山西省2016年高考数学三模试卷(文科) 含解析

2016年山西省高考数学三模试卷（文科）
一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分。

在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．若集合A={x｜1＜x2≤5x｝，B={x|﹣2＜x＜2｝，则A∪B=()
A．(1，2) B．(﹣2，2）C．（﹣1，5）D．（﹣2,5）
2．复数+的共轭复数为（）
A．5+i B．﹣5+i C．5﹣i D．﹣5﹣i
3．如图是某班50位学生期中考试化学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是[40，50），[50，60),[60，70），[70，80）,[80，90)，［90，100]，则成绩在［70，90)内的频数为()
A．27 B．30 C．32 D．36
4．P（x1，y1）、Q（x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若|QF|=2｜PF｜,则（）
A．x2=2x1+1 B．x2=2x1C．y2=2y1+1 D．y2=2y1
5．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）
A．B．C．D．
6．将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，得到的图象可能为（）
A． B．C．
D．
7．函数f（x）=e x﹣x在区间[﹣1，1］上的值域为（）
A．[1,e﹣1］B．C．D．［0，e﹣1］
8．已知S n为等差数列{a n}的前n项和,给出下列两个命题：
命题p：若S3，S9都大于9，则S6大于11
命题q:若S6不小于12，则S3,S9中至少有1个不小于9．
那么，下列命题为真命题的是(）
A．￢p B．（￢p）∧（￢q）C．p∧q D．p∧（￢q)
9．在矩形ABCD中，｜AB｜=3，|AC｜=5，=，=，若=x+y，
则x+y的值为（）
A．2 B．4 C．5 D．7
10．设a＞0，且x,y满足约束条件，若z=x+y的最大值为7，则的最
大值为（）
A．B．C．D．
11．某几何体是组合体，其三视图如图所示,则该几何体的体积为（）
A． +8πB． +8πC．16+8πD． +16π
12．记min{a,b｝表示a，b中较小的数，比如min{3，﹣1}=﹣1．设函数f（x)=｜min
｛x2,log x}｜(x＞0）,若f（x1）=f（x2）=f（x3)（x1，x2，x3互不相等），则x1x2x3的取值范围为（）
A ．
B ．
C ．
D ．
二、填空题(每题5分，满分20分,将答案填在答题纸上)
13．一个蜂巢有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天，6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共有_______只蜜蜂．
14．已知函数f（x）=为奇函数，则g(﹣2）=_______．
15．若双曲线mx2+y2=1(m＜﹣1)的离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，则
m=_______．
16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos ∠ACE=，且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为_______．
三、解答题（本大题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．在△ABC中，角A,B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，c=b．
（1）求角A，B的大小；
(2）若D为边AC上一点，且a=4,△BCD 的面积为，求BD的长．
18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表:
X
A B C
人数
Y
A 14 40 10
B a 36 b
C 28 8 34
若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B(良好)、C(及格）三个等级,设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0。

07．
（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；
（2)已知a≥8，b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．
19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD,E为线段AD上的任意一点(不包括A、D两点），平面CEC1与平面BB1D交于FG．
（1)证明：AC⊥BD;
（2）证明：FG∥平面AA1B1B．
20．已知椭圆C： +=1（a＞b＞0）的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+（y﹣3）2=4
的公共弦长为4
（1）求椭圆C的方程；
（2）已知O为坐标原点,过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另
一点，求•的值．
21．已知函数f（x）=（ax2﹣lnx）（x﹣lnx)(a∈R）．
(1）当a=6时，求曲线y=f（x）在点(1，f（1））处的切线方程;
(2）若f(x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分。

[选修4—1:几何证明选讲]
22．如图,在⊙O的直径AB的延长线上取点P,作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M,使PN=PM，连接NM并延长交⊙O于点C．
（1）求证：OC⊥AB;
（2)若⊙O的半径为，OM=MP，求MN的长．
[选修4-4:坐标系与参数方程］
23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的极坐标方程
为ρ=2（sinθ+cosθ+）．
（1)写出曲线C的参数方程;
（2）在曲线C上任取一点P，过点P作x轴,y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB 的面积的最大值．
［选修4—5：不等式选讲］
24．已知不等式＜|1+|﹣|1﹣｜＜对x∈（0，+∞）恒成立．
(1）求实数a的取值范围；
（2)不等式｜x﹣1｜+|x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．
2016年山西省高考数学三模试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。

