－6，你能总结一下指数函数模型与一次函数模型增长速度 的差异吗？
提示：指数函数增长速度越来越快，远远大于一次函数的增长速度．
1．某林区的森林蓄积量平均每年比上一年增长 8.6%，若经过 x 年可以增长到原 来的 y 倍，则函数 y＝f(x)的大致图象是图中的( )
【问题 1】澳洲兔子数量的增长有什么特点？ 【问题 2】澳洲兔子数量的增长符合哪一种函数模型？ 【问题 3】还有哪些函数模型描述变量的增长？
三种函数的性质及增长速度比较
(a 1)
垂直 快
(a 1)
增 平行
慢
(k 0)
不变
本质：通过作图工具，作出不同函数模型的图象，借助图象的变化归纳比较出三 种函数的增长特点和增长速度的差异．从增长差异的角度进一步理解不同函数模 型的性质．应用不同函数模型的增长特点，解释实际生活中的一些现象，根据现 实的增长情况，选择合适的函数模型刻画其变化规律．