1．若集合A=｛x｜1＜x2≤5x｝，B=｛x|﹣2＜x＜2}，则A∪B=（）
A．（1,2) B．（﹣2,2）C．(﹣1,5) D．（﹣2，5)
【考点】并集及其运算．
【分析】化简集合A，求出A∪B即可．
【解答】解:集合A={x｜1＜x2≤5x｝={x｜1＜x≤5｝，
B={x|﹣2＜x＜2｝，
∴A∪B=｛x|﹣2＜x≤5｝=（﹣2，5]．
故选：D．
2．复数+的共轭复数为（）
A．5+i B．﹣5+i C．5﹣i D．﹣5﹣i
【考点】复数代数形式的乘除运算．
【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义即可得出．
【解答】解: +=+=2+2i+3﹣i=5+i的共轭复数为5﹣
i．
故选：C．
3．如图是某班50位学生期中考试化学成绩的频率分布直方图,其中成绩分组区间是［40，50），[50，60)，［60，70）,[70,80），［80，90），[90，100]，则成绩在[70，90）内的频数为（）
A．27 B．30 C．32 D．36
【考点】频率分布直方图．
【分析】由频率分布直方图先求出成绩在［70，90）内的频率，由此能求出成绩在[70，90)内的频数．
【解答】解：由频率分布直方图得成绩在［70,90)内的频率为：
1﹣（0.006+0。

006+0。

01+0.006)×10=0。

72，
∴成绩在[70，90)内的频数为：50×0.72=36．
故选：D．
4．P（x1，y1）、Q(x2，y2）分别为抛物线y2=4x上不同的两点，F为焦点，若｜QF｜=2｜PF|，则（）
A．x2=2x1+1 B．x2=2x1C．y2=2y1+1 D．y2=2y1
【考点】抛物线的简单性质．
【分析】根据抛物线的性质将｜PF|，|QF|转化为到准线的距离，得出答案．
【解答】解：抛物线的准线方程为x=﹣1，
∴|PF|=x1+1，｜QF|=x2+1．
∵｜QF｜=2|PF｜，
∴x2+1=2（x1+1），即x2=2x1+1．
故选：A．
5．执行如图所示的程序框图，则输出的S等于（）
A．B．C．D．
【考点】程序框图．
【分析】根据程序框图的流程，依次写出每次循环得到的S,i的值，当S=时,满足条件S ＜1，退出循环，输出S的值为．
【解答】解：模拟执行程序，可得
S=600，i=1
执行循环体，S=600，i=2
不满足条件S＜1，执行循环体，S=300,i=3
不满足条件S＜1，执行循环体,S=100，i=4
不满足条件S＜1，执行循环体，S=25，i=5
不满足条件S＜1，执行循环体,S=5,i=6
不满足条件S＜1,执行循环体，S=,i=7
满足条件S＜1，退出循环，输出S的值为．
故选:C．
6．将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后,得到的图象可能为（）
A． B．C．
D．
【考点】函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换．
【分析】由函数y=Asin(ωx+φ）的图象变换可得向左平移个单位后,得到的函数解析式为：y=﹣sin3x，利用正弦函数的图象和性质即可得解．
【解答】解：将函数y=cos（3x+）的图象向左平移个单位后，
得到的函数解析式为：y=cos［3（x+）+]=﹣sin3x，
此函数过原点，为奇函数,排除C，D；
原点在此函数的单调递减区间上，故排除B．
故选：A．
7．函数f（x）=e x﹣x在区间［﹣1，1]上的值域为（）
A．［1，e﹣1]B．C．D．［0,e﹣1］
【考点】函数的值域．
【分析】求函数的导数，判断函数的单调性和极值，最值，结合函数的最值即可求出函数的值域．
【解答】解：函数的导数f′（x）=e x﹣1，
由f′（x)＞0得e x﹣1＞0,即e x＞1，得0＜x≤1，此时函数递增，
由f′（x）＜0得e x﹣1＜0，即e x＜1，得﹣1≤x＜0,此时函数递减，
即当x=0时,函数取得极小值同时也是最小值f(0)=1，
∵f（1)=e﹣1，f(﹣1)=+1＜e﹣1，
∴函数的最大值为f（1）=e﹣1,
即函数的值域为[1,e﹣1］，
故选：A．
8．已知S n为等差数列｛a n}的前n项和，给出下列两个命题:
命题p：若S3，S9都大于9，则S6大于11
命题q：若S6不小于12，则S3，S9中至少有1个不小于9．
那么，下列命题为真命题的是(）
A．￢p B．（￢p）∧(￢q) C．p∧q D．p∧(￢q）
【考点】复合命题的真假．
【分析】由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6﹣S3,S9﹣S6成等差数列，即可判断出命题p，q的真假．
【解答】解:对于命题p：由等差数列的前n项和的性质可得：S3，S6﹣S3,S9﹣S6成等差数列，∴2（S6﹣S3）=S3+S9﹣S6，∴3S6=3S3+S9≥3×9+9，∴S6≥12，因此命题p正确;
命题q:由上面可知：3S3+S9=3S6≥3×12=36,因此S3,S9中至少有1个不小于9，是真命题．那么，下列命题为真命题的是p∧q．
故选：C．
9．在矩形ABCD中，｜AB｜=3，｜AC|=5，=，=，若=x+y,
则x+y的值为(）
A．2 B．4 C．5 D．7
【考点】平面向量的基本定理及其意义．
【分析】由已知利用勾股定理可得｜AD｜，从而可得=3，==4，由向量的加法可得=+=3+4,利用平面向量的基本定理及其意义即可得解x，y的值，进
而得解．
【解答】解：∵在矩形ABCD中，|AB|=3，｜AC｜=5，
∴利用勾股定理可得：｜AD｜=4，
∵=，=，
∴=3，==4,
∴=+=3+4,
∴x=3，y=4，可得：x+y=7．
故选:D．
10．设a＞0，且x,y满足约束条件，若z=x+y的最大值为7,则的最大值为（）
A．B．C．D．
【考点】简单线性规划的应用；简单线性规划．
【分析】作出题中不等式组表示的平面区域，利用z=x+y的最大值为7，推出直线x+y=7与x+4y﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点,得到a,利用所求的表达式的几何意义，可得
的最大值．
【解答】解：作出不等式组约束条件表示的平面区域，直线x+y=7与x+4y
﹣16=0的交点A必在可行域的边缘顶点．解得,即A（4,3）在3ax﹣y
﹣9=0上，
可得12a﹣3﹣9=0，解得a=1．
的几何意义是可行域的点与（﹣3,0）连线的斜率，由可行域可知(﹣3,0）与B连线的斜率最大，
由可得B（﹣1，),的最大值为:=．
故选：D．
11．某几何体是组合体，其三视图如图所示，则该几何体的体积为（）
A． +8πB． +8πC．16+8πD． +16π
【考点】由三视图求面积、体积．
【分析】由三视图知该几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，由三视图求出几何元素的长度、并判断出位置关系，由柱体、锥体的体积公式求出几何体的体积．【解答】解：根据三视图可知几何体是一个组合体：下面是半个圆柱、上面两个四棱锥，且两个四棱锥的定点相对、底面是俯视图中两个矩形两条边分别是2、4，
其中一条侧棱与底面垂直，高都是2，
圆柱的底面圆半径是2、母线长是4，
∴几何体的体积V=2×+=，
故选：B．
12．记min｛a，b}表示a，b中较小的数，比如min{3，﹣1｝=﹣1．设函数f（x）=|min｛x2，log x｝｜（x＞0)，若f（x1）=f(x2)=f（x3）（x1,x2,x3互不相等)，则x1x2x3的取值范围为（）
A． B．C． D．
【考点】函数的最值及其几何意义．
【分析】由f（x1)=f（x2）=f（x3）（x1,x2，x3互不相等），不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x1＜,=﹣，由此，即可求出x1x2x3的取值范围．
【解答】解：作出y=x2及y=｜|的图象，
f（x1）=f（x2)=f（x3）(x1，x2，x3互不相等），
不妨设x1＜x2＜x3，则0＜x1＜，=﹣,
∴x2x3=1,
∴0＜x1x2x3＜，
故选：A．
二、填空题(每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．一个蜂巢有1只蜜蜂，第1天，它飞出去找回了5个伙伴；第2天,6只蜜蜂飞出去，各自找回了5个伙伴…如果这个找伙伴的过程继续下去，第5天所有的蜜蜂都归巢后,蜂巢中一共有7776只蜜蜂．
【考点】归纳推理．
【分析】根据题意，第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n,则数列{a n｝成等比数列．根据等比数列的通项公式，可以算出第5天所有的蜜蜂都归巢后，蜂巢中一共的蜜蜂．
【解答】解：设第n天蜂巢中的蜜蜂数量为a n，根据题意得
数列｛a n｝成等比数列，它的首项为6,公比q=6，
所以｛a n｝的通项公式：a n=6•6n﹣1
到第5天，所有的蜜蜂都归巢后，
蜂巢中一共有a5=65=7776只蜜蜂．
故答案为：7776．
14．已知函数f（x）=为奇函数，则g（﹣2）=6﹣log35．
【考点】函数奇偶性的性质．
【分析】由题意，g（﹣2）=f（﹣2）+6,利用函数是奇函数，即可得出结论．
【解答】解：由题意，g（﹣2)=f(﹣2)+6=﹣f（2）+6=6﹣log35
故答案为：6﹣log35．
15．若双曲线mx2+y2=1(m＜﹣1)的离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，则m=﹣7﹣4．
【考点】双曲线的简单性质．
【分析】求出双曲线的标准方程,求出a，b，结合离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，建立方程关系进行转化求解即可．
【解答】解：双曲线的标准方程为y2﹣=1（m＜﹣1），
则焦点在y轴上，且a=1，b2=﹣，
∵离心率恰好是实轴长与虚轴长的等比中项，
∴e2=2a•2b=4ab，
即=4ab，
则c2=4b，即1+b2=4b，
平方得1+2b2+b4=16b2，
即b4﹣14b2+1=0，
则++1=0，
则1+14m+m2=0
即m===﹣7±4，
∵m＜﹣1，
∴m=﹣7﹣4，
故答案为:;
16．长方体ABCD﹣A1B1C1D1的8个顶点都在球O的表面上，E为AB的中点，CE=3，cos
∠ACE=,且四边形ABB1A1为正方形，则球O的直径为4或．
【考点】球的体积和表面积．
【分析】设AB=2x，则AE=x，BC=,由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3×
×,求出x，即可求出球O的直径．
【解答】解:设AB=2x，则AE=x，BC=，
∴AC=
由余弦定理可得x2=9+3x2+9﹣2×3××，
∴x=1或，
∴AB=2，BC=2，球O的直径为=4，
或AB=2,BC=，球O的直径为=．
故答案为：4或．
三、解答题(本大题共5小题，共70分。

解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。

）17．在△ABC中,角A,B，C的对边分别是a，b，c,C=60°,c=b．
(1）求角A,B的大小；
（2）若D为边AC上一点，且a=4，△BCD的面积为,求BD的长．
【考点】余弦定理；正弦定理．
【分析】(1）由C=60°,可得sinC，由c=b，可得:,又由正弦定理可得:，
解得sinB，结合b＜c,可得B为锐角，利用三角形内角和定理可求B，A的值．
(2）利用三角形面积公式及已知可求CD，由余弦定理即可解得BD的值．
【解答】（本题满分为12分)
解：（1）∵C=60°，可得：sinC=，由c=b，可得：，
又∵由正弦定理,可得:,解得：sinB=，
∵由已知可得b＜c,可得B为锐角，
∴可得：B=45°，A=π﹣B﹣C=75°．
（2）∵△BCD 的面积为,即：a•CD•sinC==,解得：CD=1，
∴由余弦定理可得:BD===．
18．已知某中学高三文科班学生的数学与地理的水平测试成绩抽样统计如下表:
X
A B C
人数
Y
A 14 40 10
B a 36 b
C 28 8 34
若抽取学生n人，成绩分为A（优秀）、B（良好）、C(及格)三个等级,设x，y分别表示数学成绩与地理成绩，例如：表中地理成绩为A等级的共有14+40+10=64人，数学成绩为B等级且地理成绩为C等级的有8人．已知x与y均为A等级的概率是0.07．
（1）设在该样本中，数学成绩优秀率是30%，求a，b的值；
（2）已知a≥8,b≥6，求数学成绩为A等级的人数比C等级的人数多的概率．
【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率．
【分析】(1）由频率=，能求出a，b的值．
（2)由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．由此利用列举法能求出所求概率．
【解答】解:(1）由频率=，得到，
∴，故a=18，
而14+a+28+40+36+8+10+b+34=200，
∴b=12．…
（2）∵a+b=30且a≥8,b≥6，
∴由14+a+28＞10+b+34，得a＞b+2．
（a,b）的所有结果为（8,22),（9，21），（10，20），（11，19）,…（24，6）共17组，
其中a＞b+2的共8 组,
故所求概率为：．…
19．如图，在四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，AC⊥B1D，BB1⊥底面ABCD，E为线段AD 上的任意一点（不包括A、D两点），平面CEC1与平面BB1D交于FG．
（1)证明：AC⊥BD；
（2）证明：FG∥平面AA1B1B．
【考点】直线与平面平行的判定；棱柱的结构特征．
【分析】（1）先证出BB1⊥AC,AC⊥B1D，即可证明AC⊥平面BB1D，从而证出AC⊥BD；（2)先证明CC1∥平面BB1D,得出CC1∥FG，从而得出FG∥BB1，再证出FG∥平面AA1B1B．【解答】解：(1）证明:四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中，
∵BB1⊥底面ABCD，AC⊂平面ABCD，
∴BB1⊥AC；
又AC⊥B1D，
BB1∩B1D=B1，
∴BB1⊂平面BB1D，B1D⊂平面BB1D，
∴AC⊥平面BB1D；
又BD⊂平面BB1D，
∴AC⊥BD；
（2）四棱柱ABCD﹣A1B1C1D1中,CC1∥BB1,
CC1⊄平面BB1D，BB1⊂平面BB1D，
∴CC1∥平面BB1D;
又平面CEC1∩平面BB1D=FG,
∴CC1∥FG,
∴FG∥BB1；
又FG⊄平面ABB1A1,BB1⊂平面ABB1A1，
∴FG∥平面AA1B1B．
20．已知椭圆C: +=1（a＞b＞0)的离心率为，且椭圆C与圆M：x2+(y﹣3）2=4的
公共弦长为4
(1）求椭圆C的方程；
（2)已知O为坐标原点，过椭圆C的右顶点A作直线l与圆x2+y2=相切并交椭圆C于另
一点，求•的值．
【考点】椭圆的简单性质．
【分析】（1)运用椭圆的离心率公式和对称性可得椭圆经过点（±2，3），代入椭圆方程，解得a,b，进而得到椭圆方程；
(2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x﹣4），由直线和圆相切的条件:d=r，可得k，再由直线方程代入椭圆方程，运用韦达定理，可得B的横坐标，结合向量的数量积的坐标表示，即可得到所求值．
【解答】解：（1）由题意可得e==，a2﹣b2=c2，
椭圆C与圆M:x2+(y﹣3)2=4的公共弦长为4，
可得椭圆经过点（±2,3），
即有+=1，
解得a=4，b=2，
即有椭圆的方程为+=1；
(2）设过右顶点A（4，0）的直线l为y=k（x﹣4），
由直线与圆x2+y2=相切,可得=，
解得k=±，
将直线y=±（x﹣4），代入椭圆+=1，消去y，可得
31x2﹣32x﹣368=0,
设B（x0，y0），可得4x0=﹣,
则•=（4，0）•（x0，y0）=4x0=﹣．
21．已知函数f(x）=（ax2﹣lnx）（x﹣lnx）(a∈R)．
（1)当a=6时，求曲线y=f(x)在点（1，f(1））处的切线方程；
(2）若f(x）＞0恒成立，求实数a的取值范围．
【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究曲线上某点切线方程．
【分析】（1）求出函数的导数,计算f（1)，f′（1）,求出切线方程即可;
（2)设g（x）=x﹣lnx,(x＞0），求出函数的导数，得到若f（x）＞0恒成立，则ax2﹣lnx＞0
恒成立，问题转化为，设,根据函数的单调性求出a的范
围即可．
【解答】解：(1）当a=6时，
，
∴f'（1）=11，f（1）=6，
∴曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程为y﹣6=11（x﹣1)，
即y=11x﹣5．
（2）设g（x）=x﹣lnx，（x＞0)，
则,
当0＜x＜1时，g’（x)＜0，函数g(x）递减，
当x＞1时，g'(x）＞0，函数g(x）递增，
所以当x＞0时，g（x）≥g(1）=1＞0．
若f（x）＞0恒成立，则ax2﹣lnx＞0恒成立，
∴．
设，则，
当时，h'（x）＞0，函数h（x）递增,
当时，h'(x）＜0,函数g（x）递减,
所以当x＞0时,,
∴。

．
请考生在22、23、24三题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.[选修4-1：几何证明选讲]
22．如图，在⊙O的直径AB的延长线上取点P,作⊙O的切线PN，N为切点，在AB上找一点M，使PN=PM,连接NM并延长交⊙O于点C．
（1）求证：OC⊥AB；
（2）若⊙O的半径为,OM=MP，求MN的长．
【考点】与圆有关的比例线段．
【分析】（1)连接ON，运用圆的切线的性质和等腰三角形的性质，由垂直的判定即可得证；(2）运用直角三角形的勾股定理和圆的相交弦定理，计算即可得到所求值．
【解答】解：(1）证明：连接ON，则ON⊥PN，且△OCN为等腰三角形，
则∠OCN=∠ONC，∵PN=PM，
∴∠PMN=∠PNM，∵∠OCM+∠OMC=∠ONC+∠PNM=90°，
∴∠COM=90°，∴OC⊥AB．
(2）在Rt△ONP中，由于OM=MP,
∴OP2=PN2+ON2，∴，
∴4PN2=PN2+12，∴PN=2，从而，
∴，
由相交弦定理可得MN•CM=BM•AM，又，
∴．
[选修4-4：坐标系与参数方程]
23．以坐标原点O为极点，O轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线C的极坐标方程为
ρ=2(sinθ+cosθ+)．
（1）写出曲线C的参数方程；
(2）在曲线C上任取一点P,过点P作x轴，y轴的垂线，垂足分别为A，B，求矩形OAPB 的面积的最大值．
【考点】参数方程化成普通方程；简单曲线的极坐标方程．
【分析】（1）由极坐标化为标准方程,再写出参数方程即可,
（2)可设点P的坐标为（1+2cosθ，1+2sinθ），表示出矩形OAPB的面积为S，再设t=sinθ+cosθ,根据二次函数的性质即可求出答案．
【解答】解:（1）由得ρ2=2（ρsinθ+ρcosθ+1），所以x2+y2=2x+2y+2，
即（x﹣1）2+（y﹣1)2=4．
故曲线C的参数方程(θ为参数）．
(2）由（1)可设点P的坐标为（1+2cosθ,1+2sinθ）,θ∈[0，2π），
则矩形OAPB的面积为S=|（1+2cosθ)（1+2sinθ）｜=|1+2sinθ+2cosθ+4sinθcosθ）|
令，
t2=1+2sinθcosθ,，
故当时，．
[选修4—5：不等式选讲]
24．已知不等式＜｜1+|﹣｜1﹣｜＜对x∈（0，+∞）恒成立．
（1）求实数a的取值范围；
（2)不等式|x﹣1｜+｜x+1|≤a的解集为A，不等式4≤2x≤8的解集为B，试判断A∩B是否一定为空集？请证明你的结论．
【考点】绝对值不等式的解法;绝对值三角不等式．
【分析】（1)根据x的范围，得到关于a的不等式组，解出即可；（2）分别求出集合A，B，结合a的范围，判断A，B的交集是否是空集即可．
【解答】解:（1）∵x＞0，∴1+＞0,
不等式＜|1+|﹣|1﹣|＜对x∈（0，+∞）恒成立，
即不等式＜1+﹣|1﹣|＜对x∈(0，+∞）恒成立．
即对x∈(0，+∞）恒成立．
即,
∴,
解得：1＜a＜8；
（2）∵x＞0，∴x+1＞0，
令f(x）=｜x﹣1|+｜x+1｜,
∴f（x）=｜x﹣1|+x+1=,
由（1）a=8时，得：2x＜8,解得：x＜4，
故集合A的最大范围是（0，4)，
由4≤2x≤8，解得:2≤x≤3，
故集合B=[2,3]，
故A∩B不一定是空集．
2016年9月9日。